Decrecimiento exponencial

Una cantidad está sujeta a decaimiento exponencial si disminuye a un ritmo proporcional a su valor actual. Simbólicamente, este proceso se puede expresar mediante la siguiente ecuación diferencial, donde N es la cantidad y λ (lambda) es una tasa positiva llamada constante de decaimiento exponencial, constante de desintegración, tasa constante, o constante de transformación:

dNdt=− − λ λ N.{displaystyle {frac {dN}=-lambda N.

La solución a esta ecuación (ver la derivación a continuación) es:

N()t)=N0e− − λ λ t,{displaystyle N(t)=N_{0}e^{-lambda t}

donde N(t) es la cantidad en el momento t, N₀ = N(0) es la cantidad inicial, es decir, la cantidad en el momento t = 0.

Medición de tasas de descomposición

Vida útil media

Si la cantidad de decaimiento, N()t), es el número de elementos discretos en un determinado conjunto, es posible calcular la duración media del tiempo que un elemento permanece en el conjunto. Esto se llama vida (o simplemente el por vida), donde el tiempo exponencial constante, τ τ {displaystyle tau }, se refiere a la tasa de desintegración constante, λ, de la siguiente manera:

τ τ =1λ λ .{displaystyle tau ={frac {1}{lambda }}

La vida media se puede ver como un "tiempo de escalar", porque la ecuación de decaimiento exponencial se puede escribir en términos de la vida media, τ τ {displaystyle tau }, en lugar de la constante decadente, λ:

N()t)=N0e− − t/τ τ ,{displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/tau }

y eso τ τ {displaystyle tau } es el momento en que la población de la asamblea se reduce a 1/e Ω 0.367879441 veces su valor inicial.

Por ejemplo, si la población inicial de la asamblea, N(0), es 1000, luego la población a la vez τ τ {displaystyle tau }, N()τ τ ){displaystyle N(tau)}, es 368.

A very similar equation will be seen below, which arises when the base of the exponential is chosen to be 2, rather than e. In that case the scaling time is the "half-life ".

Vida media

Una característica más intuitiva del decaimiento exponencial para muchas personas es el tiempo requerido para que la cantidad en decaimiento caiga a la mitad de su valor inicial. (Si N(t) es discreto, entonces este es el tiempo de vida medio en lugar del tiempo de vida medio). vida, y a menudo se denota con el símbolo t_1/2. La vida media se puede escribir en términos de la constante de descomposición, o la vida media, como:

t1/2=In⁡ ⁡ ()2)λ λ =τ τ In⁡ ⁡ ()2).{displaystyle t_{1/2}={frac {ln(2)}{lambda }=tau ln(2). }

Cuando se inserta esta expresión τ τ {displaystyle tau } en la ecuación exponencial anterior, y ln 2 se absorbe en la base, esta ecuación se convierte en:

N()t)=N02− − t/t1/2.{displaystyle N(t)=N_{0}2^{ - No.

Por lo tanto, la cantidad de material que queda es 2⁻¹ = 1/2 elevado al número (entero o fraccionario) de vidas medias que han pasado. Por lo tanto, después de 3 vidas medias, quedará 1/2³ = 1/8 del material original.

Por lo tanto, la vida media τ τ {displaystyle tau } es igual a la media vida dividida por el tronco natural de 2, o:

τ τ =t1/2In⁡ ⁡ ()2).. 1.44⋅ ⋅ t1/2.{displaystyle tau ={frac {T_{1/2} {ln(2)}approx 1.44cdot.

Por ejemplo, el polonio-210 tiene una vida media de 138 días y una vida media de 200 días.

Solución de la ecuación diferencial

La ecuación que describe el decaimiento exponencial es

dNdt=− − λ λ N{displaystyle {frac {dN}=-lambda N.

o bien, reordenando (aplicando la técnica llamada separación de variables),

dNN=− − λ λ dt.{displaystyle {frac {dN}=-lambda dt.}

Integrando, tenemos

In⁡ ⁡ N=− − λ λ t+C{displaystyle ln N=-lambda t+C,}

donde C es la constante de integración, y por lo tanto

N()t)=eCe− − λ λ t=N0e− − λ λ t{displaystyle N(t)=e^{C}e^{-lambda No.

donde la sustitución final, N₀ = e^C, es obtenido al evaluar la ecuación en t = 0, ya que N₀ se define como la cantidad en t = 0.

