Deconvolución

En matemáticas, deconvolución es la operación inversa a la convolución. Ambas operaciones se utilizan en el procesamiento de señales y el procesamiento de imágenes. Por ejemplo, puede ser posible recuperar la señal original después de un filtro (convolución) utilizando un método de desconvolución con un cierto grado de precisión. Debido al error de medición de la señal o imagen registrada, se puede demostrar que cuanto peor sea la relación señal / ruido (SNR), peor será la inversión de un filtro; Por lo tanto, la inversión de un filtro no siempre es una buena solución a medida que se amplifica el error. La deconvolución ofrece una solución a este problema.

Las bases para la deconvolución y el análisis de la serie temporal fueron colocadas en gran medida por Norbert Wiener del Instituto de Tecnología de Massachusetts en su libro Extrapolación, interpolación y suavizado de series de tiempo estacionarias (1949). El libro se basó en el trabajo que Wiener había hecho durante la Segunda Guerra Mundial, pero eso había sido clasificado en ese momento. Algunos de los primeros intentos de aplicar estas teorías fueron en los campos del pronóstico del tiempo y la economía.

Descripción

En general, el objetivo de la deconvolución es encontrar la solución f de una ecuación de convolución de la forma:

fAlternativa Alternativa g=h{displaystyle f*g=h}

Por lo general, h es una señal grabada, y f es una señal que deseamos recuperar, pero se ha complicado con un filtro o función de distorsión g , antes de grabarlo. Por lo general, h es una versión distorsionada de f y la forma de f puede ser fácilmente reconocida por el ojo o el tiempo más simple- Operaciones de dominio. La función g representa la respuesta de impulso de un instrumento o una fuerza impulsora que se aplicó a un sistema físico. Si conocemos g , o al menos conocemos la forma de g , entonces podemos realizar una deconvolución determinista. Sin embargo, si no sabemos g por adelantado, entonces debemos estimarlo. Esto se puede hacer utilizando métodos de estimación estadística o construcción de los principios físicos del sistema subyacente, como las ecuaciones del circuito eléctrico o las ecuaciones de difusión.

Hay varias técnicas de deconvolución, dependiendo de la elección del error de medición y los parámetros de deconvolución:

Deconvolución cruda

Cuando el error de medición es muy bajo (caso ideal), la deconvolución colapsa en una inversión de filtro. Este tipo de desconvolución se puede realizar en el dominio de Laplace. Al calcular la transformación de Fourier de la señal grabada h y la función de respuesta del sistema g , obtienes h y g , con g como la función de transferencia. Usando al teorema de la convolución,

F=H/G{displaystyle F=H/G}

donde f es la transformación estimada de Fourier de f . Finalmente, se toma la transformación inversa de Fourier de la función f para encontrar la señal desconvolucionada estimada f . Tenga en cuenta que g está en el denominador y podría amplificar elementos del modelo de error si está presente.

deconvolución con ruido

En las mediciones físicas, la situación suele estar más cerca de

()fAlternativa Alternativa g)+ε ε =h{displaystyle (f*g)+varepsilon =h,}

En este caso ε es ruido que ha ingresado nuestra señal grabada. Si se supone que una señal o imagen ruidosa no es ruidosa, la estimación estadística de g será incorrecta. A su vez, la estimación de ƒ también será incorrecta. Cuanto menor sea la relación señal / ruido, peor será la estimación de la señal desconvolucionada. Esa es la razón por la cual el filtrado inverso de la señal (como en el " Raw Deconvolution " arriba) generalmente no es una buena solución. Sin embargo, si al menos existe algún conocimiento del tipo de ruido en los datos (por ejemplo, ruido blanco), la estimación de ƒ puede mejorarse a través de técnicas como la deconvolución Wiener.

aplicaciones

Sismology

El concepto de deconvolución tenía una aplicación temprana en la sismología de reflexión. En 1950, Enders Robinson fue un estudiante graduado en el MIT. Trabajó con otros en el MIT, como Norbert Wiener, Norman Levinson y el economista Paul Samuelson, para desarrollar el modelo convolucional " de un sismograma de reflexión. Este modelo supone que el sismograma registrado s ( t ) es la convolución de una función de reflectividad terrestre e ( t </i <i ) y una wavelet sísmica w ( t ) de una fuente puntual, donde t representa el tiempo de grabación. Por lo tanto, nuestra ecuación de convolución es

s()t)=()eAlternativa Alternativa w)()t).{displaystyle s(t)=(e*w)(t).,}

The sociologist is interested in e, which contains information about the Earth 's structure. By the convolution theorem, this equation may be Fourier transformed to

S()⋅ ⋅ )=E()⋅ ⋅ )W()⋅ ⋅ ){displaystyle S(omega)=E(omega)W(omega),}

en el dominio de frecuencia, donde ⋅ ⋅ {displaystyle omega } es la variable de frecuencia. Al suponer que la reflectividad es blanca, podemos asumir que el espectro de poder de la reflectividad es constante, y que el espectro de poder del sismograma es el espectro de la onda multiplicada por esa constante. Así,

SilencioS()⋅ ⋅ )Silencio.. kSilencioW()⋅ ⋅ )Silencio.{displaystyle TENS(omega)

Si suponemos que la wavelet es fase mínima, podemos recuperarla calculando el equivalente de fase mínima del espectro de potencia que acabamos de encontrar. La reflectividad puede recuperarse diseñando y aplicando un filtro Wiener que da forma a la wavelet estimada a una función delta Dirac (es decir, un pico). El resultado puede verse como una serie de funciones delta escaladas y desplazadas (aunque esto no es matemáticamente riguroso):

e()t)=.. i=1Nriδ δ ()t− − τ τ i),{displaystyle e(t)=sum ¿Por qué?

