Denso en sí mismo

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En topología general, un subconjunto $A$ de un espacio topológico se dice que Dense-in-itself o multitudessi $A$ no tiene punto aislado. Equivalentemente, $A$ es denso en sí mismo si cada punto $A$ es un punto límite $A$ . Así $A$ es denso en sí mismo si y sólo si ${\displaystyle A 'subseteq A'$ , donde ${\displaystyle A'$ es el conjunto derivado de $A$ .

Un conjunto cerrado denso en sí mismo se denomina conjunto perfecto. (En otras palabras, un conjunto perfecto es un conjunto cerrado sin un punto aislado.)

La noción de conjunto denso es distinta de la de conjunto denso en sí mismo. Esto a veces puede ser confuso, ya que "X es denso en X" (siempre cierto) no es lo mismo que "X es denso en sí mismo" (sin punto aislado).

Ejemplos

Un simple ejemplo de un conjunto que es denso en sí mismo pero no cerrado (y por lo tanto no un conjunto perfecto) es el conjunto de números irracionales (considerado como un subconjunto de los números reales). Este set es denso en sí mismo porque cada barrio de un número irracional $x$ contiene al menos otro número irracional $y\neq x$ . Por otra parte, el conjunto de irracionales no está cerrado porque cada número racional reside en su cierre. Del mismo modo, el conjunto de números racionales es también denso en sí mismo pero no cerrado en el espacio de números reales.

Los ejemplos anteriores, los irracionales y los racionales, también son conjuntos densos en su espacio topológico, a saber: $\mathbb {R$ . Como ejemplo que es denso en sí mismo pero no denso en su espacio topológico, considerar $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ . Este set no es denso $\mathbb {R$ pero es denso en sí mismo.

Propiedades

Un subconjunto de un solotón de un espacio $X$ nunca puede ser denso en sí mismo, porque su punto único está aislado en él.

Los subconjuntos densos en sí mismos de cualquier espacio están cerrados bajo los sindicatos. En un espacio denso en sí mismo, incluyen todos los conjuntos abiertos. En un espacio denso en sí mismo T1 incluyen todos los conjuntos densos. Sin embargo, espacios que no son T₁ puede tener subconjuntos densos que no son densos en sí mismos: por ejemplo en el espacio denso en sí mismo $X=\{a,b$ con la topología indiscreta, el conjunto $A=\{a\$ es denso, pero no es denso en sí mismo.

La clausura de cualquier conjunto denso en sí mismo es un conjunto perfecto.

En general, la intersección de dos conjuntos densos en sí mismos no es densa en sí misma. Pero la intersección de un conjunto denso en sí mismo y un conjunto abierto sí lo es.

Véase también

En ningún lugar denso conjunto
Glosario de topología
Orden de denegación

Notas

^ Steen " Seebach, pág. 6
^ Engelking, pág. 25
^ Levy, Ronnie; Porter, Jack (1996). "Sobre dos preguntas de Arhangel'skii y Collins sobre los espacios inferiores" (PDF). Proceedings de Topología. 21: 143–154.
^ Dontchev, Julian; Ganster, Maximilian; Rose, David (1977). "espacios alfa-Scattered II".
^ Engelking, 1.7.10, pág. 59
^ Kuratowski, pág. 78
^ Kuratowski, pág. 78
^ Kuratowski, pág. 77

Referencias

Engelking, Ryszard (1989). Topología general. Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
Kuratowski, K. (1966). Topología Vol. I. Prensa Académica. ISBN 012429202X.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Contraexamples en Topología (Reimpresión adicional de 1978 ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.

Este artículo incorpora material de Dense in-itself en PlanetMath, que está licenciado bajo la Licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike.

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