Curva braquistocrona

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Bajado curva más rápido sin fricción

La curva de descenso más rápido no es una línea recta o poligonal (azul) sino una cicloides (rojo).

En física y matemáticas, una curva braquistocrona (del griego antiguo βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) 'tiempo más corto'), o curva de descenso más rápido, es la que se encuentra en el plano entre un punto A y un punto inferior B, donde B es no directamente debajo de A, sobre el cual una cuenta se desliza sin fricción bajo la influencia de un campo gravitacional uniforme hasta un punto final dado en el menor tiempo posible. El problema fue planteado por Johann Bernoulli en 1696.

La curva braquistocrona tiene la misma forma que la curva tautocrona; ambos son cicloides. Sin embargo, la parte de la cicloide utilizada para cada uno de los dos varía. Más específicamente, la braquistocrona puede usar hasta una rotación completa de la cicloide (en el límite cuando A y B están al mismo nivel), pero siempre comienza en una cúspide. Por el contrario, el problema de la tautocronía solo puede usarse hasta la primera mitad de la rotación y siempre termina en la horizontal. El problema se puede resolver utilizando herramientas del cálculo de variaciones y control óptimo.

La curva es independiente tanto de la masa del cuerpo de prueba como de la fuerza local de la gravedad. Solo se elige un parámetro para que la curva se ajuste al punto inicial A y al punto final B. Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A, o si se tiene en cuenta la fricción, entonces la curva que minimiza el tiempo difiere de la curva tautocrona.

Historia

Johann Bernoulli planteó el problema de la braquistocrona a los lectores de Acta Eruditorum en junio de 1696. Dijo:

Yo, Johann Bernoulli, dirijo a los matemáticos más brillantes del mundo. Nada es más atractivo para las personas inteligentes que un problema honesto y desafiante, cuya posible solución otorgará fama y permanecerá como un monumento duradero. Siguiendo el ejemplo de Pascal, Fermat, etc., espero ganar la gratitud de toda la comunidad científica colocando ante los mejores matemáticos de nuestro tiempo un problema que probará sus métodos y la fuerza de su intelecto. Si alguien me comunica la solución del problema propuesto, lo declararé públicamente digno de alabanza

Bernoulli escribió el enunciado del problema como:

Dado dos puntos A y B en un plano vertical, cuál es la curva trazada por un punto actuó sólo por gravedad, que comienza en A y alcanza B en el tiempo más corto.

Johann y su hermano Jakob Bernoulli derivaron la misma solución, pero la derivación de Johann era incorrecta y trató de hacer pasar la solución de Jakob como propia. Johann publicó la solución en la revista en mayo del año siguiente y señaló que la solución es la misma curva que la curva tautocrona de Huygens. Después de derivar la ecuación diferencial de la curva por el método que se da a continuación, pasó a demostrar que produce una cicloide. Sin embargo, su prueba se ve afectada por el uso de una sola constante en lugar de las tres constantes, v_m, 2g y D, abajo.

Bernoulli concedió seis meses para las soluciones, pero no se recibió ninguna durante este período. A petición de Leibniz, el plazo se prorrogó públicamente por un año y medio. A las 4 pm. el 29 de enero de 1697, cuando llegó a casa desde Royal Mint, Isaac Newton encontró el desafío en una carta de Johann Bernoulli. Newton se quedó despierto toda la noche para resolverlo y envió la solución de forma anónima en el correo siguiente. Al leer la solución, Bernoulli reconoció de inmediato a su autor y exclamó que "reconoce a un león por la marca de su garra". Esta historia da una idea del poder de Newton, ya que Johann Bernoulli tardó dos semanas en resolverlo. Newton también escribió: "No me gusta que los extranjeros me molesten [me molesten] ni me burlen de cosas matemáticas...", y Newton ya había resuelto el problema de resistencia mínima de Newton, que se considera el primero de su clase en cálculo de variaciones.

