De dónde vienen las matemáticas

De dónde provienen las matemáticas: cómo la mente encarnada crea las matemáticas (en adelante, WMCF) es un libro de George Lakoff, un lingüista, y Rafael E. Núñez, psicólogo. Publicado en 2000, WMCF busca fundar una ciencia cognitiva de las matemáticas, una teoría de las matemáticas incorporadas basada en la metáfora conceptual.

Definición de matemáticas de WMCF

Las matemáticas conforman esa parte del sistema conceptual humano que es especial de la siguiente manera:

Es precisa, consistente, estable a lo largo del tiempo y las comunidades humanas, simbolizables, calculables, generalizables, universalmente disponibles, consistentes en cada uno de sus temas, y eficaces como herramienta general para la descripción, explicación y predicción en un gran número de actividades cotidianas, [que son de] deportes, a la construcción, negocio, tecnología y ciencia. - WMCF, págs. 50, 377

Nikolay Lobachevsky dijo: "No hay rama de las matemáticas, por abstracta que sea, que algún día no pueda aplicarse a los fenómenos del mundo real". Un tipo común de proceso de combinación conceptual parecería aplicarse a toda la procesión matemática.

Cognición humana y matemáticas

El plano complejo: una metáfora visual de la idea abstracta de un número complejo, que permite visualizar las operaciones en números complejos como simples movimientos a través del espacio ordinario

El propósito declarado de Lakoff y Núñez es comenzar a sentar las bases para una comprensión verdaderamente científica de las matemáticas, basada en procesos comunes a toda la cognición humana. Encuentran que cuatro procesos distintos pero relacionados estructuran metafóricamente la aritmética básica: recolección de objetos, construcción de objetos, uso de una vara de medir y movimiento a lo largo de un camino.

WMCF se basa en libros anteriores de Lakoff (1987) y Lakoff y Johnson (1980, 1999), que analizan tales conceptos de metáforas y esquemas de imágenes de la ciencia cognitiva de segunda generación. Algunos de los conceptos de estos libros anteriores, como las interesantes ideas técnicas de Lakoff (1987), están ausentes en WMCF.

Lakoff y Núñez sostienen que las matemáticas resultan del aparato cognitivo humano y por lo tanto deben entenderse en términos cognitivos. WMCF defiende (e incluye algunos ejemplos de) un análisis de ideas cognitivas de las matemáticas que analiza las ideas matemáticas en términos de experiencias humanas, metáforas, generalizaciones y otros mecanismos cognitivos que dan lugar a a ellos Una educación matemática estándar no desarrolla tales técnicas de análisis de ideas porque no persigue consideraciones de A) qué estructuras de la mente le permiten hacer matemáticas o B) la filosofía de las matemáticas.

Lakoff y Núñez comienzan revisando la literatura psicológica y concluyen que los seres humanos parecen tener una habilidad innata, llamada subitizar, para contar, sumar y restar hasta aproximadamente 4 o 5. Documentan esta conclusión revisando la literatura, publicado en las últimas décadas, describiendo experimentos con sujetos infantiles. Por ejemplo, los bebés se emocionan o sienten curiosidad rápidamente cuando se les presenta "imposible" situaciones, como que aparezcan tres juguetes cuando inicialmente solo había dos presentes.

Los autores argumentan que las matemáticas van mucho más allá de este nivel tan elemental debido a una gran cantidad de construcciones metafóricas. Por ejemplo, la posición pitagórica de que todo es número, y la crisis de confianza asociada que surgió con el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, surge únicamente de una relación metafórica entre la longitud de la diagonal de un cuadrado y el número posible de objetos.

Gran parte de WMCF trata sobre los conceptos importantes de infinito y de procesos límite, buscando explicar cómo los humanos finitos que viven en un mundo finito podrían finalmente concebir el infinito real. Así, gran parte de WMCF es, en efecto, un estudio de los fundamentos epistemológicos del cálculo. Lakoff y Núñez concluyen que mientras el infinito potencial no es metafórico, el infinito real sí lo es. Además, consideran que todas las manifestaciones del infinito real son instancias de lo que llaman la 'metáfora básica del infinito', representada por la secuencia cada vez mayor 1, 2, 3,...

WMCF rechaza enfáticamente la filosofía platónica de las matemáticas. Enfatizan que todo lo que sabemos y podemos saber es matemáticas humanas, las matemáticas que surgen del intelecto humano. La cuestión de si hay un "trascendente" las matemáticas independientes del pensamiento humano son una pregunta sin sentido, como preguntar si los colores son trascendentes del pensamiento humano: los colores son solo longitudes de onda de luz variables, es nuestra interpretación de los estímulos físicos lo que los convierte en colores.