Esta es la forma de la ecuación que se usa más comúnmente para describir el decaimiento exponencial. Cualquiera de la constante de descomposición, la vida útil media o la vida media es suficiente para caracterizar la descomposición. La notación λ para la constante de decaimiento es un remanente de la notación habitual para un valor propio. En este caso, λ es el valor propio del negativo del operador diferencial con N(t) como función propia correspondiente. Las unidades de la constante de decaimiento son s⁻¹.

Derivación de la vida media

Dado un conjunto de elementos, el número de los cuales disminuye en última instancia a cero, el vida, τ τ {displaystyle tau }, (también llamado simplemente por vida) es el valor esperado de la cantidad de tiempo antes de que un objeto sea eliminado de la asamblea. Específicamente, si vida individual de un elemento de la asamblea es el tiempo transcurrido entre algún tiempo de referencia y la eliminación de ese elemento de la asamblea, la vida media es la media aritmética de las vidas individuales.

A partir de la fórmula de población

N=N0e− − λ λ t,{displaystyle N=N_{0}e^{-lambda t},,}

primero sea c el factor de normalización para convertir a una función de densidad de probabilidad:

1=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO c⋅ ⋅ N0e− − λ λ tdt=c⋅ ⋅ N0λ λ {displaystyle 1=int _{0} {infty}ccdot N_{0}e^{-lambda t},dt=ccdot {frac {N_{0}{lambda }

o, al reorganizar,

c=λ λ N0.{displaystyle c={frac {fnMicrode - Sí.

El decaimiento exponencial es un múltiplo escalar de la distribución exponencial (es decir, la vida útil individual de cada objeto se distribuye exponencialmente), que tiene un valor esperado bien conocido. Podemos calcularlo aquí usando integración por partes.

τ τ =.. t.. =∫ ∫ 0JUEGO JUEGO t⋅ ⋅ c⋅ ⋅ N0e− − λ λ tdt=∫ ∫ 0JUEGO JUEGO λ λ te− − λ λ tdt=1λ λ .{displaystyle tau =langle trangle =int - ¿Qué? N_{0}e^{-lambda ###,dt=int _{infty }lambda te^{-lambda t},dt={frac {1}{lambda }}

Decaimiento por dos o más procesos

Una cantidad puede decaer a través de dos o más procesos diferentes simultáneamente. En general, estos procesos (a menudo llamados "modos de descomposición", "canales de descomposición", "rutas de descomposición", etc.) tienen diferentes probabilidades de ocurrir y, por lo tanto, ocurren en diferentes tasas con diferentes vidas medias, en paralelo. La tasa de decaimiento total de la cantidad N viene dada por la suma de las rutas de decaimiento; así, en el caso de dos procesos:

− − dN()t)dt=Nλ λ 1+Nλ λ 2=()λ λ 1+λ λ 2)N.{displaystyle -{frac {dN(t)}{dt}=Nlambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? _{1}+lambda No.

La solución a esta ecuación se da en la sección anterior, donde la suma de λ λ 1+λ λ 2{displaystyle lambda _{1}+lambda ¿Qué? es tratado como una nueva constante de decaimiento total λ λ c{displaystyle lambda ¿Qué?.

N()t)=N0e− − ()λ λ 1+λ λ 2)t=N0e− − ()λ λ c)t.{displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(lambda _{1}+lambda No.

Vida media parcial asociado con procesos individuales es por definición el inverso multiplicativo de la constante de decadencia parcial correspondiente: τ τ =1/λ λ {displaystyle tau =1/lambda }. Un combinado τ τ c{displaystyle tau _{c} se puede dar en términos de λ λ {displaystyle lambda }s:

1τ τ c=λ λ c=λ λ 1+λ λ 2=1τ τ 1+1τ τ 2{displaystyle {frac {1}{tau ¿Qué? ¿Qué? _{1}+lambda ¿Qué? {1}{tau ¿Qué? ¿Qué?

τ τ c=τ τ 1τ τ 2τ τ 1+τ τ 2.{displaystyle tau ¿Qué? ¿Qué? - Sí.

