David hilbert

David Hilbert (alemán: [ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt]; 23 de enero de 1862 - 14 de febrero de 1943) fue un matemático alemán, uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Hilbert descubrió y desarrolló una amplia gama de ideas fundamentales en muchas áreas, incluida la teoría de invariantes, el cálculo de variaciones, el álgebra conmutativa, la teoría algebraica de números, los fundamentos de la geometría, la teoría espectral de operadores y su aplicación a ecuaciones integrales, física matemática y los fundamentos de las matemáticas (particularmente la teoría de la demostración).

Hilbert adoptó y defendió la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Georg Cantor. En 1900, presentó una colección de problemas que marcaron el rumbo de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.

Hilbert y sus alumnos contribuyeron significativamente a establecer el rigor y desarrollaron importantes herramientas utilizadas en la física matemática moderna. Hilbert es conocido como uno de los fundadores de la teoría de la prueba y la lógica matemática.

Vida

Vida temprana y educación

Hilbert, el primero de dos hijos y único varón de Otto y Maria Therese (Erdtmann) Hilbert, nació en la Provincia de Prusia, Reino de Prusia, ya sea en Königsberg (según la propia declaración de Hilbert) o en Wehlau (conocido desde 1946 como Znamensk) cerca de Königsberg, donde su padre trabajaba en el momento de su nacimiento.

A fines de 1872, Hilbert ingresó al Friedrichskolleg Gymnasium (Collegium fridericianum, la misma escuela a la que había asistido Immanuel Kant 140 años antes); pero, después de un período infeliz, se transfirió (finales de 1879) y se graduó (principios de 1880) en el Wilhelm Gymnasium, más orientado a la ciencia. Al graduarse, en el otoño de 1880, Hilbert se matriculó en la Universidad de Königsberg, la "Albertina". A principios de 1882, Hermann Minkowski (dos años más joven que Hilbert y también nativo de Königsberg pero que se había ido a Berlín durante tres semestres), regresó a Königsberg y entró en la universidad. Hilbert desarrolló una amistad de por vida con el tímido y talentoso Minkowski.

Carrera

Hilbert en 1886

Hilbert en 1907

En 1884, Adolf Hurwitz llegó de Göttingen como Extraordinarius (es decir, profesor asociado). Se inició un intenso y fructífero intercambio científico entre los tres, y especialmente Minkowski y Hilbert ejercerían una influencia recíproca entre sí en varios momentos de sus carreras científicas. Hilbert obtuvo su doctorado en 1885, con una disertación, escrita bajo la dirección de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen ("Sobre las propiedades invariantes de las formas binarias especiales, en particular las funciones armónicas esféricas").

Hilbert permaneció en la Universidad de Königsberg como Privatdozent (profesor titular) de 1886 a 1895. En 1895, como resultado de la intervención en su nombre de Felix Klein, obtuvo el puesto de Profesor de Matemáticas en la Universidad de Göttingen. Durante los años de Klein y Hilbert, Göttingen se convirtió en la institución preeminente en el mundo matemático. Permaneció allí por el resto de su vida.

El Instituto Matemático de Gotinga. Su nuevo edificio, construido con fondos de la Fundación Rockefeller, fue inaugurado por Hilbert y Courant en 1930.

Escuela de Gotinga

Entre los alumnos de Hilbert estaban Hermann Weyl, el campeón de ajedrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo y Carl Gustav Hempel. John von Neumann fue su asistente. En la Universidad de Göttingen, Hilbert se rodeó de un círculo social de algunos de los matemáticos más importantes del siglo XX, como Emmy Noether y Alonzo Church.

Entre sus 69 Ph.D. hubo muchos estudiantes en Göttingen que luego se convirtieron en matemáticos famosos, incluidos (con la fecha de la tesis): Otto Blumenthal (1898), Felix Bernstein (1901), Hermann Weyl (1908), Richard Courant (1910), Erich Hecke (1910), Hugo Steinhaus (1911) y Wilhelm Ackermann (1925). Entre 1902 y 1939, Hilbert fue editor de Mathematische Annalen, la principal revista matemática de la época.

