Curva de Lorenz

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En economía, la curva de Lorenz es una representación gráfica de la distribución del ingreso o de la riqueza. Fue desarrollado por Max O. Lorenz en 1905 para representar la desigualdad en la distribución de la riqueza.

La curva es un gráfico que muestra la proporción del ingreso total o la riqueza asumida por el x % inferior de las personas, aunque esto no es rigurosamente cierto para una población finita (ver más abajo). A menudo se usa para representar la distribución del ingreso, donde muestra para el x % inferior de los hogares, qué porcentaje (y %) del ingreso total tienen. El porcentaje de hogares se traza en el eje x, el porcentaje de ingresos en el eje y. También se puede utilizar para mostrar la distribución de activos. En tal uso, muchos economistas lo consideran una medida de la desigualdad social.

El concepto es útil para describir la desigualdad entre el tamaño de los individuos en ecología y en estudios de biodiversidad, donde la proporción acumulada de especies se representa frente a la proporción acumulada de individuos. También es útil en el modelado de negocios: por ejemplo, en finanzas de consumo, para medir el porcentaje real y % de morosidad atribuible al x % de personas con peores puntajes de riesgo.

Explicación

Datos de 2005.

Los puntos en la curva de Lorenz representan afirmaciones como "el 20% inferior de todos los hogares tiene el 10% del ingreso total".

Una distribución del ingreso perfectamente equitativa sería aquella en la que todas las personas tienen el mismo ingreso. En este caso, el N % inferior de la sociedad siempre tendría el N % de los ingresos. Esto se puede representar mediante la línea recta y = x; llamada la "línea de perfecta igualdad".

Por el contrario, una distribución perfectamente desigual sería aquella en la que una persona tiene todos los ingresos y todos los demás no tienen ninguno. En ese caso, la curva estaría en y = 0 % para todo x < 100 %, y y = 100 % cuando x = 100 %. Esta curva se llama la "recta de desigualdad perfecta".

El coeficiente de Gini es la relación entre el área entre la línea de perfecta igualdad y la curva de Lorenz observada y el área entre la línea de perfecta igualdad y la línea de perfecta desigualdad. Cuanto más alto es el coeficiente, más desigual es la distribución. En el diagrama de la derecha, esto viene dado por la relación A /(A + B), donde A y B son las áreas de las regiones marcadas en el diagrama.

Definición y cálculo

La curva de Lorenz es una gráfica de probabilidad (una gráfica P-P) que compara la distribución de una variable con una distribución uniforme hipotética de esa variable. Por lo general, se puede representar mediante una función L (F), donde F, la porción acumulada de la población, está representada por el eje horizontal, y L, la porción acumulada de la riqueza o ingreso total, está representada por el eje vertical.

La curva L no tiene por qué ser una función de F que crece suavemente. Para las distribuciones de riqueza, puede haber oligarquías o personas con riqueza negativa, por ejemplo.

Para una distribución discreta de Y dada por los valores y ₁,..., y _n en orden no decreciente (y _i ≤ y _{i +1}) y sus probabilidades ${displaystyle f(y_{j}):=Pr(Y=y_{j})}$ , la curva de Lorenz es la función lineal continua por partes que conecta los puntos (F _i, L _i), i = 0 a n, donde F ₀ = 0, L ₀ = 0, y para i = 1 a n:

{displaystyle {begin{alineado}F_{i}&:=sum_{j=1}^{i}f(y_{j})\S_{i}&:=sum_{j= 1}^{i}f(y_{j}),y_{j}\L_{i}&:={frac {S_{i}}{S_{n}}}end{alineado}} }

Cuando todos y _i son igualmente probables con probabilidades 1/ n esto se simplifica a

{displaystyle {begin{alineado}F_{i}&={frac {i}{n}}\S_{i}&={frac {1}{n}}sum _{j=1 }^{i};y_{j}\L_{i}&={frac {S_{i}}{S_{n}}}end{alineado}}}

Para una distribución continua con la función de densidad de probabilidad f y la función de distribución acumulada F, la curva de Lorenz L viene dada por:

{displaystyle L(F(x))={frac {int_{-infty}^{x}t,f(t),dt}{int_{-infty}^{ infinito }t,f(t),dt}}={frac {int _{-infty }^{x}t,f(t),dt}{mu }}}

donde $mu$ denota el promedio. La curva de Lorenz L (F) puede trazarse entonces como una función paramétrica en x: L (x) frente a F (x). En otros contextos, la cantidad calculada aquí se conoce como distribución sesgada por la longitud (o sesgada por el tamaño); también tiene un papel importante en la teoría de la renovación.

