Deformación (matemáticas)

En matemáticas, teoría de la deformación es el estudio de condiciones infinitesimal asociadas con una solución variable P de un problema a soluciones ligeramente diferentes P_ε, donde ε es un pequeño número, o un vector de pequeñas cantidades. Las condiciones infinitesimal son el resultado de aplicar el enfoque del cálculo diferencial para resolver un problema con limitaciones. El nombre es una analogía con estructuras norígidas que deforman ligeramente para dar cabida a fuerzas externas.

Algunos fenómenos característicos son: la derivación de ecuaciones de primer orden tratando las cantidades ε como si tuvieran cuadrados insignificantes; la posibilidad de soluciones aisladas, en el sentido de que variar una solución puede no ser posible, o no aporta nada nuevo; y la cuestión de si las restricciones infinitesimales realmente se “integran”, de modo que su solución proporcione pequeñas variaciones. De alguna forma, estas consideraciones tienen una historia de siglos en las matemáticas, pero también en la física y la ingeniería. Por ejemplo, en geometría de números se reconoció una clase de resultados llamados teoremas de aislamiento, con la interpretación topológica de una órbita abierta (de una acción grupal) alrededor de una solución dada.. La teoría de la perturbación también analiza las deformaciones, en general, de los operadores.

Deformaciones de variedades complejas

La teoría de la deformación más destacada en matemáticas ha sido la de variedades complejas y variedades algebraicas. Esto se estableció sobre una base firme gracias al trabajo fundacional de Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer, después de que las técnicas de deformación hubieran recibido una aplicación mucho más tentativa en la escuela italiana de geometría algebraica. Uno espera, intuitivamente, que la teoría de la deformación de primer orden iguale el espacio tangente de Zariski con un espacio de módulos. Sin embargo, en general los fenómenos resultan ser bastante sutiles.

En el caso de las superficies de Riemann, se puede explicar que la estructura compleja de la esfera de Riemann está aislada (sin módulos). Para el género 1, una curva elíptica tiene una familia de estructuras complejas de un parámetro, como se muestra en la teoría de la función elíptica. La teoría general de Kodaira-Spencer identifica como clave de la teoría de la deformación al grupo de cohomología de la gavilla.

${displaystyle H^{1}(Theta),}$

donde Θ es (el haz de gérmenes de secciones de) el haz tangente holomorfo. Hay una obstrucción en el H² de la misma gavilla; que siempre es cero en el caso de una curva, por razones generales de dimensión. En el caso del género 0, el H¹ también desaparece. Para el género 1 la dimensión es el número de Hodge h^1,0 que por lo tanto es 1. Se sabe que todas las curvas del género uno tienen ecuaciones de la forma y² = x³ + ax + b. Obviamente, éstas dependen de dos parámetros, a y b, mientras que las clases de isomorfismo de tales curvas tienen un solo parámetro. Por tanto, debe haber una ecuación que relacione aquellos a y b que describen curvas elípticas isomorfas. Resulta que las curvas para las cuales b²a⁻³ tienen el mismo valor, describen curvas isomorfas. Es decir. variar a y b es una forma de deformar la estructura de la curva y² = x³ + ax + b, pero no todas las variaciones de a,b realmente cambian la clase de isomorfismo de la curva.

Se puede ir más allá con el caso del género g > 1, usando la dualidad de Serre para relacionar el H¹ con

${displaystyle H^{0}(Omega ^{[2]}$

donde Ω es el paquete cotangente holomorfo y la notación Ω^[2] significa el tensor cuadrado (no la segunda potencia exterior). En otras palabras, las deformaciones están reguladas por diferenciales cuadráticos holomórficos en una superficie de Riemann, algo que también se conoce clásicamente. La dimensión del espacio de módulos, llamado espacio de Teichmüller en este caso, se calcula como 3g − 3, según el teorema de Riemann-Roch.

Estos ejemplos son el comienzo de una teoría que se aplica a las familias holomorfas de múltiples complejos, de cualquier dimensión. Otros desarrollos incluyeron: la extensión por Spencer de las técnicas a otras estructuras de geometría diferencial; la asimilación de la teoría Kodaira–Spencer en la geometría algebraica abstracta de Grothendieck, con una consiguiente aclaración sustantiva del trabajo anterior; y la teoría de la deformación de otras estructuras, como álgebras.

