Curvatura seccional

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En geometría riemanniana, la curvatura seccional es una de las formas de describir la curvatura de las variedades riemannianas. La curvatura seccional K(σ_p) depende de un subespacio lineal bidimensional σ_p del espacio tangente en un punto p de la variedad. Se puede definir geométricamente como la curvatura gaussiana de la superficie que tiene el plano σ_p como plano tangente en p, obtenida a partir de geodésicas que comienza en p en las direcciones de σ_p (en otras palabras, la imagen de σ_p debajo del mapa exponencial en p). La curvatura seccional es una función de valor real en el paquete 2-Grassmanniano sobre la variedad.

La curvatura de la sección determina completamente el tensor de curvatura.

Definición

Dada una variedad de Riemann y dos vectores tangentes linealmente independientes en el mismo punto, u y v, podemos definir

K(u,v)={langle R(u,v)v,urangle over langle u,urangle langle v,vrangle -langle u,vrangle ^{2}}

Aquí. R es el tensor de curvatura Riemann, definido aquí por la convención ${displaystyle R(u,v)w=nabla _{u}nabla _{v}w-nabla _{v}nabla _{u}w-nabla _{[u,v]}w.}$ Algunas fuentes utilizan la convención opuesta ${displaystyle R(u,v)w=nabla _{v}nabla _{u}w-nabla _{u}nabla _{v}w-nabla _{[v,u]}w,}$ en qué caso K(u,v) debe definirse con ${displaystyle langle R(u,v)u,vrangle }$ en el numerador en lugar de ${displaystyle langle R(u,v)v,urangle.}$

Tenga en cuenta que la independencia lineal de u y v obliga al denominador en la expresión anterior a ser distinto de cero, de modo que K(u,v) está bien definida. En particular, si u y v son ortonormales, entonces la definición toma la forma simple

K(u,v)=langle R(u,v)v,urangle.

Es sencillo comprobarlo si ${displaystyle u,vin T_{p}M}$ son linealmente independientes y abarcan el mismo subespacio lineal bidimensional del espacio tangente $T_{p}M$ como ${displaystyle x,yin T_{p}M}$ , entonces ${displaystyle K(u,v)=K(x,y).}$ Así se puede considerar la curvatura seccional como una función de valor real cuya entrada es un subespacio lineal bidimensional de un espacio tangente.

Definiciones alternativas

Alternativamente, la curvatura seccional puede caracterizarse por la circunferencia de pequeños círculos. Vamos $P$ ser un plano bidimensional en $T_{x}M$ . Vamos ${displaystyle C_{P}(r)}$ para lo suficientemente pequeño $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ denota la imagen bajo el mapa exponencial $p$ del círculo de la unidad en $P$ , y dejar ${displaystyle l_{P}(r)}$ denota la longitud ${displaystyle C_{P}(r)}$ . Entonces se puede probar que

{displaystyle l_{P}(r)=2pi rleft(1-{r^{2} over 6}sigma (P)+O(r^{3})right),}

como $rto 0$ , para algún número $sigma (P)$ . Este número $sigma (P)$ a $p$ es la curvatura de la sección $P$ a $p$ .

Variedades con curvatura de sección constante

Uno dice que un manifold Riemanniano tiene "una curvatura constante $kappa$ Si ${displaystyle operatorname {sec} (P)=kappa }$ para todos los subespacios lineales bidimensionales ${displaystyle Psubset T_{p}M}$ y para todos ${displaystyle pin M.}$

La lema de Schur dice que si (M,g) es un conjunto Riemanniano conectado con la dimensión al menos tres, y si hay una función ${displaystyle f:Mto mathbb {R} }$ tales que ${displaystyle operatorname {sec} (P)=f(p)}$ para todos los subespacios lineales bidimensionales ${displaystyle Psubset T_{p}M}$ y para todos ${displaystyle pin M,}$ entonces f debe ser constante y por lo tanto (M,g) tiene curvatura constante.

