Dependencia de la temperatura de la viscosidad.
La viscosidad depende en gran medida de la temperatura. En los líquidos suele disminuir al aumentar la temperatura, mientras que, en la mayoría de los gases, la viscosidad aumenta al aumentar la temperatura. Este artículo analiza varios modelos de esta dependencia, que van desde cálculos rigurosos de primeros principios para gases monoatómicos hasta correlaciones empíricas para líquidos.
Comprender la dependencia de la viscosidad con la temperatura es importante para muchas aplicaciones, por ejemplo, diseñar lubricantes que funcionen bien en condiciones de temperatura variables (como en el motor de un automóvil), ya que el rendimiento de un lubricante depende en parte de su viscosidad. Los problemas de ingeniería de este tipo caen dentro del ámbito de la tribología.
Aquí la viscosidad dinámica se denota μ μ {displaystyle mu } y viscosidad cinemática por . . {displaystyle nu }. Las fórmulas dadas son válidas sólo para una escala de temperatura absoluta; por lo tanto, a menos que se indiquen temperaturas de otra índole en kelvins.
Causas físicas
La viscosidad en los gases surge de las moléculas que atraviesan capas de flujo y transfieren impulso entre capas. Esta transferencia de impulso puede considerarse como una fuerza de fricción entre capas de flujo. Dado que la transferencia de impulso es causada por el movimiento libre de las moléculas de gas entre colisiones, el aumento de la agitación térmica de las moléculas da como resultado una mayor viscosidad. Por tanto, la viscosidad gaseosa aumenta con la temperatura.
En los líquidos, las fuerzas viscosas son causadas por moléculas que ejercen fuerzas de atracción entre sí a través de capas de flujo. El aumento de la temperatura da como resultado una disminución de la viscosidad porque una temperatura más alta significa que las partículas tienen mayor energía térmica y son más fácilmente capaces de superar las fuerzas de atracción que las unen. Un ejemplo cotidiano de esta disminución de la viscosidad es el aceite de cocina que se mueve con mayor fluidez en una sartén caliente que en una fría.
Gases
La teoría cinética de los gases permite un cálculo preciso de la variación de temperatura de la viscosidad gaseosa. La base teórica de la teoría cinética viene dada por la ecuación de Boltzmann y la teoría de Chapman-Enskog, que permiten un modelado estadístico preciso de las trayectorias moleculares. En particular, dado un modelo para interacciones intermoleculares, se puede calcular con alta precisión la viscosidad de gases monoatómicos y otros gases simples (para gases más complejos, como los compuestos de moléculas polares, se deben introducir suposiciones adicionales que reducen la precisión de la teoría). ).
A continuación se describen las predicciones de viscosidad para cuatro modelos moleculares. Las predicciones de los tres primeros modelos (fábrica dura, ley de poder y Sutherland) se pueden expresar simplemente en términos de funciones elementales. El modelo Lennard-Jones predice un más complicado T{displaystyle T}-dependencia, pero es más exacta que los otros tres modelos y es ampliamente utilizado en la práctica de ingeniería.
Teoría cinética de esfera dura
Si uno modela moléculas de gas como esferas duras elásticas (con masa) m{displaystyle m} y diámetro σ σ {displaystyle sigma }), entonces la teoría cinética elemental predice que la viscosidad aumenta con la raíz cuadrada de la temperatura absoluta T{displaystyle T}:
- μ μ =1.016⋅ ⋅ 516σ σ 2()kBmTπ π )1/2{displaystyle mu =1.016cdot {frac {5}{16sigma {B}mT}{pi}}derecha)}{1/2}
Donde kB{displaystyle k_{text{B}} es la constante de Boltzmann. Mientras predice correctamente el aumento de la viscosidad gaseosa con la temperatura, el T1/2{displaystyle T^{1/2} La tendencia no es exacta; la viscosidad de los gases reales aumenta más rápidamente que esto. Capturing the actual T{displaystyle T} La dependencia requiere modelos más realistas de interacciones moleculares, en particular la inclusión de interacciones atractivas que están presentes en todos los gases reales.