Bien, no tenía suficiente imaginación para convertirse en matemático.

—La respuesta de Hilbert al oír que uno de sus estudiantes había abandonado para estudiar poesía.

Vida personal

Käthe Hilbert con Constantin Carathéodory, antes de 1932

Hilbert y su esposa Käthe Jerosch (1892)

Franz Hilbert

En 1892, Hilbert se casó con Käthe Jerosch (1864–1945), que era hija de un comerciante de Königsberg, una joven franca con una independencia mental que coincidía con [la de Hilbert]." Mientras estaban en Königsberg tuvieron a su único hijo, Franz Hilbert [de] (1893–1969). Franz padeció durante toda su vida una enfermedad mental no diagnosticada. Su intelecto inferior fue una terrible decepción para su padre y esta desgracia fue motivo de angustia para los matemáticos y estudiantes de Göttingen.

Hilbert consideraba al matemático Hermann Minkowski como su "mejor y más fiel amigo".

Hilbert fue bautizado y criado como calvinista en la Iglesia Evangélica Prusiana. Más tarde abandonó la Iglesia y se convirtió en agnóstico. También argumentó que la verdad matemática era independiente de la existencia de Dios u otras suposiciones a priori. Cuando se criticó a Galileo Galilei por no defender sus convicciones sobre la teoría heliocéntrica, Hilbert objetó: “Pero [Galileo] no era un idiota. Sólo un idiota podría creer que la verdad científica necesita el martirio; eso puede ser necesario en la religión, pero los resultados científicos se prueban a su debido tiempo."

Años posteriores

Al igual que Albert Einstein, Hilbert tenía contactos más estrechos con el Grupo de Berlín, cuyos principales fundadores habían estudiado con Hilbert en Göttingen (Kurt Grelling, Hans Reichenbach y Walter Dubislav).

Alrededor de 1925, Hilbert desarrolló anemia perniciosa, una deficiencia de vitaminas intratable en ese momento cuyo síntoma principal es el agotamiento; su asistente Eugene Wigner lo describió como sujeto a una "enorme fatiga" y cómo "parecía bastante viejo" y que incluso después de ser finalmente diagnosticado y tratado, "difícilmente era un científico después de 1925, y ciertamente no era un Hilbert".

Hilbert vivió para ver cómo los nazis purgaban a muchos de los profesores destacados de la Universidad de Göttingen en 1933. Entre los expulsados se encontraban Hermann Weyl (que había ocupado la cátedra de Hilbert cuando se jubiló en 1930), Emmy Noether y Edmund Landó. Uno que tuvo que abandonar Alemania, Paul Bernays, había colaborado con Hilbert en lógica matemática y fue coautor con él del importante libro Grundlagen der Mathematik (que finalmente apareció en dos volúmenes, en 1934 y 1939). Esta fue una continuación del libro de Hilbert-Ackermann Principles of Mathematical Logic de 1928. El sucesor de Hermann Weyl fue Helmut Hasse.

Alrededor de un año después, Hilbert asistió a un banquete y se sentó junto al nuevo Ministro de Educación, Bernhard Rust. Rust preguntó si "el Instituto Matemático realmente sufrió tanto por la partida de los judíos". Hilbert respondió: "¿Sufrió? Ya no existe, ¿verdad?

Muerte

La tumba de Hilbert:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

Cuando Hilbert murió en 1943, los nazis habían vuelto a dotar casi por completo a la universidad, ya que muchos de los antiguos profesores eran judíos o estaban casados con judíos. Al funeral de Hilbert asistieron menos de una docena de personas, solo dos de las cuales eran colegas académicos, entre ellos Arnold Sommerfeld, físico teórico y también nativo de Königsberg. La noticia de su muerte solo se conoció en el resto del mundo varios meses después de su muerte.

