Densidad espectral

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Importancia relativa de ciertas frecuencias en una señal compuesta

La densidad espectral de una luz fluorescente como función de longitud de onda óptica muestra picos en transiciones atómicas, indicados por las flechas numeradas.

La onda de voz con el tiempo (izquierda) tiene un amplio espectro de potencia de audio (derecha).

El espectro de potencia $S_{{xx}}(f)$ de una serie de tiempo $x(t)$ describe la distribución de energía en componentes de frecuencia que componen esa señal. Según el análisis de Fourier, cualquier señal física se puede descomponer en una serie de frecuencias discretas, o un espectro de frecuencias sobre un rango continuo. El promedio estadístico de una determinada señal o tipo de señal (incluyendo el ruido) analizado en términos de su contenido de frecuencia, se llama su espectro.

Cuando la energía de la señal se concentra alrededor de un intervalo de tiempo finito, especialmente si su energía total es finita, se puede calcular energía densidad espectral. Más comúnmente utilizado es el potencia densidad espectral (o simplemente espectro de potencia), que se aplica a las señales existentes sobre Todos tiempo, o durante un período de tiempo lo suficientemente grande (especialmente en relación con la duración de una medición) que también podría haber sido durante un intervalo de tiempo infinito. La densidad espectral de potencia (PSD) se refiere a la distribución de energía espectral que se encontraría por unidad de tiempo, ya que la energía total de tal señal a lo largo de todo el tiempo sería generalmente infinita. Summation or integration of the spectral components yields the total power (for a physical process) or variation (in a statistical process), identical to what would be obtained by integrating ${displaystyle x^{2}(t)}$ sobre el dominio del tiempo, como lo dicta el teorema de Parseval.

El espectro de un proceso físico $x(t)$ a menudo contiene información esencial sobre la naturaleza $x$ . Por ejemplo, el tono y el timbre de un instrumento musical se determinan inmediatamente a partir de un análisis espectral. El color de una fuente de luz está determinado por el espectro del campo eléctrico de la onda electromagnética $E(t)$ fluctúa a una frecuencia extremadamente alta. Obtener un espectro de series temporales como estas implica la transformación Fourier, y generalizaciones basadas en el análisis Fourier. En muchos casos el dominio del tiempo no se emplea específicamente en la práctica, como cuando se utiliza un prisma dispersivo para obtener un espectro de luz en un espectrógrafo, o cuando se percibe un sonido a través de su efecto en los receptores auditivos del oído interno, cada uno de los cuales es sensible a una frecuencia particular.

Sin embargo, este artículo se concentra en situaciones en las que la serie temporal se conoce (al menos en un sentido estadístico) o se mide directamente (como por ejemplo mediante un micrófono muestreado por una computadora). El espectro de potencia es importante en el procesamiento estadístico de señales y en el estudio estadístico de procesos estocásticos, así como en muchas otras ramas de la física y la ingeniería. Por lo general, el proceso es una función del tiempo, pero de manera similar se pueden analizar los datos en el dominio espacial que se descomponen en términos de frecuencia espacial.

Unidades

En física, la señal puede ser una onda, como una onda electromagnética, una onda acústica o la vibración de un mecanismo. La densidad espectral de potencia (PSD) de la señal describe la potencia presente en la señal en función de la frecuencia, por unidad de frecuencia. La densidad espectral de potencia se expresa comúnmente en vatios por hercio (W/Hz).

Cuando una señal se define únicamente en términos de voltaje, por ejemplo, no hay una potencia única asociada con la amplitud establecida. En este caso, "poder" se calcula simplemente en términos del cuadrado de la señal, ya que esto siempre sería proporcional a la potencia real entregada por esa señal en una impedancia dada. Entonces, uno podría usar unidades de V² Hz⁻¹ para la PSD. La densidad espectral de energía (ESD) tendría unidades que serían V² s Hz⁻¹, ya que la energía tiene unidades de potencia multiplicadas por el tiempo (por ejemplo,, vatio-hora).