Un manifold Riemanniano con curvatura seccional constante se llama forma espacial. Si $kappa$ denota el valor constante de la curvatura seccional, entonces el tensor curvatura se puede escribir como

{displaystyle R(u,v)w=kappa {big (}langle v,wrangle u-langle u,wrangle v{big)}}

para cualquier ${displaystyle u,v,win T_{p}M.}$

Prueba

Brevemente: un argumento de polarización da una fórmula para

{displaystyle R(u,v)v,}

un segundo (equivalente) argumento de polarización da una fórmula para

{displaystyle R(u,v)w+R(u,w)v,}

y una combinación con la primera identidad Bianchi recupera la fórmula dada para

{displaystyle R(u,v)w.}

De la definición de curvatura seccional, sabemos que ${displaystyle langle R(u,v)v,urangle =kappa left(|u|^{2}|v|^{2}-langle u,vrangle ^{2}right)}$ siempre $u,v$ son linealmente independientes, y esto se extiende fácilmente al caso que $u,v$ son linealmente dependientes ya que ambos lados son entonces cero. Ahora, dada arbitrariedad u,v,w, computador ${displaystyle langle R(u+w,v)v,u+wrangle }$ de dos maneras. Primero, según la fórmula anterior, es igual

{displaystyle kappa left(|v|^{2}left(|u|^{2}+|w|^{2}+2langle u,wrangle right)-langle u,vrangle ^{2}-langle w,vrangle ^{2}-2langle u,vrangle langle w,vrangle right).}

Segundo, por multilinealidad, es igual ${displaystyle langle R(u,v)v,urangle +langle R(w,v)v,wrangle +langle R(u,v)v,wrangle +langle R(w,v)v,urangle}$

que, recordando la simetría Riemanniana ${displaystyle langle R(u,v)v,wrangle =langle R(w,v)v,urangle}$ se puede simplificar

{displaystyle kappa {Big (}|u|^{2}|v|^{2}-langle u,vrangle ^{2}{Big)}+kappa {Big (}|w|^{2}|v|^{2}-langle w,vrangle ^{2}{Big)}+2langle R(u,v)v,wrangle.}

Establecer estos dos cálculos iguales entre sí y cancelar los términos, se encuentra

{displaystyle langle R(u,v)v,wrangle =kappa {Big (}|v|^{2}langle u,wrangle -langle u,vrangle langle w,vrangle {Big)}.}

Desde w es arbitrario esto muestra que

{displaystyle R(u,v)v=kappa {Big (}|v|^{2}u-langle u,vrangle v{Big)}}

para cualquier u,v. Ahora u,v,w ser arbitraria y computar ${displaystyle R(u,v+w)(v+w)}$ de dos maneras. Primero, por esta nueva fórmula, es igual

{displaystyle kappa left(left(|v|^{2}+|w|^{2}+2langle v,wrangle right)u-langle u,vrangle v-langle u,wrangle v-langle u,vrangle w-langle u,wrangle wright).}

Segundo, por multilinealidad, es igual ${displaystyle R(u,v)v+R(u,w)w+R(u,v)w+R(u,w)v}$ que por la nueva fórmula es igual

{displaystyle kappa left(|v|^{2}u-langle u,vrangle vright)+kappa left(|w|^{2}u-langle u,wrangle wright)+R(u,v)w+R(u,w)v.}

Establecer estos dos cálculos iguales a los otros espectáculos

{displaystyle R(u,v)w+R(u,w)v=kappa left(2langle v,wrangle u-langle u,wrangle v-langle u,vrangle wright).}

Swap $u$ y $v$ , después añadir esto a la identidad Bianchi ${displaystyle R(v,u)w+R(u,w)v+R(w,v)u=0}$ para llegar

{displaystyle 2R(v,u)w+R(u,w)v=kappa left(2langle u,wrangle v-langle v,wrangle u-langle u,vrangle wright).}

