Curva plana

En matemáticas, una curva plana es una curva en un plano que puede ser un plano euclidiano, un plano afín o un plano proyectivo. Los casos más frecuentemente estudiados son las curvas planas suaves (incluidas las curvas planas suaves por tramos) y las curvas planas algebraicas. Las curvas planas también incluyen las curvas de Jordan (curvas que encierran una región del plano pero que no necesitan ser suaves) y las gráficas de funciones continuas.

Representación simbólica

Una curva de plano se puede representar a menudo en coordenadas cartesianas por una ecuación implícita de la forma ${\displaystyle f(x,y)=0}$ para alguna función específica f. Si esta ecuación se puede resolver explícitamente para Sí. o x – es decir, reescrito como ${\displaystyle y=g(x)}$ o ${\displaystyle x=h(y)}$ para función específica g o h – entonces esto proporciona una forma alternativa, explícita, de representación. Una curva de plano también puede ser representada en coordenadas cartesianas por una ecuación paramétrica de la forma ${\displaystyle (x,y)=(x(t),y(t)}$ para funciones específicas ${\displaystyle x(t)}$ y ${\displaystyle y(t).}$

Las curvas planas a veces también se pueden representar en sistemas de coordenadas alternativos, como coordenadas polares que expresan la ubicación de cada punto en términos de un ángulo y una distancia desde el origen.

Curva plana suave

Una curva plana lisa es una curva en un plano euclidiano real ${\displaystyle \mathbb {R} {2}}$ y es un andamio liso unidimensional. Esto significa que una curva plana lisa es una curva plana que "localmente parece una línea", en el sentido de que cerca de cada punto, puede ser mapeado a una línea por una función suave. Equivalentemente, una curva plana suave puede ser dada localmente por una ecuación ${\displaystyle f(x,y)=0,}$ Donde ${\displaystyle f:\mathbb {R} {2}\to \mathbb {R}$ es una función suave, y los derivados parciales ${\displaystyle \partial f/\partial x}$ y ${\displaystyle \partial f/\partial y}$ nunca son los dos 0 en un punto de la curva.

Curva plana algebraica

Una curva de plano algebraico es una curva en un plano afino o proyector dado por una ecuación polinomio ${\displaystyle f(x,y)=0}$ (o ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ Donde F es un polinomio homogéneo, en el caso proyectivo.)

Las curvas algebraicas se han estudiado extensamente desde el siglo XVIII.

Cada curva algebraica tiene un grado, el grado de la ecuación definitoria, que es igual, en caso de un campo algebraicamente cerrado, al número de intersecciones de la curva con una línea en posición general. Por ejemplo, el círculo dado por la ecuación ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ grado 2.

Las curvas algebraicas de plano no singular del grado 2 se llaman secciones cónicas, y su terminación proyectiva son todo isomorfo a la terminación proyectiva del círculo ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ (que es la curva proyectiva de la ecuación ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$). Las curvas planas del grado 3 se denominan curvas de plano cúbico y, si son curvas no lineales y elípticas. Los del grado 4 se llaman curvas de plano cuártico.

Ejemplos

Numerosos ejemplos de curvas planas se muestran en la Galería de curvas y se enumeran en Lista de curvas. Aquí se muestran las curvas algebraicas de grado 1 o 2 (una curva algebraica de grado menor que 3 siempre está contenida en un plano):

Nombre	Ecuación implícita	Ecuación paramétrica	Como función	Gráfico
Línea recta	${\displaystyle ax+by=c}$	${\displaystyle (x,y)=(x_{0}+\alpha t,y.$	${\displaystyle Y=mx+c}$
Circle	${\displaystyle ¿Qué?$	${\displaystyle (x,y)=(r\cos t,r\sin t)}$
Parabola	${\displaystyle Y-x^{2}=0}$	${\displaystyle (x,y)=(t,t^{2}}$	${\displaystyle y=x^{2}$
Ellipse	${\fnMicroc} {x^{2}{a^{2}}+{\frac} {\fnK} {\cHFF}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t)}$
Hyperbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}{a^{2}}-{\frac} {y} {y}{b^{2}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)}$