Curvatura

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Medición matemática de cuánta curva o superficie se desvía de la planaidad

Un tipo salvaje migrando Dictyostelium discoideum célula cuyo límite es coloreado por curvatura. Barra de escala: 5 μm.

En matemáticas, curvatura es cualquiera de varios conceptos fuertemente relacionados en geometría. Intuitivamente, la curvatura es la cantidad por la cual una curva se desvía de ser una línea recta, o una superficie se desvía de ser un plano.

Para las curvas, el ejemplo canónico es el de un círculo, que tiene una curvatura igual al recíproco de su radio. Los círculos más pequeños se doblan más bruscamente y, por lo tanto, tienen una curvatura más alta. La curvatura en un punto de una curva diferenciable es la curvatura de su círculo osculador, es decir, el círculo que mejor se aproxima a la curva cerca de este punto. La curvatura de una línea recta es cero. A diferencia de la tangente, que es una cantidad vectorial, la curvatura en un punto suele ser una cantidad escalar, es decir, se expresa mediante un único número real.

Para las superficies (y, de manera más general, para las variedades de dimensiones superiores), que están incrustadas en un espacio euclidiano, el concepto de curvatura es más complejo, ya que depende de la elección de una dirección en la superficie o variedad. Esto conduce a los conceptos de curvatura máxima, curvatura mínima y curvatura media.

Para las variedades de Riemann (de dimensión al menos dos) que no están necesariamente incrustadas en un espacio euclidiano, se puede definir la curvatura intrínsecamente, es decir, sin referirse a un espacio externo. Consulte Curvatura de las variedades de Riemann para conocer la definición, que se realiza en términos de longitudes de curvas trazadas en la variedad y expresada, utilizando álgebra lineal, mediante el tensor de curvatura de Riemann.

Historia

En Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, la filósofa y matemática del siglo XIV Nicole Oresme introduce el concepto de curvatura como una medida de desviación de la rectitud; para los círculos tiene la curvatura como inversamente proporcional al radio; e intenta extender esta idea a otras curvas como una magnitud que varía continuamente.

La curvatura de una curva diferenciable se definió originalmente a través de círculos osculadores. En este escenario, Augustin-Louis Cauchy mostró que el centro de curvatura es el punto de intersección de dos líneas normales infinitamente cercanas a la curva.

Curvas planas

Intuitivamente, la curvatura describe para cualquier parte de una curva cuánto cambia la dirección de la curva en una pequeña distancia recorrida (por ejemplo, ángulo en $rad/m$ ), por lo que es un medida de la tasa de cambio instantáneo de dirección de un punto que se mueve en la curva: cuanto mayor es la curvatura, mayor es esta tasa de cambio. En otras palabras, la curvatura mide qué tan rápido gira el vector unitario tangente a la curva (rápido en términos de posición de la curva). De hecho, se puede demostrar que esta tasa de cambio instantáneo es exactamente la curvatura. Más precisamente, suponga que el punto se mueve sobre la curva a una velocidad constante de una unidad, es decir, la posición del punto $P (s)$ es una función del parámetro $s$ , que puede pensarse como el tiempo o como el arco longitud desde un origen dado. Sea $T (s)$ un vector unitario tangente de la curva en $P (s)$ , que también es la derivada de $P (s)$ con respecto a $s$ . Entonces, la derivada de $T (s)$ con respecto a $s$ es un vector que es normal a la curva y cuya longitud es la curvatura.

Para que sea significativa, la definición de la curvatura y sus diferentes caracterizaciones requieren que la curva sea continuamente diferenciable cerca de $P$ , por tener una tangente que varía continuamente; requiere también que la curva sea dos veces diferenciable en $P$ , para asegurar la existencia de los límites involucrados, y de la derivada de T(s).

La caracterización de la curvatura en términos de la derivada del vector unitario tangente es probablemente menos intuitiva que la definición en términos del círculo osculador, pero las fórmulas para calcular la curvatura son más fáciles de deducir. Por tanto, y también por su uso en cinemática, esta caracterización se suele dar como definición de la curvatura.

Círculo osculador

Históricamente, la curvatura de una curva diferenciable se definía a través del círculo osculador, que es el círculo que mejor se aproxima a la curva en un punto. Más precisamente, dado un punto $P$ en una curva, cualquier otro punto $Q$ de la curva define un círculo (o, a veces, una línea) que pasa por $Q$ y tangente a la curva en $P$ . El círculo osculador es el límite, si existe, de este círculo cuando $Q$ tiende a $P$ . Luego el centro y el radio de curvatura de la curva en $P$ son el centro y el radio del círculo osculador. La curvatura es el recíproco del radio de curvatura. Es decir, la curvatura es

{displaystyle kappa ={frac {1}{R}},}

donde $R$ es el radio de curvatura (todo el círculo tiene esta curvatura, se puede leer como turn $2π$ sobre la longitud $2π$ $R$ ).