Al final, cinco matemáticos respondieron con soluciones: Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus y Guillaume de l'Hôpital. Cuatro de las soluciones (excluyendo l'Hôpital's) se publicaron en la misma edición de la revista que Johann Bernoulli's. En su artículo, Jakob Bernoulli dio una prueba de la condición de menor tiempo similar a la siguiente antes de mostrar que su solución es una cicloide. Según el erudito newtoniano Tom Whiteside, en un intento por superar a su hermano, Jakob Bernoulli creó una versión más difícil del problema de la braquistocrona. Para resolverlo, desarrolló nuevos métodos que fueron refinados por Leonhard Euler en lo que este último llamó (en 1766) el cálculo de variaciones. Joseph-Louis Lagrange realizó más trabajos que dieron como resultado el cálculo infinitesimal moderno.

Anteriormente, en 1638, Galileo había intentado resolver un problema similar para el camino del descenso más rápido de un punto a una pared en sus Dos nuevas ciencias. Saca la conclusión de que el arco de un círculo es más rápido que cualquier número de sus cuerdas,

Desde lo anterior es posible inferir que el camino más rápido de todos [lationem omnium velocissimam], de un punto a otro, no es el camino más corto, es decir, una línea recta, sino el arco de un círculo.
...
En consecuencia, el más cercano el polígono inscrito se acerca a un círculo más corto el tiempo requerido para el descenso de A a C. Lo que se ha probado para el cuadrante es cierto también para arcos más pequeños; el razonamiento es el mismo.

Justo después de Teorema 6 de Dos nuevas ciencias, Galileo advierte de posibles falacias y la necesidad de una "ciencia más alta". En este diálogo Galileo revisa su propio trabajo. Galileo estudió el cicloides y le dio su nombre, pero la conexión entre él y su problema tenía que esperar a avances en matemáticas.

La conjetura de Galileo es que "El tiempo más corto de todos [para un cuerpo móvil] será el de su caída a lo largo del arco ADB [de un cuarto de círculo] y propiedades similares deben entenderse como válidas para todos los arcos menores tomados hacia arriba desde el límite inferior B.”

En la Fig. 1, del "Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo", Galileo afirma que el cuerpo que se desliza a lo largo del arco circular de un cuarto de círculo, de A a B, llegará a B en menos tiempo que si tomara algún tiempo. otro camino de A a B. De manera similar, en la Fig. 2, desde cualquier punto D en el arco AB, él afirma que el tiempo a lo largo del arco menor DB será menor que para cualquier otro camino de D a B. De hecho, el el camino más rápido de A a B o de D a B, la braquistocrona, es un arco cicloidal, que se muestra en la Fig. 3 para el camino de A a B, y en la Fig. 4 para el camino de D a B, superpuesto en el respectivo arco circular.

La solución de Johann Bernoulli

Introducción

En una carta a L'Hôpital, (21/12/1696), Bernoulli afirma que al considerar el problema de la curva de descenso más rápido, al cabo de sólo 2 días notó una curiosa afinidad o conexión con otro problema no menos notable dando lugar a un "método indirecto" de solución. Luego, poco después, descubrió un "método directo".

Método directo

En una carta a Henri Basnage, celebrada en la Biblioteca Pública de la Universidad de Basilea, fechada el 30 de marzo de 1697, Johann Bernoulli afirmó que había encontrado dos métodos (siempre denominados "directo" y "indirecta") para mostrar que la braquistocrona era la "cicloide común", también llamada "ruleta". Siguiendo el consejo de Leibniz, incluyó solo el método indirecto en el Acta Eruditorum Lipsidae de mayo de 1697. Escribió que esto se debía en parte a que creía que era suficiente para convencer a cualquiera que dudara de la conclusión, en parte a que también resolvió dos famosos problemas de óptica que "el difunto Sr. Huygens" había planteado en su tratado sobre la luz. En la misma carta criticaba a Newton por ocultar su método.

Además de su método indirecto, también publicó las otras cinco respuestas al problema que recibió.

El método directo de Johann Bernoulli es históricamente importante como prueba de que la braquistocrona es la cicloide. El método consiste en determinar la curvatura de la curva en cada punto. Todas las demás pruebas, incluida la de Newton (que no se reveló en ese momento) se basan en encontrar el gradiente en cada punto.

