Decimal periódico

La secuencia de dígitos que se repite infinitamente se denomina repetend o reptend. Si el repetend es un cero, esta representación decimal se denomina decimal terminal en lugar de decimal periódico, ya que los ceros pueden omitirse y el decimal termina antes que estos. Toda representación decimal terminal puede escribirse como una fracción decimal, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10 (p. ej., 1,585 = ⁠1585/1000⁠); También se puede escribir como una relación de la forma ⁠k/2ⁿ·5^m⁠ (p. ej., 1,585 = ⁠317/2³·5²⁠). Sin embargo, todo número con una representación decimal exacta también tiene, trivialmente, una segunda representación alternativa como decimal periódico cuyo repetido es el dígito "9". Esto se obtiene al disminuir en uno el último dígito (el de más a la derecha) distinto de cero y añadir un repetido de 9. Dos ejemplos son 1,000... = 0,999... y 1,585000... = 1,584999.... (Este tipo de decimal periódico se puede obtener mediante división larga si se utiliza una versión modificada del algoritmo de división habitual).Cualquier número que no pueda expresarse como cociente de dos enteros se denomina irracional. Su representación decimal no es finita ni se repite infinitamente, sino que se extiende indefinidamente sin repetición (véase § Todo número racional es un decimal finito o periódico). Ejemplos de estos números irracionales son √2 y π.

• Vinculum: En los Estados Unidos, Canadá, India, Francia, Alemania, Italia, Suiza, Eslovaquia, Eslovenia, Chile y Turquía, la convención es dibujar una línea horizontal (un vinculo) por encima de la repetición.
• Puntos: En algunos países islámicos, como Malasia, Marruecos, Pakistán, Túnez, Irán, Argelia y Egipto, así como el Reino Unido, Nueva Zelanda, Australia, Sudáfrica, Japón, Tailandia, India, Corea del Sur, Singapur y la República Popular China, la convención debe colocar puntos por encima de los números más externos de la repetición.
• Los padres: En partes de Europa, incluyendo Austria, Dinamarca, Finlandia, Países Bajos, Noruega, Polonia, Rusia y Ucrania, así como Vietnam e Israel, la convención es encerrar la repetición entre paréntesis. Esto puede causar confusión con la notación para la incertidumbre estándar.
• Arc: En España y algunos países de América Latina, como Argentina, Brasil y México, la notación de arco sobre el rescate también se utiliza como alternativa al vinculo y la notación de puntos.
• Elipsis: Informalmente, repetir los decimales a menudo están representados por una elipsis (tres períodos, 0.333...), especialmente cuando las convenciones notacionales anteriores se enseñan primero en la escuela. Esta notación introduce incertidumbre sobre qué dígitos deben repetirse e incluso si la repetición está ocurriendo en absoluto, ya que tales elipses también se emplean para números irracionales; π, por ejemplo, puede ser representado como 3.14159....

  0,067574) 5.00000
 4.44560
 518420
 370500

Para cualquier fracción entera ⁠A/B⁠, el residuo en el paso k, para cualquier entero positivo k, es A × 10^k (módulo B).

10000α 10 - 10α	= 58144.144144...
9990α	= 58086
Por lo tanto, α	= ⁠58086/9990⁠ = ⁠3227/555⁠

Dado un decimal repetido ${\displaystyle x=a.b{\overline {c}}$ Donde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, y ${\displaystyle c}$ son grupos de dígitos, dejar ${\displaystyle n=\lceil {\log _{10}b}\rceil}$, el número de dígitos ${\displaystyle b}$. Multiplying by ${\displaystyle 10^{n}$ separa los grupos de repetición y terminación:

${\displaystyle 10^{n}x=ab.{\bar {c}}$

Si los decimales terminan (${\displaystyle c=0}$), la prueba está completa. Para ${\displaystyle c\neq 0}$ con ${\displaystyle k\in \mathbb {N}$ dígitos, deja ${\displaystyle x=y. {\c}}$ Donde ${\displaystyle y\in \mathbb {Z}$ es un grupo final de dígitos. Entonces,

