Derivada covariante

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Especificación de un derivado a lo largo de un vector tangente de un múltiple

En matemáticas, la derivada covariante es una forma de especificar una derivada a lo largo de vectores tangentes de una variedad. Alternativamente, la derivada covariante es una forma de introducir y trabajar con una conexión en una variedad mediante un operador diferencial, que se contrasta con el enfoque dado por una conexión principal en el haz de marcos (ver conexión afín). En el caso especial de una variedad incrustada isométricamente en un espacio euclidiano de dimensiones superiores, la derivada covariante puede verse como la proyección ortogonal de la derivada direccional euclidiana sobre el espacio tangente de la variedad. En este caso, la derivada euclidiana se divide en dos partes, el componente normal extrínseco (dependiente de la incrustación) y el componente derivado covariante intrínseco.

El nombre está motivado por la importancia de los cambios de coordenadas en física: la derivada covariante se transforma covariantemente bajo una transformación de coordenadas general, es decir, linealmente a través de la matriz jacobiana de la transformación.

Este artículo presenta una introducción a la derivada covariante de un campo vectorial con respecto a un campo vectorial, tanto en un lenguaje libre de coordenadas como utilizando un sistema de coordenadas local y la notación de índice tradicional. La derivada covariante de un campo tensor se presenta como una extensión del mismo concepto. La derivada covariante se generaliza directamente a una noción de diferenciación asociada a una conexión en un paquete de vectores, también conocida como conexión de Koszul.

Historia

Históricamente, a principios del siglo XX, la derivada covariante fue introducida por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita en la teoría de la geometría riemanniana y pseudoriemanniana. Ricci y Levi-Civita (siguiendo las ideas de Elwin Bruno Christoffel) observaron que los símbolos de Christoffel utilizados para definir la curvatura también podrían proporcionar una noción de diferenciación que generalizara la derivada direccional clásica de campos vectoriales en una variedad. Esta nueva derivada –la conexión Levi-Civita– era covariante en el sentido de que satisfacía el requisito de Riemann de que los objetos en geometría debían ser independientes de su descripción en un sistema de coordenadas particular.

Pronto otros matemáticos, entre los que se destacan Hermann Weyl, Jan Arnoldus Schouten y Élie Cartan, notaron que una derivada covariante podía definirse de manera abstracta sin la presencia de una métrica. La característica crucial no fue una dependencia particular de la métrica, sino que los símbolos de Christoffel cumplían una cierta ley precisa de transformación de segundo orden. Esta ley de transformación podría servir como punto de partida para definir la derivada de forma covariante. Así, la teoría de la diferenciación covariante se separó del contexto estrictamente riemanniano para incluir una gama más amplia de geometrías posibles.

En la década de 1940, los practicantes de la geometría diferencial comenzaron a introducir otras nociones de diferenciación covariante en paquetes de vectores generales que, a diferencia de los paquetes clásicos de interés para los geómetras, no formaban parte del análisis tensorial de la variedad. En general, estas derivadas covariantes generalizadas tuvieron que ser especificadas ad hoc por alguna versión del concepto de conexión. En 1950, Jean-Louis Koszul unificó estas nuevas ideas de diferenciación covariante en un fibrado vectorial mediante lo que hoy se conoce como conexión de Koszul o conexión sobre un fibrado vectorial. Utilizando ideas de la cohomología del álgebra de Lie, Koszul convirtió con éxito muchas de las características analíticas de la diferenciación covariante en características algebraicas. En particular, las conexiones de Koszul eliminaron la necesidad de manipulaciones incómodas de los símbolos de Christoffel (y otros objetos no tensoriales análogos) en geometría diferencial. Así, rápidamente suplantaron la noción clásica de derivada covariante en muchos tratamientos del tema posteriores a 1950.