Alternativamente, para una función de distribución acumulativa F (x) con x inversa (F), la curva de Lorenz L (F) viene dada directamente por:

{displaystyle L(F)={frac {int_{0}^{F}x(F_{1}),dF_{1}}{int_{0}^{1}x(F_ {1}),dF_{1}}}}

La inversa x (F) puede no existir porque la función de distribución acumulativa tiene intervalos de valores constantes. Sin embargo, la fórmula anterior aún puede aplicarse al generalizar la definición de x (F):

{displaystyle x(F_{1})=inf{y:F(y)geq F_{1}}}

donde inf es el ínfimo.

Para ver un ejemplo de una curva de Lorenz, consulte la distribución de Pareto.

Propiedades

Una curva de Lorenz siempre comienza en (0,0) y termina en (1,1).

La curva de Lorenz no está definida si la media de la distribución de probabilidad es cero o infinita.

La curva de Lorenz para una distribución de probabilidad es una función continua. Sin embargo, las curvas de Lorenz que representan funciones discontinuas se pueden construir como el límite de las curvas de Lorenz de distribuciones de probabilidad, siendo la línea de desigualdad perfecta un ejemplo.

La información de una curva de Lorenz puede resumirse mediante el coeficiente de Gini y el coeficiente de asimetría de Lorenz.

La curva de Lorenz no puede elevarse por encima de la línea de perfecta igualdad.

Una curva de Lorenz que nunca cae por debajo de una segunda curva de Lorenz y al menos una vez pasa por encima de ella, tiene el dominio de Lorenz sobre la segunda.

Si la variable que se mide no puede tomar valores negativos, la curva de Lorenz:

no puede hundirse por debajo de la línea de la desigualdad perfecta,
esta incrementando.

Tenga en cuenta, sin embargo, que una curva de Lorenz para el patrimonio neto comenzaría siendo negativa debido al hecho de que algunas personas tienen un patrimonio neto negativo debido a la deuda.

La curva de Lorenz es invariante bajo escala positiva. Si X es una variable aleatoria, para cualquier número positivo c, la variable aleatoria c X tiene la misma curva de Lorenz que X.

La curva de Lorenz se invierte dos veces, una sobre F = 0,5 y otra sobre L = 0,5, por negación. Si X es una variable aleatoria con curva de Lorenz L _X (F), entonces − X tiene la curva de Lorenz:L _{− X}= 1 − L _X (1 − F)

La curva de Lorenz se cambia por traslaciones para que la brecha de igualdad F − L (F) cambie en proporción a la relación de las medias original y traducida. Si X es una variable aleatoria con curva de Lorenz L _X (F) y media μ _X, entonces para cualquier constante c ≠ − μ _X, X + c tiene una curva de Lorenz definida por:

{displaystyle F-L_{X+c}(F)={frac {mu_{X}}{mu_{X}+c}}(F-L_{X}(F))}

Para una función de distribución acumulativa F (x) con media μ e inversa (generalizada) x (F), entonces para cualquier F con 0 < F < 1:

Si la curva de Lorenz es derivable: ${displaystyle {frac {dL(F)}{dF}}={frac {x(F)}{mu }}}$
Si la curva de Lorenz es dos veces diferenciable, entonces la función de densidad de probabilidad f (x) existe en ese punto y: ${displaystyle {frac {d^{2}L(F)}{dF^{2}}}={frac {1}{mu ,f(x(F))}},}$
Si L (F) es continuamente diferenciable, entonces la tangente de L (F) es paralela a la línea de igualdad perfecta en el punto F (μ). Este es también el punto en el que la brecha de igualdad F − L (F), la distancia vertical entre la curva de Lorenz y la línea de igualdad perfecta, es mayor. El tamaño de la brecha es igual a la mitad de la desviación absoluta media relativa: ${displaystyle F(mu)-L(F(mu))={frac {text{desviación absoluta media}}{2,mu }}}$

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