Curvatura geodésica

En la geometría Riemanniana, la curvatura geodésica ${displaystyle k_{g}$ de una curva ${displaystyle gamma }$ mide hasta qué punto la curva es de ser geodésica. Por ejemplo, para curvas 1D en una superficie 2D incrustada en espacio 3D, es la curvatura de la curva proyectada sobre el plano tangente de la superficie. Más generalmente, en un manifold dado ${displaystyle {bar}}$, el curvatura geodésica es sólo lo habitual curvatura de ${displaystyle gamma }$ (véase infra). Sin embargo, cuando la curva ${displaystyle gamma }$ está restringido a mentir en un submanifold ${displaystyle M}$ de ${displaystyle {bar}}$ (por ejemplo, para curvas sobre superficies), la curvatura geodésica se refiere a la curvatura ${displaystyle gamma }$ dentro ${displaystyle M}$ y es diferente en general de la curvatura ${displaystyle gamma }$ en el manifold ambiente ${displaystyle {bar}}$. La curvatura (ambiente) ${displaystyle k}$ de ${displaystyle gamma }$ depende de dos factores: la curvatura del submanifold ${displaystyle M}$ en la dirección de ${displaystyle gamma }$ (la curvatura normal ${displaystyle K_{n}$), que depende sólo de la dirección de la curva, y la curvatura de ${displaystyle gamma }$ visto en ${displaystyle M}$ (la curvatura geodésica ${displaystyle k_{g}$), que es una segunda cantidad de pedido. La relación entre estos es ${displaystyle k={sqrt {k_{g} {2}+k_{n} {2}}}$. En particular la geodésica ${displaystyle M}$ tienen una curvatura geodésica cero (son "estrecho"), de modo que ${displaystyle K=k_{n}$, lo que explica por qué parecen ser curvados en el espacio ambiente cuando el submanifold es.

Definición

Considere una curva ${displaystyle gamma }$ en un manifold ${displaystyle {bar}}$, parametrizado por la arclength, con vector tangente unidad ${displaystyle T=dgamma /ds}$. Su curvatura es la norma del derivado covariante ${displaystyle T}$: ${displaystyle k=fnciónDT/ds$. Si ${displaystyle gamma }$ mentiras ${displaystyle M}$, el curvatura geodésica es la norma de la proyección del derivado covariante ${displaystyle DT/ds}$ en el espacio tangente al submanifold. A la inversa curvatura normal es la norma de la proyección de ${displaystyle DT/ds}$ en el paquete normal al submanifold en el punto considerado.

Si el manifold ambiente es el espacio euclidiano ${displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}}$, entonces el derivado covariante ${displaystyle DT/ds}$ es sólo el derivado habitual ${displaystyle dT/ds}$.

Ejemplo

Vamos ${displaystyle M}$ ser la esfera de unidad ${displaystyle S^{2}$ en espacio Euclideano tridimensional. La curvatura normal ${displaystyle S^{2}$ es idéntico 1, independientemente de la dirección considerada. Grandes círculos tienen curvatura ${displaystyle k=1}$, por lo que tienen cero curvatura geodésica, y por lo tanto son geodésicos. Círculos más pequeños de radio ${displaystyle r}$ tendrá curvatura ${displaystyle 1/r}$ y curvatura geodésica ${fnK} {fnK}} {f}}} {f}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$.

Algunos resultados relacionados con la curvatura geodésica

• La curvatura geodésica no es otra que la curvatura habitual de la curva cuando se computó intrínsecamente en el submanifold ${displaystyle M}$. No depende de la forma en que el submanifold ${displaystyle M}$ sentado ${displaystyle {bar}}$.
• Geodésica de ${displaystyle M}$ tienen cero curvatura geodésica, lo que equivale a decir que ${displaystyle DT/ds}$ es ortogonal al espacio tangente ${displaystyle M}$.
• Por otro lado, la curvatura normal depende fuertemente de cómo el submanifold se encuentra en el espacio ambiente, pero marginalmente en la curva: ${displaystyle K_{n}$ sólo depende del punto del submanifold y la dirección ${displaystyle T}$, pero no en ${displaystyle DT/ds}$.
• En general la geometría Riemanniana, el derivado se calcula utilizando la conexión Levi-Civita ${displaystyle {bar} }$ del manifold ambiente: ${displaystyle DT/ds={bar {nabla} }$. Se divide en una parte tangente y una parte normal en el submanifold: ${displaystyle {bar} ♪♪♪ ################################################################################################################################################################################################################################################################ }$. La parte tangente es el derivado habitual ${displaystyle nabla _{T}T}$ dentro ${displaystyle M}$ (es un caso particular de la ecuación de Gauss en las ecuaciones Gauss-Codazzi), mientras que la parte normal es ${displaystyle mathrm {I!I} (T,T)}$, donde ${displaystyle mathrm {}}$ denota la segunda forma fundamental.
• El teorema Gauss-Bonnet.