Esta definición es difícil de manipular y expresar en fórmulas. Por lo tanto, se han introducido otras definiciones equivalentes.

En términos de parametrización de longitud de arco

Cada curva diferenciable se puede parametrizar con respecto a la longitud del arco. En el caso de una curva plana, esto significa la existencia de una parametrización $γ (s) = (x (s), y (s))$ , donde $x$ y $y$ son funciones diferenciables de valor real cuyas derivadas satisfacen

{displaystyle |{boldsymbol {gamma }}'|={sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}=1.}

Esto significa que el vector tangente

{displaystyle mathbf {T} (s)={bigl (}x'(s),y'(s){bigr)}}

tiene una norma igual a uno y por lo tanto es un vector unitario tangente.

Si la curva es dos veces diferenciable, es decir, si las segundas derivadas de $x$ y $y$ existen, entonces la derivada de $T (s)$ existe. Este vector es normal a la curva, su norma es la curvatura $κ (s)$ , y está orientado hacia la centro de curvatura. Es decir,

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {T} (s)&={boldsymbol {gamma }}'(s),\[8mu]|mathbf {T} (s)|^{2}&=1 {text{(constant)}}implies mathbf {T} '(s)cdot mathbf {T} (s)=0,\[5mu]kappa (s)&=|mathbf {T} '(s)|=|{boldsymbol {gamma }}''(s)|={sqrt {x''(s)^{2}+y''(s)^{2}}}end{aligned}}}

Además, como el radio de curvatura es

{displaystyle R(s)={frac {1}{kappa (s)}},}

y el centro de curvatura está en la normal a la curva, el centro de curvatura es el punto

{displaystyle mathbf {C} (s)={boldsymbol {gamma }}(s)+{frac {1}{kappa (s)^{2}}}mathbf {T} '(s).}

Si $N (s)$ es el vector unitario normal obtenido de $T (s)$ por una rotación en sentido antihorario de $π$ /2, luego

{displaystyle mathbf {T} '(s)=k(s)mathbf {N} (s),}

con $k (s) = \pm κ (s)$ . El número real $k (s)$ se denomina curvatura orientada o con signo curvatura. Depende tanto de la orientación del plano (definición de antihorario), como de la orientación de la curva proporcionada por la parametrización. De hecho, el cambio de variable $s \to - s$ proporciona otra parametrización de longitud de arco y cambia el signo de k(s).

En términos de una parametrización general

Sea $γ (t) = (x (t), y (t))$ sea una representación paramétrica adecuada de una curva plana dos veces diferenciable. Aquí adecuado significa que en el dominio de definición de la parametrización, la derivada $d γ / dt$ es definido, diferenciable y en ninguna parte igual al vector cero.

Con tal parametrización, la curvatura con signo es

{displaystyle k={frac {x'y''-y'x''}{{bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}},}

donde los primos se refieren a derivadas con respecto a $t$ . La curvatura $κ$ es así

{displaystyle kappa ={frac {left|x'y''-y'x''right|}{{bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}}.}

Estos pueden expresarse sin coordenadas como

{displaystyle k={frac {det left({boldsymbol {gamma }}',{boldsymbol {gamma }}''right)}{|{boldsymbol {gamma }}'|^{3}}},qquad kappa ={frac {left|det left({boldsymbol {gamma }}',{boldsymbol {gamma }}''right)right|}{|{boldsymbol {gamma }}'|^{3}}}.}

Estas fórmulas se pueden derivar del caso especial de parametrización de longitud de arco de la siguiente manera. La condición anterior sobre la parametrización implica que la longitud del arco $s$ es una función monotónica diferenciable del parámetro $t$ , y a la inversa que $t$ es una función monótona de $s$ . Además, al cambiar, si es necesario, $s$ a $- s$ , se puede suponer que estas funciones son crecientes y tienen derivada positiva. Usando la notación de la sección anterior y la regla de la cadena, se tiene

{displaystyle {frac {d{boldsymbol {gamma }}}{dt}}={frac {ds}{dt}}mathbf {T}}

y así, tomando la norma de ambos lados

{displaystyle {frac {dt}{ds}}={frac {1}{|{boldsymbol {gamma }}'|}},}

donde el primo denota diferenciación con respecto a $t$ .