Subir estas dos ecuaciones, haciendo uso de la simetría ${displaystyle R(u,v)w=-R(v,u)w,}$ para llegar

{displaystyle 3R(u,v)w=3kappa left(langle v,wrangle u-langle u,wrangle vright).}

Dado que cualquier métrica Riemanniana es paralela con respecto a su conexión Levi-Civita, esto demuestra que el tensor Riemann de cualquier espacio de constante curvatura también es paralelo. El tensor Ricci es dado por ${displaystyle operatorname {Ric} =(n-1)kappa g}$ y la curvatura escalar ${displaystyle n(n-1)kappa.}$ En particular, cualquier espacio de curvatura constante es Einstein y tiene constante curvatura de escalar.

Los ejemplos modelo

Dado un número positivo $a,$ definir

${displaystyle left(mathbb {R} ^{n},g_{mathbb {R} ^{n}}right)}$ para ser la estructura Riemanniana estándar
${displaystyle left(S^{n}(a),g_{S^{n}(a)}right)}$ ser la esfera ${displaystyle S^{n}(a)equiv left{xin mathbb {R} ^{n+1}:|x|=aright}}$ con ${displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ dada por la retirada de la estructura Riemanniana estándar en $mathbb {R} ^{n+1}$ por el mapa de inclusión ${displaystyle S^{n}(a)to mathbb {R} ^{n+1}}$
${displaystyle left(H^{n}(a),g_{H^{n}(a)}right)}$ para ser la pelota $<math alttext="{displaystyle H^{n}(a)equiv left{xin mathbb {R} ^{n}:|x|Hn()a)↑ ↑ {}x▪ ▪ Rn:SilencioxSilencio.a}{displaystyle H^{n}(a)equiv left{xin mathbb {R} ^{n}:<img alt="{displaystyle H^{n}(a)equiv left{xin mathbb {R} ^{n}:|x|$ con ${displaystyle g_{H^{n}(a)}=a^{2}{frac {left(a^{2}-|x|^{2}right)left(dx_{1}^{2}+cdots +dx_{n}^{2}right)-left(x_{1},dx_{1}+cdots +x_{n},dx_{n}right)^{2}}{left(a^{2}-|x|^{2}right)^{2}}}.}$

En la terminología habitual, estos manifolds Riemannianos se denominan espacio euclidiano, el espacio n-esférico y el espacio hiperbólico. Aquí, el punto es que cada uno es un completo andamio liso Riemanniano con curvatura constante. Para ser preciso, la métrica Riemanniana ${displaystyle g_{mathbb {R} ^{n}}}$ tiene constante curvatura 0, la métrica Riemanniana ${displaystyle g_{S^{n}(a)}}$ tiene curvatura constante ${displaystyle a^{-2},}$ y la métrica Riemanniana ${displaystyle g_{H^{n}(a)}}$ tiene curvatura constante ${displaystyle -a^{-2}.}$

Además, estos son los ejemplos "universales" en el sentido de que si $(M,g)$ es un suave, conectado, y simplemente conectado completo manifold Riemanniano con curvatura constante, entonces es isométrico a uno de los ejemplos anteriores; el ejemplo particular es dictado por el valor de la curvatura constante de ${displaystyle g,}$ según las curvaturas constantes de los ejemplos anteriores.

Si $(M,g)$ es un todoterreno Riemanniano suave y conectado con curvatura constante, pero es no presupuestado que está simplemente conectado, luego considerar el espacio de cobertura universal ${displaystyle pi:{widetilde {M}}to M}$ con la métrica Riemanniana ${displaystyle pi ^{ast }g.}$ Desde $pi$ es, por principios topológicos, un mapa de cobertura, el manifold Riemanniano ${displaystyle ({widetilde {M}},pi ^{ast }g)}$ es localmente isométrico a $(M,g)$ , y por lo tanto es un suave, conectado y simplemente conectado completo Riemannian manifold con la misma curvatura constante $g.$ Debe ser isométrico uno de los ejemplos de modelo anteriores. Tenga en cuenta que las transformaciones de la cubierta universal son isometrías relativas a la métrica ${displaystyle pi ^{ast }g.}$

El estudio de las variedades de Riemann con curvatura negativa constante, denominada geometría hiperbólica, es particularmente notable, ya que exhibe muchos fenómenos notables.