WMCF (p. 81) también critica el énfasis que los matemáticos ponen en el concepto de cierre. Lakoff y Núñez argumentan que la expectativa de cierre es un artefacto de la capacidad de la mente humana para relacionar conceptos fundamentalmente diferentes a través de la metáfora.

WMCF se ocupa principalmente de proponer y establecer una visión alternativa de las matemáticas, una que fundamenta el campo en las realidades de la biología y la experiencia humanas. No es una obra de matemática técnica o de filosofía. Lakoff y Núñez no son los primeros en argumentar que los enfoques convencionales de la filosofía de las matemáticas son defectuosos. Por ejemplo, no parecen muy familiarizados con el contenido de Davis y Hersh (1981), aunque el libro reconoce calurosamente el apoyo de Hersh.

Lakoff y Núñez citan a Saunders Mac Lane (el inventor, con Samuel Eilenberg, de la teoría de categorías) en apoyo de su posición. Matemáticas, forma y función (1986), una descripción general de las matemáticas destinada a los filósofos, propone que los conceptos matemáticos se basan en última instancia en las actividades humanas ordinarias, principalmente en las interacciones con el mundo físico.

Los educadores se han interesado en lo que sugiere WMCF sobre cómo se aprenden las matemáticas y por qué los estudiantes encuentran algunos conceptos elementales más difíciles que otros.

Sin embargo, incluso desde una perspectiva educativa, WMCF sigue siendo problemático. Desde el punto de vista de la teoría conceptual de la metáfora, las metáforas residen en un ámbito diferente, el abstracto, al del 'mundo real', el concreto. En otras palabras, a pesar de su afirmación de que las matemáticas son humanas, el conocimiento matemático establecido, que es lo que aprendemos en la escuela, se asume y se trata como abstracto, completamente separado de su origen físico. No puede dar cuenta de la forma en que los alumnos pueden acceder a dicho conocimiento.

WMCF también es criticado por su enfoque monista. En primer lugar, ignora el hecho de que la experiencia sensoriomotora en la que se supone que se basa nuestra estructura lingüística (por lo tanto, las matemáticas) puede variar entre culturas y situaciones. En segundo lugar, las matemáticas de las que se ocupa WMCF son "casi en su totalidad... expresiones estándar en libros de texto y currículos", que es el cuerpo de conocimiento mejor establecido. Es negligente de la naturaleza dinámica y diversa de la historia de las matemáticas.

El enfoque centrado en el logotipo de WMCF es otro objetivo para los críticos. Si bien está predominantemente interesado en la asociación entre el lenguaje y las matemáticas, no explica cómo los factores no lingüísticos contribuyen al surgimiento de ideas matemáticas (por ejemplo, véase Radford, 2009; Rotman, 2008).

Ejemplos de metáforas matemáticas

Las metáforas conceptuales descritas en WMCF, además de la Metáfora Básica del Infinito, incluyen:

• Aritmética es movimiento a lo largo de un camino, colección de objetos/construcción;
• El cambio es movimiento;
• Los conjuntos son contenedores, objetos;
• La continuidad es inequívoca;
• Los sistemas matemáticos tienen una "esencia", a saber, su estructura algebraica axiomática;
• Las funciones son conjuntos de pares ordenados, curvas en el plano cartesiano;
• Las figuras geométricas son objetos en el espacio;
• La independencia lógica es la ortogonalidad geométrica;
• Los números son conjuntos, colecciones de objetos, segmentos físicos, puntos en línea;
• La repetición es circular.

El razonamiento matemático requiere variables que abarquen algún universo de discurso, de modo que podamos razonar sobre generalidades en lugar de meramente sobre detalles. WMCF argumenta que el razonamiento con tales variables se basa implícitamente en lo que llama la Metonimia Fundamental del Álgebra.

Ejemplo de ambigüedad metafórica

WMCF (p. 151) incluye el siguiente ejemplo de lo que los autores denominan "ambigüedad metódica". Toma el set A={}{}∅ ∅ },{}∅ ∅ ,{}∅ ∅ }}}.{displaystyle A={\\\emptyset },{emptyset{emptyset. Entonces recuerde dos bits de terminología estándar de la teoría de conjuntos elementales:

1. La construcción recursiva de los números naturales ordinal, por lo que 0 es ∅ ∅ {displaystyle emptyset }, y n+1{displaystyle n+1} es n∪ ∪ {}n}.{displaystyle ncup {n}}
2. El par ordenado (a,b), definido como {}{}a},{}a,b}}.{displaystyle # a},{a,b}}

Por (1), A es el conjunto {1,2}. Pero (1) y (2) juntos dicen que A es también el par ordenado (0,1). Ambas declaraciones no pueden ser correctas; el par ordenado (0,1) y el par desordenado {1,2} son conceptos totalmente distintos. Lakoff y Johnson (1999) llaman a esta situación 'metafóricamente ambigua'. Este simple ejemplo pone en duda cualquier fundamento platónico de las matemáticas.