En 1718, Bernoulli explicó cómo resolvió el problema de la braquistocrona mediante su método directo.

Explicó que no lo había publicado en 1697, por razones que ya no se aplicaban en 1718. Este artículo fue ignorado en gran medida hasta 1904, cuando Constantin Carathéodory apreció por primera vez la profundidad del método, quien afirmó que muestra que el cicloide es la única curva posible de descenso más rápido. Según él, las otras soluciones simplemente implicaban que el tiempo de descenso es estacionario para la cicloide, pero no necesariamente el mínimo posible.

Solución analítica

Se considera que un cuerpo se desliza a lo largo de cualquier pequeño arco circular Ce entre los radios KC y Ke, con el centro K fijo. La primera etapa de la prueba implica encontrar el arco circular particular, Mm, que el cuerpo recorre en el tiempo mínimo.

La línea KNC interseca a AL en N, y la línea Kne lo interseca en n, y forman un pequeño ángulo CKe en K. Sea NK = a, y defina un punto variable, C en KN extendido. De todos los posibles arcos circulares Ce, se requiere encontrar el arco Mm, que requiere el mínimo tiempo para deslizarse entre los 2 radios, KM y Km. Para encontrar Mm Bernoulli argumenta de la siguiente manera.

Deja que MN = x. Define m para que MD = mx, y n para que Mm = nx + na y notas que x es la única variable y que m es finito y n es infinitamente pequeño. El pequeño tiempo para viajar en arco Mm es ${displaystyle {frac {Mm}{MD^{frac {1}{2}}}}={frac {n(x+a)}{(mx)^{frac {1}{2}}}}}$ , que tiene que ser un mínimo (‘un más petit’). Él no explica que porque Mm es tan pequeño la velocidad a lo largo de ella se puede suponer que es la velocidad de M, que es como la raíz cuadrada de MD, la distancia vertical de M debajo de la línea horizontal AL.

Se sigue que, cuando se diferencia esto debe dar

{displaystyle {frac {(x-a)dx}{2x^{frac {3}{2}}}}=0}

así x = a.

Esta condición define la curva por la que se desliza el cuerpo en el menor tiempo posible. Para cada punto M de la curva, el radio de curvatura MK se corta en 2 partes iguales por su eje AL. Esta propiedad, que según Bernoulli se conoce desde hace mucho tiempo, es exclusiva de la cicloide.

Finalmente, considera el caso más general en el que la velocidad es una función arbitraria X(x), por lo que el tiempo a minimizar es ${displaystyle {frac {(x+a)}{X}}}$ . La condición mínima entonces se convierte ${displaystyle X={frac {(x+a)dX}{dx}}}$ que escribe como: ${displaystyle X=(x+a)Delta x}$ y que da MN (=x) como una función de NK (= a). De esto la ecuación de la curva podría obtenerse del cálculo integral, aunque no lo demuestre.

Solución sintética

Luego procede con lo que llamó su solución sintética, que era una prueba geométrica clásica de que solo hay una única curva por la que un cuerpo puede deslizarse en el tiempo mínimo, y esa curva es la cicloide.

La razón de la demostración sintética, a la manera de los antiguos, es convencer al Sr. de la Hire. Tiene poco tiempo para nuestro nuevo análisis, describiéndolo como falso (Afirma que ha encontrado 3 formas de probar que la curva es una parábola cúbica) – Carta de Johan Bernoulli a Pierre Varignon fechada el 27 de julio de 1697.

Supongamos que AMmB es la parte de la cicloide que une A con B, por la que el cuerpo se desliza hacia abajo en el tiempo mínimo. Sea ICcJ parte de una curva diferente que une A con B, que puede estar más cerca de AL que de AMmB. Si el arco Mm subtiende el ángulo MKm en su centro de curvatura, K, sea Cc el arco sobre IJ que subtiende el mismo ángulo. El arco circular que pasa por C con centro K es Ce. El punto D en AL está verticalmente por encima de M. Une K a D y el punto H es donde CG interseca a KD, extendido si es necesario.