Motivación

El covariante derivados es una generalización del derivado direccional del cálculo vectorial. Como con el derivado direccional, el derivado covariante es una regla, ${displaystyle nabla _{mathbf {u} }{mathbf {v} }}$ , que toma como sus insumos: (1) un vector, u, definido en un punto P, y (2) un campo vectorial v definido en un barrio P. La salida es el vector ${displaystyle nabla _{mathbf {u} }{mathbf {v} }(P)}$ , también en el punto P. La diferencia principal del derivado direccional habitual es que ${displaystyle nabla _{mathbf {u} }{mathbf {v} }}$ debe ser, en cierto sentido preciso, independiente de la manera en que se expresa en un sistema de coordinación.

Un vector puede describirse como una lista de números en términos de una base, pero como objeto geométrico el vector conserva su identidad independientemente de cómo se describa. Para un vector geométrico escrito en componentes con respecto a una base, cuando se cambia la base, los componentes se transforman de acuerdo con una fórmula de cambio de base, y las coordenadas sufren una transformación covariante. La derivada covariante debe transformarse, ante un cambio de coordenadas, mediante una transformación covariante de la misma manera que lo hace una base (de ahí el nombre).

En el caso del espacio euclidiano, normalmente se define la derivada direccional de un campo vectorial en términos de la diferencia entre dos vectores en dos puntos cercanos. En tal sistema uno traslada uno de los vectores al origen del otro, manteniéndolo paralelo y luego tomando su diferencia dentro del mismo espacio vectorial. Con un sistema de coordenadas cartesiano (ortonormal fijo) "manteniéndolo paralelo"; equivale a mantener constantes los componentes. Esta derivada direccional ordinaria en el espacio euclidiano es el primer ejemplo de derivada covariante.

A continuación, hay que tener en cuenta los cambios del sistema de coordenadas. Por ejemplo, si el plano euclidiano se describe mediante coordenadas polares, "mantenerlo paralelo" no equivale a mantener constantes los componentes polares bajo traslación, ya que la cuadrícula de coordenadas en sí misma "gira". Por lo tanto, la misma derivada covariante escrita en coordenadas polares contiene términos adicionales que describen cómo gira la cuadrícula de coordenadas, o cómo, en coordenadas más generales, la cuadrícula se expande, contrae, gira, se entrelaza, etc.

Considere el ejemplo de una partícula moviéndose a lo largo de una curva $γ () t)$ en el plano Euclideano. En coordenadas polares, $γ$ puede ser escrito en términos de sus coordenadas radiales y angulares por $γ () t) = r () t), Silencio () t)$ . Un vector en un momento particular $t$ (por ejemplo, una aceleración constante de la partícula) se expresa en términos de ${displaystyle (mathbf {e} _{r},mathbf {e} _{theta })}$ , donde ${displaystyle mathbf {e} _{r}}$ y ${displaystyle mathbf {e} _{theta }}$ son vectores unitarios tangentes para las coordenadas polares, sirviendo como base para descomponer un vector en términos de componentes radiales y tangenciales. En un momento ligeramente posterior, la nueva base en coordenadas polares aparece ligeramente rotada con respecto al primer set. El derivado covariante de los vectores de base (los símbolos Christoffel) sirven para expresar este cambio.

En un espacio curvo, como la superficie de la Tierra (considerada como una esfera), la traslación de vectores tangentes entre diferentes puntos no está bien definida, y su transporte analógico, paralelo, depende de la trayectoria por la que se traslada el vector. Un vector de un globo situado en el ecuador en el punto Q está dirigido hacia el norte. Supongamos que transportamos el vector (manteniéndolo paralelo) primero a lo largo del ecuador hasta el punto P, luego lo arrastramos a lo largo de un meridiano hasta el polo N y finalmente lo transportamos a lo largo de otro meridiano de regreso a Q. Luego notamos que el vector transportado en paralelo a lo largo de un circuito cerrado no regresa como el mismo vector; en cambio, tiene otra orientación. Esto no sucedería en el espacio euclidiano y es causado por la curvatura de la superficie del globo. El mismo efecto ocurre si arrastramos el vector a lo largo de una superficie cerrada infinitamente pequeña, luego en dos direcciones y luego de regreso. Este cambio infinitesimal del vector es una medida de la curvatura y se puede definir en términos de la derivada covariante.

