Curva de indiferencia

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Un ejemplo de un mapa de indiferencia con tres curvas de indiferencia representadas

En economía, una curva de indiferencia conecta puntos en un gráfico que representan diferentes cantidades de dos bienes, puntos entre los cuales un consumidor es indiferente. Es decir, cualquier combinación de dos productos indicada por la curva proporcionará al consumidor niveles iguales de utilidad, y el consumidor no tiene preferencia por una combinación o paquete de bienes sobre una combinación diferente en la misma curva. También se puede decir que cada punto de la curva de indiferencia rinde el mismo nivel de utilidad (satisfacción) para el consumidor. En otras palabras, una curva de indiferencia es el lugar geométrico de varios puntos que muestran diferentes combinaciones de dos bienes que brindan la misma utilidad al consumidor. La utilidad es entonces un dispositivo para representar preferencias en lugar de algo de lo que provienen las preferencias. El principal uso de las curvas de indiferencia es la representación de patrones de demanda potencialmente observables para consumidores individuales sobre paquetes de bienes.

Hay infinitas curvas de indiferencia: una pasa por cada combinación. Un conjunto de curvas de indiferencia (seleccionadas), ilustradas gráficamente, se denomina mapa de indiferencia. La pendiente de una curva de indiferencia se llama TMS (tasa marginal de sustitución) e indica cuánto del bien y debe sacrificarse para mantener la utilidad constante si el bien x aumenta en una unidad. Dada una función de utilidad u(x,y), para calcular la TMS, simplemente tomamos la derivada parcial de la función u con respecto al bien x y la dividimos por la derivada parcial de la función u con respecto al bien y. Si la relación marginal de sustitución disminuye a lo largo de una curva de indiferencia, es decir, la magnitud de la pendiente disminuye o se vuelve menos pronunciada, entonces la preferencia es convexa.

Historia

La teoría de las curvas de indiferencia fue desarrollada por Francis Ysidro Edgeworth, quien explicó en su libro de 1881 las matemáticas necesarias para su dibujo; más tarde, Vilfredo Pareto fue el primer autor en dibujar realmente estas curvas, en su libro de 1906. La teoría se puede derivar de William Stanley Jevons' teoría de la utilidad ordinal, que postula que los individuos siempre pueden clasificar cualquier cesta de consumo por orden de preferencia.

Mapa y propiedades

Un ejemplo de cómo se obtienen curvas de indiferencia como curvas de nivel de una función de utilidad

Un gráfico de curvas de indiferencia para varios niveles de utilidad de un consumidor individual se denomina mapa de indiferencia. Cada uno de los puntos que producen diferentes niveles de utilidad está asociado con distintas curvas de indiferencia y estas curvas de indiferencia en el mapa de indiferencia son como líneas de contorno en un gráfico topográfico. Cada punto de la curva representa la misma elevación. Si se mueve "fuera" una curva de indiferencia que viaja en dirección noreste (suponiendo una utilidad marginal positiva para los bienes), esencialmente está escalando un montículo de utilidad. Cuanto más alto vaya, mayor será el nivel de utilidad. El requisito de no saciedad significa que nunca llegará a la "cima" o un "punto de felicidad" un paquete de consumo que se prefiere a todos los demás.

Las curvas de indiferencia normalmente se representan como:

