Derivada funcional

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Concepto en cálculo de variación

En el cálculo de variaciones, un campo del análisis matemático, la derivada funcional (o derivada variacional) relaciona un cambio en un funcional (un funcional en este sentido es una función que actúa sobre funciones) a un cambio en una función de la que depende el funcional.

En el cálculo de variaciones, los funcionales generalmente se expresan en términos de una integral de funciones, sus argumentos y sus derivados. En un integrando $L$ de un funcional, si una función $f$ se varía al agregarle otra función $δf$ que es arbitrariamente pequeña, y el integrando resultante se expande en potencias de $δf$ , el coeficiente de $δf$ en el término de primer orden se denomina derivada funcional.

Por ejemplo, considere el funcional

{displaystyle J[f]=int _{a}^{b}L(,x,f(x),f,'(x),),dx}

f . x) df/dx

f

δf

L () x, f +δf, f '+δf')

δf

J

δf

{displaystyle delta J=int _{a}^{b}left({frac {partial L}{partial f}}delta f(x)+{frac {partial L}{partial f'}}{frac {d}{dx}}delta f(x)right),dx,=int _{a}^{b}left({frac {partial L}{partial f}}-{frac {d}{dx}}{frac {partial L}{partial f'}}right)delta f(x),dx,+,{frac {partial L}{partial f'}}(b)delta f(b),-,{frac {partial L}{partial f'}}(a)delta f(a),}

δf .

() δf)

Definición

En esta sección se define el diferencial funcional (o variación o primera variación). Luego, la derivada funcional se define en términos de la diferencial funcional.

Diferencial funcional

Suppose $B$ es un espacio de Banach y $F$ es un funcional definido en $B$ . El diferencial de $F$ en un momento ${displaystyle rho in B}$ es el funcional lineal ${displaystyle delta F[rhocdot ]}$ on $B$ definido por la condición que, para todos ${displaystyle phi in B}$ ,

{displaystyle F[rho +phi ]-F[rho ]=delta F[rho;phi ]+epsilon cdot |phi |}

epsilon

{displaystyle |phi |}

epsilonto 0

{displaystyle |phi |to 0}

{displaystyle delta F[rhocdot ]}

F

rho

Sin embargo, esta noción de diferencial funcional es tan fuerte que puede no existir y, en esos casos, se prefiere una noción más débil, como la derivada de Gateaux. En muchos casos prácticos, la diferencial funcional se define como la derivada direccional

{displaystyle {begin{aligned}delta F[rhophi ]&=lim _{varepsilon to 0}{frac {F[rho +varepsilon phi ]-F[rho ]}{varepsilon }}\&=left[{frac {d}{dvarepsilon }}F[rho +varepsilon phi ]right]_{varepsilon =0}.end{aligned}}}

Derivada funcional

En muchas aplicaciones, el dominio de la funcionalidad $F$ es un espacio de funciones diferentes $rho$ definidos en algunos espacios $Omega$ y $F$ es de la forma

{displaystyle F[rho ]=int _{Omega }L(x,rho (x),Drho (x)),dx}

{displaystyle L(x,rho (x),Drho (x))}

x

rho (x)

{displaystyle Drho (x)}

{displaystyle delta F[rhophi ]}

phi

δF / δρ

{displaystyle delta F[rho;phi ]=int _{Omega }{frac {delta F}{delta rho }}(x) phi (x) dx}

δF / δρ

derivado funcional

F

***

F

rho

phi

{displaystyle rho +epsilon phi }

Heurísticamente, $phi$ es el cambio en $rho$ , así que 'formally' han ${displaystyle phi =delta rho }$ , y entonces esto es similar en forma a la diferencia total de una función ${displaystyle F(rho _{1},rho _{2},dotsrho _{n})}$ ,

{displaystyle dF=sum _{i=1}^{n}{frac {partial F}{partial rho _{i}}} drho _{i},}

{displaystyle rho _{1},rho _{2},dotsrho _{n}}

{displaystyle delta F/delta rho (x)}

{displaystyle partial F/partial rho _{i}}

x

i

δF / δρ

F

***

δF / δρ(x)

F

***

x

{displaystyle int {frac {delta F}{delta rho }}(x)phi (x);dx}

***

φ

v

v

Propiedades

Al igual que la derivada de una función, la derivada funcional satisface las siguientes propiedades, donde $F [ρ]$ y $G [ρ]$ son funcionales:

Linearity: ${displaystyle {frac {delta (lambda F+mu G)[rho ]}{delta rho (x)}}=lambda {frac {delta F[rho ]}{delta rho (x)}}+mu {frac {delta G[rho ]}{delta rho (x)}},}$ Donde $λ, μ$ son constantes.
Regla de producto: ${displaystyle {frac {delta (FG)[rho ]}{delta rho (x)}}={frac {delta F[rho ]}{delta rho (x)}}G[rho ]+F[rho ]{frac {delta G[rho ]}{delta rho (x)}},,}$
Reglas de cadena:
- Si $F$ es un funcional y $G$ otro funcional, entonces ${displaystyle {frac {delta F[G[rho ]]}{delta rho (y)}}=int dx{frac {delta F[G]}{delta G(x)}}_{G=G[rho ]}cdot {frac {delta G[rho ](x)}{delta rho (y)}}.}$
- Si $G$ es una función diferenciable ordinaria (funcional local) $g$ , entonces esto reduce a ${displaystyle {frac {delta F[g(rho)]}{delta rho (y)}}={frac {delta F[g(rho)]}{delta g[rho (y)]}} {frac {dg(rho)}{drho (y)}}.}$

Determinación de derivadas funcionales

Una fórmula para determinar derivadas funcionales para una clase común de funcionales se puede escribir como la integral de una función y sus derivadas. Esta es una generalización de la ecuación de Euler-Lagrange: de hecho, la derivada funcional se introdujo en la física dentro de la derivación de la ecuación de Lagrange de segundo tipo a partir del principio de mínima acción en la mecánica de Lagrange (siglo XVIII). Los primeros tres ejemplos a continuación están tomados de la teoría funcional de la densidad (siglo XX), el cuarto de la mecánica estadística (siglo XIX).

Fórmula

Dado un funcional

{displaystyle F[rho ]=int f({boldsymbol {r}},rho ({boldsymbol {r}}),nabla rho ({boldsymbol {r}})),d{boldsymbol {r}},}

φ () r)

{displaystyle {begin{aligned}int {frac {delta F}{delta rho ({boldsymbol {r}})}},phi ({boldsymbol {r}}),d{boldsymbol {r}}&=left[{frac {d}{dvarepsilon }}int f({boldsymbol {r}},rho +varepsilon phinabla rho +varepsilon nabla phi),d{boldsymbol {r}}right]_{varepsilon =0}\&=int left({frac {partial f}{partial rho }},phi +{frac {partial f}{partial nabla rho }}cdot nabla phi right)d{boldsymbol {r}}\&=int left[{frac {partial f}{partial rho }},phi +nabla cdot left({frac {partial f}{partial nabla rho }},phi right)-left(nabla cdot {frac {partial f}{partial nabla rho }}right)phi right]d{boldsymbol {r}}\&=int left[{frac {partial f}{partial rho }},phi -left(nabla cdot {frac {partial f}{partial nabla rho }}right)phi right]d{boldsymbol {r}}\&=int left({frac {partial f}{partial rho }}-nabla cdot {frac {partial f}{partial nabla rho }}right)phi ({boldsymbol {r}}) d{boldsymbol {r}},.end{aligned}}}

La segunda línea se obtiene usando la derivada total, donde $\partialf / \partial\nabla' ρ$ es la derivada de un escalar con respecto a un vector.

La tercera línea se obtuvo mediante el uso de una regla del producto para la divergencia. La cuarta línea se obtuvo usando el teorema de la divergencia y la condición de que $ϕ = 0$ en el límite de la región de integración. Dado que $ϕ$ es también una función arbitraria, aplicando el lema fundamental del cálculo de variaciones a la última línea, la derivada funcional es

{displaystyle {frac {delta F}{delta rho ({boldsymbol {r}})}}={frac {partial f}{partial rho }}-nabla cdot {frac {partial f}{partial nabla rho }}}

donde $ρ = ρ (r)$ y $f = f (r, ρ, \nabla ρ)$ . Esta fórmula es para el caso de la forma funcional dada por $F [ρ]$ al comienzo de esta sección. Para otras formas funcionales, la definición de la derivada funcional se puede utilizar como punto de partida para su determinación. (Vea el ejemplo funcional de energía potencial de Coulomb).