En el caso general, las unidades de PSD serán la relación de unidades de varianza por unidad de frecuencia; así, por ejemplo, una serie de valores de desplazamiento (en metros) a lo largo del tiempo (en segundos) tendrá PSD en unidades de metros cuadrados por hercio, m²/Hz. En el análisis de vibraciones aleatorias, las unidades de g² Hz⁻¹ se utilizan con frecuencia para la PSD de aceleración, donde g denota la fuerza g.

Matemáticamente, no es necesario asignar dimensiones físicas a la señal ni a la variable independiente. En la siguiente discusión, el significado de x(t) permanecerá sin especificar, pero se supondrá que la variable independiente es la del tiempo.

Definición

Densidad espectral de energía

La densidad espectral de energía describe cómo la energía de una señal o una serie de tiempo se distribuye con frecuencia. Aquí, el término energía se utiliza en el sentido generalizado del procesamiento de señales; es decir, la energía $E$ de una señal $x(t)$ es:

{displaystyle Etriangleq int _{-infty }^{infty }left|x(t)right|^{2} dt.}

La densidad espectral de energía es más adecuada para transitorios, es decir, señales similares a pulsos, que tienen una energía total finita. Finito o no, el teorema de Parseval (o el teorema de Plancherel) nos da una expresión alternativa para la energía de la señal:

{displaystyle int _{-infty }^{infty }|x(t)|^{2},dt=int _{-infty }^{infty }left|{hat {x}}(f)right|^{2} df,}

donde:

{displaystyle {hat {x}}(f)triangleq int _{-infty }^{infty }e^{-i2pi ft}x(t) dt}

es el valor de la transformación de Fourier $x(t)$ a frecuencia $f$ (en Hz). El teorema también es cierto en los casos discretos. Puesto que el integral del lado izquierdo es la energía de la señal, el valor de ${displaystyle left|{hat {x}}(f)right|^{2}df}$ puede ser interpretado como una función de densidad multiplicada por un intervalo de frecuencia infinitamente pequeño, describiendo la energía contenida en la señal a frecuencia $f$ en el intervalo de frecuencia ${displaystyle f+df}$ .

Por tanto, el energía densidad espectral de $x(t)$ se define como:

{displaystyle {bar {S}}_{xx}(f)triangleq left|{hat {x}}(f)right|^{2}}

()Eq.1)

La función ${displaystyle {bar {S}}_{xx}(f)}$ y la autocorrelación de $x(t)$ formar un par de transformación Fourier, un resultado también conocido como el teorema Wiener-Khinchin (ver también Periodograma).

Como ejemplo físico de cómo se puede medir la densidad espectral de energía de una señal, supongamos $V(t)$ representa el potencial (en voltios) de un pulso eléctrico propagando a lo largo de una línea de transmisión de impedancia $Z$ , y suponer que la línea se termina con un resistor emparejado (para que toda la energía del pulso se entrega al resistor y ninguno se refleja de nuevo). Por la ley de Ohm, el poder entregado al resistor a la vez $t$ es igual a $V(t)^{2}/Z$ , por lo que la energía total se encuentra mediante la integración $V(t)^{2}/Z$ con respecto al tiempo durante la duración del pulso. Para encontrar el valor de la densidad espectral de energía ${displaystyle {bar {S}}_{xx}(f)}$ a frecuencia $f$ , se puede insertar entre la línea de transmisión y el resistor un filtro de bandpass que pasa sólo una gama estrecha de frecuencias ( $Delta f$ , digamos) cerca de la frecuencia de interés y luego mide la energía total $E(f)$ disipado a través de la resistencia. El valor de la densidad espectral de energía $f$ se calcula que $E(f)/Delta f$ . En este ejemplo, desde el poder $V(t)^{2}/Z$ tiene unidades de V² Ω⁻¹, la energía $E(f)$ tiene unidades de V²SΩ⁻¹= J, y por consiguiente la estimación $E(f)/Delta f$ de la densidad espectral de energía tiene unidades de J Hz⁻¹, según sea necesario. En muchas situaciones, es común olvidar el paso de la división por $Z$ para que la densidad espectral de energía tenga unidades de V²Hz⁻².

