Delta de Kronecker

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Función matemática de dos variables; salidas 1 si son iguales, 0 de otro modo

En matemáticas, el Delta Delta Kronecker (llamado a Leopold Kronecker) es una función de dos variables, generalmente solo enteros no negativos. La función es 1 si las variables son iguales y 0 de lo contrario:

{displaystyle delta _{ij}={begin{cases}0&{text{if }}ineq j,\1&{text{if }}i=j.end{cases}}}

{displaystyle delta _{ij}=[i=j],}

{displaystyle delta _{1 2}=0}

{displaystyle delta _{3 3}=1}

El delta de Kronecker aparece naturalmente en muchas áreas de las matemáticas, la física, la ingeniería y la informática, como una forma de expresar de forma compacta su definición anterior.

En álgebra lineal, el $ntimes n$ matriz de identidad $mathbf {I}$ tiene entradas iguales al Kronecker delta:

{displaystyle I_{ij}=delta _{ij}}

i

j

1,2,cdotsn

{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} =sum _{i,j=1}^{n}a_{i}delta _{ij}b_{j}=sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.}

n

{displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},dotsa_{n})}

{displaystyle mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})}

j

La restricción a números enteros positivos o no negativos es común, pero de hecho, el delta de Kronecker se puede definir en un conjunto arbitrario.

Propiedades

Se cumplen las siguientes ecuaciones:

{displaystyle {begin{aligned}sum _{j}delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\sum _{i}a_{i}delta _{ij}&=a_{j},\sum _{k}delta _{ik}delta _{kj}&=delta _{ij}.end{aligned}}}

δ

Otra representación útil es la siguiente forma:

{displaystyle delta _{nm}=lim _{Nto infty }{frac {1}{N}}sum _{k=1}^{N}e^{2pi i{frac {k}{N}}(n-m)}}

Notación alternativa

Uso del soporte de Iverson:

{displaystyle delta _{ij}=[i=j].}

A menudo, una notación de un solo grupo $delta _{i}$ se utiliza, que es equivalente al ajuste $j=0$ :

{displaystyle delta _{i}=delta _{i 0}={begin{cases}0,&{text{if }}ineq 0\1,&{text{if }}i=0end{cases}}}

En álgebra lineal, puede ser pensado como un tensor, y está escrito ${displaystyle delta _{j}^{i}}$ . A veces el delta Kronecker se llama tensor de sustitución.

Procesamiento de señal digital

Función de la muestra de unidad

En el estudio del procesamiento digital de señales (DSP), la función de muestra de unidad $delta [n]$ representa un caso especial de una función de Kronecker delta de 2 dimensiones $delta _{ij}$ donde los índices Kronecker incluyen el número cero, y donde uno de los índices es cero. En este caso:

<math alttext="{displaystyle delta [n]equiv delta _{n0}equiv delta _{0n}~~~{text{where}}-infty <nδ δ [n]↑ ↑ δ δ n0↑ ↑ δ δ 0nDonde− − JUEGO JUEGO .n.JUEGO JUEGO {displaystyle delta [n]equiv delta _{n0}equiv delta - ¿Qué?<img alt="{displaystyle delta [n]equiv delta _{n0}equiv delta _{0n}~~~{text{where}}-infty <n

O más generalmente donde:

<math alttext="{displaystyle delta [n-k]equiv delta [k-n]equiv delta _{nk}equiv delta _{kn}{text{where}}-infty <n<infty-infty <kδ δ [n− − k]↑ ↑ δ δ [k− − n]↑ ↑ δ δ nk↑ ↑ δ δ knDonde− − JUEGO JUEGO .n.JUEGO JUEGO ,− − JUEGO JUEGO .k.JUEGO JUEGO {displaystyle delta [n-k]equiv delta [k-n]equiv delta ¿Por qué? - ¿Qué?<img alt="{displaystyle delta [n-k]equiv delta [k-n]equiv delta _{nk}equiv delta _{kn}{text{where}}-infty <n<infty-infty <k

Sin embargo, este es sólo un caso especial. En el cálculo de tensor, es más común a los vectores de base de números en una dimensión particular comenzando con el índice 1, en lugar del índice 0. En este caso, la relación ${displaystyle delta [n]equiv delta _{n0}equiv delta _{0n}}$ no existe, y de hecho, la función Kronecker delta y la función de muestra de unidad son funciones diferentes que se superponen en el caso específico donde los índices incluyen el número 0, el número de índices es 2, y uno de los índices tiene el valor de cero.