Fuerza de ley de potencia
Una modesta mejora sobre el modelo de la esfera dura es una fuerza repulsiva de la ley de poder inversa, donde la fuerza entre dos moléculas separadas por distancia r{displaystyle r} es proporcional a 1/r. . {displaystyle 1/r^{nu}}, donde . . {displaystyle nu } es un parámetro empírico. Este no es un modelo realista para los gases del mundo real (excepto posiblemente a altas temperaturas), pero proporciona una simple ilustración de cómo cambiar las interacciones intermoleculares afecta la dependencia de temperatura predicha de la viscosidad. En este caso, la teoría cinética predice un aumento de la temperatura como Ts{displaystyle T^{s}, donde s=()1/2)+2/(). . − − 1){displaystyle s=(1/2)+2/(nu -1)}. Más precisamente, si μ μ .{displaystyle mu} es la viscosidad conocida a temperatura T.{displaystyle T'}Entonces
- μ μ =μ μ .()T/T.)s{displaystyle mu =mu '(T/T')}
Tomando . . → → JUEGO JUEGO {displaystyle nu rightarrow infty } recupera el resultado de la esfera dura, s=1/2{displaystyle s=1/2}. Para finito . . {displaystyle nu }, correspondiente a la repulsión más suave, s{displaystyle s} es mayor que 1/2{displaystyle 1/2}, que resulta en un aumento más rápido de la viscosidad en comparación con el modelo de la esfera dura. Fijar datos experimentales para hidrógeno y helio da predicciones para s{displaystyle s} y . . {displaystyle nu } mostrado en la mesa. El modelo es modestamente preciso para estos dos gases, pero inexacto para otros gases.
| Tabla: Parámetros potenciales de la ley de energía inversa para hidrógeno y helio | |||
|---|---|---|---|
| Gas | s{displaystyle s} | v{displaystyle v} | Temperatura (K) |
| Hidrogen | 0.668 | 12.9 | 273–373 |
| Helio | 0.657 | 13.7 | 43–1073 |
Modelo Sutherland
Otro modelo simple para la viscosidad gaseosa es el modelo de Sutherland, que agrega atracciones intermoleculares débiles al modelo de esfera dura. Si las atracciones son pequeñas, pueden ser tratadas perturbativamente, lo que conduce a
- μ μ =516σ σ 2()kBmTπ π )1/2⋅ ⋅ ()1+ST)− − 1{displaystyle mu ={frac {5}{16sigma ^{2}}left({frac {k_{text{B}mT}{pi }}right)}cdot left(1+{frac}mT}{pi }}}right)}{1/2}cdotcdotcdot left(1+{frac}{frac}{frac}{f}f} {f} {f}f}f}}f}f}f}f}f}f}cdotcdotf} {f}cdotcdotcdotf} {f} {f}f} {f}f}f}cdotf} {f}f}f}cdotf}cdotf}cdotf}cdot {fnMicrosoft Sans Serif}
Donde S{displaystyle S., llamada constante Sutherland, se puede expresar en términos de los parámetros de la fuerza atractiva intermolecular. Equivalentemente, si μ μ .{displaystyle mu} es una viscosidad conocida a temperatura T.{displaystyle T'}Entonces
- μ μ =μ μ .()TT.)3/2T.+ST+S{displaystyle mu =mu 'left({frac {T}}right)^{3/2}{frac {T'+S}}}
Valores de S{displaystyle S. obtenido de la fijación a datos experimentales se muestran en la tabla siguiente para varios gases. El modelo es modestamente preciso para varios gases (nitrógeno, oxígeno, argón, aire y otros), pero inexacto para otros gases como hidrógeno y helio. En general, se ha argumentado que el modelo Sutherland es en realidad un modelo deficiente de interacciones intermoleculares, y es útil sólo como una simple fórmula de interpolación para un conjunto restringido de gases sobre una gama restringida de temperaturas.
| Tabla: Constantes sutherlandeses de gases seleccionados | |||
|---|---|---|---|
| Gas | S{displaystyle S. (K) | Temperatura (K) | |
| Aire seco | 113 | 293–373 | |
| Helio | 72,9 | 293–373 | |
| Neon | 64.1 | 293–373 | |
| Argon | 148 | 293–373 | |
| Krypton | 188 | 289–373 | |
| Xenon | 252 | 288–373 | |
| Nitrogen | 104,7 | 293–1098 | |
| Oxygen | 125 | 288–1102 | |
Lennard-Jones
Bajo condiciones bastante generales en el modelo molecular, la predicción de la teoría cinética para μ μ {displaystyle mu } puede ser escrito en la forma
- μ μ =516π π 1/2()mkBT)1/2σ σ 2Ω Ω ()T){displaystyle mu ={frac {5}{16pi} ¿Qué?
Donde Ω Ω {displaystyle Omega } se llama collision integral y es una función de temperatura así como los parámetros de la interacción intermolecular. Está completamente determinado por la teoría cinética, siendo expresada en términos de integrales sobre trayectorias colisionales de pares de moléculas. En general, Ω Ω {displaystyle Omega } es una función complicada tanto de la temperatura como de los parámetros moleculares; los modelos Power-law y Sutherland son inusuales en que Ω Ω {displaystyle Omega } se puede expresar en términos de funciones elementales.