Observaciones

La definición del derivado covariante no utiliza la métrica en el espacio. Sin embargo, para cada métrica hay un derivado covariante único libre de torsión llamado la conexión Levi-Civita tal que el derivado covariante de la métrica es cero.
Las propiedades de un derivado implican que ${displaystyle nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} }$ depende de los valores u en un barrio arbitrariamente pequeño de un punto p de la misma manera que el derivado de una función de escalar f a lo largo de una curva en un punto dado p depende de los valores f en un barrio arbitrariamente pequeño p.
La información sobre el barrio de un punto p en el derivado covariante se puede utilizar para definir el transporte paralelo de un vector. También se puede definir la curvatura, la torsión y la geodésica sólo en términos de la variación covariante derivada u otra variación relacionada en la idea de una conexión lineal.

Definición informal utilizando una incrustación en el espacio euclidiano

Suponga un subconjunto abierto $U$ of a $d$ -dimensional Manifold Riemanniano $M$ está incrustado en el espacio euclidiano ${displaystyle (mathbb {R} ^{n},langle cdotcdot rangle)}$ a través de un doble indiferenciable (C)²) cartografía ${displaystyle {vec {Psi }}:mathbb {R} ^{d}supset Uto mathbb {R} ^{n}}$ tal que el espacio tangente $vecPsi(p) in M$ es abarcado por los vectores

{displaystyle left{left.{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{i}}}right|_{p}:iin {1,dotsd}right}}

{displaystyle leftlangle cdotcdot rightrangle }

mathbb {R} ^{n}

{displaystyle g_{ij}=leftlangle {frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{i}}},{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{j}}}rightrangle.}

(Dado que siempre se supone que la métrica múltiple es regular, la condición de compatibilidad implica independencia lineal de los vectores tangentes de derivada parcial).

Para un campo vectorial tangente, ${displaystyle {vec {V}}=v^{j}{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{j}}}}$ , uno tiene

{displaystyle {frac {partial {vec {V}}}{partial x^{i}}}={frac {partial }{partial x^{i}}}left(v^{j}{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{j}}}right)={frac {partial v^{j}}{partial x^{i}}}{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{j}}}+v^{j}{frac {partial ^{2}{vec {Psi }}}{partial x^{i},partial x^{j}}}.}

El último término no es tangencial a M, pero se puede expresar como una combinación lineal de los vectores base del espacio tangente usando los símbolos de Christoffel como factores lineales más un vector ortogonal al espacio tangente:

{displaystyle {frac {partial ^{2}{vec {Psi }}}{partial x^{i},partial x^{j}}}={Gamma ^{k}}_{ij}{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{k}}}+{vec {n}}.}

En el caso de la conexión Levi-Civita, el derivado covariante ${displaystyle nabla _{mathbf {e} _{i}}{vec {V}}}$ , también escrito $nabla _{i}{vec V}$ , se define como la proyección ortogonal del derivado habitual en el espacio tangente:

{displaystyle nabla _{mathbf {e} _{i}}{vec {V}}:={frac {partial {vec {V}}}{partial x^{i}}}-{vec {n}}=left({frac {partial v^{k}}{partial x^{i}}}+v^{j}{Gamma ^{k}}_{ij}right){frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{k}}}.}

Para obtener la relación entre los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita y la métrica, primero debemos notar que, $vec n$ en la ecuación anterior es ortogonal al espacio tangente:

{displaystyle leftlangle {frac {partial ^{2}{vec {Psi }}}{partial x^{i},partial x^{j}}},{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{l}}}rightrangle =leftlangle {Gamma ^{k}}_{ij}{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{k}}}+{vec {n}},{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{l}}}rightrangle ={Gamma ^{k}}_{ij}leftlangle {frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{k}}},{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{l}}}rightrangle ={Gamma ^{k}}_{ij},g_{kl}.}

En segundo lugar, la derivada parcial de un componente de la métrica es:

