Curva de peano

Dos iteraciones de una curva Peano

En geometría, la curva de Peano es el primer ejemplo de una curva que llena el espacio descubierta por Giuseppe Peano en 1890. La curva de Peano es una función sobreyectiva y continua de la intervalo unitario sobre el cuadrado unitario, sin embargo, no es inyectivo. Peano se vio motivado por un resultado anterior de Georg Cantor de que estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Debido a este ejemplo, algunos autores utilizan la frase "curva de Peano" para referirse de manera más general a cualquier curva de llenado de espacio.

Construcción

La curva de Peano se puede construir mediante una secuencia de pasos, donde el iésimo paso construye un conjunto S_i de cuadrados, y una secuencia P_i de los centros de los cuadrados, del conjunto y secuencia construidos en el paso anterior. Como caso base, S₀ consta de un solo cuadrado unitario y P₀ es un elemento secuencia que consta de su punto central.

En el paso i, cada cuadrado s de S_{i − 1} se divide en nueve cuadrados iguales más pequeños, y su punto central c se reemplaza por una subsecuencia contigua de los centros de estos nueve cuadrados más pequeños. Esta subsecuencia se forma agrupando los nueve cuadrados más pequeños en tres columnas, ordenando los centros de forma contigua dentro de cada columna, y luego ordenando las columnas de un lado al otro del cuadrado, de tal manera que la distancia entre cada par de puntos consecutivos en la subsecuencia es igual a la longitud del lado de los cuadrados pequeños. Hay cuatro ordenamientos posibles:

• izquierda tres centros abajo a arriba, medio tres centros arriba a abajo, y derecha tres centros abajo a arriba
• Derecha tres centros abajo a arriba, medio tres centros arriba a abajo, y izquierda tres centros abajo a arriba
• izquierda tres centros arriba a abajo, medio tres centros abajo a arriba, y derecha tres centros arriba a abajo
• Derecha tres centros arriba a abajo, medio tres centros abajo a arriba, y izquierda tres centros arriba a abajo

Entre estos cuatro ordenamientos, el de s se elige de tal manera que la distancia entre el primer punto del ordenamiento y su predecesor en P_i también es igual a la longitud del lado de los cuadrados pequeños. Si c fue el primer punto en su ordenamiento, entonces se elige el primero de estos cuatro ordenamientos para los nueve centros que reemplazan a c.

La curva de Peano en sí es el límite de las curvas a través de las secuencias de centros cuadrados, ya que i tiende al infinito.

Variantes

En la definición de la curva de Peano, es posible realizar algunos o todos los pasos haciendo que los centros de cada fila de tres cuadrados sean contiguos, en lugar de los centros de cada columna de cuadrados. Estas elecciones conducen a muchas variantes diferentes de la curva de Peano.

A "multiple radix#34; variant of this curve with different numbers of subdivisions in different directions can be used to fill rectangles of arbitrary shapes.

La curva de Hilbert es una variante más simple de la misma idea, basada en subdividir cuadrados en cuatro cuadrados iguales más pequeños en lugar de nueve cuadrados iguales más pequeños.