El modelo de Lennard-Jones supone un potencial de par intermolecular de la forma
- V()r)=4ε ε [()σ σ r)12− − ()σ σ r)6]{displaystyle V(r)=4epsilon left[left({frac {sigma ¿Qué? Bien.
![{displaystyle V(r)=4epsilon left[left({frac {sigma }{r}}right)^{12}-left({frac {sigma }{r}}right)^{6}right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5256ed833acfbaa9f624a55f4be3f9fcb3c27e1a)
Donde ε ε {displaystyle epsilon } y σ σ {displaystyle sigma } son parámetros y r{displaystyle r} es la distancia que separa los centros de masa de las moléculas. Como tal, el modelo está diseñado para moléculas esféricamente simétricas. Sin embargo, se utiliza con frecuencia para moléculas no esféricas simétricas, siempre que éstas no posean un gran momento de dipolo.
La integral colisional Ω Ω {displaystyle Omega } para el modelo Lennard-Jones no se puede expresar exactamente en términos de funciones elementales. Sin embargo, se puede calcular numéricamente, y el acuerdo con el experimento es bueno – no sólo para moléculas esféricamente simétricas como los gases nobles, sino también para muchos gases politómicos también. Forma aproximada de Ω Ω {displaystyle Omega } se ha sugerido también:
- Ω Ω ()T)=1.16145()TAlternativa Alternativa )− − 0.14874+0,2487e− − 0,7320TAlternativa Alternativa +2.16178e− − 2.43787TAlternativa Alternativa {displaystyle Omega (T)=1.16145left(T^{*}right)^{-0.14874}+0.52487e^{-0.77320T^{*}+2.16178e^{-2.43787T^{*}}}
Donde TAlternativa Alternativa ↑ ↑ kBT/ε ε {displaystyle T/Epsilon }. Esta ecuación tiene una desviación promedio de sólo 0.064 por ciento del rango <math alttext="{displaystyle 0.3<T^{*}0.3c)TAlternativa Alternativa c)100{displaystyle 0,3 0,10 0 0 0 0 0 0<img alt="{displaystyle 0.3<T^{*}.
Valores de σ σ {displaystyle sigma } y ε ε {displaystyle epsilon } Los datos experimentales se muestran en el cuadro siguiente para varios gases comunes.
| Tabla: Parámetros Lennard-Jones de gases seleccionados | |||
|---|---|---|---|
| Gas | σ σ {displaystyle sigma } (angstroms) | ε ε /kB{displaystyle epsilon /k_{B}} (K) | |
| Aire seco | 3.617 | 97.0 | |
| Helio | 2.576 | 10.2 | |
| Hidrogen | 2.915 | 38.0 | |
| Argon | 3.432 | 122.4 | |
| Nitrogen | 3.667 | 99,8 | |
| Oxygen | 3.433 | 113 | |
| Dióxido de carbono | 3.996 | 190 | |
| Metano | 3.780 | 154 | |
Líquidos
A diferencia de los gases, no existe una teoría microscópica sistemática para la viscosidad de los líquidos. Sin embargo, existen varios modelos empíricos que extrapolan una dependencia de la temperatura basándose en las viscosidades experimentales disponibles.
Exponencial de dos parámetros
Una correlación empírica simple y generalizada para la viscosidad del líquido es una exponencial de dos parámetros:
- μ μ =AeB/T{displaystyle mu =Ae^{B/T}
Esta ecuación se propuso por primera vez en 1913 y se conoce comúnmente como ecuación de Andrade (llamada así en honor al físico británico Edward Andrade). Describe con precisión muchos líquidos en un rango de temperaturas. Su forma puede motivarse modelando el transporte de impulso a nivel molecular como un proceso de velocidad activada, aunque los supuestos físicos que subyacen a dichos modelos han sido cuestionados.