{displaystyle {frac {partial g_{ab}}{partial x^{c}}}={frac {partial }{partial x^{c}}}leftlangle {frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{a}}},{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{b}}}rightrangle =leftlangle {frac {partial ^{2}{vec {Psi }}}{partial x^{c},partial x^{a}}},{frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{b}}}rightrangle +leftlangle {frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{a}}},{frac {partial ^{2}{vec {Psi }}}{partial x^{c},partial x^{b}}}rightrangle }

implica una base ${displaystyle x^{i},x^{j},x^{k}}$ , usando la simetría del producto del cuero cabelludo y intercambiando el orden de diferenciación parcial:

{displaystyle {begin{pmatrix}{frac {partial g_{jk}}{partial x^{i}}}\{frac {partial g_{ki}}{partial x^{j}}}\{frac {partial g_{ij}}{partial x^{k}}}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}0&1&1\1&0&1\1&1&0end{pmatrix}}{begin{pmatrix}leftlangle {frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{i}}},{frac {partial ^{2}{vec {Psi }}}{partial x^{j},partial x^{k}}}rightrangle \leftlangle {frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{j}}},{frac {partial ^{2}{vec {Psi }}}{partial x^{k},partial x^{i}}}rightrangle \leftlangle {frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{k}}},{frac {partial ^{2}{vec {Psi }}}{partial x^{i},partial x^{j}}}rightrangle end{pmatrix}}}

{displaystyle {frac {partial g_{jk}}{partial x^{i}}}+{frac {partial g_{ki}}{partial x^{j}}}-{frac {partial g_{ij}}{partial x^{k}}}=2leftlangle {frac {partial {vec {Psi }}}{partial x^{k}}},{frac {partial ^{2}{vec {Psi }}}{partial x^{i},partial x^{j}}}rightrangle }

y proporciona los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita en términos de la métrica:

{displaystyle g_{kl}{Gamma ^{k}}_{ij}={frac {1}{2}}left({frac {partial g_{jl}}{partial x^{i}}}+{frac {partial g_{li}}{partial x^{j}}}-{frac {partial g_{ij}}{partial x^{l}}}right).}

Para ver un ejemplo muy sencillo que capta la esencia de la descripción anterior, dibuje un círculo en una hoja de papel plana. Viaja alrededor del círculo a una velocidad constante. La derivada de tu velocidad, tu vector de aceleración, siempre apunta radialmente hacia adentro. Enrolle esta hoja de papel hasta formar un cilindro. Ahora bien, la derivada (euclidiana) de tu velocidad tiene una componente que a veces apunta hacia adentro, hacia el eje del cilindro, dependiendo de si estás cerca de un solsticio o de un equinoccio. (En el punto del círculo cuando te mueves paralelo al eje, no hay aceleración hacia adentro. Por el contrario, en un punto (1/4 de círculo más adelante) cuando la velocidad está a lo largo de la curva del cilindro, la La aceleración hacia adentro es máxima.) Este es el componente normal (euclidiano). El componente derivado covariante es el componente paralelo a la superficie del cilindro y es el mismo que antes de enrollar la hoja hasta formar un cilindro.

Definición formal

Una derivada covariante es una conexión (Koszul) en el fibrado tangente y otros fibrados tensoriales: diferencia campos vectoriales de una manera análoga a la diferencial habitual en funciones. La definición se extiende a una diferenciación en el dual de campos vectoriales (es decir, campos covectores) y a campos tensoriales arbitrarios, de una manera única que garantiza la compatibilidad con el producto tensorial y las operaciones de traza (contracción tensorial).

Funciones

Dado un punto $pin M$ del múltiple $M$ , una función real ${displaystyle f:Mto mathbb {R} }$ en el múltiple y un vector tangente ${displaystyle mathbf {v} in T_{p}M}$ , el derivado covariante de $f$ a $p$ y $v$ es el cuero cabelludo $p$ , denotado ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }fright)_{p}}$ , que representa la parte principal del cambio en el valor f cuando el argumento de $f$ es cambiado por el vector de desplazamiento infinitesimal $v$ . (Esta es la diferencia $f$ evaluado contra el vector $v$ .) Formally, hay una curva diferente ${displaystyle phi:[-1,1]to M}$ tales que ${displaystyle phi (0)=p}$ y ${displaystyle phi '(0)=mathbf {v} }$ , y el derivado covariante de f a p se define por

{displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }fright)_{p}=left(fcirc phi right)'left(0right)=lim _{tto 0}{frac {f(phi left(tright))-f(p)}{t}}.}

Cuando ${displaystyle mathbf {v}:Mto T_{p}M}$ es un campo vectorial en $M$ , el derivado covariante ${displaystyle nabla _{mathbf {v} }f:Mto mathbb {R} }$ es la función que se asocia con cada punto p en el dominio común de f y v el escalar ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }fright)_{p}}$ .