Deformaciones y mapas planos

La forma más general de una deformación es un mapa plano ${displaystyle f:Xto S}$ de espacios, esquemas o gérmenes complejo-analíticos en un espacio. Grothendieck fue el primero en encontrar esta generalización de largo alcance para las deformaciones y desarrolló la teoría en ese contexto. La idea general es que debe existir familia universal ${displaystyle {Mathfrak}to B}$ tal que cualquier deformación puede ser encontrada como único cuadrado de retroceso

${displaystyle {begin{matrix} X golpeto > Mathfrak {X}\\downarrow > \S pacienteto > {matrix}}$

En muchos casos, esta familia universal es un esquema Hilbert o un esquema Quot, o un cociente de uno de ellos. Por ejemplo, en la construcción de los Moduli de curvas, se construye como un cociente de las curvas lisas en el esquema Hilbert. Si la plaza no es única, entonces la familia es sólo versal.

Deformaciones de gérmenes de álgebras analíticas

Una de las áreas útiles y fácilmente computables de la teoría de la deformación proviene de la teoría de la deformación de gérmenes de espacios complejos, como las variedades de Stein, las variedades complejas o las variedades analíticas complejas. Tenga en cuenta que esta teoría se puede globalizar a variedades complejas y espacios analíticos complejos considerando los haces de gérmenes de funciones holomorfas, espacios tangentes, etc. Tales álgebras son de la forma

${displaystyle Acong {frac {fnMithbb {C} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}}$

Donde ${displaystyle mathbb {C}{z_{1},ldotsz_{n}}}$ es el anillo de la serie de energía convergente y ${displaystyle I}$ es un ideal. Por ejemplo, muchos autores estudian los gérmenes de las funciones de una singularidad, como el álgebra

${displaystyle Acong {frac {fnMithbb {C} {fn} {fn} {fn} {fn}}}}}}}}}}}$

representando una singularidad de la curva de avión. A germen de álgebras analíticas es entonces un objeto en la categoría opuesta de tales álgebras. Entonces, un deformación de un germen de álgebras analítica ${displaystyle X_{0}$ es dado por un mapa plano de gérmenes de álgebras analíticas ${displaystyle f:Xto S}$ Donde ${displaystyle S.$ tiene un punto distinguido ${displaystyle 0}$ tal que ${displaystyle X_{0}$ encaja en el cuadrado de retroceso

${displaystyle {begin{matrix}X_{0} #X\\downarrow > {fnK}} {fnK}}}$

Estas deformaciones tienen una relación de equivalencia dada por cuadrados conmutativos

${displaystyle {begin{matrix}X' limitto ####\downarrow > ###### ###############################################################################################################################################################################################################################################$

donde las flechas horizontales son isomorfismos. Por ejemplo, hay una deformación de la singularidad de la curva plana dada por el diagrama opuesto del diagrama conmutativo de álgebras analíticas

${displaystyle {begin{Matrix}{frac {Mathbb {C} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fnfnMitbb {C} {x,y,s}{2}-x^{n}\\\\\uparrow > \mathbb {C} > }$

De hecho, Milnor estudió tales deformaciones, donde una singularidad es deformada por una constante, por lo tanto la fibra sobre un no-cero ${displaystyle s}$ se llama Fibra de leche.

Interpretación cohomológica de las deformaciones

Debe ser claro que podría haber muchas deformaciones de un solo germen de funciones analíticas. Debido a esto, hay algunos dispositivos de contabilidad necesarios para organizar toda esta información. Estos dispositivos organizativos se construyen utilizando la cohomología tangente. Esto se forma mediante el uso de la resolución Koszul-Tate, y potencialmente la modificación mediante la adición de generadores adicionales para álgebras no regulares ${displaystyle A}$. En el caso de álgebras analítica estas resoluciones se llaman Resolución Tjurina para el matemático que primero estudió tales objetos, Galina Tyurina. Este es un álgebra diferencial de grado grado grado grado grado grado ${displaystyle (R_{bullet },s)}$ tales que ${displaystyle R_{0}to A}$ es un mapa subjetivo de álgebras analíticas, y este mapa encaja en una secuencia exacta

${displaystyle cdots xrightarrow {s} R_{-2}xrightarrow {fnMicrosoft Sans Serif} Ato 0}$