Puesto que la vida media difiere de la vida media τ τ {displaystyle tau } por un factor constante, la misma ecuación sostiene en términos de las dos vidas medias correspondientes:

T1/2=t1t2t1+t2{displaystyle T_{1/2}={frac {fn} {fn} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}} {f}}}} {fn}}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Donde T1/2{displaystyle T_{1/2} es la media vida total o combinada para el proceso, t1{displaystyle T_{1} y t2{displaystyle T_{2} son tan conocidos semividas parciales de procesos correspondientes. Términos "vida parcial" y "vida media parcial" denotan cantidades derivadas de una constante decadente como si el modo de decadencia dado fuera el único modo de desintegración para la cantidad. El término "vida parcial" es engañoso, porque no se puede medir como intervalo de tiempo para el cual se reduce cierta cantidad.

En términos de constantes separadas de decaimiento, la media vida total T1/2{displaystyle T_{1/2} se puede demostrar que

T1/2=In⁡ ⁡ 2λ λ c=In⁡ ⁡ 2λ λ 1+λ λ 2.{displaystyle T_{1/2}={frac {ln2}{lambda {c}={f} {fn2}{c}} {fn9}} {fnMicroc} {fn} {fn9}} {fn0}}}}} {fn9fn9fn9fn9fn0}}}fn9fn9fn9}}}}}}}}\\\\\\\\\fn9\\\\fnKfnKfnK\\fnK\fn9fnK\fnK\\\fnKfnK\fnK\\fn9fn9fn9\\\\fnK\fnKfnKfn9\fn9fn9\\\\fnK\\fn2\\fn _{1}+lambda - Sí.

Para un decaimiento por tres procesos exponenciales simultáneos, la vida media total se puede calcular como se indica arriba:

T1/2=In⁡ ⁡ 2λ λ c=In⁡ ⁡ 2λ λ 1+λ λ 2+λ λ 3=t1t2t3()t1t2)+()t1t3)+()t2t3).{displaystyle T_{1/2}={frac {ln2}{lambda {c}={f} {fn2}{c}} {fn9}} {fnMicroc} {fn} {fn9}} {fn9}}}} {fn9fn9fn9}}fn9fn0}}}fn9fn9fn9fn9}}}}}}}}}\\fn9\\fn9fn9fn9fn9fn9fn9fn9fn9fn9fn9fn9\\\fn9fn9fn9fn9fn9fn9fn9\fn9\\fn9\fn9fn9fn9fn9fn9fn9fn9\fn9}\\fn9}}}fn _{1}+lambda _{2}+lambda ¿Qué? {t_{1}t_{2} {3}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3}}}}}}}

Serie de decaimiento / decaimiento acoplado

En ciencia nuclear y farmacocinética, el agente de interés puede estar situado en una cadena de decaimiento, donde la acumulación se rige por el decaimiento exponencial de un agente fuente, mientras que el agente de interés en sí se descompone mediante un proceso exponencial.

Estos sistemas se resuelven usando la ecuación de Bateman.

En el entorno farmacológico, algunas sustancias ingeridas pueden ser absorbidas por el cuerpo mediante un proceso razonablemente modelado como decaimiento exponencial, o pueden formularse deliberadamente para tener dicho perfil de liberación.

Aplicaciones y ejemplos

El decaimiento exponencial ocurre en una amplia variedad de situaciones. La mayoría de estos caen en el dominio de las ciencias naturales.

Muchos procesos de descomposición que a menudo se tratan como exponenciales, en realidad son solo exponenciales siempre que la muestra sea grande y se cumpla la ley de los grandes números. Para muestras pequeñas, es necesario un análisis más general, teniendo en cuenta un proceso de Poisson.