El cuadro que figura a continuación ofrece valores estimados A{displaystyle A} y B{displaystyle B} para líquidos representativos. En la literatura se pueden encontrar tablas completas de estos parámetros para cientos de líquidos.
| Parámetros de fijación para la correlación μ μ =AeB/T{displaystyle mu =Ae^{B/T} | ||||
|---|---|---|---|---|
| Liquid | Fórmula química | A (mPa·s) | B (K) | Temperatura (K) |
| Bromine | Br2 | 0,0445 | 907.6 | 269 - 302 |
| Acetone | C3H6O | 0,0177 | 845.6 | 193-333 |
| Bromoform | CHBr3 | 0,0332 | 1195 | 278–363 |
| Pentane | C5H12 | 0,0191 | 722.2 | 143–313 |
| Bromobenzene | C6H5Br | 0,02088 | 1170 | 273–423 |
Exponenciales de tres y cuatro parámetros
También se pueden encontrar exponenciales tabulados con parámetros adicionales, por ejemplo
- μ μ =Aexp ()BT− − C){displaystyle mu =Aexp}}}
y
- μ μ =Aexp ()BT+CT+DT2){displaystyle mu =Aexp {left({frac {B}}+CT+DT^{2}}}}
Los valores representativos se dan en las siguientes tablas.
| Parámetros de fijación para la correlación μ μ =Aexp ()BT− − C){displaystyle mu =Aexp}}} | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Liquid | Fórmula química | A (mPa·s) | B (K) | C (K−1) | Temperatura (K) | |
| Mercurio | Hg | 0,754 | 117.91 | 124.04 | 290–380 | |
| Fluorina | F2 | 0,09068 | 45.97 | 39.377 | 60 a 85 | |
| Lead | Pb | 0,7610 | 421.35 | 266.85 | 600 a 1200 | |
| Hydrazine | N2H4 | 0,03625 | 683.29 | 83.603 | 280-450 | |
| Octane | C8H18 | 0,007889 | 1456.2 | 51−44 | 270–400 | |
| Parámetros de fijación para la correlación μ μ =Aexp ()BT+CT+DT2){displaystyle mu =Aexp {left({frac {B}}+CT+DT^{2}}}} | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Liquid | Fórmula química | A (mPa·s) | B (K) | C (K−1) | D (K−2) | Temperatura (K) |
| Agua | H2O | 1.856·10−11 - | 4209 | 0,04527 | −3.376·10; 5 - | 273-643 |
| Ethanol | C2H6O | 0,00201 | 1614 | 0,00618 | −1.132·10; 5 - | 168 a 516 |
| Benzene | C6H6 | 100.69 | 148.9 | 0.0−2544 | 2.222·10; 5 - | 279–561 |
| Cyclohexane | C6H12 | 0,01230 | 1380 | −1.55·10−3 | 1.157·10−6 | 280 a 553 |
| Naphthalene | C10H8 | 3.465·10; 5 - | 2517 | 0,01098 | −5.867·10−6 | 354–748 |
Modelos de viscosidad cinemática
El efecto de la temperatura en la viscosidad cinemática . . {displaystyle nu } ha sido también descrito por una serie de ecuaciones empíricas.
La fórmula de Walther normalmente se escribe en la forma
- log10 ()log10 (). . +λ λ ))=A− − Blog10 T{displaystyle log _{10}(log _{10}(nu +lambda)=A-B,log _{10}T}
Donde λ λ {displaystyle lambda } es un cambio constante, y A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son parámetros empíricos. En las especificaciones de lubricantes, normalmente sólo se especifican dos temperaturas, en cuyo caso se especifica un valor estándar de λ λ {displaystyle lambda } = 0.7 se asume normalmente.
El modelo de Wright tiene la forma
- log10 ()log10 (). . +λ λ +f(). . )))=A− − Blog10 T{displaystyle log _{10}(log _{10}(nu +lambda +f(nu)))=A-B,log _{10}T}
cuando una función adicional f()v){displaystyle f(v)}, a menudo un polinomio adecuado a los datos experimentales, se ha añadido a la fórmula Walther.
El modelo de Seeton se basa en una curva que ajusta la dependencia de la viscosidad de muchos líquidos (refrigerantes, hidrocarburos y lubricantes) versus la temperatura y se aplica en un amplio rango de temperatura y viscosidad:
- In ()In (). . +0.7+e− − . . K0(). . +1.244067)))=A− − BIn T{displaystyle ln left({ln left({nu +0.7+e^{-nu }K_{0}left({nu +1.244067}right)}right)=A-Bln T}
Donde T{displaystyle T} es temperatura absoluta en kelvins, . . {displaystyle nu } es la viscosidad cinemática en centistokes, K0{displaystyle K_{0} es la función de Bessel modificada de orden cero del segundo tipo, y A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son parámetros empíricos específicos para cada líquido.
Para la viscosidad del metal líquido en función de la temperatura, Seeton propuso:
- In ()In (). . +0.7+e− − . . K0(). . +1.244067)))=A− − BT{displaystyle ln left({ln left({nu +0.7+e^{-nu }K_{0}left({nu +1.244067}right)}right)=A-{B over T}