Sólo se define en el cuadrante no negativo de las cantidades de productos básicos (es decir, se ignora la posibilidad de tener cantidades negativas de cualquier bien).
Negativamente inclinado. Es decir, como la cantidad consumida de un bien (X) aumenta, la satisfacción total aumentaría si no se compensa con una disminución de la cantidad consumida del otro bien (Y). Equivalentemente, la satiación, de tal manera que más de bien (o ambos) es igualmente preferido a no aumentar, es excluido. (Si la utilidad U = f(x, y), U, en la tercera dimensión, no tiene un máximo local para ninguna x y Sí. valores.) La pendiente negativa de la curva de indiferencia refleja la suposición de la monotónica de las preferencias del consumidor, que genera funciones de utilidad monotonicamente crecientes, y la suposición de no satisfacción (la utilidad marginal para todos los productos es siempre positiva); una curva de indiferencia ascendente implicaría que un consumidor es indiferente entre un paquete A y otro paquete B porque se encuentran en el mismo paquete de indiferencia, incluso Debido a la monotónicaidad de las preferencias y la no satisfacción, un paquete con más de ambos productos debe ser preferido a uno con menos de ambos, por lo tanto el primer paquete debe producir una utilidad superior, y se encuentra en una curva de indiferencia diferente a un nivel de utilidad superior. La pendiente negativa de la curva de indiferencia implica que la tasa marginal de sustitución es siempre positiva;
Completa, de tal manera que todos los puntos en una curva de indiferencia se clasifican igualmente preferidas y clasificadas más o menos preferidas que cualquier otro punto no en la curva. Por lo tanto, con (2), ninguna dos curvas puede interseccionar (otro no satisfacción sería violado ya que los puntos de intersección tendrían igual utilidad).
Transitivo con respecto a puntos sobre distintas curvas de indiferencia. Eso es, si cada punto en I₂ es (strictamente) preferido a cada punto en I₁, y cada punto en I₃ es preferido a cada punto en I₂, cada punto en I₃ es preferido a cada punto en I₁. Una pendiente negativa y transitividad excluyen el cruce de curvas de indiferencia, ya que las líneas rectas del origen en ambos lados de donde cruzaban darían rangos de preferencia opuestos e intransitivos.
Convex. Con (2), las preferencias convexas implican que las curvas de indiferencia no se pueden concavar al origen, es decir, serán líneas rectas o abultadas hacia el origen de la curva de indiferencia. Si este último es el caso, entonces como un consumidor disminuye el consumo de un bien en unidades sucesivas, sucesivamente dosis más grandes del otro bien se requieren para mantener la satisfacción sin cambios.

Supuestos de la teoría de la preferencia del consumidor

Las preferencias son completo. El consumidor ha clasificado todas las combinaciones alternativas disponibles de productos básicos en términos de la satisfacción que le proporcionan.

Supongamos que hay dos paquetes de consumo A y B cada uno con dos productos básicos x y Sí.. Un consumidor puede determinar sin ambigüedades que uno y sólo uno de los siguientes es el caso:

A es preferido B, formalmente escrito como A ^p B
B es preferido A, formalmente escrito como B ^p A
A es indiferente a B, formalmente escrito como A ^I B

Este axioma excluye la posibilidad de que el consumidor no pueda decidir, Supone que un consumidor es capaz de hacer esta comparación con respecto a cada conjunto de mercancías concebible.

Las preferencias son reflexivo

Esto significa que si A y B son idénticos en todos los aspectos el consumidor reconocerá este hecho y será indiferente en comparación A y B

A = B ⇒ A ^I B

Las preferencias son transitoria

Si A ^p B y B ^p C, entonces A ^p C.
También si A ^I B y B ^I C, entonces A ^I C.

Esta es una suposición de coherencia.

Las preferencias son continuo

Si A es preferido B y C está suficientemente cerca B entonces A es preferido C.
A ^p B y C → B ⇒ A ^p C.

"Continuo" significa infinitamente divisible - al igual que hay infinitamente muchos números entre 1 y 2 todos los paquetes son infinitamente divisibles. Esta suposición hace continuas curvas de indiferencia.

Exposiciones de preferencias monotónica fuerte

Si A tiene más de ambos x y Sí. que B, entonces A es preferido B.

Esta suposición se llama comúnmente la suposición "más es mejor".

Una versión alternativa de esta hipótesis requiere que si A y B tienen la misma cantidad de un bien, pero A tiene más del otro, entonces A es preferido B.

También implica que los productos básicos son buenos en lugar de malos. Ejemplos de productos malos pueden ser enfermedades, contaminación, etc. porque siempre deseamos menos de esas cosas.