Vamos $tau$ y t ser los tiempos que el cuerpo toma para caer a lo largo de Mm y Ce respectivamente.

{displaystyle tau propto {frac {Mm}{MD^{frac {1}{2}}}}}

{displaystyle tpropto {frac {Ce}{CG^{frac {1}{2}}}}}

Extender CG al punto F donde, ${displaystyle CF={frac {CH^{2}}{MD}}}$ y desde ${displaystyle {frac {Mm}{Ce}}={frac {MD}{CH}}}$ , sigue que

{displaystyle {frac {tau }{t}}={frac {Mm}{Ce}}.left({frac {CG}{MD}}right)^{frac {1}{2}}=left({frac {CG}{CF}}right)^{frac {1}{2}}}

Como MN = NK, para la cicloide:

{displaystyle GH={frac {MD.HD}{DK}}={frac {MD.CM}{MK}}}

{displaystyle CH={frac {MD.CK}{MK}}={frac {MD.(MK+CM)}{MK}}}

, y

{displaystyle CG=CH+GH={frac {MD.(MK+2CM)}{MK}}}

Si Ce está más cerca de K que de Mm, entonces

{displaystyle CH={frac {MD.(MK-CM)}{MK}}}

{displaystyle CG=CH-GH={frac {MD.(MK-2CM)}{MK}}}

En cualquier caso,

CG}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">CF=CH2MD■CG{displaystyle CF={frac {fnK} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}} {fnK}}}}}}}}} {fn}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}CG}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1601985dae5f355e5305541c9b8f58bb06f4796" style="vertical-align: -1.838ex; width:19.057ex; height:5.676ex;"/>

, y sigue que

<math alttext="{displaystyle tau τ τ .t{displaystyle tau <img alt="{displaystyle tau

Si el arco, Cc subtendido por el ángulo infinitesimal MKm en IJ no es circular, debe ser mayor que Ce, ya que Cec se convierte en un triángulo rectángulo en el límite cuando el ángulo MKm tiende a cero.

Tenga en cuenta que Bernoulli demuestra que CF > CG por un argumento similar pero diferente.

De esto concluye que un cuerpo atraviesa la cicloide AMB en menos tiempo que cualquier otra curva ACB.

Método indirecto

Según el principio de Fermat, el camino real entre dos puntos tomado por un haz de luz es el que lleva menos tiempo. En 1697, Johann Bernoulli usó este principio para derivar la curva braquistócrona considerando la trayectoria de un haz de luz en un medio donde la velocidad de la luz aumenta siguiendo una aceleración vertical constante (la de la gravedad g).

Por la conservación de la energía, la velocidad instantánea de un cuerpo v después de caer una altura y en un campo gravitatorio uniforme viene dada por:

v={sqrt {2gy}}

La velocidad de movimiento del cuerpo a lo largo de una curva arbitraria no depende del desplazamiento horizontal.

Bernoulli señaló que la ley de refracción da una constante del movimiento de un haz de luz en un medio de densidad variable:

{frac {sin {theta }}{v}}={frac {1}{v}}{frac {dx}{ds}}={frac {1}{v_{m}}}

Donde v_m es la constante $theta$ representa el ángulo de la trayectoria con respecto a la vertical.

Las ecuaciones anteriores llevan a dos conclusiones:

Al inicio, el ángulo debe ser cero cuando la velocidad de partículas es cero. Por lo tanto, la curva brachistochrone es tangente a la vertical en el origen.
La velocidad alcanza un valor máximo cuando la trayectoria se vuelve horizontal y el ángulo θ = 90°.