Si bien (1) y (2) anteriores son reconocidamente canónicos, especialmente dentro de la teoría de conjuntos de consenso conocida como la axiomatización de Zermelo-Fraenkel, WMCF no deja entrever que son solo una de varias definiciones que se han propuesto desde los albores de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, Frege, Principia Mathematica y New Foundations (un cuerpo de teoría axiomática de conjuntos iniciada por Quine en 1937) definen cardinales y ordinales como clases de equivalencia bajo las relaciones de equinumerosidad y similitud, de modo que este enigma no surge. En la teoría de conjuntos de Quinian, A es simplemente una instancia del número 2. Por razones técnicas, definir el par ordenado como en (2) anterior es complicado en la teoría de conjuntos de Quinian. Se han propuesto dos soluciones:

• Una definición de set-teorética variante del par ordenado más complicada que la habitual;
• Tomar parejas ordenadas como primitivas.

El romance de las matemáticas

El "Romance de las Matemáticas" es WMCF'término alegre para un punto de vista filosófico perenne sobre las matemáticas que el autores describen y luego descartan como un mito intelectual:

• La matemática es trascendente, es decir, existe independientemente de los seres humanos, y estructura nuestro universo físico real y cualquier universo posible. La matemática es el lenguaje de la naturaleza, y es la estructura conceptual primaria que tendríamos en común con los extranjeros extraterrestres, si hay tal.
• La prueba matemática es la puerta de entrada a un reino de verdad trascendente.
• La razón es lógica, y la lógica es esencialmente matemática. Por lo tanto, las estructuras matemáticas todo el razonamiento posible.
• Debido a que las matemáticas existen independientemente de los seres humanos, y el razonamiento es esencialmente matemático, la razón en sí es desencarnado. Por lo tanto, la inteligencia artificial es posible, al menos en principio.

Es en gran medida una pregunta abierta si WMCF finalmente demostrará ser el comienzo de una nueva escuela en la filosofía de las matemáticas. Por lo tanto, el principal valor de WMCF hasta ahora puede ser crítico: su crítica del platonismo y el romanticismo en las matemáticas.

Respuesta crítica

Muchos matemáticos en activo se resisten al enfoque y las conclusiones de Lakoff y Núñez. Las revisiones de WMCF por matemáticos en revistas profesionales, aunque a menudo respetuosas de su enfoque en estrategias conceptuales y metáforas como caminos para comprender las matemáticas, se han opuesto a algunos de los WMCF'argumentos filosóficos sobre la base de que las declaraciones matemáticas tienen un 'objetivo' significados Por ejemplo, el último teorema de Fermat significa exactamente lo que significaba cuando Fermat lo propuso inicialmente en 1664. Otros revisores han señalado que se pueden emplear múltiples estrategias conceptuales en relación con el mismo término definido matemáticamente, a menudo por la misma persona (un punto que es compatible con la opinión de que habitualmente entendemos el 'mismo' concepto con diferentes metáforas). La metáfora y la estrategia conceptual no son lo mismo que la definición formal que emplean los matemáticos. Sin embargo, WMCF señala que las definiciones formales se construyen usando palabras y símbolos que tienen significado solo en términos de la experiencia humana.

Las críticas de WMCF incluyen las humorísticas:

Es difícil para mí concebir una metáfora por un número real elevado a un poder complejo, pero si hay uno, me gustaría verlo. — Joseph Auslander

y el físicamente informado:

Pero su análisis deja al menos un par de preguntas insuficientemente contestadas. Por una cosa, los autores ignoran el hecho de que los cerebros no sólo observan la naturaleza, sino que también son parte de la naturaleza. Tal vez la matemática que los cerebros inventan toma la forma que hace porque las matemáticas tenían una mano en la formación de los cerebros en primer lugar (mediante el funcionamiento de las leyes naturales en la limitación de la evolución de la vida). Además, es una cosa que encaja en las ecuaciones a aspectos de la realidad que ya se conocen. Es algo más para que esa matemática se entere de los fenómenos nunca antes sospechados. Cuando las ecuaciones de Paul Dirac describiendo electrones produjeron más de una solución, él sostuvo que la naturaleza debe poseer otras partículas, ahora conocidas como antimateria. Pero los científicos no descubrieron tales partículas hasta después de que la matemática de Dirac le dijera que deben existir. Si la matemática es una invención humana, la naturaleza parece saber lo que iba a inventarse.