${\displaystyle c=d_{1}d_{2}\,...d_{k}$

Donde ${\displaystyle ♪♪$ denota los Yo...T dígito, y

${\displaystyle x=y+\sum _{n=1}{\infty }{\frac}{(10^{k}}}}=y+\left(c\sum) ¿Por qué?$

Desde ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}{\infty }{\frac {\fn} {\fn}={\fn}= {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}}}}} {\fn} {\fn}} {\f}}}}} {\f} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f} {\f}}\f}}}}}}}}} {\f} {\fn}}}}}}}}}}}}\f} {\f} {\f}\f}\f}} {\f}}}} {\fn} {\f}\f}}}\f}\f}}\f}\f}}}}}}} {1}{1-10^{-k}}}$,

${\displaystyle x=y-c+{\frac {10^{k}c}{10^{k}}}$

Desde ${\displaystyle x}$ es la suma de un entero (${\displaystyle y-c}$) y un número racional (${\fnK}$), ${\displaystyle x}$ es también racional.

Por lo tanto, fracción es la fracción unitaria ⁠1/n⁠ y ℓ₁₀ es la longitud de la repetición (decimal).

Las longitudes ℓ₁₀(n) de las repeticiones decimales de ⁠1/n⁠, n = 1, 2, 3,..., son:

0, 1, 0, 1, 6, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 6 (secuencia) A051626 en el OEIS).

0, 0, 2, 0, 4, 2, 3, 0, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 0, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 18, 3, 28, 4, 5, 0, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11,... (=A007733[n], si n no un poder de 2 más =0).

Las repeticiones decimales de ⁠1/n⁠, n = 1, 2, 3,..., son:

0, 0, 3, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 57142828, 034482 29246820642864 (secuencia) A036275 en el OEIS).

Las longitudes de repetición decimal de ⁠1/p⁠, p = 2, 3, 5,... (n-ésimo primo), son:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 26 7, 30, 180, 180, 180, 180, 98, 98, 98, 99, 99, 99, 98, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 99, 9... (secuencia) A002371 en el OEIS).

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, 2791, 2109 A007138 en el OEIS).

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, 49663, 12289, 859, 239, 27581, 9613, 18131, 137... A054471 en el OEIS).

Si la longitud de repetición de ⁠1/p⁠ para el primo p es igual a p − 1, entonces la repetición, expresada como un entero, se denomina número cíclico.

• ⁠1/7⁠ = 0.142857, 6 dígitos de repetición
• ⁠1/17⁠ = 0.0588235294117647, 16 dígitos repetidos
• ⁠1/19⁠ = 0.052631578947368421, 18 dígitos repetidos
• ⁠1/23⁠ = 0.0434782608695652173913, 22 dígitos repetidos
• ⁠1/29⁠ = 0.0344827586206896551724137931, 28 dígitos repetidos
• ⁠1/47⁠ = 0.02127659574468085106297872340425531914893617, 46 dígitos repetidos
• ⁠1/59⁠ = 0.0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661, 58 dígitos repetidos
• ⁠1/61⁠ = 0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459, 60 dígitos repetidos
• ⁠1/97⁠ = 0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567, 96 dígitos repetidos

La lista puede incluir las fracciones ⁠1/109⁠, ⁠1/113⁠, ⁠1/131⁠, ⁠1/149⁠, ⁠1/167⁠, ⁠1/179⁠, ⁠1/⁠1/193⁠, ⁠1/223⁠, ⁠1/229⁠, etc. (secuencia ⁠1/7⁠ = 1 × 0.142857 = 0.142857

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... A073761 en el OEIS).