Esta definición generaliza de manera directa a una señal discreta con un número contablemente infinito de valores $x_{n}$ como una señal muestrada en tiempos discretos ${displaystyle t_{n}=t_{0}+(n,Delta t)}$ :

{displaystyle {bar {S}}_{xx}(f)=lim _{Nto infty }(Delta t)^{2}underbrace {left|sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2pi fn,Delta t}right|^{2}} _{left|{hat {x}}_{d}(f)right|^{2}},}

Donde ${hat {x}}_{d}(f)$ es la transformación discreta de Fourier ${displaystyle x_{n}.}$ El intervalo de muestreo $Delta t$ es necesario para mantener las unidades físicas correctas y para asegurar que recuperamos el caso continuo en el límite ${displaystyle Delta tto 0.}$ Pero en las ciencias matemáticas el intervalo se establece a menudo a 1, que simplifica los resultados a expensas de la generalidad. (también ver frecuencia normalizada)

Densidad espectral de potencia

El espectro de poder de la anisotropía de radiación de fondo de microondas cósmico medido en términos de la escala angular. La línea sólida es un modelo teórico, para comparación.

La definición anterior de densidad espectral de energía es adecuada para los transitorios (señales similares al púlsculo) cuya energía se concentra alrededor de una ventana de tiempo; entonces los Fourier transforma de las señales generalmente existen. Para señales continuas a lo largo de todo el tiempo, uno debe definir el potencia densidad espectral (PSD) que existe para procesos estacionarios; esto describe cómo el poder de una serie de señal o tiempo se distribuye a través de la frecuencia, como en el simple ejemplo dado anteriormente. Aquí, el poder puede ser el poder físico real, o más a menudo, para comodidad con señales abstractas, se identifica simplemente con el valor cuadrado de la señal. Por ejemplo, los estadísticos estudian la diferencia de una función con el tiempo $x(t)$ (o sobre otra variable independiente), y utilizando una analogía con señales eléctricas (entre otros procesos físicos), es habitual referirse a ella como la espectro de potencia incluso cuando no hay poder físico involucrado. Si se creara una fuente de tensión física que siguió $x(t)$ y lo aplicó a los terminales de un oohm resistor, entonces de hecho el poder instantáneo disipado en ese resistor sería dado por ${displaystyle x(t)^{2}}$ Watts.

El poder promedio $P$ de una señal $x(t)$ en todo el tiempo se da por el promedio del tiempo siguiente, donde el período $T$ está centrado en algún tiempo arbitrario ${displaystyle t=t_{0}}$ :

{displaystyle P=lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}int _{t_{0}-T/2}^{t_{0}+T/2}|x(t)|^{2},dt}

Sin embargo, en aras de tratar con las matemáticas que siguen, es más conveniente tratar con los límites de tiempo en la propia señal en lugar de los límites de tiempo en los límites de la integral. Como tal, tenemos una representación alternativa del poder promedio, donde ${displaystyle x_{T}(t)=x(t)w_{T}(t)}$ y ${displaystyle w_{T}(t)}$ es unidad dentro del período arbitrario y cero en otros lugares.

{displaystyle P=lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}int _{-infty }^{infty }|x_{T}(t)|^{2},dt}

Claramente, en los casos en que la expresión anterior para P no es cero (incluso cuando T crece sin límite), la integral misma también debe crecer sin límite. Esa es la razón por la que no podemos usar la densidad espectral de energía en sí misma, que es esa integral divergente, en tales casos.

Al analizar el contenido de frecuencia de la señal $x(t)$ , a uno le gustaría computar la transformación ordinaria Fourier ${displaystyle {hat {x}}(f)}$ ; sin embargo, para muchas señales de interés la transformación Fourier no existe formalmente. Independientemente, El teorema de Parseval nos dice que podemos reescribir el poder promedio como sigue.