El epitafio de su lápida en Göttingen consta de las famosas líneas que pronunció al final de su discurso de jubilación ante la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes el 8 de septiembre de 1930. Las palabras fueron dadas en respuesta a la máxima latina: &# 34;Ignoramus et ignorabimus" o "No sabemos, no sabremos":

El día antes de que Hilbert pronunciara estas frases en la reunión anual de 1930 de la Sociedad de Científicos y Médicos Alemanes, Kurt Gödel, en una mesa redonda durante la Conferencia sobre Epistemología celebrada conjuntamente con las reuniones de la Sociedad, anunció tentativamente la primera expresión de su teorema de incompletud. Los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que incluso los sistemas axiomáticos elementales, como la aritmética de Peano, se contradicen a sí mismos o contienen proposiciones lógicas que son imposibles de probar o refutar dentro de ese sistema.

Contribuciones a las matemáticas y la física

Hilbert resuelve el problema de Gordon

El primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes lo llevó a la demostración en 1888 de su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de los generadores de formas binarias utilizando un enfoque computacional complejo. Los intentos de generalizar su método a funciones con más de dos variables fracasaron debido a la enorme dificultad de los cálculos involucrados. Para resolver lo que en algunos círculos se conocía como el problema de Gordon, Hilbert se dio cuenta de que era necesario tomar un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el teorema de la base de Hilbert, mostrando la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes de la cuántica en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Es decir, mientras demostraba la existencia de tal conjunto, no era una prueba constructiva, no mostraba 'un objeto', sino que era una prueba de existencia y se basaba en el uso de la ley de exclusión. medio en una extensión infinita.

Hilbert envió sus resultados a los Mathematische Annalen. Gordan, el experto de la casa en la teoría de los invariantes para los Mathematische Annalen, no pudo apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque no era lo suficientemente completa. Su comentario fue:

Klein, por su parte, reconoció la importancia de la obra y garantizó que sería publicada sin alteraciones. Animado por Klein, Hilbert amplió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen. Después de haber leído el manuscrito, Klein le escribió diciendo:

Sin duda este es el trabajo más importante en el álgebra general que el Annalen ha publicado alguna vez.

Más tarde, después de que se reconociera universalmente la utilidad del método de Hilbert, el mismo Gordon diría:

Me he convencido de que incluso la teología tiene sus méritos.

A pesar de todos sus éxitos, la naturaleza de su prueba creó más problemas de los que Hilbert podría haber imaginado. Aunque Kronecker había concedido, Hilbert más tarde respondería a otros & # 39; críticas similares de que "muchas construcciones diferentes están subsumidas bajo una idea fundamental"; en otras palabras (para citar a Reid): "A través de una prueba de existencia, Hilbert pudo obtener una construcción"; "la prueba" (es decir, los símbolos en la página) era "el objeto". No todos estaban convencidos. Si bien Kronecker moriría poco después, su filosofía constructivista continuaría con el joven Brouwer y su 'escuela' intuicionista en desarrollo, para gran tormento de Hilbert en sus últimos años. De hecho, Hilbert perdería a su "alumno superdotado" Weyl al intuicionismo: "Hilbert estaba perturbado por la fascinación de su antiguo alumno con las ideas de Brouwer, lo que despertó en Hilbert el recuerdo de Kronecker". Brouwer, el intuicionista, en particular, se opuso al uso de la Ley del Medio Excluido sobre conjuntos infinitos (como la había usado Hilbert). Hilberto respondió:

Tomar el Principio del Medio Excluido del matemático es lo mismo que... prohibir al boxeador el uso de sus puños.

Axiomatización de la geometría

El texto Grundlagen der Geometrie (tr.: Foundations of Geometry) publicado por Hilbert en 1899 propone un conjunto formal, denominado axiomas de Hilbert, en sustitución de los axiomas tradicionales de Euclides. Evitan las debilidades identificadas en las de Euclides, cuyas obras en ese momento todavía se usaban como libros de texto. Es difícil especificar los axiomas usados por Hilbert sin hacer referencia a la historia de publicación de los Grundlagen ya que Hilbert los cambió y modificó varias veces. La monografía original fue seguida rápidamente por una traducción al francés, en la que Hilbert añadió V.2, el Axioma de Completitud. Una traducción al inglés, autorizada por Hilbert, fue hecha por E.J. Townsend y protegido por derechos de autor en 1902. Esta traducción incorporó los cambios realizados en la traducción francesa y, por lo tanto, se considera una traducción de la segunda edición. Hilbert continuó haciendo cambios en el texto y aparecieron varias ediciones en alemán. La séptima edición fue la última en aparecer en vida de Hilbert. Nuevas ediciones siguieron a la séptima, pero el texto principal esencialmente no fue revisado.