Si un primo p es a la vez primo de repetición completa y primo seguro, entonces ⁠1/p⁠ producirá un flujo de p − 1 dígitos pseudoaleatorios. Estos primos son

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... A000353 en el OEIS).

• ⁠1/3⁠ = 0.3, que tiene un período (repetir la longitud) de 1.
• ⁠1/11⁠ = 0.09, que tiene un período de dos.
• ⁠1/13⁠ = 0.076923, que tiene un período de seis.
• ⁠1/31⁠ = 0.032258064516129, que tiene un período de 15.
• ⁠1/37⁠ = 0.027, que tiene un período de tres.
• ⁠1/41⁠ = 0.02439, que tiene un período de cinco.
• ⁠1/43⁠ = 0.023255813953488372093, que tiene un período de 21.
• ⁠1/53⁠ = 0.0188679245283, que tiene un período de 13.
• ⁠1/67⁠ = 0.014925373134328358208955223880597, que tiene un período de 33.
• ⁠1/71⁠ = 0.01408450704225352112676058338028169, que tiene un período de 35.
• ⁠1/73⁠ = 0.01369863, que tiene un período de ocho.
• ⁠1/79⁠ = 0.0126582278481, que tiene un período de 13.
• ⁠1/83⁠ = 0.01204819277108433734939759036144578313253, que tiene un período de 41.
• ⁠1/89⁠ = 0.01123595505617977528089887640449438202247191, que tiene un período de 44.

(secuencia A006559 en la OEIS)

${\displaystyle {\frac {10^{11-1}{11}=9090909}$

y luego, mediante inspección, encuentre la repetición 09 y el período 2.

• ⁠1/13⁠ = 0.076923
• ⁠10/13⁠ = 0.769230
• ⁠9/13⁠ = 0.692307
• ⁠12/13⁠ = 0.923076
• ⁠3/13⁠ = 0.230769
• ⁠4/13⁠ = 0.307692

donde la repetición de cada fracción es un reordenamiento cíclico de 076923. El segundo conjunto es:

• ⁠2/13⁠ = 0.153846
• ⁠7/13⁠ = 0.538461
• ⁠5/13⁠ = 0.384615
• ⁠11/13⁠ = 0.846153
• ⁠6/13⁠ = 0.461538
• ⁠8/13⁠ = 0.615384

donde la repetición de cada fracción es un reordenamiento cíclico de 153846.

Si p es un primo distinto de 2 o 5, la representación decimal de la fracción ⁠1/p²⁠ se repite:

⁠1/49⁠ = 0.020408163265306122448979591836734693877551.

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}$

para cada entero a que sea coprimo con n.

El período de ⁠1/p²⁠ suele ser pT_p, donde T_p es el período de ⁠1/p⁠. Hay tres primos conocidos para los que esto no es cierto, y para ellos el período de ⁠1/p²⁠ es el mismo que el período de ⁠1/p⁠ porque p² divide a 10^p−1−1. Estos tres primos son 3, 487 y 56598313 (secuencia A045616 en la OEIS).

De manera similar, el periodo de ⁠1/p^k⁠ suele ser p^k–1T_p

119 = 7 × 17

λ(7 × 17) = LCM(λ(7), λ17) = LCM(6, 16) = 48,

donde MCM denota el mínimo común múltiplo.

El periodo T de ⁠1/pq⁠ es un factor de λ(pq) y resulta ser 48 en este caso:

⁠1/119⁠ = 0.008403361344537815126050420168067226890756302521.

El periodo T de ⁠1/pq⁠ es MCM(T_p, T_q), donde T_p es el periodo de ⁠1/p⁠ y T_q es el período de ⁠1/q⁠.

Si p, q, r, etc. son primos distintos de 2 o 5, y k, ℓ, m, etc. son enteros positivos, entonces

${\fnMicrosoft Sans Serif} }$

es un decimal periódico con un período de

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k},T_{q^{\ell - Sí.$

donde T_p^k, T_q^ℓ, T_r^m,... son respectivamente el período de los decimales periódicos ⁠1/p^k⁠, ⁠1/q^ℓ⁠, ⁠1/r^m⁠,... como se definió anteriormente.