La curvatura es la norma de la derivada de $T$ con respecto a $s$ . Usando la fórmula anterior y la regla de la cadena, esta derivada y su norma se pueden expresar en términos de $γ'$ y $γ ″$ únicamente, con el parámetro de longitud de arco $s$ completamente eliminado, dando el fórmulas anteriores para la curvatura.

Gráfica de una función

La gráfica de una función $y = f (x)$ , es una caso especial de una curva parametrizada, de la forma

{displaystyle {begin{aligned}x&=t\y&=f(t).end{aligned}}}

Como la primera y la segunda derivada de $x$ son 1 y 0, las fórmulas anteriores se simplifican a

{displaystyle kappa ={frac {left|y''right|}{{bigl (}1+{y'}^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}},}

para la curvatura, y para

{displaystyle k={frac {y''}{{bigl (}1+{y'}^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}},}

para la curvatura firmada.

En el caso general de una curva, el signo de la curvatura con signo es algo arbitrario, ya que depende de la orientación de la curva. En el caso de la gráfica de una función, existe una orientación natural al aumentar los valores de $x$ . Esto hace significativo el signo de la curvatura firmada.

El signo de la curvatura con signo es el mismo que el signo de la segunda derivada de $f$ . Si es positivo, el gráfico tiene una concavidad hacia arriba y, si es negativo, el gráfico tiene una concavidad hacia abajo. Es cero, entonces uno tiene un punto de inflexión o un punto de ondulación.

Cuando la pendiente del gráfico (es decir, la derivada de la función) es pequeña, la curvatura con signo se aproxima bien mediante la segunda derivada. Más precisamente, usando la notación O grande, uno tiene

{displaystyle k(x)=y''{Bigl (}1+O{bigl (}{textstyle y'}^{2}{bigr)}{Bigr)}.}

Es común en física e ingeniería aproximar la curvatura con la segunda derivada, por ejemplo, en la teoría de vigas o para derivar la ecuación de onda de una cuerda bajo tensión y otras aplicaciones en las que están involucradas pequeñas pendientes. Esto a menudo permite que los sistemas que de otro modo no son lineales se traten aproximadamente como lineales.

Coordenadas polares

Si una curva se define en coordenadas polares por el radio expresado en función del ángulo polar, es decir $r$ es una función de $θ$ , entonces su curvatura es

{displaystyle kappa (theta)={frac {left|r^{2}+2{r'}^{2}-r,r''right|}{{bigl (}r^{2}+{r'}^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}}}

donde el primo se refiere a la diferenciación con respecto a $θ$ .

Esto resulta de la fórmula para parametrizaciones generales, al considerar la parametrización

{displaystyle {begin{aligned}x&=r(theta)cos theta \y&=r(theta)sin theta end{aligned}}}

Curva implícita

Para una curva definida por una ecuación implícita $F (x, y) = 0$ con derivadas parciales indicadas como $F x$ , $F y$ , $F xx$ , $F xy$ , $F yy$ , la curvatura viene dada por

{displaystyle kappa ={frac {left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}right|}{{bigl (}F_{x}^{2}+F_{y}^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}}.}

La curvatura con signo no está definida, ya que depende de una orientación de la curva que no proporciona la ecuación implícita. Además, cambiar $F$ por $- F$ no no cambia la curva, pero cambia el signo del numerador si se omite el valor absoluto en la fórmula anterior.

Un punto de la curva donde $F x = F y = 0$ es un punto singular, lo que significa que la curva no es diferenciable en este punto y, por lo tanto, la curvatura no está definida (la mayoría de las veces, el punto es un punto de cruce o una cúspide).

La fórmula anterior para la curvatura se puede derivar de la expresión de la curvatura de la gráfica de una función usando el teorema de la función implícita y el hecho de que, en tal curva, uno tiene

{displaystyle {frac {dy}{dx}}=-{frac {F_{x}}{F_{y}}}.}

Ejemplos

Puede ser útil verificar con ejemplos simples que las diferentes fórmulas dadas en las secciones anteriores dan el mismo resultado.

Círculo

Una parametrización común de un círculo de radio $r$ es $γ (t) = (r porque t, r sin t)$ . La fórmula para la curvatura da

{displaystyle k(t)={frac {r^{2}sin ^{2}t+r^{2}cos ^{2}t}{{bigl (}r^{2}cos ^{2}t+r^{2}sin ^{2}t{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}}={frac {1}{r}}.}

Se sigue, como se esperaba, que el radio de curvatura es el radio del círculo y que el centro de curvatura es el centro del círculo.