{displaystyle P=lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}int _{-infty }^{infty }|{hat {x}}_{T}(f)|^{2},df}

Entonces, la densidad espectral de potencia se define simplemente como el integrando anterior.

{displaystyle S_{xx}(f)=lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}|{hat {x}}_{T}(f)|^{2},}

()Eq.2)

Desde aquí también podemos ver ${displaystyle |{hat {x}}_{T}(f)|^{2}}$ como la transformación Fourier del tiempo convolución ${displaystyle x_{T}^{*}(-t)}$ y ${displaystyle x_{T}(t)}$

{displaystyle left|{hat {x}}_{T}(f)right|^{2}={mathcal {F}}left{x_{T}^{*}(-t)mathbin {mathbf {*} } x_{T}(t)right}=int _{-infty }^{infty }left[int _{-infty }^{infty }x_{T}^{*}(t-tau)x_{T}(t)dtright]e^{-i2pi ftau } dtau }

Ahora, si dividimos la convolución del tiempo arriba por el período $T$ y tomar el límite como $Trightarrow infty$ , se convierte en la función de autocorrelación de la señal no ventana $x(t)$ , que se denota como ${displaystyle R_{xx}(tau)}$ , siempre que $x(t)$ es ergodic, que es cierto en la mayoría, pero no todos, casos prácticos..

{displaystyle lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}left|{hat {x}}_{T}(f)right|^{2}=int _{-infty }^{infty }left[lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}int _{-infty }^{infty }x_{T}^{*}(t-tau)x_{T}(t)dtright]e^{-i2pi ftau } dtau =int _{-infty }^{infty }R_{xx}(tau)e^{-i2pi ftau }dtau }

Desde aquí vemos, otra vez asumiendo la ergodicidad de $x(t)$ , que la densidad espectral de potencia se puede encontrar como la transformación Fourier de la función de autocorrelación (Teorema de Windows–Khinchin).

{displaystyle S_{xx}(f)=int _{-infty }^{infty }R_{xx}(tau)e^{-i2pi ftau },dtau ={hat {R}}_{xx}(f)}

()Eq.3)

Muchos autores utilizan esta igualdad para definir la densidad espectral de potencia.

El poder de la señal en una banda de frecuencia dada $[f_{1},f_{2}]$ , donde $<math alttext="{displaystyle 0<f_{1}0.f1.f2{displaystyle 0 0 0 0 0<img alt="{displaystyle 0<f_{1}$ , se puede calcular mediante la integración sobre frecuencia. Desde ${displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$ , una cantidad igual de poder se puede atribuir a bandas de frecuencia positiva y negativa, lo que representa el factor de 2 en la siguiente forma (estos factores triviales dependen de las convenciones utilizadas):

{displaystyle P_{textsf {bandlimited}}=2int _{f_{1}}^{f_{2}}S_{xx}(f),df}

En términos más generales, se pueden utilizar técnicas similares para estimar una densidad espectral que varía el tiempo. En este caso el intervalo de tiempo $T$ es finito en lugar de acercarse al infinito. Esto da lugar a una disminución de la cobertura espectral y la resolución desde las frecuencias inferiores a las $1/T$ no se muestra, y resultados en frecuencias que no son un número entero de $1/T$ no son independientes. Sólo utilizando una serie de tiempo, el espectro de potencia estimado será muy "noisy"; sin embargo esto se puede aliviar si es posible evaluar el valor esperado (en la ecuación anterior) utilizando un gran (o infinito) número de espectros de corto plazo correspondientes a conjuntos estadísticos de realizaciones de realizaciones de $x(t)$ evaluado en la ventana de tiempo especificada.

Al igual que con la densidad espectral de energía, la definición de la densidad espectral de potencia se puede generalizar para variables de tiempo discretas $x_{n}$ . Como antes, podemos considerar una ventana ${displaystyle -Nleq nleq N}$ con la señal mostrada en tiempos discretos ${displaystyle x_{n}=x_{0}+(n,Delta t)}$ para un período de medición total ${displaystyle T=(2N+1),Delta t}$ .