${\displaystyle {\frac {1}{2}\cdot 5}p^{k}q}\cdots}\,}$

donde a y b no son ambos cero.

${\fnMicrosoft Sans Serif}$

si a > b, o como

${\fnMicrosoft Sans Serif}$

si b > a, o como

${\fnMicrosoft Sans Serif}\,}$

si a = b.

• Un transitorio inicial de max(a, b) dígitos después del punto decimal. Algunos o todos los dígitos en el transitorio pueden ser ceros.
• Una repetición posterior que es la misma que la de la fracción ⁠1/p^k q^l ⋯⁠.

Por ejemplo, ⁠1/28⁠ = 0,03571428:

• a = 2, b = 0, y los otros factores p^k q^l ⋯ = 7
• hay 2 dígitos no recurrentes iniciales, 03; y
• hay 6 dígitos repetidos, 571428, la misma cantidad que ⁠1/7⁠ Sí.

${\displaystyle x}$	${\displaystyle =0.333333\ldots}$
${\displaystyle 10x}$	${\displaystyle =3.333333\ldots}$	(multiply each side of the above line by 10)
${\displaystyle 9x}$	${\displaystyle =3}$	(sujeta la primera línea de la segunda)
${\displaystyle x}$	${\displaystyle ={}{9}={\frac {1}{3}}$	(reducir a términos más bajos)

${\displaystyle x}$	${\displaystyle =\\\\ \\ 0.8363636\ldots}$
${\displaystyle 10x}$	${\displaystyle =\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c36363636363636363636363636363636363636363636363636363H1\cH1\ldotH3H1\ldotH1\4$	(Move decimal to start of repetition = move by 1 place = billion by 10)
${\displaystyle 1000x}$	${\displaystyle =836.363636\ldots }$	(collate 2a repetición aquí con 1a anterior = movimiento por 2 lugares = multiplicarse por 100)
${\displaystyle 990x}$	${\displaystyle =828}$	(subtract to clear decimals)
${\displaystyle x}$	${\displaystyle ={\frac {828}{\990}={\frac {18\cdot 46}{18\cdot 55}}={\frac {46}{55}}$	(reducir a términos más bajos)

${\displaystyle {\begin{aligned}x limit=0.000000100010000001\ldots \\10^{7}x limit=1.000000100010000001\ldots \\left(10^{7}-1\right)x=999999999x plom=1\x plom={\frac {1}{7}-1}={ {1}{9999999}\end{aligned}}$

Entonces, este decimal periódico en particular corresponde a la fracción ⁠1/10ⁿ − 1⁠, donde el denominador es el número escrito como n 9s. Sabiendo esto, un decimal periódico general puede expresarse como una fracción sin tener que resolver una ecuación. Por ejemplo, se podría razonar:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots >=7.3+0.181818\ldots \\[8pt] limit={\frac {73}{10}+\frac {18}{99}={\frac}={\frac {\frac}}={\frac}{\frac}}}}={\frac}}}}}}={\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{}\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{\begin{}\begin{\ {9\cdot 11}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\[12pt]}= {11\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={}{} {\f} {\f}}} {\f} {\f}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f} {\f}} {\f} {\f}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt] limit=11+{\frac {10}{53}={\frac {11\cdot 53+10}={\frac {593}\end{aligned}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x limit=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\10^{n}x limit=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\[5pt]x sensible={\frac {a_{1}a_{2}\cdots A_{n}{10^{n}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{99\cdots 99}\end{aligned}}}$