El círculo es un caso raro donde la parametrización de longitud de arco es fácil de calcular, ya que es

{displaystyle {boldsymbol {gamma }}(s)=left(rcos {frac {s}{r}},,rsin {frac {s}{r}}right).}

Es una parametrización de longitud de arco, ya que la norma de

{displaystyle {boldsymbol {gamma }}'(s)=left(-sin {frac {s}{r}},,cos {frac {s}{r}}right)}

es igual a uno. Esta parametrización da el mismo valor para la curvatura, ya que equivale a la división por $r 3$ tanto en el numerador como en el denominador en la fórmula anterior.

El mismo círculo también se puede definir mediante la ecuación implícita $F (x, y) = 0$ con $F (x, y) = x 2 + y 2 - r 2$ . Entonces, la fórmula para la curvatura en este caso da

{displaystyle {begin{aligned}kappa &={frac {left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}right|}{{bigl (}F_{x}^{2}+F_{y}^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}}\&={frac {8y^{2}+8x^{2}}{{bigl (}4x^{2}+4y^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}}\&={frac {8r^{2}}{{bigl (}4r^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}}={frac {1}{r}}.end{aligned}}}

Parábola

Considere la parábola $y = ax 2 + bx + c$ .

Es la gráfica de una función, con derivada $2 ax + b$ , y segunda derivada $2 a$ . Entonces, la curvatura con signo es

{displaystyle k(x)={frac {2a}{{bigl (}1+left(2ax+bright)^{2}{bigr)}{vphantom {)}}^{3/2}}}.}

Tiene el signo de $a$ para todos los valores de $x$ . Esto significa que, si $a > 0$ , la concavidad está dirigida hacia arriba en todas partes; si $a < 0$ , la concavidad está dirigida hacia abajo; para $a = 0$ , la curvatura es cero en todas partes, lo que confirma que la parábola degenera en una línea en este caso.

La curvatura (sin signo) es máxima para $x = - <span class="num" b / 2 a$ , es decir, en el punto estacionario (derivada cero) de la función, que es el vértice de la parábola.

Considere la parametrización $γ (t) = (t, at 2 + bt + c) = (x, y). La primera derivada de x es 1 y la segunda derivada es cero. Sustituir en la fórmula para las parametrizaciones generales da exactamente el mismo resultado que el anterior, con x reemplazada por t . Si usamos primos para derivadas con respecto al parámetro t .$

La misma parábola también se puede definir mediante la ecuación implícita $F (x, y) = 0$ con $F (x, y) = ax 2 + bx + c - y$ . Como $F y = -1$ , y $F yy = F xy = 0$ , se obtiene exactamente el mismo valor para la curvatura (sin signo). Sin embargo, la curvatura firmada no tiene sentido aquí, ya que $- F (x, y) = 0$ es una ecuación implícita válida para la misma parábola, que da el signo opuesto para la curvatura.

Fórmulas de Frenet-Serret para curvas planas

Los vectores

T

N

a dos puntos en una curva de plano, una versión traducida del segundo marco (dotado), y

δ T

el cambio en

T

. Aquí.

δs

es la distancia entre los puntos. En el límite

d T / ds

estará en la dirección

N

. La curvatura describe la velocidad de rotación del marco.

La expresión de la curvatura En términos de parametrización de longitud de arco es esencialmente la primera fórmula de Frenet-Serret

{displaystyle mathbf {T} '(s)=kappa (s)mathbf {N} (s),}

donde los primos se refieren a las derivadas con respecto a la longitud del arco $s$ , y $N (s)$ es el vector unitario normal en la dirección de $T'(s)$ .

Como las curvas planas tienen torsión cero, la segunda fórmula de Frenet-Serret proporciona la relación

{displaystyle {begin{aligned}{frac {dmathbf {N} }{ds}}&=-kappa mathbf {T}\&=-kappa {frac {d{boldsymbol {gamma }}}{ds}}.end{aligned}}}

Para una parametrización general por un parámetro $t$ , se necesitan expresiones que involucren derivadas con respecto a $t$ . Como estos se obtienen multiplicando por ds/dt las derivadas con respecto a $s$ , uno tiene, para cualquier parametrización adecuada

{displaystyle mathbf {N} '(t)=-kappa (t){boldsymbol {gamma }}'(t).}

Peine de curvatura

Peine de curvatura

A curvatura peine se puede utilizar para representar gráficamente la curvatura de cada punto en una curva. Si ${displaystyle tmapsto x(t)}$ es una curva parametrizada que su peine se define como la curva parametrizada

{displaystyle tmapsto x(t)+dkappa (t)n(t)}

Donde ${displaystyle kappan}$ son la curvatura y vector normal y $d$ es un factor de escalado (para ser elegido como para mejorar la representación gráfica).