{displaystyle S_{xx}(f)=lim _{Nto infty }{frac {(Delta t)^{2}}{T}}left|sum _{n=-N}^{N}x_{n}e^{-i2pi fn,Delta t}right|^{2}}

Tenga en cuenta que una sola estimación de la PSD se puede obtener a través de un número finito de muestreos. Como antes, la PSD real se logra cuando $N$ (y así $T$ ) aborda el infinito y el valor esperado se aplica formalmente. En una aplicación del mundo real, uno normalmente promediaría una PSD de medición finita sobre muchos ensayos para obtener una estimación más exacta de la PSD teórica del proceso físico subyacente a las mediciones individuales. Esta PSD computada a veces se llama periodograma. Este periodograma converge al verdadero PSD como el número de estimaciones, así como el intervalo de tiempo promedio $T$ infinidad de enfoque (Brown & Hwang).

Si dos señales poseen densidades espectrales de potencia, entonces la densidad espectral cruzada se puede calcular de manera similar; como la PSD está relacionada con la autocorrelación, también lo está la densidad espectral cruzada con la correlación cruzada.

Propiedades de la densidad espectral de potencia

Algunas propiedades del PSD incluyen:

El espectro de potencia es siempre real y no negativo, y el espectro de un proceso real valorado es también una función uniforme de la frecuencia: ${displaystyle S_{xx}(-f)=S_{xx}(f)}$ .
Para un proceso estocástico continuo x(t), la función de autocorrelación R_xx()t) puede ser reconstruido de su espectro de potencia S_xxf) mediante la transformación inversa de Fourier
Utilizando el teorema de Parseval, se puede calcular la varianza (poder de promedio) de un proceso integrando el espectro de potencia sobre toda frecuencia:
${displaystyle P=operatorname {Var} (x)=int _{-infty }^{infty }!S_{xx}(f),df}$
Para un proceso real x()t) con densidad espectral de potencia $S_{{xx}}(f)$ , uno puede calcular espectro integrado o distribución espectral $F(f)$ , que especifica el promedio bandlimited potencia contenida en frecuencias de DC a f utilizando:
${displaystyle F(f)=2int _{0}^{f}S_{xx}(f'),df'.}$
Tenga en cuenta que la expresión anterior para el poder total (variasignal) es un caso especial en el que ô → ∞.

Densidad espectral de potencia cruzada

Dadas dos señales $x(t)$ y $y(t)$ , cada uno de los cuales poseen densidades espectral $S_{{xx}}(f)$ y ${displaystyle S_{yy}(f)}$ , es posible definir un fuerza transversal densidad espectral ()CPSD) o transversal densidad espectral ()CSD). Para comenzar, consideremos el poder promedio de tal señal combinada.

{displaystyle {begin{aligned}P&=lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}int _{-infty }^{infty }left[x_{T}(t)+y_{T}(t)right]^{*}left[x_{T}(t)+y_{T}(t)right]dt\&=lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}int _{-infty }^{infty }|x_{T}(t)|^{2}+x_{T}^{*}(t)y_{T}(t)+y_{T}^{*}(t)x_{T}(t)+|y_{T}(t)|^{2}dt\end{aligned}}}

Usando la misma notación y los mismos métodos que se usaron para la derivación de la densidad espectral de potencia, explotamos el teorema de Parseval y obtenemos

{displaystyle {begin{aligned}S_{xy}(f)&=lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}left[{hat {x}}_{T}^{*}(f){hat {y}}_{T}(f)right]&S_{yx}(f)&=lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}left[{hat {y}}_{T}^{*}(f){hat {x}}_{T}(f)right]end{aligned}}}

donde, de nuevo, las contribuciones $S_{{xx}}(f)$ y ${displaystyle S_{yy}(f)}$ ya se entienden. Note que ${displaystyle S_{xy}^{*}(f)=S_{yx}(f)}$ , por lo que la contribución completa al poder de la cruz es, en general, del doble de la parte real de cada individuo CPSD. Como antes, desde aquí retransmitimos estos productos como la transformación Fourier de una convolución temporal, que cuando se divide por el período y se lleva al límite $Ttoinfty$ se convierte en la transformación de Fourier de una función de corelación cruzada.