• 0,4444... = ⁠4/9⁠ ya que el bloque de repetición es 4 (un bloque de 1 dígitos),
• 0,565656... = ⁠56/99⁠ ya que el bloque repetidor es 56 (un bloque de 2 dígitos),
• 0,012012... = ⁠12/999⁠ ya que el bloque repetidor es 012 (un bloque de 3 dígitos); esto reduce aún más a ⁠4/333⁠.
• 0,99999... ⁠9/9⁠ = 1, ya que el bloque repetidor es 9 (también un bloque de 1 dígitos)

• 0,000444... = ⁠4/9.000⁠ ya que el bloque de repetición es 4 y este bloque es precedido por 3 ceros,
• 0,005656... = ⁠56/9900⁠ ya que el bloque de repetición es 56 y es precedido por 2 ceros,
• 0,00012012... = ⁠12/99900⁠ = ⁠1/8325⁠ ya que el bloque de repetición es 012 y es precedido por 2 ceros.

• 1.23444... = 1,23 + 0,00444... = ⁠123/100⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1107/900⁠ + ⁠4/900⁠ = ⁠1111/900⁠
  • o alternativamente 1.23444... = 0.79 + 0.44444... = ⁠79/100⁠ + ⁠4/9⁠ = ⁠711/900⁠ + ⁠400/900⁠ = ⁠1111/900⁠
• 0,3789789... = 0,3 + 0,0789789... = ⁠3/10⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠2997/9990⁠ + ⁠789/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠
  • o alternativamente 0,789789... = 0,6 + 0,789789... = −⁠6/10⁠ + 978/999 =⁠5994/9990⁠ + ⁠9780/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ = ⁠631/1665⁠

• 1.23444... = ⁠1234 - 123/900⁠ = ⁠1111/900⁠ (El denominador tiene un 9 y dos 0s porque un dígito repite y hay dos dígitos que no hablan después del punto decimal)
• 0,3789789... = ⁠3789 - 3/9990⁠ = ⁠3786/9990⁠ (El denominador tiene tres 9 y un 0 porque tres dígitos repiten y hay un dígito no recurrente después del punto decimal)

Por el contrario, el período del decimal periódico de una fracción ⁠c/d⁠ será (como máximo) el número n más pequeño tal que 10ⁿ − 1 sea divisible por d.

Por ejemplo, la fracción ⁠2/7⁠ tiene d = 7, y el menor k que hace que 10^k − 1 sea divisible por 7 es k = 6, porque 999999 = 7 × 142857. Por lo tanto, el periodo de la fracción ⁠2/7⁠ es 6.

La siguiente imagen sugiere un tipo de compresión del atajo anterior. Ahí está. ${\displaystyle \mathbf}$ representa los dígitos de la parte entero del número decimal (a la izquierda del punto decimal), ${\displaystyle \mathbf {A}$ compone la cadena de dígitos del preperíodo y ${\displaystyle \#\Mathbf {A}$ su longitud, y ${\displaystyle \mathbf {P}$ siendo la cadena de dígitos repetidos (el período) con longitud ${\displaystyle \\\\\\\\\\fnMitbf}$ que no es cero.

En la fracción generada, el dígito ${\displaystyle 9}$ se repetirá ${\displaystyle \\\\\\\\\\fnMitbf}$ tiempos, y el dígito ${\displaystyle 0}$ se repetirá ${\displaystyle \#\Mathbf {A}$ veces.

Note que en ausencia de un entero parte en el decimal, ${\displaystyle \mathbf}$ será representado por cero, que a la izquierda de los otros dígitos, no afectará el resultado final, y puede ser omitido en el cálculo de la función generadora.