Curvas espaciales

Animación de la curvatura y el vector de aceleración

T . s)

Como en el caso de las curvas en dos dimensiones, la curvatura de una curva espacial regular $C$ en tres dimensiones (y superiores) es la magnitud de la aceleración de una partícula que se mueve con velocidad unitaria a lo largo de una curva. Por lo tanto, si $γ (s)$ es la parametrización de longitud de arco de $C$ entonces se da el vector unitario tangente $T (s)$ por

{displaystyle mathbf {T} (s)={boldsymbol {gamma }}'(s)}

y la curvatura es la magnitud de la aceleración:

{displaystyle kappa (s)=|mathbf {T} '(s)|=|{boldsymbol {gamma }}''(s)|.}

La dirección de la aceleración es el vector unitario normal $N (s)$ , que está definido por

mathbf{N}(s) = frac{mathbf{T}'(s)}{|mathbf{T}'(s)|}.

El plano que contiene los dos vectores $T (s)$ y $N (s)$ es el plano osculador de la curva en $γ (s)$ . La curvatura tiene la siguiente interpretación geométrica. Existe un círculo en el plano osculador tangente a $γ (s)$ cuya serie de Taylor a segundo orden en el punto de contacto concuerda con el de $γ (s)$ . Este es el círculo osculador de la curva. El radio del círculo $R (s)$ se llama radio de curvatura, y la curvatura es el recíproco de la radio de curvatura:

kappa(s) = frac{1}{R(s)}.

La tangente, la curvatura y el vector normal juntos describen el comportamiento de segundo orden de una curva cerca de un punto. En tres dimensiones, el comportamiento de tercer orden de una curva se describe mediante una noción relacionada de torsión, que mide la medida en que una curva tiende a moverse como una trayectoria helicoidal en el espacio. La torsión y la curvatura están relacionadas por las fórmulas de Frenet-Serret (en tres dimensiones) y su generalización (en dimensiones superiores).

Expresiones generales

Para una curva espacial definida paramétricamente en tres dimensiones dada en coordenadas cartesianas por $γ (t) = (x (t), y (t), z (t))$ , la curvatura es

{displaystyle kappa ={frac {sqrt {{bigl (}z''y'-y''z'{bigr)}{vphantom {'}}^{2}+{bigl (}x''z'-z''x'{bigr)}{vphantom {'}}^{2}+{bigl (}y''x'-x''y'{bigr)}{vphantom {'}}^{2}}}{{bigl (}{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}{bigr)}{vphantom {'}}^{3/2}}},}

donde el primo denota diferenciación con respecto al parámetro $t$ . Esto se puede expresar independientemente del sistema de coordenadas mediante la fórmula

{displaystyle kappa ={frac {{bigl |}{boldsymbol {gamma }}'times {boldsymbol {gamma }}''{bigr |}}{{bigl |}{boldsymbol {gamma }}'{bigr |}{vphantom {'}}^{3}}}}

donde × denota el producto vectorial vectorial. Esta última fórmula es válida para la curvatura de curvas en un espacio euclidiano de cualquier dimensión:

{displaystyle kappa ={frac {sqrt {{bigl |}{boldsymbol {gamma }}'{bigr |}{vphantom {'}}^{2}{bigl |}{boldsymbol {gamma }}''{bigr |}{vphantom {'}}^{2}-{bigl (}{boldsymbol {gamma }}'cdot {boldsymbol {gamma }}''{bigr)}{vphantom {'}}^{2}}}{{bigl |}{boldsymbol {gamma }}'{bigr |}{vphantom {'}}^{3}}}.}

Curvatura a partir de arco y longitud de cuerda

Dados dos puntos $P$ y $P$ en $C$ , deja $s (P, Q)$ sea la longitud del arco de la parte de la curva entre $P$ y $Q$ y deja que $d (P, Q)$ indican la longitud del segmento de línea desde $P$ a $Q$ . La curvatura de $C$ en $P$ viene dado por el límite

{displaystyle kappa (P)=lim _{Qto P}{sqrt {frac {24{bigl (}s(P,Q)-d(P,Q){bigr)}}{s(P,Q){vphantom {Q}}^{3}}}}}

donde el límite se toma como el punto $Q$ se aproxima a $P$ en $C$ . El denominador puede tomarse igualmente como $d (P, Q) 3$ . La fórmula es válida en cualquier dimensión. Además, al considerar el límite de forma independiente a cada lado de $P$ , esta definición de la curvatura a veces puede adaptarse a una singularidad en P. La fórmula se sigue verificándola para el círculo osculador.