Suponiendo por simplicidad que la partícula (o el haz) con coordenadas (x,y) parte del punto (0,0) y alcanza la velocidad máxima después de caer una distancia vertical D:

v_{m}={sqrt {2gD}}

Reordenando los términos en la ley de la refracción y el cuadrado se obtiene:

v_{m}^{2}dx^{2}=v^{2}ds^{2}=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})

que se puede resolver para dx en términos de dy:

dx=frac{v, dy}{sqrt{v_m^2-v^2}}

Sustituyendo las expresiones de v y v_m anteriores da:

{displaystyle dx={sqrt {frac {y}{D-y}}},dy,,}

que es la ecuación diferencial de una cicloide invertida generada por una circunferencia de diámetro D=2r, cuya ecuación paramétrica es:

{displaystyle {begin{aligned}x&=r(varphi -sin varphi)\y&=r(1-cos varphi).end{aligned}}}

donde φ es un parámetro real, correspondiente al ángulo en el que ha girado el círculo rodante. Para φ dado, el centro del círculo se encuentra en $(x, y) = (rφ, r)$ .

En el problema de la braquistocrona, el movimiento del cuerpo viene dado por la evolución temporal del parámetro:

{displaystyle varphi (t)=omega t,,omega ={sqrt {frac {g}{r}}}}

donde t es el tiempo desde la liberación del cuerpo desde el punto (0,0).

La solución de Jakob Bernoulli

El hermano de Johannes, Jakob, mostró cómo se pueden usar los segundos diferenciales para obtener la condición por el menor tiempo. Una versión modernizada de la prueba es la siguiente. Si hacemos una desviación despreciable de la trayectoria de menor tiempo, entonces, para el triángulo diferencial formado por el desplazamiento a lo largo de la trayectoria y los desplazamientos horizontal y vertical,

ds^2=dx^2+dy^2

Al diferenciar con dy fijo obtenemos,

2ds d^{2}s=2dx d^{2}x

Y, finalmente, reorganizar los términos da,

{frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v d^{2}t

donde la última parte es el desplazamiento para el cambio dado en el tiempo para los segundos diferenciales. Ahora considere los cambios a lo largo de los dos caminos vecinos en la figura a continuación, para los cuales la separación horizontal entre los caminos a lo largo de la línea central es d²x (igual para la parte superior y la superior). triángulos diferenciales inferiores). A lo largo de los caminos viejos y nuevos, las partes que difieren son,

d^{2}t_{1}={frac {1}{v_{1}}}{frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x

d^{2}t_{2}={frac {1}{v_{2}}}{frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x

Para el camino de los tiempos mínimos, estos tiempos son iguales, así que por su diferencia obtenemos,

d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={bigg (}{frac {1}{v_{2}}}{frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{frac {1}{v_{1}}}{frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{bigg)}d^{2}x

Y la condición para el menor tiempo es,

{frac {1}{v_{2}}}{frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={frac {1}{v_{1}}}{frac {dx_{1}}{ds_{1}}}

lo que concuerda con la suposición de Johann basada en la ley de la refracción.

La solución de Newton

Introducción

En junio de 1696, Johann Bernoulli había utilizado las páginas del Acta Eruditorum Lipsidae para plantear un desafío a la comunidad matemática internacional: encontrar la forma de la curva que une dos puntos fijos de modo que una masa se deslizará hacia abajo a lo largo de él, bajo la influencia de la gravedad solamente, en la mínima cantidad de tiempo. Originalmente, la solución debía presentarse en un plazo de seis meses. A sugerencia de Leibniz, Bernoulli extendió el desafío hasta la Pascua de 1697, mediante un texto impreso llamado "Programma", publicado en Groningen, Holanda.

El Programma está fechado el 1 de enero de 1697, en el Calendario Gregoriano. Esto fue el 22 de diciembre de 1696 en el Calendario Juliano, en uso en Gran Bretaña. Según la sobrina de Newton, Catherine Conduitt, Newton se enteró del desafío a las 4 p. m. del 29 de enero y lo resolvió a las 4 a. m. de la mañana siguiente. Su solución, comunicada a la Royal Society, está fechada el 30 de enero. Esta solución, publicada más tarde de forma anónima en Philosophical Transactions, es correcta pero no indica el método por el cual Newton llegó a su conclusión. Bernoulli, escribiendo a Henri Basnage en marzo de 1697, indicó que aunque su autor, 'por un exceso de modestia', no había revelado su nombre, incluso a partir de los escasos detalles proporcionados, podría reconocerse como Newton. 39;s trabajo, "como el león por su garra" (en latín, ex ungue Leonem).