$${\displaystyle {\begin{lll}3.2544\ldots > = 3,25{\overline {4}} {\begin{\Bmatrix}\mathbf {I} =3 {A} =25 golpe\mathbf {P}=4\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft} {A} =2 golpe\#\mathbf {P} =1\end{Bmatrix} {\dfrac {3254-325}{900} {\dfrac} {29}{900}\\\0.512512\ldots >{\overline {512} {\begin{\Bmatrix}\mathbf {I} =0 {A} =\emptyset {P} =512\\\\\\\\\\#\fnMitbf ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ {P} =3\end{Bmatrix} {\dfrac} {512-0}{999} {512}{999}\\\\\\\09191\ldots >=0{\overline {91} {\begin{\Bmatrix}\mathbf {I} =1 golpe\mathbf {A} =0} {P} =91\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH00}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH {A} =1 golpe\#\mathbf {P} =2\end{Bmatrix} {\dfrac} {1091-10}{990} {1081}{990}\\1.333\ldots ==1.{\overline {3} limit={\begin{\Bmatrix}\mathbf {I} =1 golpe\mathbf {A} =\emptyset {P}=3\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft} ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ {P} =1\end{Bmatrix} {\dfrac} {13-1}{9} {12}{9} {4}{3}\\\0.3789789\ldots < {\overline {789} {\begin{\begin{Bmatrix}\mathbf {I} =0 {A} =3 âTMa\mathbf {P} =789\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMitbf {A} =1 golpe\#\mathbf {P} =3\end{Bmatrix} {\dfrac {3789-3}{9990} {\dfrac {3786}{9990}} {} {\dfrac {631}{1665}\end{array}}}} {}}} {}}}} {}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

El símbolo ${\displaystyle \emptyset }$ en los ejemplos anteriores denota la ausencia de dígitos de parte ${\displaystyle \mathbf {A}$ en el decimal, ${\displaystyle \#\Mathbf {A} =0}$ y una ausencia correspondiente en la fracción generada.

${\displaystyle 0.{\overline {1}={\frac} {1}{10}+{\frac} {1}{100}+{\frac {1}{1000}+\cdots =\sum _{n=1}{\infty }{\frac {1}{10}}} {}} {}}} {}}}} {\fn}}}} {\fn}} {\f}}}} {\fn}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\fnMicroc} {a}{1-r}={\frac} {\fnMicroc {1}{1-{\frac} {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\f} {\f}} {\fn} {\fnMicroc}} {\fnMicroc} {\fn}}}} {\f}} {\f}} {\fnMicroc} {\f}}}}}}}}} {\f}}} {\f} {\f}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\fn\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}} {\f} {\f}} {\f}}} {\fn\fn\fn\f}\f}\fn\fn\fnMicroc\fnMicroc\fn\f}}}}}}}}}}}}}}} {1}{10}}={\frac} {1}{10-1}={\frac} {1}{9}}$

De manera similar,

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn}\fnMicros {\c}}}\fnMicros {\fnMicrosoft} {\fn} {\fnMicros} {\c\cH0}\c\c\cH0} {\c\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c {\fnK} {\f} {\fnK} {\f} {\f}}{1-{\frac {\f} {\f}} {\f}} {\f}} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}}} {\fn\f}\f}\f}\f} {\f} {\f}\f} {\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\fn\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}\f}\f}\f}\fn\f}\fn\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\ {1}{6}}}={\frac {142857}{6}={\frac {142857}}={\frac {142857}{999999}={\frac {1} {7}\end{aligned}}$

• El período ⁠1/k⁠ para entero k siempre ≤ k − 1.
• Si p es primo, el período de ⁠1/p⁠ divide uniformemente en p − 1.
• Si k es compuesto, el período de ⁠1/k⁠ es estrictamente menos que k − 1.
• El período ⁠c/k⁠Para c coprime k, iguala el período ⁠1/k⁠.
• Si k = 2^a·5^bn Donde n " 1 " n no es divisible por 2 o 5, entonces la longitud del transito ⁠1/k⁠ es max(a, b), y el período igual r, donde r es el orden multiplicativo de 10 mod n, que es el más pequeño entero tal que 10^r (modelo) n).
• Si p, p., p′, ... son principios distintos, luego el período de ⁠1/p p. p′ ⋯⁠ equivale al múltiplo común más bajo de los períodos ⁠1/p⁠, ⁠1/p.⁠, ⁠1/p′⁠, ...
• Si k y k no tienen factores principales comunes excepto 2 o 5, entonces el período ⁠1/k⁠ equivale al múltiplo menos común de los períodos ⁠1/k⁠ y ⁠1/k⁠.
• Para el mejor p, si