Superficies

La curvatura de las curvas dibujadas sobre una superficie es la principal herramienta para definir y estudiar la curvatura de la superficie.

Curvas en superficies

Para una curva dibujada en una superficie (incrustada en un espacio euclidiano tridimensional), se definen varias curvaturas, que relacionan la dirección de la curvatura con el vector normal unitario de la superficie, incluido:

curvatura normal
curvatura geodésica
torsión geodésica

Cualquier curva no singular sobre una superficie lisa tiene su vector tangente $T$ contenido en el plano tangente de la superficie. La curvatura normal, $k n$ , es la curvatura de la curva proyectada sobre el plano que contiene la tangente de la curva $T$ y la superficie normal $u; la curvatura geodésica, k g, es la curvatura de la curva proyectada sobre la superficie& #39;s plano tangente; y la torsión geodésica (o torsión relativa), τ r, mide la tasa de cambio de la superficie normal alrededor de la tangente de la curva.$

Sea la curva parametrizada en longitud de arco y $t = u \times T$ de modo que $T, t, u$ formen una base ortonormal, denominada Marco Darboux. Las cantidades anteriores están relacionadas por:

{displaystyle {begin{pmatrix}mathbf {T} '\mathbf {t} '\mathbf {u} 'end{pmatrix}}={begin{pmatrix}0&kappa _{mathrm {g} }&kappa _{mathrm {n} }\-kappa _{mathrm {g} }&0&tau _{mathrm {r} }\-kappa _{mathrm {n} }&-tau _{mathrm {r} }&0end{pmatrix}}{begin{pmatrix}mathbf {T} \mathbf {t} \mathbf {u} end{pmatrix}}}

Curvatura principal

Superficie de asiento con planos normales en direcciones de curvaturas principales

Todas las curvas en la superficie con el mismo vector tangente en un punto dado tendrán la misma curvatura normal, que es la misma que la curvatura de la curva obtenida al intersecar la superficie con el plano que contiene $T$ y $u$ . Tomando todos los vectores tangentes posibles, los valores máximo y mínimo de la curvatura normal en un punto se denominan curvaturas principales, $k 1$ y $k 2$ , y las direcciones de los vectores tangentes correspondientes se denominan direcciones normales principales.

Tramos normales

La curvatura se puede evaluar a lo largo de las secciones normales de la superficie, de forma similar a § Curvas en superficies anteriores (consulte, por ejemplo, el radio de curvatura de la Tierra).

Superficies urbanizables

Algunas superficies curvas, como las que están hechas de una hoja de papel lisa, se pueden aplanar en el plano sin distorsionar sus características intrínsecas de ninguna manera. Tales superficies desarrollables tienen una curvatura gaussiana cero (ver más abajo).

Curvatura gaussiana

A diferencia de las curvas, que no tienen una curvatura intrínseca, pero sí una curvatura extrínseca (solo tienen una curvatura dada una incrustación), las superficies pueden tener una curvatura intrínseca, independientemente de una incrustación. La curvatura gaussiana, llamada así por Carl Friedrich Gauss, es igual al producto de las curvaturas principales, $k 1 k 2$ . Tiene una dimensión de longitud⁻² y es positivo para esferas, negativo para hiperboloides de una hoja y cero para planos y cilindros. Determina si una superficie es localmente convexa (cuando es positiva) o localmente en forma de silla de montar (cuando es negativa).

La curvatura gaussiana es una propiedad intrínseca de la superficie, lo que significa que no depende de la incrustación particular de la superficie; intuitivamente, esto significa que las hormigas que viven en la superficie podrían determinar la curvatura gaussiana. Por ejemplo, una hormiga que vive en una esfera podría medir la suma de los ángulos interiores de un triángulo y determinar que era mayor de 180 grados, lo que implica que el espacio que habitaba tenía una curvatura positiva. Por otra parte, una hormiga que viviera en un cilindro no detectaría tal desviación de la geometría euclidiana; en particular, la hormiga no pudo detectar que las dos superficies tienen diferentes curvaturas medias (ver más abajo), que es un tipo de curvatura puramente extrínseco.

Formalmente, la curvatura gaussiana solo depende de la métrica riemanniana de la superficie. Este es el célebre Teorema Egregium de Gauss, que encontró mientras se ocupaba de estudios geográficos y elaboración de mapas.

