Derivada formal

En matemáticas, la derivada formal es una operación sobre elementos de un anillo polinomial o un anillo de series de potencias formales que imita la forma de la derivada del cálculo. Aunque parecen similares, la ventaja algebraica de una derivada formal es que no se basa en la noción de límite, que en general es imposible de definir para un anillo. Muchas de las propiedades de la derivada son ciertas para la derivada formal, pero algunas, especialmente aquellas que hacen enunciados numéricos, no lo son.

La diferenciación formal se utiliza en álgebra para probar múltiples raíces de un polinomio.

Definición

Arregla un anillo ${\displaystyle R.$ (no necesariamente conmutativo) y ${\displaystyle A=R[x]}$ ser el anillo de los polinomios sobre ${\displaystyle R.$. (Si) ${\displaystyle R.$ no es conmutativo, este es el álgebra libre sobre una única variable indeterminada.)

Entonces el derivado formal es una operación sobre elementos de ${\displaystyle A}$, donde si

${\displaystyle f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

entonces su derivada formal es

${\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +ia_{i}x^{i-1}+\cdots - Sí.$

En la definición anterior, para cualquier entero no negativo ${\displaystyle i}$ y ${\displaystyle r\in R}$, ${\displaystyle ir}$ se define como de costumbre en un anillo: ${\displaystyle ir=\underbrace {r+\cdots +r} ¿Por qué?$ (con ${\displaystyle ir=0}$ si ${\displaystyle i=0}$).

Esta definición también funciona si ${\displaystyle R.$ no tiene una identidad multiplicativa (es decir, ${\displaystyle R.$ es un rng).

Definición axiomática alternativa

También se puede definir el derivado formal axiomáticamente como el mapa ${\displaystyle (\ast)}\colon R[x]\to R[x]}$ satisfaciendo las siguientes propiedades.

1. ${\displaystyle r'=0}$ para todos ${\displaystyle r\in R\subset R[x].}$
2. El axioma de normalización, ${\displaystyle x'=1.}$
3. El mapa se comunica con la operación adicional en el anillo polinomio, ${\displaystyle (a+b)'=a'+b'}$
4. El mapa satisface la ley de Leibniz con respecto a la operación de multiplicación del anillo polinomio, ${\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'}$

Se puede demostrar que esta definición axiomática produce un mapa bien definido respetando todos los axiomas de anillo habituales.

La fórmula anterior (es decir, la definición de la derivada formal cuando el anillo de coeficientes es conmutativo) es una consecuencia directa de los axiomas antes mencionados:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum) - ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ##### ########################################################################################################################################################################################################################################################### ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?$

Propiedades

Se puede comprobar que:

• La diferenciación formal es lineal: para cualquier dos polinomios f()x),g()xEn R[x] y elementos r,s de R tenemos

${\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x). }$

• El derivado formal satisface la regla del producto:

${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x). }$

Note el orden de los factores; cuando R no es conmutativo esto es importante.

Estas dos propiedades hacen de D una derivación de A (consulte el módulo de formas diferenciales relativas para una discusión sobre una generalización).

Tenga en cuenta que el derivado formal no es un homomorfismo de anillo, porque la regla del producto es diferente de decir (y no es el caso) que ${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g'}$. Sin embargo, es un homomorfismo (mapa lineal) de R-modules, por las reglas anteriores.

Aplicación a la búsqueda de factores repetidos

Al igual que en el cálculo, la derivada detecta múltiples raíces. Si R es un campo entonces R[x] es un dominio euclidiano, y en esta situación podemos definir multiplicidad de raíces; para cada polinomio f(x) en R[x] y cada elemento r de R, existe un entero no negativo m_r y un polinomio g(x) tal que

${\displaystyle f(x)=(x-r)^{m_{r}g(x)}$

dónde g(r) ≠ 0. m_r es la multiplicidad de r como raíz de f. De la regla de Leibniz se desprende que en esta situación, m_r es también el número de diferenciaciones que se deben realizar en f( x) antes de r ya no es una raíz del polinomio resultante. La utilidad de esta observación es que, aunque en general no todo polinomio de grado n en R[x] tiene n > raíces que cuentan la multiplicidad (este es el máximo, según el teorema anterior), podemos pasar a extensiones de campo en las que esto es cierto (es decir, cierres algebraicos). Una vez que lo hagamos, podemos descubrir una raíz múltiple que no era una raíz en absoluto simplemente sobre R. Por ejemplo, si R es el cuerpo finito con tres elementos, el polinomio

${\displaystyle f(x)\,=\,x^{6}+1}$

no tiene raíces R; sin embargo, su derivación formal (${\displaystyle f'(x)\,=\,6x^{5}$) es cero desde 3 = 0 R y en cualquier extensión de R, así que cuando pasamos al cierre algebraico tiene una raíz múltiple que no pudo haber sido detectada por factorización en R en sí mismo. Así, la diferenciación formal permite una noción efectiva de la multiplicidad. Esto es importante en la teoría de Galois, donde se hace la distinción entre extensiones de campo separables (definidas por polinomios sin múltiples raíces) y inseparables.

Correspondencia a la derivada analítica

Cuando el anillo R de escalares es conmutativo, existe una definición alternativa y equivalente de la derivada formal, que se parece a la que se ve en el cálculo diferencial. El elemento Y–X del anillo R[X,Y] divide Yⁿ – Xⁿ para cualquier entero no negativo n y, por lo tanto, divide f(Y) – f(X) para cualquier polinomio f en un indeterminado. Si el cociente en R[X,Y] se denota por g, entonces

${\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}}$

Entonces no es difícil comprobar que g(X,X) (en R[X]) coincide con la derivada formal de f como se definió anteriormente.

Esta formulación de la derivada funciona igualmente bien para una serie de potencias formal, siempre que el anillo de coeficientes sea conmutativo.

En realidad, si la división en esta definición se lleva a cabo en la clase de funciones ${\displaystyle Sí.$ continuo ${\displaystyle X}$, recapturará la definición clásica del derivado. Si se realiza en la clase de funciones continuas en ambas ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Sí.$, tenemos diferenciabilidad uniforme, y la función ${\displaystyle f}$ será continuamente diferente. Asimismo, al elegir diferentes clases de funciones (por ejemplo, la clase Lipschitz), obtenemos diferentes sabores de diferenciabilidad. De esta manera, la diferenciación se convierte en parte del álgebra de funciones.