La ecuación anterior para la derivada funcional se puede generalizar al caso que incluye dimensiones más altas y derivadas de orden superior. El funcional sería,

{displaystyle F[rho ({boldsymbol {r}})]=int f({boldsymbol {r}},rho ({boldsymbol {r}}),nabla rho ({boldsymbol {r}}),nabla ^{(2)}rho ({boldsymbol {r}}),dotsnabla ^{(N)}rho ({boldsymbol {r}})),d{boldsymbol {r}},}

donde el vector $r \in R n$ , y $\nabla (i)$ es un tensor cuyo <span class="texhtml" Los componentes nⁱ son operadores derivados parciales de orden $i$ ,

{displaystyle left[nabla ^{(i)}right]_{alpha _{1}alpha _{2}cdots alpha _{i}}={frac {partial ^{,i}}{partial r_{alpha _{1}}partial r_{alpha _{2}}cdots partial r_{alpha _{i}}}}qquad qquad {text{where}}quad alpha _{1},alpha _{2},cdotsalpha _{i}=1,2,cdotsn.}

Una aplicación análoga de la definición de la derivada funcional produce

{displaystyle {begin{aligned}{frac {delta F[rho ]}{delta rho }}&{}={frac {partial f}{partial rho }}-nabla cdot {frac {partial f}{partial (nabla rho)}}+nabla ^{(2)}cdot {frac {partial f}{partial left(nabla ^{(2)}rho right)}}+dots +(-1)^{N}nabla ^{(N)}cdot {frac {partial f}{partial left(nabla ^{(N)}rho right)}}\&{}={frac {partial f}{partial rho }}+sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}nabla ^{(i)}cdot {frac {partial f}{partial left(nabla ^{(i)}rho right)}}.end{aligned}}}

En las dos últimas ecuaciones, $n i$ componentes del tensor $frac{partial f}{partialleft(nabla^{(i)}rhoright)}$ son derivados parciales de $f$ con respecto a derivados parciales de ***,

{displaystyle left[{frac {partial f}{partial left(nabla ^{(i)}rho right)}}right]_{alpha _{1}alpha _{2}cdots alpha _{i}}={frac {partial f}{partial rho _{alpha _{1}alpha _{2}cdots alpha _{i}}}}qquad qquad {text{where}}quad rho _{alpha _{1}alpha _{2}cdots alpha _{i}}equiv {frac {partial ^{,i}rho }{partial r_{alpha _{1}},partial r_{alpha _{2}}cdots partial r_{alpha _{i}}}}}

{displaystyle nabla ^{(i)}cdot {frac {partial f}{partial left(nabla ^{(i)}rho right)}}=sum _{alpha _{1},alpha _{2},cdotsalpha _{i}=1}^{n} {frac {partial ^{,i}}{partial r_{alpha _{1}},partial r_{alpha _{2}}cdots partial r_{alpha _{i}}}} {frac {partial f}{partial rho _{alpha _{1}alpha _{2}cdots alpha _{i}}}}.}

Ejemplos

Funcional de energía cinética de Thomas-Fermi

El modelo de Thomas-Fermi de 1927 usó un funcional de energía cinética para un gas de electrones uniforme que no interactúa en un primer intento de la teoría funcional de la densidad de la estructura electrónica:

{displaystyle T_{mathrm {TF} }[rho ]=C_{mathrm {F} }int rho ^{5/3}(mathbf {r}),dmathbf {r} ,.}

T TF [***]

*** () r)

T TF [***]

{displaystyle {begin{aligned}{frac {delta T_{mathrm {TF} }}{delta rho ({boldsymbol {r}})}}&=C_{mathrm {F} }{frac {partial rho ^{5/3}(mathbf {r})}{partial rho (mathbf {r})}}\&={frac {5}{3}}C_{mathrm {F} }rho ^{2/3}(mathbf {r}),.end{aligned}}}

Funcional de energía potencial de Coulomb

Para el potencial del núcleo electrónico, Thomas y Fermi emplearon el funcional de energía potencial de Coulomb

{displaystyle V[rho ]=int {frac {rho ({boldsymbol {r}})}{|{boldsymbol {r}}|}} d{boldsymbol {r}}.}

Aplicando la definición de derivada funcional,

{displaystyle {begin{aligned}int {frac {delta V}{delta rho ({boldsymbol {r}})}} phi ({boldsymbol {r}}) d{boldsymbol {r}}&{}=left[{frac {d}{dvarepsilon }}int {frac {rho ({boldsymbol {r}})+varepsilon phi ({boldsymbol {r}})}{|{boldsymbol {r}}|}} d{boldsymbol {r}}right]_{varepsilon =0}\&{}=int {frac {1}{|{boldsymbol {r}}|}},phi ({boldsymbol {r}}) d{boldsymbol {r}},.end{aligned}}}

{displaystyle {frac {delta V}{delta rho ({boldsymbol {r}})}}={frac {1}{|{boldsymbol {r}}|}}.}

Para la parte clásica de la interacción electrón-electrón, Thomas y Fermi emplearon el funcional de energía potencial de Coulomb