Una definición intrínseca de la curvatura gaussiana en un punto $P$ es la siguiente: imagina una hormiga atada a $P$ con un hilo corto de longitud $r. Corre alrededor de P mientras que el hilo está completamente estirado y mide la longitud C (r) de un viaje completo alrededor de P . Si la superficie fuera plana, la hormiga encontraría C (r) = 2π r . En superficies curvas, la fórmula para C (r) será diferente, y la curvatura gaussiana K en el punto P puede calcularse mediante el teorema de Bertrand-Diguet-Puiseux como$

{displaystyle K=lim _{rto 0^{+}}3left({frac {2pi r-C(r)}{pi r^{3}}}right).}

La integral de la curvatura gaussiana sobre toda la superficie está estrechamente relacionada con la característica de Euler de la superficie; ver el teorema de Gauss-Bonnet.

El análogo discreto de la curvatura, correspondiente a la concentración de la curvatura en un punto y particularmente útil para los poliedros, es el defecto (angular); el análogo para el teorema de Gauss-Bonnet es Descartes' teorema del defecto angular total.

Debido a que la curvatura (gaussiana) se puede definir sin hacer referencia a un espacio incrustado, no es necesario que una superficie esté incrustada en un espacio de mayor dimensión para poder curvarse. Tal superficie bidimensional intrínsecamente curvada es un ejemplo simple de una variedad de Riemann.

Curvatura media

La curvatura media es una medida extrínseca de curvatura igual a la mitad de la suma de las curvaturas principales, $k 1 + k 2 / 2$ . Tiene una dimensión de longitud⁻¹. La curvatura media está estrechamente relacionada con la primera variación del área superficial. En particular, una superficie mínima como una película de jabón tiene una curvatura media cero y una pompa de jabón tiene una curvatura media constante. A diferencia de la curvatura de Gauss, la curvatura media es extrínseca y depende de la incrustación, por ejemplo, un cilindro y un plano son localmente isométricos pero la curvatura media de un plano es cero mientras que la de un cilindro es distinta de cero.

Segunda forma fundamental

La curvatura intrínseca y extrínseca de una superficie se puede combinar en la segunda forma fundamental. Esta es una forma cuadrática en el plano tangente a la superficie en un punto cuyo valor en un vector tangente particular $X$ a la superficie es la componente normal de la aceleración de una curva a lo largo de la superficie tangente a $X$ ; es decir, es la curvatura normal a una curva tangente a $X$ (ver arriba). Simbólicamente,

{displaystyle operatorname {I!I} (mathbf {X}mathbf {X})=mathbf {N} cdot (nabla _{mathbf {X} }mathbf {X})}

donde $N$ es la unidad normal a la superficie. Para vectores unitarios tangentes $X$ , la segunda forma fundamental asume el valor máximo $k 1$ y valor mínimo $k 2$ , que se dan en las direcciones principales u₁ y $u 2$ , respectivamente. Así, por el teorema del eje principal, la segunda forma fundamental es

{displaystyle operatorname {I!I} (mathbf {X}mathbf {X})=k_{1}left(mathbf {X} cdot mathbf {u} _{1}right)^{2}+k_{2}left(mathbf {X} cdot mathbf {u} _{2}right)^{2}.}

Por lo tanto, la segunda forma fundamental codifica las curvaturas intrínseca y extrínseca.

Operador de forma

Se puede encontrar una encapsulación de la curvatura de la superficie en el operador de forma, $S$ , que es un operador lineal autoadjunto desde el plano tangente a mismo (específicamente, el diferencial del mapa de Gauss).

Para una superficie con vectores tangentes $X$ y normales $N$ , el operador de forma se puede expresar de forma compacta en notación de suma de índices como

{displaystyle partial _{a}mathbf {N} =-S_{ba}mathbf {X} _{b}.}

(Compare la expresión alternativa de curvatura para una curva plana).

Las ecuaciones de Weingarten dan el valor de $S$ en términos de los coeficientes de la primera y segunda formas fundamentales como

{displaystyle S=left(EG-F^{2}right)^{-1}{begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\fE-eF&gE-fFend{pmatrix}}.}

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma, las direcciones de curvatura principal son sus vectores propios, la curvatura de Gauss es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza.

Curvatura del espacio

Por extensión del argumento anterior, un espacio de tres o más dimensiones puede ser intrínsecamente curvo. La curvatura es intrínseca en el sentido de que es una propiedad definida en cada punto del espacio, en lugar de una propiedad definida con respecto a un espacio mayor que la contiene. En general, un espacio curvo puede o no concebirse como incrustado en un espacio ambiental de mayor dimensión; si no, entonces su curvatura solo puede definirse intrínsecamente.