El enfoque de Hilbert marcó el cambio al método axiomático moderno. En esto, Hilbert fue anticipado por el trabajo de Moritz Pasch de 1882. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometría puede tratar cosas, sobre las cuales tenemos poderosas intuiciones, pero no es necesario asignar ningún significado explícito a los conceptos indefinidos. Los elementos, como el punto, la línea, el plano y otros, podrían ser sustituidos, como se dice que dijo Hilbert a Schoenflies y Kötter, por mesas, sillas, vasos de cerveza y otros objetos similares. Son sus relaciones definidas las que se discuten.

Hilbert primero enumera los conceptos indefinidos: punto, línea, plano, estar sobre (una relación entre puntos y líneas, puntos y planos, y líneas y planos), intermediación, congruencia de pares de puntos (segmentos de línea) y congruencia de ángulos Los axiomas unifican tanto la geometría plana como la geometría sólida de Euclides en un solo sistema.

Los 23 problemas

Hilbert presentó una lista muy influyente de 23 problemas sin resolver en el Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. Esto generalmente se considera como la compilación de problemas abiertos más exitosa y profundamente considerada que jamás haya producido un matemático individual.

Después de reelaborar los fundamentos de la geometría clásica, Hilbert podría haber extrapolado al resto de las matemáticas. Sin embargo, su enfoque difería del posterior "fundacionalista" Russell-Whitehead o "enciclopedista" Nicolas Bourbaki, y de su contemporáneo Giuseppe Peano. La comunidad matemática en su conjunto podía alistarse en los problemas que él había identificado como aspectos cruciales de las áreas de las matemáticas que consideraba clave.

El conjunto de problemas se lanzó como una charla "Los problemas de las matemáticas" presentado durante el transcurso del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. La introducción del discurso que pronunció Hilbert decía:

¿Quién entre nosotros no estaría feliz de levantar el velo detrás del cual está escondido el futuro; mirar los próximos desarrollos de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos venideros? ¿Cuáles serán los fines hacia los que tenderá el espíritu de las generaciones futuras de matemáticos? ¿Qué métodos, qué nuevos hechos revelarán el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemático?

Presentó menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueron publicados en las actas del Congreso. En una publicación posterior amplió el panorama y llegó a la formulación de los ahora canónicos 23 Problemas de Hilbert. Véase también el vigésimo cuarto problema de Hilbert. El texto completo es importante, ya que la exégesis de las preguntas todavía puede ser un tema de debate inevitable, siempre que se pregunte cuántas se han resuelto.

Algunos de estos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido a lo largo del siglo XX, y algunos ahora se consideran inadecuadamente abiertos para llegar a un cierre. Algunos siguen siendo desafíos.

Formalismo

En un relato que se había vuelto estándar a mediados de siglo, el conjunto de problemas de Hilbert también fue una especie de manifiesto que abrió el camino para el desarrollo de la escuela formalista, una de las tres principales escuelas de matemáticas del siglo. siglo 20. Según el formalista, las matemáticas son la manipulación de símbolos de acuerdo con reglas formales acordadas. Es por tanto una actividad autónoma del pensamiento. Sin embargo, hay espacio para dudar si las propias opiniones de Hilbert eran formalistas simplistas en este sentido.

El programa de Hilbert

En 1920, Hilbert propuso un proyecto de investigación en metamatemáticas que se conoció como el programa de Hilbert. Quería que las matemáticas se formularan sobre una base lógica sólida y completa. Creía que, en principio, esto podría lograrse demostrando que:

1. todas las matemáticas siguen de un sistema finito elegido correctamente de axiomas; y
2. que algún sistema de axioma es probablemente consistente a través de algunos medios como el cálculo epsilon.

