Curvatura gaussiana

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Producto de las curvaturas principales de una superficie

De izquierda a derecha: una superficie de curvatura gaussiana negativa (hiperboloide), una superficie de curvatura Gausiana cero (cilindro), y una superficie de curvatura Gaussiana positiva (esférica).

Algunos puntos en el toro tienen positivo, algunos tienen negativo, y algunos tienen cero curvatura gausiana.

En geometría diferencial, la curvatura gaussiana o curvatura gaussiana $Κ$ de una superficie lisa en un espacio tridimensional en un punto es el producto de las curvaturas principales, $κ 1$ y $κ 2$ , en el punto dado:

{displaystyle K=kappa _{1}kappa _{2}.}

Radio Gaussiano de curvatura

.

r

1 / r 2

La curvatura gaussiana es una medida intrínseca de la curvatura, que depende únicamente de las distancias que se miden "dentro" oa lo largo de la superficie, no de la forma en que está incrustada isométricamente en el espacio euclidiano. Este es el contenido del Teorema egregium.

La curvatura gaussiana lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, quien publicó el Theorema egregium en 1827.

Definición informal

Superficie de asiento con planos normales en direcciones de curvaturas principales

En cualquier punto de una superficie, podemos encontrar un vector normal que esté en ángulo recto con la superficie; los planos que contienen el vector normal se denominan planos normales. La intersección de un plano normal y la superficie formará una curva llamada sección normal y la curvatura de esta curva es la curvatura normal. Para la mayoría de los puntos en la mayoría de las superficies "suaves", diferentes secciones normales tendrán diferentes curvaturas; los valores máximo y mínimo de estos se denominan curvaturas principales, llámelos $κ 1$ , $κ 2$ . La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales $Κ = κ 1 κ 2$ .

El signo de la curvatura gaussiana se puede utilizar para caracterizar la superficie.

Si ambas curvaturas principales son del mismo signo: $κ 1 κ 2 ■ 0$ , entonces la curvatura gausiana es positiva y se dice que la superficie tiene un punto elíptico. En tales puntos, la superficie será como, localmente acostada en un lado de su plano tangente. Todas las curvaturas de sección tendrán el mismo signo.
Si las curvaturas principales tienen diferentes signos: $κ 1 κ 20$ , entonces la curvatura gausiana es negativa y se dice que la superficie tiene un punto hiperbólico o de silla. En tales puntos, la superficie será forma de silla de montar. Debido a que una curvatura principal es negativa, una es positiva, y la curvatura normal varía continuamente si gira un plano ortogonal a la superficie alrededor de la normal a la superficie en dos direcciones, las curvaturas normales serán cero dando las curvas asintoticas para ese punto.
Si una de las curvaturas principales es cero: $κ 1 κ 2 = 0$ , la curvatura gausiana es cero y se dice que la superficie tiene un punto parabólico.

La mayoría de las superficies contendrán regiones de curvatura gaussiana positiva (puntos elípticos) y regiones de curvatura gaussiana negativa separadas por una curva de puntos con curvatura gaussiana cero denominada línea parabólica.

Relación con geometrías

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana cero constante, entonces es una superficie desarrollable y la geometría de la superficie es geometría euclidiana.

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana positiva constante, la geometría de la superficie es geometría esférica. Las esferas y los parches de esferas tienen esta geometría, pero también existen otros ejemplos, como el balón de fútbol.

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana negativa constante, entonces es una superficie pseudoesférica y la geometría de la superficie es geometría hiperbólica.

Relación con las curvaturas principales

Las dos curvaturas principales en un punto dado de una superficie son los valores propios del operador de forma en el punto. Miden cómo la superficie se dobla en diferentes cantidades en diferentes direcciones desde ese punto. Representamos la superficie por el teorema de la función implícita como la gráfica de una función, $f$ , de dos variables, de tal manera que el punto $p$ es un punto crítico, es decir, el gradiente de $f$ desaparece (esto siempre se puede lograr con un movimiento rígido adecuado). Entonces, la curvatura gaussiana de la superficie en $p$ es el determinante de la matriz hessiana de $f$ (siendo el producto de los valores propios de Hessian). (Recuerde que la arpillera es la matriz de 2 × 2 de las segundas derivadas). Esta definición permite captar de inmediato la distinción entre una copa/tapa y un punto de silla.

Definiciones alternativas

También está dada por

{displaystyle K={frac {{bigl langle }(nabla _{2}nabla _{1}-nabla _{1}nabla _{2})mathbf {e} _{1},mathbf {e} _{2}{bigr rangle }}{det g}},}

Silencio i ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ e i

g

En un punto $p$ sobre una superficie regular en $R 3$ , la curvatura gaussiana también viene dada por

{displaystyle K(mathbf {p})=det S(mathbf {p}),}

S

Una fórmula útil para la curvatura gaussiana es la ecuación de Liouville en términos de laplaciana en coordenadas isotérmicas.