{displaystyle {begin{aligned}S_{xy}(f)&=int _{-infty }^{infty }left[lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}int _{-infty }^{infty }x_{T}^{*}(t-tau)y_{T}(t)dtright]e^{-i2pi ftau }dtau =int _{-infty }^{infty }R_{xy}(tau)e^{-i2pi ftau }dtau \S_{yx}(f)&=int _{-infty }^{infty }left[lim _{Tto infty }{frac {1}{T}}int _{-infty }^{infty }y_{T}^{*}(t-tau)x_{T}(t)dtright]e^{-i2pi ftau }dtau =int _{-infty }^{infty }R_{yx}(tau)e^{-i2pi ftau }dtau end{aligned}}}

Donde ${displaystyle R_{xy}(tau)}$ es la cruz-correlación de $x(t)$ con $y(t)$ y ${displaystyle R_{yx}(tau)}$ es la cruz-correlación de $y(t)$ con $x(t)$ . A la luz de esto, se considera que el PSD es un caso especial de la CDS para $x(t)=y(t)$ . Si $x(t)$ y $y(t)$ son señales reales (por ejemplo, tensión o corriente), sus transformaciones Fourier ${displaystyle {hat {x}}(f)}$ y ${displaystyle {hat {y}}(f)}$ suelen limitarse a frecuencias positivas por convención. Por lo tanto, en el procesamiento de señal típica, el completo CPSD es sólo uno de los CPSDs escalada por un factor de dos.

{displaystyle operatorname {CPSD} _{text{Full}}=2S_{xy}(f)=2S_{yx}(f)}

Para señales discretas x_n e y_n, la relación entre la densidad espectral cruzada y la la covarianza cruzada es

{displaystyle S_{xy}(f)=sum _{n=-infty }^{infty }R_{xy}(tau _{n})e^{-i2pi ftau _{n}},Delta tau }

Estimación

El objetivo de la estimación de densidad espectral es estimar la densidad espectral de una señal aleatoria a partir de una secuencia de muestras de tiempo. Dependiendo de lo que se sepa sobre la señal, las técnicas de estimación pueden implicar enfoques paramétricos o no paramétricos, y pueden basarse en análisis en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, una técnica paramétrica común consiste en ajustar las observaciones a un modelo autorregresivo. Una técnica no paramétrica común es el periodograma.

La densidad espectral generalmente se estima mediante métodos de transformada de Fourier (como el método de Welch), pero también se pueden utilizar otras técnicas, como el método de máxima entropía.