Escalado

Vamos $(M,g)$ ser un manifold suave, y dejar $lambda$ ser un número positivo. Considere el manifold Riemanniano ${displaystyle (M,lambda g).}$ El tensor de curvatura, como un mapa multilineal ${displaystyle T_{p}Mtimes T_{p}Mtimes T_{p}Mto T_{p}M,}$ no cambia por esta modificación. Vamos $v,w$ ser vectores linealmente independientes en $T_{p}M$ . Entonces...

{displaystyle K_{lambda g}(v,w)={frac {lambda gleft(R^{lambda g}(v,w)w,vright)}{|v|_{lambda g}^{2}|w|_{lambda g}^{2}-langle v,wrangle _{lambda g}^{2}}}={frac {1}{lambda }}{frac {gleft(R^{g}(v,w)w,vright)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-langle v,wrangle _{g}^{2}}}={frac {1}{lambda }}K_{g}(v,w).}

Así multiplicación de la métrica por $lambda$ multiplica todas las curvaturas de sección por ${displaystyle lambda ^{-1}.}$

Teorema de Toponogov

El teorema de Toponogov ofrece una caracterización de la curvatura seccional en términos de cuán "grasa" Los triángulos geodésicos aparecen cuando se comparan con sus contrapartes euclidianas. La intuición básica es que, si un espacio tiene una curvatura positiva, la arista de un triángulo opuesto a un vértice dado tenderá a doblarse alejándose de ese vértice, mientras que si un espacio tiene una curvatura negativa, entonces la arista opuesta del triángulo tenderá a doblarse. doblar hacia el vértice.

Más precisamente, sea M una variedad riemanniana completa, y sea xyz un triángulo geodésico en M (un triángulo cada uno de cuyos lados es una geodésica que minimiza la longitud). Finalmente, sea m el punto medio de la geodésica xy. Si M tiene una curvatura no negativa, entonces para todos los triángulos suficientemente pequeños

{displaystyle d(z,m)^{2}geq {frac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{frac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{frac {1}{4}}d(x,y)^{2}}

donde d es la función de distancia en M. El caso de igualdad se cumple precisamente cuando la curvatura de M desaparece, y el lado derecho representa la distancia desde un vértice hasta el lado opuesto de un triángulo geodésico en el espacio euclidiano que tiene las mismas longitudes de lado que el triángulo xyz. Esto precisa el sentido en que los triángulos son "más gordos" en espacios positivamente curvos. En espacios no curvados positivamente, la desigualdad es al revés:

{displaystyle d(z,m)^{2}leq {frac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{frac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{frac {1}{4}}d(x,y)^{2}.}

Si se conocen límites más estrictos en la curvatura de la sección, entonces esta propiedad se generaliza para dar un teorema de comparación entre los triángulos geodésicos en M y aquellos en una forma espacial simplemente conectada adecuada; ver el teorema de Toponogov. Las consecuencias simples de la versión indicada aquí son:

Un manifold Riemanniano completo tiene curvatura seccional no negativa si y sólo si la función ${displaystyle f_{p}(x)=operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$ es 1-concave para todos los puntos p.
Un completo manifold Riemanniano simplemente conectado tiene curvatura seccional no positiva si y sólo si la función ${displaystyle f_{p}(x)=operatorname {dist} ^{2}(p,x)}$ es 1-convex.