Luego, tomando el módulo de derivaciones de grado diferencial ${displaystyle ({text{Der}}(R_{bullet }),d)}$, su cohomología forma la tangente cohomology del germen de álgebras analítica ${displaystyle A}$. Estos grupos de cohomología son denotados ${displaystyle T^{k}(A)}$. El ${displaystyle T^{1}(A)}$ contiene información sobre todas las deformaciones ${displaystyle A}$ y se puede calcular fácilmente utilizando la secuencia exacta

${displaystyle 0to T^{0}(A)to {text{Der}(R_{0})xrightarrow {d} {d} {text{}} ¿Qué?$

Si ${displaystyle A}$ es isomorfo al álgebra

${fnMicroc {fnMithbb {C} {f_{1} {} {f_{1} {f}}}}}}}}}}}$

entonces sus deformaciones son iguales a

${displaystyle T^{1}(A)cong {frac}{m}{dfcdot A^{n}}}$

Estaban ${displaystyle df}$ es la matriz jacobina de ${displaystyle f=(f_{1},ldotsf_{m}:mathbb {C} {fn}to mathbb {C}$. Por ejemplo, las deformaciones de una hipersuperficie dadas por ${displaystyle f}$ tiene las deformaciones

${displaystyle T^{1}(A)cong {frac {n}{left({frac {partial f}{partial z_{1}}}}}ldots{frac {partial f}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Para la singularidad ${displaystyle Y...$ este es el módulo

${displaystyle {frac {fnK}{y,x^{2}}}}$

por lo tanto las únicas deformaciones se dan añadiendo constantes o factores lineales, por lo que una deformación general de ${displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}$ es ${displaystyle F(x,y,a_{1},a_{2}=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x}$ Donde ${displaystyle A_{i}$ son parámetros de deformación.

Descripción Functorial

Otro método para formalizar la teoría de la deformación es utilizar functores en la categoría ${displaystyle {text{Art}_{k}}$ de álgebras de Artin local sobre un campo. A pre-deformation functor se define como un functor

${displaystyle F:{text{Art}_{k}to {text{Sets}}$

tales que ${displaystyle F(k)}$ Es un punto. La idea es que queremos estudiar la estructura infinitesimal de algún espacio de moduli alrededor de un punto en el que estar sobre ese punto es el espacio de interés. Normalmente es el caso que es más fácil describir al functor para un problema de moduli en lugar de encontrar un espacio real. Por ejemplo, si queremos considerar el moduli-espacio de hipersuperficies de grado ${displaystyle d}$ dentro ${displaystyle mathbb {} {} {}} {fn}}$, entonces podríamos considerar el functor

${displaystyle F:{text{Sch}to {text{Sets}}$

dónde

${displaystyle F(S)=left{begin{matrix}X\\downarrow \Send{matrix}:{text{ cada fibra es un grado }d{text{ hypersurface in }mathbb {fn} {fn}}$

Aunque en general, es más conveniente/requerido trabajar con functores de grupoides en lugar de conjuntos. Esto es cierto para los módulos de curvas.

Observaciones técnicas sobre infinitesimales

Los infinitesimales han estado en uso por los matemáticos para argumentos no-rigorosos en el cálculo. La idea es que si consideramos polinomios ${displaystyle F(x,varepsilon)}$ con un infinitesimal ${displaystyle varepsilon }$, entonces sólo los términos de primer orden realmente importa; es decir, podemos considerar

${displaystyle F(x,varepsilon)equiv f(x)+varepsilon g(x)+O(varepsilon ^{2}}$

Una aplicación sencilla de esto es que podemos encontrar las derivadas de monomios usando infinitesimales:

${displaystyle (x+varepsilon)}=x^{3}+3x^{2}varepsilon +O(varepsilon ^{2}}$

el ${displaystyle varepsilon }$ término contiene el derivado del monomial, demostrando su uso en el cálculo. También podríamos interpretar esta ecuación como los dos primeros términos de la expansión Taylor del monomial. Los infinitesimales se pueden hacer rigurosos utilizando elementos nilpotent en álgebras de artin local. En el anillo ${displaystyle k[y]/(y^{2}$ vemos que los argumentos con infinitesimal pueden funcionar. Esto motiva la notación ${displaystyle k[varepsilon]=k[y]/(y^{2}$, que se llama el Anillo de números duales.