Ciencias naturales

• Reacciones químicas: Las tasas de ciertos tipos de reacciones químicas dependen de la concentración de uno u otro reaccionante. Las reacciones cuya tasa depende sólo de la concentración de un reaccionario (conocido como reacciones de primer orden) siguen por consiguiente la decadencia exponencial. Por ejemplo, muchas reacciones enzimáticas se comportan de esta manera.
• Electrostáticos: La carga eléctrica (o, equivalentemente, el potencial) contenida en un condensador (capacitación) C) descargas con decaimiento exponencial (cuando el condensador experimenta una carga externa constante de resistencia R) y se carga de forma similar con la imagen del espejo de la decadencia exponencial (cuando el condensador se carga de una fuente de tensión constante aunque una resistencia constante). El tiempo exponencial para el proceso es τ τ =RC,{displaystyle tau =R,C,} Así que la vida media es RCIn⁡ ⁡ ()2).{displaystyle R,C,ln(2). } Las mismas ecuaciones se pueden aplicar al doble de corriente en un ductor.
  • Además, el caso particular de un condensador o ductor que cambia a través de varios resistores paralelos hace un ejemplo interesante de múltiples procesos de decaimiento, con cada resistor que representa un proceso separado. De hecho, la expresión de la resistencia equivalente de dos resistores en espejos paralelos la ecuación para la vida media con dos procesos de decaimiento.
• Geofísica: La presión atmosférica disminuye aproximadamente exponencialmente con una altura creciente por encima del nivel del mar, a una tasa de alrededor del 12% por 1000m.
• Transferencia de calor: Si un objeto a una temperatura está expuesto a un medio de otra temperatura, la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio sigue la decadencia exponencial (en el límite de procesos lentos; equivalente a la conducción de calor "buena" dentro del objeto, de modo que su temperatura siga siendo relativamente uniforme a través de su volumen). Vea también la ley de refrescar de Newton.
• Luminescence: Después de la excitación, la intensidad de emisión, proporcional al número de átomos o moléculas excitados, de un material luminiscente se descompone exponencialmente. Dependiendo del número de mecanismos involucrados, la decadencia puede ser mono- o multi-exponencial.
• Farmacología y toxicología: Se encuentra que muchas sustancias administradas son distribuidas y metabolizadas (ver autorización) según patrones de decaimiento exponencial. Las semividas biológicas "vida media alfa" y "beta media vida" de una sustancia miden cuán rápido se distribuye y elimina una sustancia.
• Físico óptico: La intensidad de la radiación electromagnética como la luz o los rayos X o los rayos gamma en un medio absorbente, sigue una disminución exponencial con la distancia en el medio absorbente. Esto se conoce como la ley Beer-Lambert.
• Radioactividad: En una muestra de un radionúclido que sufre decaimiento radiactivo a un estado diferente, el número de átomos en el estado original sigue la decadencia exponencial mientras el número restante de átomos es grande. El producto de decaimiento se denomina nuclido radiógeno.
• Thermoelectricity: La disminución de la resistencia de un regulador de temperatura negativo como la temperatura aumenta.
• Vibraciones: Algunas vibraciones pueden decaer exponencialmente; esta característica se encuentra a menudo en osciladores mecánicos húmedos, y se utiliza en la creación de sobres ADSR en sintetizadores. Un sistema overdamped simplemente volverá al equilibrio a través de una decadencia exponencial.
• Cerveza helada: Arnd Leike, de la Universidad Ludwig Maximilian de Munich, ganó un Premio Nobel de Ig para demostrar que la espuma de cerveza obedece la ley de la decadencia exponencial.

Ciencias sociales

• Finanzas: un fondo de jubilación se desintegrará exponencialmente estando sujeto a cantidades discretas de pago, generalmente mensuales, y un aporte sujeto a un tipo de interés continuo. Una ecuación diferencial dA/dt = entrada – la salida se puede escribir y resolver para encontrar el tiempo para alcanzar cualquier cantidad A, permaneciendo en el fondo.
• En simple glottocronología, el supuesto (debatable) de una tasa de desintegración constante en los idiomas permite estimar la edad de los idiomas individuales. (Para calcular el tiempo de división entre dos. los idiomas requieren suposiciones adicionales, independientes de la decadencia exponencial).

Informática

• El núcleo protocolo de enrutamiento en Internet, BGP, tiene que mantener una mesa de enrutamiento para recordar los caminos a los que se puede desviar un paquete. Cuando uno de estos caminos cambia repetidamente su estado de disponible a no disponible (y) viceversa), el router BGP controlando ese camino tiene que añadir y eliminar repetidamente el registro de ruta de su tabla de enrutamiento (flaps el camino), gastando así recursos locales como CPU y RAM y, aún más, transmitiendo información inútil a los routers pares. Para prevenir este comportamiento no deseado, un algoritmo llamado ruta de amortiguación asigna cada ruta un peso que se hace más grande cada vez que la ruta cambia su estado y decae exponencialmente con el tiempo. Cuando el peso alcanza un determinado límite, no se hace más aplausos, suprimiendo así la ruta.

Gráficos que comparan tiempos dobles y medias vidas de crecimientos exponenciales (líneas de bacalao) y decaimiento (líneas famosas), y sus 70/t y 72/t aproximaciones. En la versión SVG, arrastre sobre un gráfico para destacarlo y su complemento.