Para una función de escalar f and vector field v, el derivado covariante ${displaystyle nabla _{mathbf {v} }f}$ coincide con el derivado de Lie ${displaystyle L_{v}(f)}$ , y con el derivado exterior ${displaystyle df(v)}$ .

Campos vectoriales

Dado un punto $p$ del múltiple $M$ , un campo vectorial ${displaystyle mathbf {u}:Mto T_{p}M}$ definido en un barrio p y un vector tangente ${displaystyle mathbf {v} in T_{p}M}$ , el derivado covariante de u a p y v es el vector tangente p, denotado ${displaystyle (nabla _{mathbf {v} }mathbf {u})_{p}}$ , tal que las siguientes propiedades sostienen (para cualquier vector tangente v, x y Sí. a p, campos vectoriales u y w definido en un barrio p, valores de escalar g y h a p, y función de escalar f definido en un barrio p):

${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}}$ es lineal en $mathbf {v}$ Así que... ${displaystyle left(nabla _{gmathbf {x} +hmathbf {y} }mathbf {u} right)_{p}=g(p)left(nabla _{mathbf {x} }mathbf {u} right)_{p}+h(p)left(nabla _{mathbf {y} }mathbf {u} right)_{p}}$
${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}}$ es aditivo en $mathbf {u}$ así: ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }left[mathbf {u} +mathbf {w} right]right)_{p}=left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}+left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {w} right)_{p}}$
${displaystyle (nabla _{mathbf {v} }mathbf {u})_{p}}$ obedece la regla del producto; es decir, donde ${displaystyle nabla _{mathbf {v} }f}$ se define más arriba, ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }left[fmathbf {u} right]right)_{p}=f(p)left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u})_{p}+(nabla _{mathbf {v} }fright)_{p}mathbf {u} _{p}.}$

Note que ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}}$ depende no sólo del valor u a p pero también sobre valores u en un barrio infinitesimal p por la última propiedad, la regla del producto.

Si $u$ y $v$ ambos campos vectoriales definidos sobre un dominio común, entonces ${displaystyle nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} }$ denota el campo vectorial cuyo valor en cada punto p del dominio es el vector tangente ${displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}}$ .

Campos covectores

Dado un campo de covectores (o una forma) $alpha$ definido en un barrio p, su derivado covariante ${displaystyle (nabla _{mathbf {v} }alpha)_{p}}$ se define de manera que la operación resultante sea compatible con la contracción de tensor y la regla del producto. Eso es, ${displaystyle (nabla _{mathbf {v} }alpha)_{p}}$ se define como la única forma p tal que la siguiente identidad esté satisfecha para todos los campos vectoriales u en un barrio p

{displaystyle left(nabla _{mathbf {v} }alpha right)_{p}left(mathbf {u} _{p}right)=nabla _{mathbf {v} }left[alpha left(mathbf {u} right)right]_{p}-alpha _{p}left[left(nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} right)_{p}right].}

La derivada covariante de un campo covector a lo largo de un campo vectorial $v$ es nuevamente un campo covector.