Además, si queremos considerar términos de mayor orden de una aproximación de taylor entonces podríamos considerar los álgebras de artin ${displaystyle k[y]/(y^{k}$. Para nuestro monomial, supongamos que queremos escribir la segunda expansión del orden, entonces

${displaystyle (x+varepsilon)}=x^{3}+3x^{2}varepsilon +3xvarepsilon ^{2}+varepsilon ^{3}$

Recuerde que una expansión de Taylor (en cero) se puede escribir como

${displaystyle f(x)=f(0)+{frac {{(1)}(x)}{1!}}+{frac {{(2)}(x)}{2}}}}}+{frac {f^{(3)}(x)}{3!}}}+cdots }}$

por lo tanto las dos ecuaciones anteriores muestran que el segundo derivado de ${displaystyle x^{3}$ es ${displaystyle 6x}$.

En general, dado que queremos considerar expansiones de Taylor de orden arbitrario en cualquier número de variables, consideraremos la categoría de todas las álgebras locales de artin sobre un campo.

Motivación

Para motivar la definición de un funtor previo a la deformación, considere la hipersuperficie proyectiva sobre un campo

${displaystyle {begin{matrix}operatorname {Proj} left({dfrac # Mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2}}{4}=x_{3}{4}}right)\downarrow \\operatorname {Spec} k)end{matrix}}$

Si queremos considerar una deformación infinitesimal de este espacio, entonces podríamos escribir un cuadrado cartesiano

${displaystyle {begin{matrix}operatorname {Proj} left({dfrac # Mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2}}{4}+x_{4}}}}}derecho)}to " Operatorname {Proj} left({dfrac # Mathbb [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3} [varepsilon ]}{(x_{0}{4}+x_{1}{4}+x_{2}{4}+x_{4}+x_{3}{4}+varepsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################....$

Donde ${displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}=4}$. Entonces, el espacio en la esquina derecha es un ejemplo de una deformación infinitesimal: la estructura teórica extra de esquema de los elementos nilpotent en ${displaystyle operatorname {Spec} (k[varepsilon]}$ (que es topológicamente un punto) nos permite organizar estos datos infinitesimal. Puesto que queremos considerar todas las expansiones posibles, vamos a permitir que nuestro functor de predeformación sea definido en objetos como

${displaystyle F(A)=left{begin{matrix}operatorname {Proj} left({dfrac # Mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2}}{4}+x_{4}}}}}derecha)}to "Mathfrak" {Spec} (k) Dueto > Operatorname {Spec} (A)end{matrix}right}}$

Donde ${displaystyle A}$ es un Artin local ${displaystyle k}$- álgebra.

Functores de predeformación suaves

Un functor de predeformación se llama lisa si para cualquier subjeción ${displaystyle A'to A}$ tal que el cuadrado de cualquier elemento en el núcleo es cero, hay una subjeción

${displaystyle F(A)to F(A)}$

Esto está motivado por la siguiente pregunta: dada una deformación

${displaystyle {begin{matrix} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Spec} (k) Dueto > Operatorname {Spec} (A)end{matrix}}}$

hay una extensión de este diagrama cartesiano a los diagramas cartesianos

${displaystyle {begin{matrix} ################################################################################################################################################################################################################################################################$

el nombre suave proviene del criterio de elevación de un morfismo suave de esquemas.

Espacio tangente

Recordar que el espacio tangente de un esquema ${displaystyle X}$ puede describirse como ${displaystyle operatorname {Hom}$-set

${displaystyle TX:=operatorname [Hom] _{text{Sch}/k}(operatorname) [Spec] (k [varepsilon]),X)}$

donde la fuente es el anillo de números duales. Dado que estamos considerando el espacio tangente de un punto de algún espacio de módulos, podemos definir el espacio tangente de nuestro funtor (pre)deformación como

${displaystyle T_{F}:=F(k[varepsilon])}$

Aplicaciones de la teoría de la deformación

Dimensión de módulos de curvas

Una de las primeras propiedades del moduli de las curvas algebraicas ${fnMicrosoft Sans Serif}$ se puede deducir usando la teoría de la deformación elemental. Su dimensión puede ser calculada

${displaystyle dim({mathcal {M}_{g})=dim H^{1}(C,T_{C})}$

para una curva lisa arbitraria del género ${displaystyle g}$ porque el espacio de deformación es el espacio tangente del espacio moduli. Utilizando la dualidad Serre el espacio tangente es isomorfo a