Donde N es el número de eventos de reflexión, ri{displaystyle R_{i} son los coeficientes de reflexión, t− − τ τ i{displaystyle t-tau _{i} son los tiempos de reflexión de cada evento, y δ δ {displaystyle delta } es la función Dirac delta.

En la práctica, dado que estamos tratando con conjuntos de datos ruidosos, finitos de ancho de banda finitos, longitud finita, discretamente muestreados, el procedimiento anterior solo produce una aproximación del filtro requerido para desconvolver los datos. Sin embargo, al formular el problema como la solución de una matriz de toeplitz y usar la recursión de Levinson, podemos estimar relativamente rápidamente un filtro con el error cuadrado medio más pequeño posible. También podemos hacer la desconvolución directamente en el dominio de frecuencia y obtener resultados similares. La técnica está estrechamente relacionada con la predicción lineal.

óptica y otras imágenes

en óptica e imágenes, el término " deconvolution " se usa específicamente para referirse al proceso de revertir la distorsión óptica que tiene lugar en un microscopio óptico, microscopio electrónico, telescopio u otro instrumento de imagen, creando así imágenes más claras. Por lo general, se realiza en el dominio digital mediante un algoritmo de software, como parte de un conjunto de técnicas de procesamiento de imágenes de microscopio. La deconvolución también es práctica para agudizar las imágenes que sufren de movimiento rápido o sacudidas durante la captura. Las primeras imágenes del telescopio espacial del Hubble se distorsionaron por un espejo defectuoso y se afilaron por la deconvolución.

El método habitual es asumir que la ruta óptica a través del instrumento es ópticamente perfecta, convuelta con una función de propagación de puntos (PSF), es decir, una función matemática que describe la distorsión en términos de la vía una fuente puntual teórica de La luz (u otras ondas) lleva el instrumento. Por lo general, dicha fuente puntual contribuye con una pequeña área de confusión a la imagen final. Si se puede determinar esta función, se trata de calcular su función inversa o complementaria, y convolucionar la imagen adquirida con eso. El resultado es la imagen original y no divulgada.

En la práctica, encontrar el verdadero PSF es imposible, y generalmente se usa una aproximación, se calcula teóricamente o se basa en alguna estimación experimental mediante el uso de sondas conocidas. La óptica real también puede tener diferentes PSF en diferentes ubicaciones focales y espaciales, y el PSF puede ser no lineal. La precisión de la aproximación del PSF dictará el resultado final. Se pueden emplear diferentes algoritmos para dar mejores resultados, al precio de ser más intensivo computacionalmente. Dado que la convolución original descarta los datos, algunos algoritmos utilizan datos adicionales adquiridos en puntos focales cercanos para compensar parte de la información perdida. La regularización en algoritmos iterativos (como en los algoritmos de maximización de las expectativas) se puede aplicar para evitar soluciones poco realistas.

Cuando se desconoce el PSF, puede ser posible deducirlo sistemáticamente intentando diferentes PSF posibles y evaluando si la imagen ha mejorado. Este procedimiento se llama Deconvolución ciega . La deconvolución ciega es una técnica de restauración de imágenes bien establecida en astronomía, donde la naturaleza del punto de los objetos fotografiados expone el PSF, lo que lo hace más factible. También se usa en microscopía de fluorescencia para la restauración de imágenes, y en imágenes espectrales de fluorescencia para la separación espectral de múltiples fluoróforos desconocidos. El algoritmo iterativo más común para el propósito es el algoritmo de deconvolución Richardson -Lucy; La deconvolución de Wiener (y las aproximaciones) son los algoritmos no iterativos más comunes.

Para algunos sistemas de imágenes específicos como los sistemas de terahercios pulsados láser, PSF se puede modelar matemáticamente. Como resultado, como se muestra en la figura, la desconvolución del PSF modelado y la imagen de Terahertz puede dar una representación de resolución más alta de la imagen Terahertz.

Radio Astronomy

Al realizar la síntesis de imágenes en la interferometría de la radio, un tipo específico de radio astronomía, un paso consiste en desconvolver la imagen producida con el " Dirty Beam ", que es un nombre diferente para la función de propagación de puntos. Un método de uso común es el algoritmo limpio.

Biología, fisiología y dispositivos médicos

El uso típico de la deconvolución está en la cinética del trazador. Por ejemplo, al medir una concentración de hormona en la sangre, su tasa de secreción puede estimarse por deconvolución. Otro ejemplo es la estimación de la concentración de glucosa en sangre a partir de la glucosa intersticial medida, que es una versión distorsionada en el tiempo y la amplitud de la glucosa en sangre real.

Espectros de absorción

La deconvolución se ha aplicado ampliamente a los espectros de absorción. Se puede usar el algoritmo Van Cittert (artículo en alemán).

Fourier Transform Aspectos

La deconvolución se mapea a la división en el codominio de Fourier. Esto permite que la desconvolución se aplique fácilmente con datos experimentales que están sujetos a una transformación de Fourier. Un ejemplo es la espectroscopía de RMN donde los datos se registran en el dominio del tiempo, pero se analizan en el dominio de frecuencia. La división de los datos del dominio del tiempo por una función exponencial tiene el efecto de reducir el ancho de las líneas lorentzianas en el dominio de frecuencia.