Lakoff se ganó su reputación vinculando la lingüística con la ciencia cognitiva y el análisis de la metáfora. Núñez, educado en Suiza, es producto de la escuela de psicología cognitiva de Jean Piaget como base para la lógica y las matemáticas. Núñez ha reflexionado mucho sobre los fundamentos del análisis real, los números reales y complejos, y la Metáfora Básica del Infinito. Estos temas, sin embargo, por dignos que sean, forman parte de la superestructura de las matemáticas. La ciencia cognitiva debería interesarse más en los fundamentos de las matemáticas. Y, de hecho, los autores prestan bastante atención desde el principio a la lógica, el álgebra booleana y los axiomas de Zermelo-Fraenkel, incluso deteniéndose un poco en la teoría de grupos. Pero ninguno de los autores tiene una buena formación en lógica, la filosofía de la teoría de conjuntos, el método axiomático, las metamatemáticas y la teoría de modelos. WMCF tampoco dice lo suficiente sobre la derivación de sistemas numéricos (los axiomas de Peano no se mencionan), álgebra abstracta, equivalencia y relaciones de orden, mereología, topología y geometría.

Lakoff y Núñez tienden a descartar las opiniones negativas que los matemáticos han expresado sobre WMCF, porque sus críticos no aprecian las ideas de la ciencia cognitiva. Lakoff y Núñez sostienen que su argumento solo puede entenderse utilizando los descubrimientos de las últimas décadas sobre la forma en que el cerebro humano procesa el lenguaje y el significado. Argumentan que cualquier argumento o crítica que no se base en este entendimiento no puede abordar el contenido del libro.

Se ha señalado que no está nada claro que WMCF establezca que la afirmación "vida extraterrestre inteligente tendría capacidad matemática" es un mito Para hacer esto, se requeriría demostrar que la inteligencia y la habilidad matemática son separables, y esto no se ha hecho. En la Tierra, la inteligencia y la capacidad matemática parecen ir de la mano en todas las formas de vida, como señaló Keith Devlin, entre otros. Los autores de WMCF no han explicado cómo esta situación sería (o incluso podría) ser diferente en cualquier otro lugar.

Lakoff y Núñez tampoco parecen apreciar hasta qué punto los intuicionistas y constructivistas han anticipado su ataque al romance de las matemáticas (platónicas). Brouwer, el fundador del punto de vista intuicionista/constructivista, en su disertación Sobre los fundamentos de las matemáticas, argumentó que las matemáticas eran una construcción mental, una creación libre de la mente y totalmente independiente de la lógica y el lenguaje.. Continúa reprendiendo a los formalistas por construir estructuras verbales que se estudian sin una interpretación intuitiva. El lenguaje simbólico no debe confundirse con las matemáticas; refleja, pero no contiene, la realidad matemática.

Resumiendo

WMCF (págs. 378–79) concluye con algunos puntos clave, algunos de los cuales siguen. Las matemáticas surgen de nuestros cuerpos y cerebros, nuestras experiencias cotidianas y las preocupaciones de las sociedades y culturas humanas. Está:

• El resultado de las capacidades cognitivas normales de adultos, en particular la capacidad de la metáfora conceptual, y como tal es un universal humano. La capacidad de construir metáforas conceptuales está basada neurológicamente y permite a los humanos razonar sobre un dominio utilizando el lenguaje y conceptos de otro dominio. La metáfora conceptual es tanto lo que permitió a las matemáticas crecer de las actividades cotidianas, y lo que permite que las matemáticas crezcan por un proceso continuo de analogía y abstracción;
• Símbolo, facilitando enormemente el cálculo preciso;
• No trascendente, sino el resultado de la evolución y la cultura humana, a la que debe su eficacia. Durante la experiencia del mundo una conexión con las ideas matemáticas está pasando dentro de la mente humana;
• Un sistema de conceptos humanos que hace un uso extraordinario de las herramientas ordinarias de la cognición humana;
• Una creación abierta de seres humanos, que siguen siendo responsables de mantenerla y extenderla;
• Uno de los mayores productos de la imaginación humana colectiva, y un magnífico ejemplo de la belleza, riqueza, complejidad, diversidad e importancia de las ideas humanas.

El enfoque cognitivo de los sistemas formales, tal como se describe e implementa en WMCF, no necesita limitarse a las matemáticas, sino que también debería ser fructífero cuando se aplica a la lógica formal y a la filosofía formal como Edward Zalta & #39;teoría de los objetos abstractos. Lakoff y Johnson (1999) emplean fructíferamente el enfoque cognitivo para repensar gran parte de la filosofía de la mente, la epistemología, la metafísica y la historia de las ideas.