Curvatura total

La suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de curvatura negativa es inferior a la de un triángulo plano.

La integral de superficie de la curvatura gaussiana sobre alguna región de una superficie se denomina curvatura total. La curvatura total de un triángulo geodésico es igual a la desviación de la suma de sus ángulos de $π$ . La suma de los ángulos de un triángulo sobre una superficie de curvatura positiva excederá $π$ , mientras que la suma de los ángulos de un triángulo en una superficie de curvatura negativa será menor que $π$ . En una superficie de curvatura cero, como el plano euclidiano, los ángulos suman precisamente $π$ radianes.

{displaystyle sum _{i=1}^{3}theta _{i}=pi +iint _{T}K,dA.}

Un resultado más general es el teorema de Gauss-Bonnet.

Teoremas importantes

Teorema egregium

El Teorema egregium de Gauss (del latín: "teorema notable") establece que la curvatura gaussiana de una superficie se puede determinar a partir de las medidas de longitud en la propia superficie. De hecho, se puede encontrar dado el pleno conocimiento de la primera forma fundamental y expresada a través de la primera forma fundamental y sus derivadas parciales de primer y segundo orden. De manera equivalente, el determinante de la segunda forma fundamental de una superficie en $R 3$ puede expresarse así. La característica "notable" y sorprendente de este teorema es que aunque la definición de la curvatura gaussiana de una superficie $S$ en $R 3$ ciertamente depende de la forma en que se encuentra la superficie en el espacio, el resultado final, la propia curvatura gaussiana, está determinada por la métrica intrínseca de la superficie sin más referencia al espacio ambiental: es una invariante intrínseca. En particular, la curvatura gaussiana es invariante bajo deformaciones isométricas de la superficie.

En la geometría diferencial contemporánea, una "superficie", vista de manera abstracta, es una variedad diferenciable bidimensional. Para conectar este punto de vista con la teoría clásica de las superficies, dicha superficie abstracta se incrusta en $R 3$ y se dota con la métrica de Riemann dada por la primera forma fundamental. Supongamos que la imagen de la incrustación es una superficie $S$ en $R 3$ . Una isometría local es un difeomorfismo $f : U \to V$ entre regiones abiertas de $R 3$ cuya restricción a $S \cap U$ es una isometría sobre su imagen. El Teorema egregium se enuncia entonces de la siguiente manera:

La curvatura Gausiana de una superficie lisa incrustada en $R 3$ es invariante bajo las isometrías locales.

Por ejemplo, la curvatura gaussiana de un tubo cilíndrico es cero, lo mismo que para el "desenrollado" tubo (que es plano). Por otro lado, dado que una esfera de radio $R$ tiene una curvatura positiva constante $R -2$ y un plano tiene curvatura constante 0, estas dos superficies no son isométricas, ni siquiera localmente. Por lo tanto, cualquier representación plana de incluso una pequeña parte de una esfera debe distorsionar las distancias. Por lo tanto, ninguna proyección cartográfica es perfecta.

Teorema de Gauss-Bonnet

El teorema de Gauss-Bonnet vincula la curvatura total de una superficie con su característica de Euler y proporciona un vínculo importante entre las propiedades geométricas locales y las propiedades topológicas globales.

Superficies de curvatura constante

Dos superficies que ambos tienen constante curvatura Gaussiana positiva pero con un límite abierto o puntos singulares.

Teorema de la mente (1839) afirma que todas las superficies con la misma curvatura constante $K$ son localmente isométricos. Una consecuencia del teorema de Minding es que cualquier superficie cuya curvatura es idénticamente cero se puede construir doblando una región de plano. Tales superficies se llaman superficies de desarrollo. Minding también planteó la cuestión de si una superficie cerrada con curvatura positiva constante es necesariamente rígida.
Teorema de Liebmann (1900) respondió la pregunta de Minding. El único regular (de clase) $C 2$ ) superficies cerradas en $R 3$ con constante curvatura Gaussiana positiva son esferas. Si una esfera está deformada, no sigue siendo una esfera, demostrando que una esfera es rígida. Una prueba estándar utiliza la lema de Hilbert de que los puntos no umbilicales de curvatura principal extrema tienen curvatura Gausiana no positiva.
Teorema de Hilbert (1901) afirma que no existe un análisis completo (clase $C \cdot$ ) superficie regular en $R 3$ de constante curvatura gaussiana negativa. De hecho, la conclusión también tiene para superficies de clase $C 2$ inmerso en $R 3$ , pero se descompone $C 1$ - Superficies. El pseudosfere tiene una curvatura gaussiana negativa constante excepto en su círculo de límites, donde la curvatura gaussiana no se define.