Campos tensoriales

Una vez que el derivado covariante se define para campos de vectores y covectores se puede definir para campos de tensor arbitrarios imponiendo las siguientes identidades para cada par de campos de tensores $varphi$ y $psi$ en un barrio del punto p:

{displaystyle nabla _{mathbf {v} }left(varphi otimes psi right)_{p}=left(nabla _{mathbf {v} }varphi right)_{p}otimes psi (p)+varphi (p)otimes left(nabla _{mathbf {v} }psi right)_{p},}

varphi

psi

{displaystyle nabla _{mathbf {v} }(varphi +psi)_{p}=(nabla _{mathbf {v} }varphi)_{p}+(nabla _{mathbf {v} }psi)_{p}.}

Explícitamente, sea T un campo tensor de tipo (p, q). Considere que T es un mapa multilineal diferenciable de secciones suaves α¹, α², …, α^q del paquete cotangente T^∗ M y de las secciones X₁, X₂, …, X_p del paquete tangente TM, escrito T(α¹, α², …, X₁, X₂,…) en R. La derivada covariante de T a lo largo de Y viene dada por la fórmula

{displaystyle {begin{aligned}(nabla _{Y}T)left(alpha _{1},alpha _{2},ldotsX_{1},X_{2},ldots right)=&{}nabla _{Y}left(Tleft(alpha _{1},alpha _{2},ldotsX_{1},X_{2},ldots right)right)\&{}-Tleft(nabla _{Y}alpha _{1},alpha _{2},ldotsX_{1},X_{2},ldots right)-Tleft(alpha _{1},nabla _{Y}alpha _{2},ldotsX_{1},X_{2},ldots right)-cdots \&{}-Tleft(alpha _{1},alpha _{2},ldotsnabla _{Y}X_{1},X_{2},ldots right)-Tleft(alpha _{1},alpha _{2},ldotsX_{1},nabla _{Y}X_{2},ldots right)-cdots end{aligned}}}

Descripción de coordenadas

Funciones de coordenadas dadas

{displaystyle x^{i}, i=0,1,2,dots}

{displaystyle mathbf {e} _{i}={frac {partial }{partial x^{i}}}.}

El derivado covariante de un vector de base a lo largo de un vector de base es de nuevo un vector y así se puede expresar como una combinación lineal ${displaystyle Gamma ^{k}mathbf {e} _{k}}$ . Para especificar el derivado covariante es suficiente especificar el derivado covariante de cada campo vectorial base $mathbf {e} _{i}$ y ${displaystyle mathbf {e} _{j}}$ .

{displaystyle nabla _{mathbf {e} _{j}}mathbf {e} _{i}={Gamma ^{k}}_{ij}mathbf {e} _{k},}

los coeficientes ${displaystyle Gamma _{ij}^{k}}$ son los componentes de la conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales. En la teoría de los múltiples Riemannianos y pseudo-Riemannianos, los componentes de la conexión Levi-Civita con respecto a un sistema de coordenadas locales se llaman símbolos Christoffel.

Luego utilizando las reglas en la definición, encontramos que para los campos vectoriales generales ${displaystyle mathbf {v} =v^{j}mathbf {e} _{j}}$ y ${displaystyle mathbf {u} =u^{i}mathbf {e} _{i}}$ nosotros

{displaystyle {begin{aligned}nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} &=nabla _{v^{j}mathbf {e} _{j}}u^{i}mathbf {e} _{i}\&=v^{j}nabla _{mathbf {e} _{j}}u^{i}mathbf {e} _{i}\&=v^{j}u^{i}nabla _{mathbf {e} _{j}}mathbf {e} _{i}+v^{j}mathbf {e} _{i}nabla _{mathbf {e} _{j}}u^{i}\&=v^{j}u^{i}{Gamma ^{k}}_{ij}mathbf {e} _{k}+v^{j}{partial u^{i} over partial x^{j}}mathbf {e} _{i}end{aligned}}}

entonces

{displaystyle nabla _{mathbf {v} }mathbf {u} =left(v^{j}u^{i}{Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j}{partial u^{k} over partial x^{j}}right)mathbf {e} _{k}.}

El primer término de esta fórmula es responsable de "torcer" el sistema de coordenadas con respecto a la derivada covariante y el segundo para cambios de componentes del campo vectorial u. En particular

{displaystyle nabla _{mathbf {e} _{j}}mathbf {u} =nabla _{j}mathbf {u} =left({frac {partial u^{i}}{partial x^{j}}}+u^{k}{Gamma ^{i}}_{kj}right)mathbf {e} _{i}}

En palabras: la derivada covariante es la derivada habitual a lo largo de las coordenadas con términos de corrección que indican cómo cambian las coordenadas.