${\displaystyle {\text{perod}\left({\frac} {1}{p}\right)={\text{period}\left({\frac] {1}{2}}\derecha)=\cdots ## {\text{period}\left({\frac {1}{p^{m}}\right)}$

para algunos m, pero

${\displaystyle {\text{perod}\left({\frac} {1}{p^{m}}\right)\neq {\text{perod}\left({\frac}\fc\fnuncio)} {1}{p^{m+1}}\derecha),}$

entonces c ≥ 0 tenemos

${\displaystyle {\text{perod}\left({\frac} {1}{p^{m+c}}\right)=p^{c}\cdot {\text{perod}\left({\frac {1}{p}}\right).}$

• Si p es un apropiado terminar en un 1, es decir, si la repetición de ⁠1/p⁠ es un número cíclico de longitud p − 1 y p = 10h + 1 para algunos h, entonces cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece en la repetición exactamente h = ⁠p − 1/10⁠ veces.

Para conocer otras propiedades de los repetiendos, véase también.

• Cada número real puede ser representado como una parte entero seguido de un punto de ráx (la generalización de un punto decimal a sistemas no decimales) seguido de un número finito o infinito de dígitos.
• Si la base es un entero, un terminar secuencia obviamente representa un número racional.
• Un número racional tiene una secuencia de terminación si todos los factores principales del denominador de la forma fraccional totalmente reducida son también factores de la base. Estos números componen un denso conjunto Q y R.
• Si el sistema de numeral posicional es estándar, es decir, tiene base

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}$

combinado con un conjunto consecutivo de dígitos

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dotsd_{r}}$

con r:=bSilencio, d_r:=d₁ + r − 1 y 0 D, entonces una secuencia de terminación es obviamente equivalente a la misma secuencia con no-terminating parte de repetición que consiste en el dígito 0. Si la base es positiva, entonces existe un homomorfismo del orden lexicográfico de las cadenas infinitas del lado derecho sobre el alfabeto D en algún intervalo cerrado de los reales, que mapea las cuerdas 0.A₁A₂...A_nd_b y 0.A₁A₂...A_n+1)d₁ con A_i ▪ D y A_n ل d_b al mismo número real – y no hay otras imágenes duplicadas. En el sistema decimal, por ejemplo, hay 0.9 = 1.0 = 1; en el sistema ternario equilibrado hay 0.1 = 1.T = ⁠1/2⁠.

• Un número racional tiene una secuencia de repetición indefinida de longitud finita l, si el denominador de la fracción reducida contiene un factor primario que no es un factor de la base. Si q es el factor máximo del denominador reducido que es coprime a la base, l es el exponente más pequeño tal que q divideciones b^l − 1. Es el orden multiplicativo ord_q()b) de la clase de residuos b mod q que es un divisor de la función Carmichael λ()q) que a su vez es menor q. La secuencia de repetición es precedida por un transitorio de longitud finita si la fracción reducida también comparte un factor primario con la base. Una secuencia de repetición

${\displaystyle \left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }\right)_{b}}$

representa la fracción

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\b} {\fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$

• Un número irracional tiene una representación de longitud infinita que no es, desde cualquier punto, una secuencia de repetición indefinida de longitud finita.

Por ejemplo, en duodecimal, ⁠1/2⁠ = 0,6, ⁠1/3⁠ = 0,4, ⁠1/4⁠ = 0,3 y ⁠1/6⁠ = 0,2 todos terminan; ⁠1/5⁠ = 0.2497 se repite con una longitud de período de 4, en contraste con la expansión decimal equivalente de 0,2; ⁠1/7⁠ = 0.186A35 tiene periodo 6 en duodecimal, al igual que en decimal.

