Curva sinusoidal de topólogo

En la rama de las matemáticas conocida como topología, la curva sinusoidal del topólogo o curva sinusoidal de Varsovia es un espacio topológico con varias propiedades interesantes que lo convierten en un importante ejemplo de libro de texto.

Se puede definir como la gráfica de la función sen(1/x) en el intervalo semiabierto (0, 1], junto con el origen, bajo la topología inducida de la euclidiana avión:

T={}()x,pecado⁡ ⁡ 1x):x▪ ▪ ()0,1]}∪ ∪ {}()0,0)}.{displaystyle T=leftleft(x,sin {tfrac {1}{x}right):xin (0,1]rightcup {(0,0)}

Propiedades

La curva sinusoidal T del topólogo está conectada, pero no está conectada localmente ni conectada por la ruta. Esto se debe a que incluye el punto (0,0) pero no hay forma de vincular la función al origen para hacer un camino.

El espacio T es la imagen continua de un espacio localmente compacto (es decir, sea V el espacio {−1} ∪ (0, 1], y use el mapa f de V a T definido por f (−1) = (0,0) y f(x) = (x, sin(1/x)) para x > 0), pero T no es localmente compacto.

La dimensión topológica de T es 1.

Variantes

Two variants of the topologist 's sine curve have other interesting properties.

El curva sine de topólogo cerrado se puede definir tomando la curva sine del topólogo y agregando su conjunto de puntos límite, {}()0,Sí.)▪ ▪ Sí.▪ ▪ [− − 1,1]}{displaystyle {(0,y)mid yin [-1,1]}; algunos textos definen la curva sine del topólogo en sí misma como esta versión cerrada, ya que prefieren utilizar la curva sine del término 'topólogo cerrado' para referirse a otra curva. Este espacio está cerrado y atado y tan compacto por el teorema Heine-Borel, pero tiene propiedades similares a la curva sine del topólogo, también está conectado pero no está conectado ni conectado localmente.

El curva del topólogo extendido se puede definir tomando la curva sine del topólogo cerrado y añadiéndole el conjunto {}()x,1)▪ ▪ x▪ ▪ [0,1]}{displaystyle {(x,1)mid xin [0,1]}. Es arc conectado pero no localmente conectado.