Después del descubrimiento de la definición intrínseca de curvatura, que está estrechamente relacionada con la geometría no euclidiana, muchos matemáticos y científicos se preguntaron si el espacio físico ordinario podría ser curvo, aunque el éxito de la geometría euclidiana hasta ese momento significó que el radio de curvatura debe ser astronómicamente grande. En la teoría de la relatividad general, que describe la gravedad y la cosmología, la idea se generaliza ligeramente a la "curvatura del espacio-tiempo"; en la teoría de la relatividad, el espacio-tiempo es una variedad pseudo-Riemanniana. Una vez que se define una coordenada de tiempo, el espacio tridimensional correspondiente a un tiempo particular es generalmente una variedad riemanniana curva; pero dado que la elección de la coordenada temporal es en gran medida arbitraria, es la curvatura del espacio-tiempo subyacente la que es físicamente significativa.

Aunque un espacio curvado arbitrariamente es muy complejo de describir, la curvatura de un espacio que es localmente isótropo y homogéneo se describe mediante una única curvatura gaussiana, como para una superficie; matemáticamente estas son condiciones fuertes, pero corresponden a suposiciones físicas razonables (todos los puntos y todas las direcciones son indistinguibles). Una curvatura positiva corresponde al cuadrado inverso del radio de curvatura; un ejemplo es una esfera o hiperesfera. Un ejemplo de espacio curvado negativamente es la geometría hiperbólica. Un espacio o espacio-tiempo con curvatura cero se llama plano. Por ejemplo, el espacio euclidiano es un ejemplo de espacio plano y el espacio de Minkowski es un ejemplo de espaciotiempo plano. Sin embargo, hay otros ejemplos de geometrías planas en ambos entornos. Un toro o un cilindro pueden tener métricas planas, pero difieren en su topología. También son posibles otras topologías para el espacio curvo. Véase también forma del universo.

Generalizaciones

Mover un vector a lo largo de una curva de A → N → B → A produce otro vector. La imposibilidad de regresar al vector inicial se mide por la holonomía de la superficie. En un espacio sin curvatura, el ángulo α es 0 grados, y en un espacio con curvatura, el ángulo α es mayor que 0 grados. Cuanto más espacio se curva, mayor es la magnitud del ángulo α.

La noción matemática de curvatura también se define en contextos mucho más generales. Muchas de estas generalizaciones enfatizan diferentes aspectos de la curvatura tal como se entiende en dimensiones inferiores.

Una de esas generalizaciones es la cinemática. La curvatura de una curva puede considerarse naturalmente como una cantidad cinemática, que representa la fuerza que siente un cierto observador que se mueve a lo largo de la curva; de manera análoga, la curvatura en dimensiones superiores puede considerarse como una especie de fuerza de marea (esta es una forma de pensar en la curvatura seccional). Esta generalización de la curvatura depende de cómo las partículas de prueba cercanas divergen o convergen cuando se les permite moverse libremente en el espacio; ver campo de Jacobi.

Otra amplia generalización de la curvatura proviene del estudio del transporte paralelo en una superficie. Por ejemplo, si un vector se mueve alrededor de un bucle en la superficie de una esfera manteniéndose paralelo durante todo el movimiento, entonces la posición final del vector puede no ser la misma que la posición inicial del vector. Este fenómeno se conoce como holonomía. Varias generalizaciones capturan de forma abstracta esta idea de curvatura como medida de holonomía; ver forma de curvatura. Una noción de curvatura estrechamente relacionada proviene de la teoría de calibre en física, donde la curvatura representa un campo y un vector potencial para el campo es una cantidad que en general depende de la trayectoria: puede cambiar si un observador se mueve alrededor de un bucle.

Dos generalizaciones más de la curvatura son la curvatura escalar y la curvatura de Ricci. En una superficie curva como la esfera, el área de un disco en la superficie difiere del área de un disco del mismo radio en un espacio plano. Esta diferencia (en un límite adecuado) se mide por la curvatura escalar. La diferencia de área de un sector del disco se mide por la curvatura de Ricci. Cada una de la curvatura escalar y la curvatura de Ricci se definen de manera análoga en tres dimensiones y más. Son particularmente importantes en la teoría de la relatividad, donde ambos aparecen en el lado de las ecuaciones de campo de Einstein que representa la geometría del espacio-tiempo (cuyo otro lado representa la presencia de materia y energía). Estas generalizaciones de la curvatura subyacen, por ejemplo, a la noción de que la curvatura puede ser una propiedad de una medida; ver curvatura de una medida.

Otra generalización de la curvatura se basa en la capacidad de comparar un espacio curvo con otro espacio que tiene una curvatura constante. A menudo, esto se hace con triángulos en los espacios. La noción de triángulo tiene sentido en los espacios métricos, y esto da lugar a los espacios CAT(k).

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