Si b es una base entera y k es un entero, entonces

${\displaystyle {\frac {}{}={\frac} {1}{b}+{2}{2}{b}}{b}}{3}{3}{3}{b} {4}}}}}}+{b}} {\c}}}{b}}} {\fnK}{3}}{b}{4}}}}}}}}}}+\cdots {\cdots} {\cdots} {\cdots} {} {\cdots} {\cdots} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c} {\c}} {\c} {\c} {\c}} {\c}}}}}}}}}}} {\c}}{b}} {\c} {\c}}}}}}}}}{b}}}}}{b}}}}}}}}}}}}{b}}{ - ¿Qué? {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnMicroc}} {\fnMicroc} {\fnMicroc}}} {\fnMicroc}} {\fnMicroc}}} {\fnMicroc}}} {\fnMicroc} {1}{1-{\frac - Sí.$

Por ejemplo 1/7 en duodecimal: $${\displaystyle {\frac {}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\fantom {1}}+{\frac} {5}{2}}+{\frac} {21}{10}}+{\frac} {A5}{4}}+{\frac} {441}{10^{5}}+{\frac {1985}{10^{6}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}}}$$

que es 0.186A35_{base 12}. 10_{base 12} es 12_{base 10}, 10²_{base 12} es 144_{base 10}, 21_{base 12} es 25_{base 10}, A5_{base 12} es 125_{base 10}.

Para un racional 0 ⁠p/q⁠ <1 (y base b ∈ N_>1) existe el siguiente algoritmo que genera la repetición junto con su longitud:

función b_adic()b,p,q) // b ≥ 2; 0 dígitos = "0123..."; // hasta el dígito con valor b–1Comienzo s = "; // la cadena de dígitos pos = 0; // todos los lugares son correctos al punto del ráx mientras no definida()ocurre[p]) do ocurre[p] = pos; // la posición del lugar con el resto p bp = b*p; z = planta baja()bp/q); // índice z de dígitos dentro: 0 ≤ ≤ b-1 p = b*p − z*q; // 0 ≤ p si p = 0 entonces L = 0; si no z = 0 entonces s = s . subestring()dígitos, z, 1)  final si Regreso ()s); final si s = s . subestring()dígitos, z, 1); // Apéndice el carácter del dígito pos += 1; final mientras L = pos - ocurre[p]; // la longitud de la repetición (según q) // marcar los dígitos de la repetición por un vinculo: para i desde ocurre[p] a pos-1 do subestring()s, i, 1) = overline()subestring()s, i, 1); final para Regreso ()s);final función

La primera línea resaltada calcula el dígito z.

${\fnMicroc} {bp}{q}-1\;\;\;\;\;z=\left\lfloor Está bien. \;\;\leq \;\;{\frac {bp} {q}}$

por lo tanto

${\displaystyle bp-q madezq\quad \implies \quad p':=bp-zq madeq}$

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,}$

Dado que todos estos residuos p son enteros no negativos menores que q, solo puede haber un número finito de ellos, por lo que deben repetirse en el bucle while. Dicha repetición se detecta mediante el array asociativo occurs. El nuevo dígito z se forma en la línea amarilla, donde p es el único no constante. La longitud L del repetido es igual al número de residuos (véase también la sección Todo número racional es un decimal finito o periódico).

${\fnMicrosoft} {\bmod} {\bmod}} {\bmod}}} {\bmod}} {\cH0}}$

• Representación decimal
• Full reptend prime
• Teorema de Midy
• Número de parásitos
• Rastreo cero
• Única prima
• 0.999... un decimal repetido igual a uno
• Principio de la pijajo

• Weisstein, Eric W. "Repeating Decimal". MathWorld.