Si bien la función de muestra de unidad discreta y la función delta de Kronecker usan la misma letra, difieren de las siguientes maneras. Para la función de muestra de unidad discreta, es más convencional colocar un solo índice entero en aparatos cuadrados; En contraste, el Delta de Kronecker puede tener cualquier cantidad de índices. Además, el propósito de la función de muestra de unidad discreta es diferente de la función delta de Kronecker. En DSP, la función de muestra de unidad discreta se usa típicamente como una función de entrada para un sistema discreto para descubrir la función del sistema del sistema que se producirá como una salida del sistema. Por el contrario, el propósito típico de la función delta de Kronecker es para filtrar términos de una convención de suma de Einstein.

La función de muestra de la unidad discreta se define más simplemente como:

{displaystyle delta [n]={begin{cases}1&n=0\0&n{text{ is another integer}}end{cases}}}

Además, la función delta de Dirac a menudo se confunde tanto con la función delta de Kronecker como con la función de muestra unitaria. El delta de Dirac se define como:

{displaystyle delta (t)={begin{cases}infty &t=0\0&t{text{ is another real}}end{cases}}}

A diferencia de la función Kronecker delta $delta _{ij}$ y la función de la muestra de unidad $delta [n]$ , la función Dirac delta $delta (t)$ no tiene un índice entero, tiene un único valor continuo no entero $t$ .

Para confundir asuntos más, la función de impulso de unidad se utiliza a veces para referirse a la función Dirac delta $delta (t)$ , o la función de la muestra de unidad $delta [n]$ .

Propiedades notables

El delta Kronecker tiene la llamada sifting propiedad que ${displaystyle jin mathbb {Z} }$ :

{displaystyle sum _{i=-infty }^{infty }a_{i}delta _{ij}=a_{j}.}

{displaystyle int _{-infty }^{infty }delta (x-y)f(x),dx=f(y),}

delta (t)

i

j

k

l

m

n

delta [n]

El delta de Kronecker forma el elemento de identidad multiplicativo de un álgebra de incidencia.

Relación con la función delta de Dirac

En teoría de probabilidad y estadísticas, la función Kronecker delta y Dirac delta pueden utilizarse para representar una distribución discreta. Si el apoyo de una distribución consiste en puntos ${displaystyle mathbf {x} ={x_{1},cdotsx_{n}}}$ , con las probabilidades correspondientes ${displaystyle p_{1},cdotsp_{n}}$ , entonces la función de masa de probabilidad $p(x)$ de la distribución $mathbf {x}$ puede ser escrito, usando el delta Kronecker, como

{displaystyle p(x)=sum _{i=1}^{n}p_{i}delta _{xx_{i}}.}

Equivalentemente, la función de densidad de probabilidad $f(x)$ la distribución se puede escribir utilizando la función Dirac delta como

{displaystyle f(x)=sum _{i=1}^{n}p_{i}delta (x-x_{i}).}

Bajo ciertas condiciones, el delta de Kronecker puede surgir del muestreo de una función delta de Dirac. Por ejemplo, si un impulso delta de Dirac se produce exactamente en un punto de muestreo y se filtra idealmente por paso bajo (con corte en la frecuencia crítica) según el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, la señal de tiempo discreto resultante será una función delta de Kronecker.

Generalizaciones

Si se considera como un tipo $(1,1)$ Tensor, el tensor Kronecker puede ser escrito $delta^i_j$ con un índice covariante $j$ y índice contravariante $i$ :

{displaystyle delta _{j}^{i}={begin{cases}0&(ineq j),\1&(i=j).end{cases}}}

Este tensor representa:

La cartografía de identidad (o matriz de identidad), considerada como una cartografía lineal ${displaystyle Vto V}$ o ${displaystyle V^{*}to V^{*}}$
La contracción traza o tensor, considerada como un mapeo ${displaystyle V^{*}otimes Vto K}$
El mapa ${displaystyle Kto V^{*}otimes V}$ , representando la multiplicación del escalar como una suma de productos externos.

El generalizado Kronecker delta o multi-index Kronecker delta de orden $2p$ es un tipo $(p,p)$ tensor que es completamente antisimétrico en su $p$ índices superiores, y también en sus $p$ índices inferiores.