Muestra de curvas de indiferencia disminución de las tasas marginales de sustitución

La tasa marginal de sustitución dice cuánto 'y' una persona está dispuesta a sacrificarse para conseguir una unidad más de 'x'.
Esta suposición asegura que las curvas de indiferencia son suaves y convexas al origen.
Esta suposición también estableció el escenario para utilizar técnicas de optimización limitada porque la forma de la curva asegura que el primer derivado es negativo y el segundo es positivo.
Otro nombre para esta suposición es el Suposición de sustitución. Es la hipótesis más crítica de la teoría del consumidor: Los consumidores están dispuestos a renunciar o cambiar algo de un bien para obtener más de otro. La afirmación fundamental es que hay una cantidad máxima que "un consumidor renunciará, de una mercancía, a obtener una unidad de otro bien, en esa cantidad que dejará al consumidor indiferente entre las situaciones nuevas y antiguas" La pendiente negativa de las curvas de indiferencia representa la voluntad del consumidor de hacer un intercambio.

Solicitud

Para maximizar la utilidad, un hogar debe consumir en (Qx, Qy). Suponiendo que lo haga, un calendario de demanda completo puede ser deducido como el precio de una buena fluctuación.

La teoría del consumidor utiliza curvas de indiferencia y restricciones presupuestarias para generar curvas de demanda del consumidor. Para un solo consumidor, este es un proceso relativamente simple. Primero, deje que un bien sea un mercado de ejemplo, por ejemplo, zanahorias, y deje que el otro sea un compuesto de todos los demás bienes. las restricciones presupuestarias dan una línea recta en el mapa de indiferencia que muestra todas las distribuciones posibles entre los dos bienes; el punto de máxima utilidad es entonces el punto en el que una curva de indiferencia es tangente a la recta presupuestaria (ilustrada). Esto se deriva del sentido común: si el mercado valora un bien más que el hogar, el hogar lo venderá; si el mercado valora un bien menos que el hogar, el hogar lo comprará. Luego, el proceso continúa hasta que las tasas marginales de sustitución del mercado y del hogar son iguales. Ahora bien, si el precio de las zanahorias cambiara y el precio de todos los demás bienes permaneciera constante, la pendiente de la recta presupuestaria también cambiaría, lo que conduciría a un punto de tangencia diferente y a una cantidad demandada diferente. Estas combinaciones de precio/cantidad se pueden usar para deducir una curva de demanda completa. Una línea que conecta todos los puntos de tangencia entre la curva de indiferencia y la restricción presupuestaria se denomina trayectoria de expansión.

Ejemplos de curvas de indiferencia

Figura 1: Un ejemplo de un mapa de indiferencia con tres curvas de indiferencia representadas
Figura 2: Tres curvas de indiferencia donde Goods X y Y son sustitutos perfectos. La línea gris perpendicular a todas las curvas indica que las curvas son mutuamente paralelas.
Figura 3: Curvas de indiferencia para complementos perfectos X y Y. Los codos de las curvas son collinear.

En la Figura 1, el consumidor preferiría I₃ que I₂, y preferiría estar en I₂ que I₁, pero no le importa dónde está en una curva de indiferencia dada. La pendiente de una curva de indiferencia (en valor absoluto), conocida por los economistas como la tasa marginal de sustitución, muestra la tasa en que los consumidores están dispuestos a renunciar a un bien a cambio de más del otro bien. Para más mercancías la tasa marginal de sustitución no es constante por lo que sus curvas de indiferencia son curvadas. Las curvas son convexas al origen, describiendo el efecto negativo de sustitución. A medida que aumenta el precio por un ingreso monetario fijo, el consumidor busca el sustituto menos caro en una curva de indiferencia inferior. El efecto de sustitución se refuerza mediante el efecto de ingresos de ingresos reales inferiores (Beattie-LaFrance). Un ejemplo de una función de utilidad que genera curvas de indiferencia de este tipo es la función Cobb-Douglas ${displaystyle scriptstyle Uleft(x,yright)=x^{alpha Sí. },0leq alpha leq 1}$ . La pendiente negativa de la curva de indiferencia incorpora la voluntad del consumidor de hacer los cortes comerciales.

