Curva del dragón

Una curva de dragón es cualquier miembro de una familia de curvas fractales autosemejantes, que pueden aproximarse mediante métodos recursivos como los sistemas de Lindenmayer. La curva del dragón probablemente se considere más comúnmente como la forma que se genera al doblar repetidamente una tira de papel por la mitad, aunque hay otras curvas que se llaman curvas del dragón que se generan de manera diferente.

Dragón de la carretera

El dragón de Heighway (también conocido como dragón de Harter-Heighway o dragón de Jurassic Park) fue investigado por primera vez por los físicos de la NASA John Heighway., Bruce Banks y William Harter. Fue descrito por Martin Gardner en su columna de Scientific American Mathematical Games en 1967. Muchas de sus propiedades fueron publicadas por primera vez por Chandler Davis y Donald Knuth. Apareció en las portadas de las secciones de la novela de Michael Crichton Jurassic Park.

Construcción

El dragón de Heighway se puede construir a partir de un segmento de línea base reemplazando repetidamente cada segmento por dos segmentos con un ángulo recto y con una rotación de 45° alternativamente hacia la derecha y hacia la izquierda:

El dragón de Heighway es también el conjunto límite del siguiente sistema de funciones iteradas en el plano complejo:

f1()z)=()1+i)z2{displaystyle f_{1}(z)={frac {(1+i)z}{2}}

f2()z)=1− − ()1− − i)z2{displaystyle f_{2}(z)=1-{frac {(1-i)z}{2}}}

con el conjunto inicial de puntos S0={}0,1}{displaystyle S_{0}={0,1}.

Usando pares de números reales en su lugar, esto es lo mismo que las dos funciones que consisten en

f1()x,Sí.)=12()#⁡ ⁡ 45∘ ∘ − − pecado⁡ ⁡ 45∘ ∘ pecado⁡ ⁡ 45∘ ∘ #⁡ ⁡ 45∘ ∘ )()xSí.){f} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fncip {fn}ccH}cH}fn}fn}fn}fnK}f} {f}f}f}f}fnK}fnK}}} {f}f}}}}}}}}}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}}}}}f}}

f2()x,Sí.)=12()#⁡ ⁡ 135∘ ∘ − − pecado⁡ ⁡ 135∘ ∘ pecado⁡ ⁡ 135∘ ∘ #⁡ ⁡ 135∘ ∘ )()xSí.)+()10){fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}c}cH}cc}cH}} {fn}fn}fn}m}cH} {c}cH}cH00}c}} {b}cH}cH}cH}cH}cH}cH}cH}c}c}}c}c}cH}cH}cH}c}c}cb}c}b}b}b}b}b}c}b}b} {b}b}b}b}b}b}b}cH00}c}b}b}b}b}b}b}cH0}b}b}b}b}}

Doblando el dragón

La curva del dragón de Heighway se puede construir doblando una tira de papel, que es como se descubrió originalmente. Toma una tira de papel y dóblala por la mitad hacia la derecha. Dóblalo por la mitad nuevamente hacia la derecha. Si la tira se abriera ahora, doblando cada pliegue para convertirse en un giro de 90 grados, la secuencia de giro sería RRL, es decir, la segunda iteración del dragón Heighway. Dobla la tira por la mitad nuevamente hacia la derecha y la secuencia de giro de la tira desplegada ahora es RRLRRLL: la tercera iteración del dragón Heighway. Continúe doblando la tira por la mitad hacia la derecha para crear más iteraciones del dragón de Heighway (en la práctica, la tira se vuelve demasiado gruesa para doblarse bruscamente después de cuatro o cinco iteraciones).

Los patrones de plegado de esta secuencia de tiras de papel, como secuencias de pliegues derecho (R) e izquierdo (L), son:

• Primera iteración: R
• 2a iteración: R R L
• Tercera iteración: R R L R R L L
• 4a iteración: R R L R R L L R R R L L R L L.

Cada iteración se puede encontrar copiando la iteración anterior, luego una R, luego una segunda copia de la iteración anterior en orden inverso con las letras L y R intercambiadas.

Propiedades

• Muchos autosimilaridades se puede ver en la curva del dragón de Heighway. Lo más obvio es la repetición del mismo patrón inclinado por 45° y con una relación de reducción de 2{displaystyle textstyle {sqrt {2}}. Basado en estas auto-similaridades, muchas de sus longitudes son simples números racionales.

Duración

Autosimilaridades

• La curva del dragón puede inclinar el avión. Un nivel posible reemplaza cada borde de un revestimiento cuadrado con una curva de dragón, utilizando la definición recursiva del dragón a partir de un segmento de línea. La dirección inicial para ampliar cada segmento se puede determinar a partir de un panel de control para colorear un revestimiento cuadrado, ampliando segmentos verticales en azulejos negros y fuera de azulejos blancos, y ampliando segmentos horizontales en azulejos blancos y fuera de los negros.
• Como curva de llenado de espacio que no se cruza, la curva del dragón tiene dimensión fractal exactamente 2. Para una curva de dragón con la longitud del segmento inicial 1, su área es 1/2, como se puede ver desde sus revestimientos del avión.
• El límite del conjunto cubierto por la curva del dragón tiene longitud infinita, con dimensión fractal
  2log2⁡ ⁡ λ λ .. 1.523627086202492,{displaystyle 2log _{2}lambda approx 1.523627086202492,}