Dos definiciones que difieren por un factor de $p!$ están en uso. A continuación, la versión se presenta tiene componentes no cero escalados para ser $pm 1$ . La segunda versión tiene componentes no cero que son ${displaystyle pm 1/p!}$ , con los consiguientes cambios de los factores de escalada en fórmulas, tales como los factores de escalada ${displaystyle 1/p!}$ dentro § Propiedades del Kronecker delta generalizado abajo desapareciendo.

Definiciones del delta de Kronecker generalizada

En términos de índices, el delta de Kronecker generalizado se define como:

{displaystyle delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}={begin{cases}+1&quad {text{if }}nu _{1}dots nu _{p}{text{ are distinct integers and are an even permutation of }}mu _{1}dots mu _{p}\-1&quad {text{if }}nu _{1}dots nu _{p}{text{ are distinct integers and are an odd permutation of }}mu _{1}dots mu _{p}\;;0&quad {text{in all other cases}}.end{cases}}}

Vamos ${displaystyle mathrm {S} _{p}}$ ser el grupo simétrico de grado $p$ , entonces:

{displaystyle delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}=sum _{sigma in mathrm {S} _{p}}operatorname {sgn}(sigma),delta _{nu _{sigma (1)}}^{mu _{1}}cdots delta _{nu _{sigma (p)}}^{mu _{p}}=sum _{sigma in mathrm {S} _{p}}operatorname {sgn}(sigma),delta _{nu _{1}}^{mu _{sigma (1)}}cdots delta _{nu _{p}}^{mu _{sigma (p)}}.}

Uso de la antisimetrización:

{displaystyle delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}=p!delta _{[nu _{1}}^{mu _{1}}dots delta _{nu _{p}]}^{mu _{p}}=p!delta _{nu _{1}}^{[mu _{1}}dots delta _{nu _{p}}^{mu _{p}]}.}

En términos de un $ptimes p$ determinante:

{displaystyle delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}={begin{vmatrix}delta _{nu _{1}}^{mu _{1}}&cdots &delta _{nu _{p}}^{mu _{1}}\vdots &ddots &vdots \delta _{nu _{1}}^{mu _{p}}&cdots &delta _{nu _{p}}^{mu _{p}}end{vmatrix}}.}

Usando la expansión de Laplace (fórmula de Laplace) del determinante, se puede definir recursivamente:

{displaystyle {begin{aligned}delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}&=sum _{k=1}^{p}(-1)^{p+k}delta _{nu _{k}}^{mu _{p}}delta _{nu _{1}dots {check {nu }}_{k}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{k}dots {check {mu }}_{p}}\&=delta _{nu _{p}}^{mu _{p}}delta _{nu _{1}dots nu _{p-1}}^{mu _{1}dots mu _{p-1}}-sum _{k=1}^{p-1}delta _{nu _{k}}^{mu _{p}}delta _{nu _{1}dots nu _{k-1},nu _{p},nu _{k+1}dots nu _{p-1}}^{mu _{1}dots mu _{k-1},mu _{k},mu _{k+1}dots mu _{p-1}},end{aligned}}}

{displaystyle {check {}}}

Cuando ${displaystyle p=n}$ (la dimensión del espacio vectorial), en términos del símbolo Levi-Civita:

{displaystyle delta _{nu _{1}dots nu _{n}}^{mu _{1}dots mu _{n}}=varepsilon ^{mu _{1}dots mu _{n}}varepsilon _{nu _{1}dots nu _{n}},.}

{displaystyle m=n-p}

{displaystyle delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}={tfrac {1}{m!}}varepsilon ^{kappa _{1}dots kappa _{m}mu _{1}dots mu _{p}}varepsilon _{kappa _{1}dots kappa _{m}nu _{1}dots nu _{p}},.}

Contracciones del delta de Kronecker generalizada

Las contracciones Delta de Kronecker dependen de la dimensión del espacio. Por ejemplo,

{displaystyle delta _{mu _{1}}^{nu _{1}}delta _{nu _{1}nu _{2}}^{mu _{1}mu _{2}}=(d-1)delta _{nu _{2}}^{mu _{2}},}

d

{displaystyle delta _{mu _{1}mu _{2}}^{nu _{1}nu _{2}}delta _{nu _{1}nu _{2}}^{mu _{1}mu _{2}}=2d(d-1).}

{displaystyle delta _{mu _{1}dots mu _{n}}^{nu _{1}dots nu _{n}}delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}=n!{frac {(d-p+n)!}{(d-p)!}}delta _{nu _{n+1}dots nu _{p}}^{mu _{n+1}dots mu _{p}}.}