Hay otras superficies que tienen constante curvatura Gausiana positiva. Manfredo do Carmo considera superficies de la revolución ${displaystyle (phi (v)cos(u),phi (v)sin(u),psi (v))}$ Donde ${displaystyle phi (v)=Ccos v}$ , y ${textstyle psi (v)=int _{0}^{v}{sqrt {1-C^{2}sin ^{2}v'}} dv'}$ (una incompleta integral elíptica del segundo tipo). Estas superficies tienen constante curvatura gausiana de 1, pero, para ${displaystyle Cneq 1}$ o tiene un límite o un punto singular. do Carmo también da tres ejemplos diferentes de superficie con constante curvatura gaisiana negativa, uno de los cuales es pseudoesférica.

Hay muchas otras superficies delimitadas posibles con curvatura gaussiana constante. Si bien la esfera es rígida y no se puede doblar usando una isometría, si se elimina una pequeña región, o incluso un corte a lo largo de un segmento pequeño, la superficie resultante se puede doblar. Tal flexión conserva la curvatura gaussiana, por lo que cualquier flexión de una esfera con una región eliminada también tendrá una curvatura gaussiana constante.

Fórmulas alternativas

curvatura Gausiana de una superficie en $R 3$ se puede expresar como la proporción de los determinantes de las segundas y primeras formas fundamentales $II$ y $I$ : ${displaystyle K={frac {det(mathrm {I!I})}{det(mathrm {I})}}={frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}$
El Fórmula Brioschi (después de Francesco Brioschi) da curvatura gaussiana únicamente en términos de la primera forma fundamental: ${displaystyle K={frac {{begin{vmatrix}-{frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{frac {1}{2}}G_{uu}&{frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{frac {1}{2}}E_{v}\F_{v}-{frac {1}{2}}G_{u}&E&F\{frac {1}{2}}G_{v}&F&Gend{vmatrix}}-{begin{vmatrix}0&{frac {1}{2}}E_{v}&{frac {1}{2}}G_{u}\{frac {1}{2}}E_{v}&E&F\{frac {1}{2}}G_{u}&F&Gend{vmatrix}}}{left(EG-F^{2}right)^{2}}}}$
Para un parametrización ortogonal () $F = 0$ ), curvatura gaussiana es: ${displaystyle K=-{frac {1}{2{sqrt {EG}}}}left({frac {partial }{partial u}}{frac {G_{u}}{sqrt {EG}}}+{frac {partial }{partial v}}{frac {E_{v}}{sqrt {EG}}}right).}$
Para una superficie descrita como gráfico de una función $z = F () x, Sí.)$ , curvatura gaussiana es: ${displaystyle K={frac {F_{xx}cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}right)^{2}}}}$
Para una superficie implícitamente definida, $F () x, Sí., z) = 0$ , la curvatura gausiana se puede expresar en términos del gradiente $Silencio F$ y matriz hesiana $H () F)$ : ${displaystyle K=-{frac {begin{vmatrix}H(F)&nabla F^{mathsf {T}}\nabla F&0end{vmatrix}}{|nabla F|^{4}}}=-{frac {begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\end{vmatrix}}{|nabla F|^{4}}}}$
Para una superficie conforma métrica al Euclideano, por lo que $F = 0$ y $E = G = e σ$ , la curvatura de Gauss es dada por ( $Δ$ siendo el operador habitual de Laplace: ${displaystyle K=-{frac {1}{2e^{sigma }}}Delta sigma.}$
La curvatura gausiana es la diferencia límite entre la circunferencia de una geodésico círculo y un círculo en el avión: ${displaystyle K=lim _{rto 0^{+}}3{frac {2pi r-C(r)}{pi r^{3}}}}$
La curvatura gaucha es la diferencia límite entre el área de un disco geodésico y un disco en el avión: ${displaystyle K=lim _{rto 0^{+}}12{frac {pi r^{2}-A(r)}{pi r^{4}}}}$
La curvatura gausiana se puede expresar con la símbolos de Christoffel: ${displaystyle K=-{frac {1}{E}}left({frac {partial }{partial u}}Gamma _{12}^{2}-{frac {partial }{partial v}}Gamma _{11}^{2}+Gamma _{12}^{1}Gamma _{11}^{2}-Gamma _{11}^{1}Gamma _{12}^{2}+Gamma _{12}^{2}Gamma _{12}^{2}-Gamma _{11}^{2}Gamma _{22}^{2}right)}$

Libros

Grinfeld, P. (2014). Introducción al análisis del tensor y el cálculo de las superficies de movimiento. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.
Rovelli, Carlo (2021). Relatividad general los elementos esenciales. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-01369-7.

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