Para covectores de manera similar tenemos

{displaystyle nabla _{mathbf {e} _{j}}{mathbf {theta } }=left({frac {partial theta _{i}}{partial x^{j}}}-theta _{k}{Gamma ^{k}}_{ij}right){mathbf {e} ^{*}}^{i}}

Donde ${displaystyle {mathbf {e} ^{*}}^{i}(mathbf {e} _{j})={delta ^{i}}_{j}}$ .

El derivado covariante de un tipo $() r, s)$ campo de tensor $e_c$ es dada por la expresión:

{displaystyle {begin{aligned}{(nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s}}={}&{frac {partial }{partial x^{c}}}{T^{a_{1}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s}}\&+,{Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s}}+cdots +{Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}ldots b_{s}}\&-,{Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}ldots a_{r}}}_{db_{2}ldots b_{s}}-cdots -{Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s-1}d}.end{aligned}}}

O, en palabras: tome el derivado parcial del tensor y agregue: ${displaystyle +{Gamma ^{a_{i}}}_{dc}}$ para cada índice superior $a_{i}$ , y ${displaystyle -{Gamma ^{d}}_{b_{i}c}}$ para cada índice inferior $b_{i}$ .

Si en lugar de un tensor se intenta diferenciar una densidad tensor (de peso +1), entonces se añade también un término

{displaystyle -{Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}ldots a_{r}}}_{b_{1}ldots b_{s}}.}

{textstyle {sqrt {-g}}}

{displaystyle left({sqrt {-g}}right)_{;c}=left({sqrt {-g}}right)_{,c}-{sqrt {-g}},{Gamma ^{d}}_{dc}}

donde punto y coma ";" indica diferenciación covariante y coma "," indica diferenciación parcial. Por cierto, esta expresión particular es igual a cero, porque la derivada covariante de una función únicamente de la métrica es siempre cero.

Notación

En los libros de texto de física, la derivada covariante a veces se expresa simplemente en términos de sus componentes en esta ecuación.

A menudo se utiliza una notación en la que la derivada covariante se indica con un punto y coma, mientras que una derivada parcial normal se indica con una coma. En esta notación escribimos lo mismo que:

{displaystyle nabla _{e_{j}}mathbf {v} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {v^{s}}_{;j}mathbf {e} _{s};;;;;;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{Gamma ^{i}}_{kj}}

{displaystyle nabla _{e_{k}}left(nabla _{e_{j}}mathbf {v} right) {stackrel {mathrm {def} }{=}} {v^{s}}_{;jk}mathbf {e} _{s}}

En algunos textos más antiguos (en particular, Adler, Bazin & Schiffer, Introducción a la relatividad general), la derivada covariante se denota mediante un tubo doble y la derivada parcial mediante un tubo único:

{displaystyle nabla _{e_{j}}mathbf {v} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {v^{i}}_{||j}={v^{i}}_{|j}+v^{k}{Gamma ^{i}}_{kj}}

Derivada covariante por tipo de campo

Para un campo de escalar $phi ,$ , diferenciación covariante es simplemente diferenciación parcial:

{displaystyle phi _{;a}equiv partial _{a}phi }

Para un campo vectorial contravariante ${displaystyle lambda ^{a}}$ , tenemos:

{displaystyle {lambda ^{a}}_{;b}equiv partial _{b}lambda ^{a}+{Gamma ^{a}}_{bc}lambda ^{c}}

Para un campo vectorial covariante $lambda _{a}$ , tenemos:

{displaystyle lambda _{a;c}equiv partial _{c}lambda _{a}-{Gamma ^{b}}_{ca}lambda _{b}}

Para un campo de tensor tipo (2,0) ${displaystyle tau ^{ab}}$ , tenemos:

{displaystyle {tau ^{ab}}_{;c}equiv partial _{c}tau ^{ab}+{Gamma ^{a}}_{cd}tau ^{db}+{Gamma ^{b}}_{cd}tau ^{ad}}

Para un campo de tensor tipo (0,2) ${displaystyle tau _{ab}}$ , tenemos:

{displaystyle tau _{ab;c}equiv partial _{c}tau _{ab}-{Gamma ^{d}}_{ca}tau _{db}-{Gamma ^{d}}_{cb}tau _{ad}}

Para un tipo (1,1) campo de tensor ${displaystyle {tau ^{a}}_{b}}$ , tenemos:

{displaystyle {tau ^{a}}_{b;c}equiv partial _{c}{tau ^{a}}_{b}+{Gamma ^{a}}_{cd}{tau ^{d}}_{b}-{Gamma ^{d}}_{cb}{tau ^{a}}_{d}}

La notación anterior tiene el sentido

{displaystyle {tau ^{ab}}_{;c}equiv left(nabla _{mathbf {e} _{c}}tau right)^{ab}}

Propiedades

En general, los derivados covariantes no se comunican. Por ejemplo, los derivados covariantes del campo vectorial ${displaystyle lambda _{a;bc}neq lambda _{a;cb}}$ . El tensor Riemann ${displaystyle {R^{d}}_{abc}}$ se define de tal manera que:

{displaystyle lambda _{a;bc}-lambda _{a;cb}={R^{d}}_{abc}lambda _{d}}

o, equivalentemente,

{displaystyle {lambda ^{a}}_{;bc}-{lambda ^{a}}_{;cb}=-{R^{a}}_{dbc}lambda ^{d}}

La derivada covariante de un campo tensor (2,0) cumple:

{displaystyle {tau ^{ab}}_{;cd}-{tau ^{ab}}_{;dc}=-{R^{a}}_{ecd}tau ^{eb}-{R^{b}}_{ecd}tau ^{ae}}

Este último puede demostrarse tomando (sin pérdida de generalidad) que ${displaystyle tau ^{ab}=lambda ^{a}mu ^{b}}$ .

Derivada a lo largo de una curva

Desde el derivado covariante ${displaystyle nabla _{X}T}$ de un campo de tensor $T$ en un momento $p$ depende sólo del valor del campo vectorial $X$ a $p$ uno puede definir el derivado covariante a lo largo de una curva suave $gamma (t)$ en un manifold:

{displaystyle D_{t}T=nabla _{{dot {gamma }}(t)}T.}

T

gamma (t)

En particular, $dot{gamma}(t)$ es un campo vectorial a lo largo de la curva $gamma$ en sí mismo. Si $nabla_{dotgamma(t)}dotgamma(t)$ desaparece entonces la curva se llama geodésica del derivado covariante. Si el derivado covariante es la conexión Levi-Civita de una métrica positiva-definida entonces la geodésica para la conexión son precisamente la geodésica de la métrica que se parametriza por longitud de arco.

La derivada a lo largo de una curva también se utiliza para definir el transporte paralelo a lo largo de la curva.

A veces, la derivada covariante a lo largo de una curva se llama absoluta o derivada intrínseca.

Relación con el derivado de Lie

Una derivada covariante introduce una estructura geométrica adicional en una variedad que permite comparar vectores en espacios tangentes vecinos: no existe una forma canónica de comparar vectores de diferentes espacios tangentes porque no existe un sistema de coordenadas canónico.

Sin embargo, existe otra generalización de las derivadas direccionales que es canónica: la derivada de Lie, que evalúa el cambio de un campo vectorial a lo largo del flujo de otro campo vectorial. Por lo tanto, se deben conocer ambos campos vectoriales en una vecindad abierta, no simplemente en un solo punto. La derivada covariante, por otro lado, introduce su propio cambio para los vectores en una dirección dada, y solo depende de la dirección del vector en un único punto, en lugar de un campo vectorial en una vecindad abierta de un punto. En otras palabras, la derivada covariante es lineal (sobre C^∞(M)) en el argumento de dirección, mientras que la derivada de Lie es lineal en ninguno de los argumentos.

Tenga en cuenta que la derivada covariante antisimetrizada $\nabla u v - \nabla v u$ y la derivada de Lie $L u v$ difieren por la torsión de la conexión, de modo que si una conexión está libre de torsión, entonces su antisimetrización es la derivada de Lie.

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