Conceptos relacionados

El centroide espectralide de una señal es el punto medio de su función de densidad espectral, es decir, la frecuencia que divide la distribución en dos partes iguales.
El frecuencia espectral ()SEF), generalmente expresado como "SEF x", representa la frecuencia debajo de la cual x por ciento del poder total de una señal dada se encuentran; típicamente, x está en el rango 75 a 95. Es más particularmente una medida popular utilizada en el monitoreo de la EEG, en cuyo caso SEF se ha utilizado de manera diferente para estimar la profundidad de la anestesia y las etapas del sueño.
A sobre espectral es la curva de sobre de la densidad del espectro. Describe un punto en el tiempo (una ventana, para ser precisa). Por ejemplo, en la teleobservación utilizando un espectrómetro, el sobre espectral de una característica es el límite de sus propiedades espectrales, tal como se define por la gama de niveles de brillo en cada una de las bandas espectrales de interés.
La densidad espectral es una función de frecuencia, no una función del tiempo. Sin embargo, la densidad espectral de una pequeña ventana de una señal más larga puede ser calculada, y trazada contra el tiempo asociado con la ventana. Tal gráfico se llama espectrograma. Esta es la base de una serie de técnicas de análisis espectral tales como la transformación y ondas Fourier de corto plazo.
Un "espectro" generalmente significa la densidad espectral de potencia, como se discutió anteriormente, que representa la distribución del contenido de señal sobre la frecuencia. Para las funciones de transferencia (por ejemplo, Bode plot, chirp) la respuesta de frecuencia completa puede ser graficada en dos partes: potencia versus frecuencia y fase versus frecuencia; la fase de densidad espectral, espectro de fase, o fase espectral. Menos comúnmente, las dos partes pueden ser las partes reales e imaginarias de la función de transferencia. Esto no debe confundirse con el frecuencia de respuesta de una función de transferencia, que también incluye una fase (o equivalente, una parte real e imaginaria) como función de frecuencia. La respuesta del impulso de dominio del tiempo $h(t)$ generalmente no se puede recuperar únicamente de la densidad espectral de potencia sola sin la parte de fase. Aunque también son pares de transformación Fourier, no hay simetría (como hay para la autocorrelación) que obligue a la transformación Fourier a ser real-valorada. Ver Pulso Ultrashort#Fase espacial, ruido de fase, retraso de grupo.
A veces uno encuentra un densidad espectral ()ASD), que es la raíz cuadrada de la PSD; la ASD de una señal de tensión tiene unidades de V Hz^1/2−. Esto es útil cuando el forma del espectro es bastante constante, ya que las variaciones en la ASD serán proporcionales a las variaciones en el nivel de tensión de la señal en sí. Pero es matemáticamente preferido utilizar el PSD, ya que sólo en ese caso es el área bajo la curva significativa en términos de potencia real sobre toda frecuencia o sobre un ancho de banda especificado.

Aplicaciones

Cualquier señal que pueda representarse como una variable que varía en el tiempo tiene un espectro de frecuencia correspondiente. Esto incluye entidades familiares como la luz visible (percibida como color), las notas musicales (percibidas como tono), la radio/TV (especificadas por su frecuencia o, a veces, por su longitud de onda) e incluso la rotación regular de la tierra. Cuando estas señales se ven en forma de espectro de frecuencia, se revelan ciertos aspectos de las señales recibidas o los procesos subyacentes que las producen. En algunos casos, el espectro de frecuencias puede incluir un pico distinto correspondiente a un componente de onda sinusoidal. Y adicionalmente puede haber picos correspondientes a armónicos de un pico fundamental, indicando una señal periódica que no es simplemente sinusoidal. O un espectro continuo puede mostrar intervalos de frecuencia estrechos que están fuertemente realzados correspondientes a resonancias, o intervalos de frecuencia que contienen una potencia casi nula, como los produciría un filtro de muesca.

Ingeniería eléctrica

Espectrograma de una señal de radio FM con frecuencia en el eje horizontal y el tiempo aumenta en el eje vertical.

El concepto y el uso del espectro de potencia de una señal es fundamental en la ingeniería eléctrica, especialmente en los sistemas de comunicación electrónica, incluidas las comunicaciones por radio, los radares y los sistemas relacionados, además de la tecnología de detección remota pasiva. Los instrumentos electrónicos llamados analizadores de espectro se utilizan para observar y medir los espectros de potencia de las señales.

El analizador de espectro mide la magnitud de la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT) de una señal de entrada. Si la señal que se analiza puede considerarse un proceso estacionario, la STFT es una buena estimación suavizada de su densidad espectral de potencia.

Cosmología

Las fluctuaciones primordiales, las variaciones de densidad en el universo primitivo, se cuantifican mediante un espectro de potencia que da la potencia de las variaciones en función de la escala espacial.

Ciencias del clima

El análisis espectral de potencia se ha utilizado para examinar las estructuras espaciales para la investigación climática. Estos resultados sugieren que la turbulencia atmosférica vincula el cambio climático con una mayor volatilidad regional local en las condiciones climáticas.

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