Propiedades del delta de Kronecker generalizada

El delta de Kronecker generalizado se puede utilizar para la antisimetrización:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{p!}}delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}a^{nu _{1}dots nu _{p}}&=a^{[mu _{1}dots mu _{p}]},\{frac {1}{p!}}delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}a_{mu _{1}dots mu _{p}}&=a_{[nu _{1}dots nu _{p}]}.end{aligned}}}

De las ecuaciones anteriores y las propiedades de los tensores antisimétricos, podemos derivar las propiedades del delta de Kronecker generalizado:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{p!}}delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}a^{[nu _{1}dots nu _{p}]}&=a^{[mu _{1}dots mu _{p}]},\{frac {1}{p!}}delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}a_{[mu _{1}dots mu _{p}]}&=a_{[nu _{1}dots nu _{p}]},\{frac {1}{p!}}delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}delta _{kappa _{1}dots kappa _{p}}^{nu _{1}dots nu _{p}}&=delta _{kappa _{1}dots kappa _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}},end{aligned}}}

§ Properties

La reducción del orden mediante la suma de los índices puede expresarse mediante la identidad

{displaystyle delta _{nu _{1}dots nu _{s},mu _{s+1}dots mu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{s},mu _{s+1}dots mu _{p}}={frac {(n-s)!}{(n-p)!}}delta _{nu _{1}dots nu _{s}}^{mu _{1}dots mu _{s}}.}

Utilizando tanto la regla de la suma para el caso ${displaystyle p=n}$ y la relación con el símbolo Levi-Civita, se deriva la regla de la suma del símbolo Levi-Civita:

{displaystyle delta _{nu _{1}dots nu _{p}}^{mu _{1}dots mu _{p}}={frac {1}{(n-p)!}}varepsilon ^{mu _{1}dots mu _{p},kappa _{p+1}dots kappa _{n}}varepsilon _{nu _{1}dots nu _{p},kappa _{p+1}dots kappa _{n}}.}

Representaciones integrales

Para cualquier entero $n$ , utilizando un cálculo estándar de residuos podemos escribir una representación integral para el delta Kronecker como la parte de abajo, donde el contorno de la integral va contrarredo alrededor de cero. Esta representación es también equivalente a una integral definida por una rotación en el plano complejo.

{displaystyle delta _{x,n}={frac {1}{2pi i}}oint _{|z|=1}z^{x-n-1},dz={frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }e^{i(x-n)varphi },dvarphi }

El peine Kronecker

La función de peine Kronecker con periodo $N$ se define (utilizando la notación DSP) como:

{displaystyle Delta _{N}[n]=sum _{k=-infty }^{infty }delta [n-kN],}

N

n

N

Integral de Kronecker

El delta de Kronecker también se denomina grado de mapeo de una superficie en otra. Supongamos que se realiza una asignación desde la superficie $S uvw$ hasta $S xyz$ que son límites de regiones, $R uvw$ y $R xyz$ que simplemente está conectado con uno- correspondencia a uno. En este marco, si $s$ y $t$ son parámetros para $S uvw$ y $S uvw$ a $S uvw$ están orientados por el $n$ normal exterior:

{displaystyle u=u(s,t),quad v=v(s,t),quad w=w(s,t),}

{displaystyle (u_{s}mathbf {i} +v_{s}mathbf {j} +w_{s}mathbf {k})times (u_{t}mathbf {i} +v_{t}mathbf {j} +w_{t}mathbf {k}).}

Sea $x = x (u, v, w)$ , $y = y (u, v, w)$ , $z = z (u, v, w)$ definirse y suavizarse en un dominio que contenga $S uvw$ , y deje que estas ecuaciones definan el mapeo de $S uvw$ en $S xyz$ . Entonces el grado $δ$ del mapeo es $1 / 4π$ veces el ángulo sólido de la imagen $S$ de $S uvw$ con respecto al punto interior de $S xyz$ , $O$ . Si $O$ es el origen de la región, $R xyz$ , entonces el grado, $δ$ está dado por la integral:

{displaystyle delta ={frac {1}{4pi }}iint _{R_{st}}left(x^{2}+y^{2}+z^{2}right)^{-{frac {3}{2}}}{begin{vmatrix}x&y&z\{frac {partial x}{partial s}}&{frac {partial y}{partial s}}&{frac {partial z}{partial s}}\{frac {partial x}{partial t}}&{frac {partial y}{partial t}}&{frac {partial z}{partial t}}end{vmatrix}},ds,dt.}

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