Si dos mercancías son sustitutos perfectos, entonces las curvas de indiferencia tendrán una pendiente constante ya que el consumidor estaría dispuesto a cambiar entre una relación fija. La tasa marginal de sustitución entre sustitutos perfectos es igualmente constante. Un ejemplo de una función de utilidad que se asocia con curvas de indiferencia como estas sería ${displaystyle scriptstyle Uleft(x,yright)=alpha x+beta y}$ .

Si dos mercancías son complementos perfectos, entonces las curvas de indiferencia serán en forma de L. Ejemplos de complementos perfectos incluyen zapatos izquierdos en comparación con los zapatos derecho: el consumidor no es mejor tener varios zapatos derecho si sólo tiene un zapato izquierdo - zapatos derecho adicionales tienen utilidad cero marginal sin más zapatos izquierdos, por lo que los paquetes de bienes difieren sólo en el número de zapatos derecho que incluyen - sin embargo muchos - son igualmente preferidos. La tasa marginal de sustitución es cero o infinita. Un ejemplo del tipo de función de utilidad que tiene un mapa de indiferencia como el anterior es la función Leontief: ${displaystyle scriptstyle Uleft(x,yright)=min{alpha x,beta y}}$ .

Las diferentes formas de las curvas implican diferentes respuestas a un cambio en el precio, como se muestra en el análisis de la demanda en la teoría del consumidor. Los resultados sólo se indicarán aquí. Un cambio en la línea de precio-presupuesto que mantuvo a un consumidor en equilibrio en la misma curva de indiferencia:

en la Fig. 1 reduciría la cantidad demandada de un bien suavemente a medida que el precio aumentó relativamente para ese bien.

en la Fig. 2 no tendría ningún efecto sobre la cantidad exigida de bien (en un extremo de la limitación presupuestaria) o cambiaría la cantidad exigida de un extremo de la limitación presupuestaria al otro.

en la Fig. 3 no tendría ningún efecto en las cantidades de equilibrio exigidas, ya que la línea de presupuesto giraría alrededor de la esquina de la curva de indiferencia.

Relaciones de preferencia y utilidad

La teoría de la elección representa formalmente a los consumidores mediante una relación de preferencia y utiliza esta representación para derivar curvas de indiferencia que muestren combinaciones de igual preferencia para el consumidor.

Relaciones de preferencia

Dejar

{displaystyle A;}

ser un conjunto de alternativas mutuamente excluyentes entre las cuales un consumidor puede elegir.

{displaystyle a;}

{displaystyle b;}

ser elementos genéricos

{displaystyle A;}

En el lenguaje del ejemplo anterior, el conjunto ${displaystyle A;}$ está hecho de combinaciones de manzanas y plátanos. El símbolo ${displaystyle a;}$ es una de tales combinaciones, como 1 manzana y 4 plátanos y ${displaystyle b;}$ es otra combinación como 2 manzanas y 2 plátanos.

Una relación preferencial, denotada ${displaystyle succeq }$ , es una relación binaria definir en el conjunto ${displaystyle A;}$ .

La declaración

{displaystyle asucceq b;}

se describe como ' ${displaystyle a;}$ es débilmente preferido ${displaystyle b;}$ .' Eso es, ${displaystyle a;}$ es al menos tan bueno como ${displaystyle b;}$ (en satisfacción preferencial).

La declaración

{displaystyle asim b;}

se describe como ' ${displaystyle a;}$ es débilmente preferido ${displaystyle b;}$ , y ${displaystyle b;}$ es débilmente preferido ${displaystyle a;}$ . Es decir, uno es indiferente a la elección de ${displaystyle a;}$ o ${displaystyle b;}$ , lo que significa que no son indeseados pero que son igualmente buenos en las preferencias satisfactorias.