D. T. Whiteside característicamente explica el origen de la expresión latina, originaria del griego, con considerable detalle. La carta en francés tiene 'ex ungue Leonem' precedido por la palabra francesa 'comme'. La versión muy citada 'tanquam ex ungue Leonem' se debe al libro de David Brewster sobre la vida y obra de Newton en 1855. La intención de Bernoulli era simplemente que pudiera decir que la solución anónima era la de Newton, tal como era posible decir que un animal era un león dada su garra. No pretendía sugerir que Bernoulli considerara a Newton como el león entre los matemáticos, como se ha llegado a interpretar desde entonces.

John Wallis, que tenía 80 años en ese momento, había aprendido del problema en septiembre de 1696 del hermano menor Hieronymus de Johann Bernoulli, y había pasado tres meses intentando una solución antes de pasarla en diciembre a David Gregory, quien también no pudo resolverlo. Después de que Newton hubiera presentado su solución, Gregory le pidió los detalles e hizo notas de su conversación. Estos pueden encontrarse en la Biblioteca de la Universidad de Edimburgo, manuscrito A ${displaystyle 78^{1}}$ , de fecha 7 de marzo de 1697. O Gregory no entendía el argumento de Newton, o la explicación de Newton fue muy breve. Sin embargo, es posible, con un alto grado de confianza, construir la prueba de Newton de las notas de Gregory, por analogía con su método para determinar el sólido de resistencia mínima (Principia, Libro 2, Proposición 34, Scholium 2). Una descripción detallada de su solución de este último problema se incluye en el borrador de una carta en 1694, también a David Gregory. Además del problema de curva de tiempo mínimo, hubo un segundo problema que Newton también resolvió al mismo tiempo. Ambas soluciones aparecieron anónimamente en las transacciones filosóficas de la Sociedad Real, para enero de 1697.

El problema de la braquistocrona

fig. 1, muestra el diagrama de Gregory (excepto que la línea adicional IF está ausente y Z, se ha agregado el punto de inicio). La curva ZVA es una cicloide y CHV es su círculo generador. Como parece que el cuerpo se mueve hacia arriba de e a E, se debe suponer que un cuerpo pequeño se suelta de Z y se desliza a lo largo de la curva hacia A, sin fricción, bajo la acción de la gravedad.

Considere un pequeño arco eE, por el que asciende el cuerpo. Suponga que atraviesa la línea recta eL hasta el punto L, desplazada horizontalmente de E una pequeña distancia, o, en lugar del arco eE. Tenga en cuenta que eL no es la tangente en e, y que o es negativa cuando L está entre B y E. Trace la línea a través de E paralela a CH, cortando eL en n. De una propiedad de la cicloide, En es la normal a la tangente en E, y de manera similar, la tangente en E es paralela a VH.

Dado que el desplazamiento EL es pequeño, difiere poco en la dirección de la tangente en E, de modo que el ángulo EnL está cerca de un ángulo recto. En el límite, cuando el arco eE tiende a cero, eL se vuelve paralelo a VH, siempre que o sea pequeño en comparación con eE, lo que hace que los triángulos EnL y CHV sean similares.

También se acerca la longitud del acorde E, y el aumento de la longitud, ${displaystyle eL-eE=nL={frac {o.CH}{CV}}}$ , ignorando términos ${displaystyle o^{2}}$ y superior, que representan el error debido a la aproximación que eL y VH son paralelos.

La velocidad a lo largo de eE o eL se puede tomar como que en E, proporcional a ${displaystyle {sqrt {CB}}}$ , que es como CH, desde ${displaystyle CH={sqrt {CB.CV}}}$

Esto parece ser todo lo que contiene la nota de Gregory.