Parece haber tenido razones tanto técnicas como filosóficas para formular esta propuesta. Afirmaba su disgusto por lo que se había llegado a conocer como el ignorabimus, todavía un tema activo en su tiempo en el pensamiento alemán, y se remontaba en esa formulación a Emil du Bois-Reymond.

Este programa todavía es reconocible en la filosofía de las matemáticas más popular, donde generalmente se le llama formalismo. Por ejemplo, el grupo de Bourbaki adoptó una versión diluida y selectiva del mismo como adecuada a los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir obras fundacionales enciclopédicas, y (b) apoyar el método axiomático como herramienta de investigación. Este enfoque ha sido exitoso e influyente en relación con el trabajo de Hilbert en álgebra y análisis funcional, pero no logró comprometerse de la misma manera con sus intereses en física y lógica.

Hilbert escribió en 1919:

No estamos hablando aquí de arbitrariedad en ningún sentido. Las matemáticas no son como un juego cuyas tareas se determinan por reglas estipuladas arbitrariamente. Más bien, es un sistema conceptual que posee una necesidad interna que sólo puede ser así y por ningún otro medio.

Hilbert publicó sus puntos de vista sobre los fundamentos de las matemáticas en el trabajo de dos volúmenes, Grundlagen der Mathematik.

Obra de Gödel

Hilbert y los matemáticos que trabajaron con él en su empresa estaban comprometidos con el proyecto. Su intento de sustentar las matemáticas axiomatizadas con principios definitivos, que pudieran desterrar las incertidumbres teóricas, terminó en fracaso.

Gödel demostró que cualquier sistema formal no contradictorio, que fuera lo suficientemente completo como para incluir al menos la aritmética, no puede demostrar su integridad por medio de sus propios axiomas. En 1931, su teorema de incompletitud mostró que el gran plan de Hilbert era imposible como se dijo. El segundo punto no puede combinarse de ninguna manera razonable con el primer punto, siempre que el sistema de axiomas sea genuinamente finito.

Sin embargo, los logros subsiguientes de la teoría de la demostración al menos aclararon la consistencia en lo que se refiere a las teorías de interés central para los matemáticos. El trabajo de Hilbert había iniciado la lógica en este curso de clarificación; la necesidad de comprender el trabajo de Gödel condujo al desarrollo de la teoría de la recursión y luego a la lógica matemática como disciplina autónoma en la década de 1930. La base para la informática teórica posterior, en el trabajo de Alonzo Church y Alan Turing, también surgió directamente de este 'debate'.

Análisis funcional

Alrededor de 1909, Hilbert se dedicó al estudio de las ecuaciones diferenciales e integrales; su trabajo tuvo consecuencias directas para partes importantes del análisis funcional moderno. Para llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de un espacio euclidiano de dimensión infinita, más tarde llamado espacio de Hilbert. Su trabajo en esta parte del análisis proporcionó la base para importantes contribuciones a las matemáticas de la física en las próximas dos décadas, aunque desde una dirección imprevista. Posteriormente, Stefan Banach amplió el concepto, definiendo los espacios de Banach. Los espacios de Hilbert son una clase importante de objetos en el área del análisis funcional, particularmente de la teoría espectral de operadores lineales autoadjuntos, que creció a su alrededor durante el siglo XX.

Física

Hasta 1912, Hilbert fue casi exclusivamente un matemático puro. Cuando planeó una visita desde Bonn, donde estaba inmerso en el estudio de la física, su colega matemático y amigo Hermann Minkowski bromeó diciendo que tenía que pasar 10 días en cuarentena antes de poder visitar a Hilbert. De hecho, Minkowski parece responsable de la mayoría de las investigaciones de física de Hilbert antes de 1912, incluido su seminario conjunto sobre el tema en 1905.

En 1912, tres años después de la muerte de su amigo, Hilbert centró su atención en el tema casi exclusivamente. Hizo arreglos para tener un "tutor de física" para el mismo. Comenzó a estudiar la teoría cinética de los gases y pasó a la teoría elemental de la radiación y la teoría molecular de la materia. Incluso después de que comenzara la guerra en 1914, continuó con seminarios y clases donde se seguían de cerca los trabajos de Albert Einstein y otros.