La declaración

{displaystyle asucc b;}

se describe como ' ${displaystyle a;}$ es débilmente preferido ${displaystyle b;}$ , pero ${displaystyle b;}$ no es débilmente preferido ${displaystyle a;}$ . Uno dice que ${displaystyle a;}$ es estrictamente preferido ${displaystyle b;}$ . '

La relación preferencial ${displaystyle succeq }$ es completo si todos los pares ${displaystyle a,b;}$ puede ser clasificada. La relación es una relación transitiva ${displaystyle asucceq b;}$ y ${displaystyle bsucceq c,;}$ entonces ${displaystyle asucceq c;}$ .

Para cualquier elemento ${displaystyle ain A;}$ , la curva de indiferencia correspondiente, ${fnMicrosoft Sans}$ está formado por todos los elementos ${displaystyle A;}$ que son indiferentes ${displaystyle a}$ . Formalmente,

${fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}$ .

Enlace formal a la teoría de la utilidad

En el ejemplo anterior, un elemento ${displaystyle a;}$ del conjunto ${displaystyle A;}$ está hecho de dos números: El número de manzanas, llámalo ${displaystyle x,;}$ y el número de plátanos, llámalo ${displaystyle y.;}$

En teoría de la utilidad, la función de utilidad de un agente es una función que clasifica Todos pares de paquetes de consumo por orden de preferencia (integridad) tal que cualquier conjunto de tres o más paquetes forma una relación transitiva. Esto significa que para cada paquete ${displaystyle left(x,yright)}$ hay una relación única, ${displaystyle Uleft(x,yright)}$ , representando la relación utilidad (satisfacción) asociada con ${displaystyle left(x,yright)}$ . La relación ${displaystyle left(x,yright)to Uleft(x,yright)}$ se llama la función de utilidad. El rango de la función es un conjunto de números reales. Los valores reales de la función no tienen importancia. Sólo el ranking de esos valores tiene contenido para la teoría. Más precisamente, si ${displaystyle U(x,y)geq U(x',y')}$ , entonces el paquete ${displaystyle left(x,yright)}$ se describe como al menos tan bueno como el paquete ${displaystyle left(x',y'right)}$ . Si ${displaystyle Uleft(x,yright)}$ , el paquete ${displaystyle left(x,yright)}$ se describe como estrictamente preferido al paquete ${displaystyle left(x',y'right)}$ .

Considerar un paquete particular ${displaystyle left(x_{0},y_{0}right)}$ y tomar el derivado total de ${displaystyle Uleft(x,yright)}$ sobre este punto:

{displaystyle dUleft(x_{0},y_{0}right)=U_{1}left(x_{0},y_{0}right)dx+U_{2}left - Sí.

o, sin pérdida de generalidad,

{displaystyle {frac {dUleft(x_{0},y_{0}{dx}}=U_{1}(x_{0},y_{0}).1+U_{2}(x_{0},y_{0}){0}){frac {y} {dx}}

(Eq. 1)

Donde ${displaystyle U_{1}left(x,yright)}$ es el derivado parcial de ${displaystyle Uleft(x,yright)}$ con respecto a su primer argumento, evaluado ${displaystyle left(x,yright)}$ . (Al igual que para ${displaystyle U_{2}left(x,yright). }$ )

La curva de indiferencia a través de ${displaystyle left(x_{0},y_{0}right)}$ debe entregar en cada paquete en la curva el mismo nivel de utilidad que el paquete ${displaystyle left(x_{0},y_{0}right)}$ . Es decir, cuando las preferencias están representadas por una función de utilidad, las curvas de indiferencia son las curvas de nivel de la función de utilidad. Por lo tanto, si uno va a cambiar la cantidad de ${displaystyle x,}$ por ${displaystyle dx}$ , sin moverse de la curva de indiferencia, uno también debe cambiar la cantidad de ${displaystyle y,}$ por importe ${displaystyle dy}$ tal que, al final, no hay cambio en U:

{displaystyle {frac {dUleft(x_{0},y_{0}{dx}}=0}

, o, sustitución 0 en (Eq. 1) arriba para resolver dy/dx:

{fnMicrosoft Sans Serif}=0\fnMicroc {fnMicrosoft} {f}=0}}=0Leftrightarrow {frac {dx}=-{frac {U_{1}(x_{0},y_{0})} {

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