Densidad de portadores de carga

La densidad de portadores de carga, también conocida como concentración de portadores, denota la cantidad de portadores de carga por volumen. En unidades del SI, se mide en m⁻³. Como ocurre con cualquier densidad, en principio puede depender de la posición. Sin embargo, normalmente la concentración de portadores se da como un solo número y representa la densidad de portadores promedio sobre todo el material.

Las densidades de portadores de carga involucran ecuaciones relacionadas con la conductividad eléctrica, fenómenos relacionados como la conductividad térmica y enlaces químicos como el enlace covalente.

La densidad de portadores se obtiene generalmente de forma teórica integrando la densidad de estados en el rango de energía de los portadores de carga en el material (por ejemplo, integrando en la banda de conducción para los electrones, integrando en la banda de valencia para los huecos).

Si se conoce el número total de portadores de carga, la densidad de portador se puede encontrar simplemente dividiendo por el volumen. Para mostrar esto matemáticamente, la densidad del portador de carga es una densidad de partículas, así que integrándola sobre un volumen ${\displaystyle V}$ da el número de portadores de carga ${\displaystyle N}$ en ese volumen $${\displaystyle N=\int _{V}n(\mathbf {r})\,dV.}$$Donde ${\displaystyle n(\mathbf {r})}$ es la densidad de carga dependiente de la posición.

Si la densidad no depende de la posición y es igual a una constante ${\displaystyle No.$ esta ecuación simplifica $${\displaystyle N=V\cdot No.$$

La densidad del portador es importante para los semiconductores, donde es una cantidad importante para el proceso de dopaje químico. Usando la teoría de bandas, la densidad de electrones,${\displaystyle No.$ es el número de electrones por volumen de unidad en la banda de conducción. Para agujeros, ${\displaystyle P_{0}$ es el número de agujeros por volumen de unidad en la banda de valence. Para calcular este número de electrones, empezamos con la idea de que la densidad total de electrones de banda de conducción, ${\displaystyle No.$, es sólo agregar la densidad de electrones de conducción a través de las diferentes energías de la banda, desde el fondo de la banda ${\displaystyle E_{c}$ a la parte superior de la banda ${\displaystyle E_{\text{top}}$.

$${\displaystyle No. ¿Qué?$$

Debido a que los electrones son fermions, la densidad de electrones de conducción en cualquier energía particular, ${\displaystyle N(E)}$ es el producto de la densidad de estados, ${\displaystyle g(E)}$ o cuántos estados conductores son posibles, con la distribución Fermi-Dirac, ${\displaystyle f(E)}$ que nos dice la porción de aquellos estados que realmente tendrán electrones en ellos $${\displaystyle N(E)=g(E)f(E)}$$

Para simplificar el cálculo, en lugar de tratar los electrones como fermions, según la distribución Fermi-Dirac, los tratamos como un gas clásico no interaccionante, que es dado por la distribución Maxwell-Boltzmann. Esta aproximación tiene efectos insignificantes cuando la magnitud ${\displaystyle - Hola.$, que es cierto para semiconductores cerca de la temperatura ambiente. Esta aproximación es inválida a temperaturas muy bajas o una banda extremadamente pequeña.

$${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac} [E-E_{f}{k_{B}T}}\approx e^{-{\frac {\f} {\f} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

La densidad tridimensional de los estados es: $${\displaystyle g(E)={2\pi ^{2}}\left({\frac {2m^{*}{\hbar ^{2}}}}\right)^{\frac} {\fnMicroc {\fnMicroc}}}}}}{\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\ {3}{2}{\sqrt {E-E_{0}} {}} {}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}} {\f}}}} {\f}} {\f}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$$

Después de combinarlas y simplificarlas, estas expresiones dan como resultado:

$${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {E_{c}-E_{f} {\f} {\f}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$$

Aquí. ${\displaystyle m^{*}$ es la masa efectiva de los electrones en ese semiconductor particular, y la cantidad ${\displaystyle E_{c}-E_{f}$ es la diferencia de energía entre la banda de conducción y el nivel de Fermi, que es la mitad de la brecha de banda, ${\displaystyle E_{g}$:

$${\displaystyle E_{g}=2(E_{c}-E_{f}}$$

Una expresión similar puede derivarse para agujeros. La concentración de portador se puede calcular mediante el tratamiento de electrones que se mueven de ida y vuelta a través del bandgap como el equilibrio de una reacción reversible de la química, dando lugar a una ley de acción masiva electrónica. La ley de acción masiva define una cantidad ${\displaystyle No.$ llamó la concentración intrínseca del portador, que para materiales deshacerse:

$${\displaystyle No.$$

La siguiente tabla muestra algunos valores de la concentración de portadores intrínsecos para semiconductores intrínsecos, en orden creciente de brecha de banda.

Estas concentraciones de portadores cambiarán si estos materiales están dopados. Por ejemplo, dopar silicio puro con una pequeña cantidad de fósforo aumentará la densidad de portadores de electrones, n. Entonces, como n > p, el silicio dopado será un semiconductor extrínseco de tipo n. Dopar silicio puro con una pequeña cantidad de boro aumentará la densidad de portadores de huecos, por lo que p > n, y será un semiconductor extrínseco de tipo p.

La densidad de portadores también es aplicable a los metales, donde se puede estimar a partir del modelo simple de Drude. En este caso, la densidad de portadores (en este contexto, también llamada densidad de electrones libres) se puede estimar mediante:

$${\displaystyle n={\frac Z ¿Qué?$$

Donde ${\displaystyle N_{\text{A}}$ es la constante Avogadro, Z es el número de electrones valence, ${\displaystyle \rho _{m}$ es la densidad del material, y ${\displaystyle m_{a}$ es la masa atómica. Puesto que los metales pueden mostrar múltiples números de oxidación, la definición exacta de cuántos electrones de validencia un elemento debe tener en forma elemental es algo arbitrario, pero la tabla siguiente enumera las densidades de electrones libres dadas en Ashcroft y Mermin, que se calcularon utilizando la fórmula anterior basado en supuestos razonables sobre valence, ${\displaystyle Z}$, y con densidades masivas, ${\displaystyle \rho _{m}$ calculado a partir de datos experimentales de cristalografía.

Los valores de n entre los metales inferidos, por ejemplo, mediante el efecto Hall suelen ser del mismo orden de magnitud, pero este modelo simple no puede predecir la densidad de portadores con una precisión muy alta.

La densidad de portadores de carga se puede determinar en muchos casos mediante el efecto Hall, cuyo voltaje depende inversamente de la densidad de portadores.