En 1907, Einstein había enmarcado los fundamentos de la teoría de la gravedad, pero luego luchó durante casi 8 años para poner la teoría en su forma final. A principios del verano de 1915, el interés de Hilbert por la física se había centrado en la relatividad general e invitó a Einstein a Göttingen para dar una semana de conferencias sobre el tema. Einstein recibió una recepción entusiasta en Göttingen. Durante el verano, Einstein se enteró de que Hilbert también estaba trabajando en las ecuaciones de campo y redobló sus propios esfuerzos. Durante noviembre de 1915, Einstein publicó varios artículos que culminaron en Las ecuaciones de campo de la gravitación (ver Ecuaciones de campo de Einstein). Casi simultáneamente, Hilbert publicó 'Los fundamentos de la física', una derivación axiomática de las ecuaciones de campo (ver acción de Einstein-Hilbert). Hilbert acreditó completamente a Einstein como el creador de la teoría y ninguna disputa de prioridad pública con respecto a las ecuaciones de campo surgió entre los dos hombres durante sus vidas. Ver más en prioridad.

Además, el trabajo de Hilbert anticipó y ayudó a varios avances en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Su trabajo fue un aspecto clave del trabajo de Hermann Weyl y John von Neumann sobre la equivalencia matemática de la mecánica matricial de Werner Heisenberg y la ecuación de onda de Erwin Schrödinger, y su homónimo espacio de Hilbert juega un papel importante. en la teoría cuántica. En 1926, von Neumann demostró que, si los estados cuánticos se entendían como vectores en el espacio de Hilbert, se corresponderían tanto con la teoría de la función de onda de Schrödinger como con las matrices de Heisenberg.

A lo largo de esta inmersión en la física, Hilbert trabajó para poner rigor en las matemáticas de la física. Si bien dependían en gran medida de las matemáticas superiores, los físicos tendían a ser "descuidados" con eso. Para un matemático puro como Hilbert, esto era feo y difícil de entender. A medida que comenzó a comprender la física y cómo los físicos usaban las matemáticas, desarrolló una teoría matemática coherente para lo que encontró, sobre todo en el área de las ecuaciones integrales. Cuando su colega Richard Courant escribió el ahora clásico Methoden der mathematischen Physik (Métodos de física matemática) que incluía algunas de las ideas de Hilbert, añadió las de Hilbert nombre como autor a pesar de que Hilbert no había contribuido directamente a la escritura. Hilbert dijo que "la física es demasiado difícil para los físicos", lo que implica que las matemáticas necesarias generalmente están más allá de ellos; el libro de Courant-Hilbert les facilitó la tarea.

Teoría de números

Hilbert unificó el campo de la teoría algebraica de números con su tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente "informe sobre números"). También resolvió un importante problema de teoría de números formulado por Waring en 1770. Al igual que con el teorema de finitud, utilizó una prueba de existencia que muestra que debe haber soluciones para el problema en lugar de proporcionar un mecanismo para producir las respuestas. Entonces tenía poco más que publicar sobre el tema; pero la aparición de las formas modulares de Hilbert en la disertación de un estudiante significa que su nombre se vincula aún más a un área principal.

Hizo una serie de conjeturas sobre la teoría del campo de clases. Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribución sigue viva en los nombres del campo de clase de Hilbert y del símbolo de Hilbert de la teoría del campo de clase local. Los resultados se probaron en su mayoría en 1930, después del trabajo de Teiji Takagi.

Hilbert no trabajó en las áreas centrales de la teoría analítica de números, pero su nombre se hizo conocido por la conjetura de Hilbert-Pólya, por razones que son anecdóticas.

Obras

Sus obras completas (Gesammelte Abhandlungen) se han publicado varias veces. Las versiones originales de sus artículos contenían "muchos errores técnicos de diversos grados"; cuando la colección se publicó por primera vez, se corrigieron los errores y se descubrió que esto se podía hacer sin cambios importantes en los enunciados de los teoremas, con una excepción: una supuesta prueba de la hipótesis del continuo. Sin embargo, los errores eran tan numerosos y significativos que Olga Taussky-Todd tardó tres años en hacer las correcciones.