  
  Donde
  λ λ =1+()28− − 387)1/3+()28+387)1/33.. 1.69562076956{displaystyle lambda ={1+(28-3{sqrt {87})^{1/3}+(28+3{sqrt {87}})}{1/3}}approx 1.69562076956}

  
  es la solución real de la ecuación λ λ 3− − λ λ 2− − 2=0.{displaystyle lambda ^{3}-lambda ^{2}-2=0.}

Dragón gemelo

El twindragon (también conocido como dragón Davis-Knuth) se puede construir colocando dos curvas de dragón de Heighway espalda con espalda. También es el conjunto de límites del siguiente sistema de funciones iteradas:

f1()z)=()1+i)z2{displaystyle f_{1}(z)={frac {(1+i)z}{2}}

f2()z)=1− − ()1+i)z2{displaystyle f_{2}(z)=1-{frac {(1+i)z}{2}}}

donde la forma inicial se define por el siguiente conjunto S0={}0,1,1− − i}{displaystyle S_{0}={0,1,1-i}.

También se puede escribir como un sistema Lindenmayer; solo necesita agregar otra sección en la cadena inicial:

• ángulo 90°
• cadena inicial FX+FX+
• reglas de reescritura
  • X ↦ X+YF
  • Y ↦ FX−Y.

Es también el locus de puntos en el complejo de plano con la misma parte entero cuando se escribe en base ()− − 1± ± i){displaystyle (-1pm i)}.

Terdragón

El terdragon se puede escribir como un sistema Lindenmayer:

• ángulo 120°
• cadena inicial F
• reglas de reescritura
  • F ↦ F+F−F.

Es el conjunto de límites del siguiente sistema de funciones iteradas:

f1()z)=λ λ z{displaystyle f_{1}(z)=lambda z}

f2()z)=i3z+λ λ {displaystyle f_{2}(z)={frac {I}{sqrt {3}Z+lambda }

f3()z)=λ λ z+λ λ Alternativa Alternativa {displaystyle f_{3}(z)=lambda z+lambda ^{*}

Dondeλ λ =12− − i23yλ λ Alternativa Alternativa =12+i23.{displaystyle {mbox{where }lambda ={frac {2} {fn} {fnK} {fnK}} {f}} {fnK}}}}lambda ^{*}={frac {1}{2}+{frac} {I}{2{sqrt.

Dragón Lévy

La curva C de Lévy a veces se conoce como el dragón de Lévy.

Variantes

La curva del dragón pertenece a un conjunto básico de funciones de iteración que consta de dos líneas con cuatro orientaciones posibles en ángulos perpendiculares:

Es posible cambiar el ángulo de giro de 90° a otros ángulos. Cambiar a 120° produce una estructura de triángulos, mientras que 60° da la siguiente curva:

Una curva de dragón discreta se puede convertir en un poliominó de dragón como se muestra. Al igual que las curvas de dragón discretas, los poliominós de dragón se acercan a la curva de dragón fractal como límite.

Apariciones de la curva del dragón en conjuntos de soluciones

Habiendo obtenido el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial lineal, cualquier combinación lineal de las soluciones, debido al principio de superposición, también obedecerá a la ecuación original. En otras palabras, se obtienen nuevas soluciones aplicando una función al conjunto de soluciones existentes. Esto es similar a cómo un sistema de funciones iteradas produce nuevos puntos en un conjunto, aunque no todos los IFS son funciones lineales. En una línea conceptualmente similar, se puede llegar a un conjunto de polinomios de Littlewood mediante aplicaciones iterativas de un conjunto de funciones.

Un polinomio de madera pequeña es un polinomio: p()x)=.. i=0naixi{displaystyle p(x)=sum ¿Qué? donde todo ai=± ± 1{displaystyle A_{i}=pm 1}.

Para algunos <math alttext="{displaystyle |w|SilenciowSilencio.1{displaystyle Silenciow habit1}<img alt="|w| definimos las siguientes funciones:

f+()z)=1+wz{displaystyle f_{+}(z)=1+wz}

f− − ()z)=1− − wz{displaystyle f_{-}(z)=1-wz}

A partir de z=0 podemos generar todos los polinomios de Littlewood de grado d usando estas funciones iterativamente d+1 veces. Por ejemplo: f+()f− − ()f− − ()0)))=1+()1− − w)w=1+1w− − 1w2{displaystyle f_{+}(f_{-}(f_{-}(0))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}

Se puede ver que para w=()1+i)/2{displaystyle w=(1+i)/2}, el par anterior de funciones es equivalente a la formulación IFS del dragón de la carretera. Es decir, el dragón de Heighway, iterado a cierta iteración, describir el conjunto de todos los polinomios de Littlewood hasta cierto grado, evaluado en el punto w=()1+i)/2{displaystyle w=(1+i)/2}. De hecho, al trazar un número suficientemente alto de raíces de los polinomios de Littlewood, las estructuras similares a la curva del dragón aparecen en puntos cercanos a estas coordenadas.