Sea t el tiempo adicional para llegar a L,

${displaystyle tpropto {frac {nL}{sqrt {CB}}}={frac {o.CH}{CV.{sqrt {CB}}}}={frac {o}{sqrt {CV}}}}$

Por lo tanto, el aumento en el tiempo para recorrer un pequeño arco desplazado en un punto final depende solo del desplazamiento en el punto final y es independiente de la posición del arco. Sin embargo, por el método de Newton, esta es solo la condición requerida para que la curva sea recorrida en el mínimo tiempo posible. Por lo tanto, concluye que la curva mínima debe ser la cicloide.

Argumenta de la siguiente manera.

Suponiendo ahora que la Fig. 1 es la curva mínima aún no determinada, con eje vertical CV, y el círculo CHV eliminado, y la Fig. 2 muestra parte de la curva entre el arco infinitesimal eE y un arco infinitesimal adicional Ff una distancia finita a lo largo de la curva. El tiempo extra, t, para atravesar eL (en vez de eE) es nL dividido por la velocidad de E (proporcional a ${displaystyle {sqrt {CB}}}$ ), ignorando términos en ${displaystyle o^{2}}$ y superior:

${displaystyle tpropto {frac {o.DE}{eE.{sqrt {CB}}}}}$ ,

En L, la partícula continúa a lo largo de un camino LM, paralelo al EF original, hasta algún punto arbitrario M. Como tiene la misma velocidad en L que en E, el tiempo para atravesar LM es el mismo que habría sido a lo largo de la curva original EF. En M vuelve al camino original en el punto f. Por el mismo razonamiento, la reducción en el tiempo, T, para llegar a f desde M en lugar de desde F es

${displaystyle Tpropto {frac {o.FG}{Ff.{sqrt {CI}}}}}$

La diferencia (t – T) es el tiempo adicional que lleva a lo largo de la ruta eLMf en comparación con el eEFf original:

${displaystyle (t-T)propto left({frac {DE}{eE{sqrt {CB}}}}-{frac {FG}{Ff{sqrt {CI}}}}right).o}$ más términos en ${displaystyle o^{2}}$ y superiores (1)

Debido a que eEFf es la curva mínima, (t – T) debe ser mayor que cero, ya sea que o sea positivo o negativo. De ello se deduce que el coeficiente de o en (1) debe ser cero:

${displaystyle {frac {DE}{eE{sqrt {CB}}}}={frac {FG}{Ff{sqrt {CI}}}}}$ (2) en el límite como EE y FF enfoque cero. Nota ya que el eEFf es la curva mínima que hay que asumir que el coeficiente ${displaystyle o^{2}}$ es más grande que cero.

Claramente tiene que haber 2 desplazamientos iguales y opuestos, o el cuerpo no regresaría al punto final, A, de la curva.

Si e está fijo, y si f se considera un punto variable superior a la curva, entonces para todos estos puntos, f, ${displaystyle {frac {FG}{Ff{sqrt {CI}}}}}$ es constante (igual a ${displaystyle {frac {DE}{eE{sqrt {CB}}}}}$ ). Manteniendo f fijo y haciendo e variable está claro que ${displaystyle {frac {DE}{eE{sqrt {CB}}}}}$ es también constante.

Pero, ya que los puntos, e y f son arbitrarios, la ecuación (2) sólo puede ser verdadera si ${displaystyle {frac {DE}{eE{sqrt {CB}}}}={text{constant}}}$ , en todas partes, y esta condición caracteriza la curva que se busca. Esta es la misma técnica que utiliza para encontrar la forma del Sólido de la Resistencia Menos.

Para el cicloides, ${displaystyle {frac {DE}{eE}}={frac {BH}{VH}}={frac {CH}{CV}}}$ así ${displaystyle {frac {DE}{eE{sqrt {CB}}}}={frac {CH}{CV.{sqrt {CB}}}}}$ , que se mostró arriba para ser constante, y el Brachistochrone es el cicloides.

Newton no da ninguna indicación de cómo descubrió que la cicloide cumplía esta última relación. Puede haber sido por prueba y error, o puede haber reconocido de inmediato que implicaba que la curva era la cicloide.

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