${displaystyle {begin{aligned}H^{1}(C,T_{C}) {cong H^{0}(C,T_{*}otimes omega _{C})^{vee }\cong H^{0}(C,omega) ¿Qué?$

Por lo tanto, el teorema de Riemann-Roch da

${displaystyle {begin{aligned}h^{0}(C,omega _{C} {otimes 2}-h^{1}(C,omega ################################################################################################################################################################################################################################################################$

Para curvas de género ${displaystyle ggeq 2}$ el ${displaystyle h^{1}(C,omega ¿Qué?$ porque

${displaystyle h^{1}(C,omega _{C} {otimes 2}=h^{0}(C,(omega ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$

el título es

${displaystyle {begin{aligned}{text{deg}(omega ¿Por qué? ¿Por qué?$

y ${displaystyle h^{0}(L)=0}$ para paquetes de línea de grado negativo. Por lo tanto la dimensión del espacio moduli es ${displaystyle 3g-3}$.

Bend andbreak

Shigefumi Mori aplicó la famosa teoría de la deformación en geometría biracional para estudiar la existencia de curvas racionales en variedades. Para una variedad de Fano de dimensión positiva, Mori demostró que hay una curva racional que pasa por cada punto. El método de prueba más tarde se conoció como el doblez y rotura de Mori. La idea aproximada es comenzar con una curva C que pase por un punto elegido y seguir deformándola hasta que se rompa en varios componentes. Reemplazar C por uno de los componentes tiene el efecto de disminuir el género o el grado de C. Entonces, después de varias repeticiones del procedimiento, eventualmente obtendremos una curva de género 0, es decir, una curva racional. La existencia y las propiedades de las deformaciones de C requieren argumentos de la teoría de la deformación y una reducción a una característica positiva.

Deformaciones aritméticas

Una de las principales aplicaciones de la teoría de la deformación está en aritmética. Se puede utilizar para responder a la siguiente pregunta: si tenemos una variedad ${displaystyle X/Mathbb {F} _{p}$, cuáles son las extensiones posibles ${displaystyle {Mathfrak}/Mathbb {Z}$? Si nuestra variedad es una curva, entonces la desaparición ${displaystyle H^{2}$ implica que cada deformación induce una variedad sobre ${displaystyle mathbb {Z} _{p}$; es decir, si tenemos una curva suave

${displaystyle {begin{Matrix}X\\downarrow\\\\\fnMicrosoft} {Spec} (mathbb {F} _{p})end{matrix}}$

y una deformación

${displaystyle {begin{matrix} X golpeto > Mathfrak {X}_{2}\\downarrow > \\fnMicronername {Spec} (mathbb {F} _{p}) {Spec} (mathbb {Z}/(p^{2})end{matrix}}}$

entonces siempre podemos extenderlo a un diagrama de la forma

${displaystyle {begin{matrix} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {X}_{3} limitto cdots \downarrow > {Spec} (mathbb {F} _{p}) {Spec} (mathbb {Z} /(p^{2}) {Spec} (mathbb {Z} /(p^{3})$

Esto implica que podemos construir un esquema formal ${displaystyle {Mathfrak}=operatorname {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}$ dando una curva ${displaystyle mathbb {Z} _{p}$.

Deformaciones de esquemas abelianos

El teorema Serre-Tate afirma, aproximadamente, que las deformaciones del esquema abeliano A es controlado por deformaciones del grupo p-divisible ${displaystyle A[p^{infty]}$ consistente en su p- puntos de torsión de poder.

Deformaciones de Galois

Otra aplicación de la teoría de la deformación es con las deformaciones de Galois. Nos permite responder a la pregunta: Si tenemos una representación de Galois

${displaystyle Gto operatorname {GL} _{n}(mathbb {F} _{p})}$

¿Cómo podemos extenderlo a una representación?

${displaystyle Gto operatorname {GL} _{n}(mathbb ¿Qué?$

Relación con la teoría de cuerdas

La llamada conjetura de Deligne que surgió en el contexto de las álgebras (y la cohomología de Hochschild) estimuló mucho interés en la teoría de la deformación en relación con la teoría de cuerdas (en términos generales, para formalizar la idea de que una teoría de cuerdas puede considerarse como una deformación de una teoría de la partícula puntual). Esto ahora se acepta como probado, después de algunos problemas con los primeros anuncios. Maxim Kontsevich se encuentra entre los que han ofrecido una prueba generalmente aceptada de ello.