Variedades con curvatura seccional no positiva

En 1928, Élie Cartan probó el teorema Cartan-Hadamard: si M es un conjunto completo con curvatura seccional no positiva, entonces su cubierta universal es diffeomorfa a un espacio euclidiano. En particular, es asférico: los grupos de homotopy $pi _{i}(M)$ para i ≥ 2 son triviales. Por lo tanto, la estructura topológica de un conjunto completo no positivo curvo está determinada por su grupo fundamental. El teorema de Preissman restringe el grupo fundamental de múltiples compactos curvados negativamente. La conjetura Cartan-Hadamard afirma que la desigualdad isoperimétrica clásica debe mantener en todos los espacios simplemente conectados de curvatura no positiva, que se llaman manifolds Cartan-Hadamard.

Variedades con curvatura seccional positiva

Poco se sabe sobre la estructura de las variedades curvadas positivamente. El teorema del alma (Cheeger & Gromoll 1972; Gromoll & Meyer 1969) implica que una variedad completa no compacta no curvada negativamente es difeomorfa a un paquete normal sobre una variedad compacta no curvada negativamente. En cuanto a las variedades compactas de curvatura positiva, hay dos resultados clásicos:

De la teorema de Myers se desprende que el grupo fundamental de tal múltiple es finito.
A continuación del teorema de Synge que el grupo fundamental de tal múltiple en dimensiones uniformes es 0, si orientable y $mathbb {Z} _{2}$ De lo contrario. En dimensiones extrañas un manifold positivamente curvado es siempre orientable.

Además, hay relativamente pocos ejemplos de manifolds compactos positivamente curvados, dejando muchas conjeturas (por ejemplo, la conjetura Hopf sobre si hay una métrica de curvatura seccional positiva en ${displaystyle mathbb {S} ^{2}times mathbb {S} ^{2}}$ ). La forma más típica de construir nuevos ejemplos es el siguiente corolario de las fórmulas de curvatura O'Neill: si $(M,g)$ es un manifold Riemanniano admitiendo una acción isométrica libre de un grupo Lie G, y M tiene curvatura seccional positiva en todos los 2 planos ortogonal a las órbitas de G, entonces el manifold $M/G$ con la métrica cociente tiene una curvatura seccional positiva. Este hecho permite construir los espacios clásicos positivamente curvados, siendo esferas y espacios proyectivos, así como estos ejemplos (Ziller 2007):

Los espacios de Berger $B^{7}=SO(5)/SO(3)$ y ${displaystyle B^{13}=SU(5)/operatorname {Sp} (2)cdot mathbb {S} ^{1}}$ .
Los espacios de Wallach (o los manifolds de bandera homogénea): $W^{6}=SU(3)/T^{2}$ , ${displaystyle W^{12}=operatorname {Sp} (3)/operatorname {Sp} (1)^{3}}$ y ${displaystyle W^{24}=F_{4}/operatorname {Spin} (8)}$ .
Los espacios de Aloff-Wallach ${displaystyle W_{p,q}^{7}=SU(3)/operatorname {diag} left(z^{p},z^{q},{overline {z}}^{p+q}right)}$ .
Los espacios de Eschenburg ${displaystyle E_{k,l}=operatorname {diag} left(z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}}right)backslash SU(3)/operatorname {diag} left(z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}}right)^{-1}.}$
Los espacios de Bazaikin ${displaystyle B_{p}^{13}=operatorname {diag} left(z_{1}^{p_{1}},dotsz_{1}^{p_{5}}right)backslash U(5)/operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}}$ , donde ${displaystyle Ain operatorname {Sp} (2)subset SU(4)}$ .

Variedades con curvatura seccional no negativa

Cheeger y Gromoll demostraron su teorema de alma que declara que cualquier manifold no-compacto curvado no-negativamente $M$ tiene un submanifold compacto totalmente convexo $S$ tales que $M$ es diffeomorfo al paquete normal $S$ . Tal $S$ es llamado el alma de $M$ . En particular, este teorema implica que $M$ es homotopic a su alma $S$ que tiene la dimensión menos que $M$ .

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