{displaystyle J[rho ]={frac {1}{2}}iint {frac {rho (mathbf {r})rho (mathbf {r} ')}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}},dmathbf {r} dmathbf {r} ',.}

{displaystyle {begin{aligned}int {frac {delta J}{delta rho ({boldsymbol {r}})}}phi ({boldsymbol {r}})d{boldsymbol {r}}&{}=left[{frac {d }{depsilon }},J[rho +epsilon phi ]right]_{epsilon =0}\&{}=left[{frac {d }{depsilon }},left({frac {1}{2}}iint {frac {[rho ({boldsymbol {r}})+epsilon phi ({boldsymbol {r}})],[rho ({boldsymbol {r}}')+epsilon phi ({boldsymbol {r}}')]}{|{boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}'|}},d{boldsymbol {r}}d{boldsymbol {r}}'right)right]_{epsilon =0}\&{}={frac {1}{2}}iint {frac {rho ({boldsymbol {r}}')phi ({boldsymbol {r}})}{|{boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}'|}},d{boldsymbol {r}}d{boldsymbol {r}}'+{frac {1}{2}}iint {frac {rho ({boldsymbol {r}})phi ({boldsymbol {r}}')}{|{boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}'|}},d{boldsymbol {r}}d{boldsymbol {r}}'\end{aligned}}}

r

r'

{displaystyle int {frac {delta J}{delta rho ({boldsymbol {r}})}}phi ({boldsymbol {r}})d{boldsymbol {r}}=int left(int {frac {rho ({boldsymbol {r}}')}{|{boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}'|}}d{boldsymbol {r}}'right)phi ({boldsymbol {r}})d{boldsymbol {r}}}

J

***

{displaystyle {frac {delta J}{delta rho ({boldsymbol {r}})}}=int {frac {rho ({boldsymbol {r}}')}{|{boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}'|}}d{boldsymbol {r}}',.}

La segunda derivada funcional es

{displaystyle {frac {delta ^{2}J[rho ]}{delta rho (mathbf {r} ')delta rho (mathbf {r})}}={frac {partial }{partial rho (mathbf {r} ')}}left({frac {rho (mathbf {r} ')}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}right)={frac {1}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|}}.}

Energía cinética funcional de Weizsäcker

En 1935, von Weizsäcker propuso agregar una corrección de gradiente al funcional de energía cinética de Thomas-Fermi para que se adaptara mejor a una nube de electrones moleculares:

{displaystyle T_{mathrm {W} }[rho ]={frac {1}{8}}int {frac {nabla rho (mathbf {r})cdot nabla rho (mathbf {r})}{rho (mathbf {r})}}dmathbf {r} =int t_{mathrm {W} } dmathbf {r} ,,}

{displaystyle t_{mathrm {W} }equiv {frac {1}{8}}{frac {nabla rho cdot nabla rho }{rho }}qquad {text{and}} rho =rho ({boldsymbol {r}}).}

{displaystyle {begin{aligned}{frac {delta T_{mathrm {W} }}{delta rho ({boldsymbol {r}})}}&={frac {partial t_{mathrm {W} }}{partial rho }}-nabla cdot {frac {partial t_{mathrm {W} }}{partial nabla rho }}\&=-{frac {1}{8}}{frac {nabla rho cdot nabla rho }{rho ^{2}}}-left({frac {1}{4}}{frac {nabla ^{2}rho }{rho }}-{frac {1}{4}}{frac {nabla rho cdot nabla rho }{rho ^{2}}}right)qquad {text{where}} nabla ^{2}=nabla cdot nabla \end{aligned}}}

{displaystyle {frac {delta T_{mathrm {W} }}{delta rho ({boldsymbol {r}})}}= ,{frac {1}{8}}{frac {nabla rho cdot nabla rho }{rho ^{2}}}-{frac {1}{4}}{frac {nabla ^{2}rho }{rho }}.}

Entropía

La entropía de una variable aleatoria discreta es un funcional de la función de masa de probabilidad.

{displaystyle H[p(x)]=-sum _{x}p(x)log p(x)}

{displaystyle {begin{aligned}sum _{x}{frac {delta H}{delta p(x)}},phi (x)&{}=left[{frac {d}{depsilon }}H[p(x)+epsilon phi (x)]right]_{epsilon =0}\&{}=left[-,{frac {d}{dvarepsilon }}sum _{x},[p(x)+varepsilon phi (x)] log[p(x)+varepsilon phi (x)]right]_{varepsilon =0}\&{}=-sum _{x},[1+log p(x)] phi (x),.end{aligned}}}

{displaystyle {frac {delta H}{delta p(x)}}=-1-log p(x).}

Exponencial

Dejar

{displaystyle F[varphi (x)]=e^{int varphi (x)g(x)dx}.}

Utilizando la función delta como función de prueba,

{displaystyle {begin{aligned}{frac {delta F[varphi (x)]}{delta varphi (y)}}&{}=lim _{varepsilon to 0}{frac {F[varphi (x)+varepsilon delta (x-y)]-F[varphi (x)]}{varepsilon }}\&{}=lim _{varepsilon to 0}{frac {e^{int (varphi (x)+varepsilon delta (x-y))g(x)dx}-e^{int varphi (x)g(x)dx}}{varepsilon }}\&{}=e^{int varphi (x)g(x)dx}lim _{varepsilon to 0}{frac {e^{varepsilon int delta (x-y)g(x)dx}-1}{varepsilon }}\&{}=e^{int varphi (x)g(x)dx}lim _{varepsilon to 0}{frac {e^{varepsilon g(y)}-1}{varepsilon }}\&{}=e^{int varphi (x)g(x)dx}g(y).end{aligned}}}

Por lo tanto,

{displaystyle {frac {delta F[varphi (x)]}{delta varphi (y)}}=g(y)F[varphi (x)].}

Esto es especialmente útil para calcular las funciones de correlación a partir de la función de partición en la teoría cuántica de campos.

Derivada funcional de una función

Una función se puede escribir en forma de integral como un funcional. Por ejemplo,

{displaystyle rho ({boldsymbol {r}})=F[rho ]=int rho ({boldsymbol {r}}')delta ({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}'),d{boldsymbol {r}}'.}

******

() r)

{displaystyle {begin{aligned}{frac {delta rho ({boldsymbol {r}})}{delta rho ({boldsymbol {r}}')}}equiv {frac {delta F}{delta rho ({boldsymbol {r}}')}}&={frac {partial }{partial rho ({boldsymbol {r}}')}},[rho ({boldsymbol {r}}')delta ({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}')]\&=delta ({boldsymbol {r}}-{boldsymbol {r}}').end{aligned}}}

Derivada funcional de función iterada

El derivado funcional de la función iterada ${displaystyle f(f(x))}$ es dado por:

{displaystyle {frac {delta f(f(x))}{delta f(y)}}=f'(f(x))delta (x-y)+delta (f(x)-y)}

{displaystyle {frac {delta f(f(f(x)))}{delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))delta (x-y)+delta (f(x)-y))+delta (f(f(x))-y)}

En general:

{displaystyle {frac {delta f^{N}(x)}{delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){frac {delta f^{N-1}(x)}{delta f(y)}}+delta (f^{N-1}(x)-y)}

Poner $N = 0$ da:

{displaystyle {frac {delta f^{-1}(x)}{delta f(y)}}=-{frac {delta (f^{-1}(x)-y)}{f'(f^{-1}(x))}}}

Uso de la función delta como función de prueba

En física, es común utilizar la función Dirac delta $delta(x-y)$ en lugar de una función de prueba genérica $phi (x)$ , para producir el derivado funcional en el punto $y$ (este es un punto de todo el derivado funcional como un derivado parcial es un componente del gradiente):

{displaystyle {frac {delta F[rho (x)]}{delta rho (y)}}=lim _{varepsilon to 0}{frac {F[rho (x)+varepsilon delta (x-y)]-F[rho (x)]}{varepsilon }}.}

Esto funciona en casos cuando $F[rho(x)+varepsilon f(x)]$ formalmente se puede ampliar como una serie (o al menos hasta el primer orden) en $varepsilon$ . Sin embargo, la fórmula no es matemáticamente rigurosa, ya que $F[rho(x)+varepsilondelta(x-y)]$ generalmente ni siquiera se define.

La definición dada en una sección anterior se basa en una relación que mantiene para todas las funciones de prueba $phi (x)$ , por lo que uno podría pensar que debe mantener también cuando $phi (x)$ es elegido para ser una función específica como la función delta. Sin embargo, este último no es una función de prueba válida (ni siquiera es una función adecuada).

En la definición, el derivado funcional describe cómo el funcional ${displaystyle F[rho (x)]}$ cambios como resultado de un pequeño cambio en toda la función $rho (x)$ . La forma particular del cambio en $rho (x)$ no se especifica, pero debe extenderse sobre todo el intervalo en el que $x$ se define. Emplear la forma particular de la perturbación dada por la función del delta tiene el significado de que $rho (x)$ es variado sólo en el punto $y$ . Excepto por este punto, no hay variación en $rho (x)$ .

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