Curva algebraica

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Curva definida como ceros de polinomios

El Tschirnhausen es una curva algebraica del grado tres.

En matemáticas, una curva plana algebraica afín es el conjunto cero de un polinomio en dos variables. Una curva plana algebraica proyectiva es el cero puesto en un plano proyectivo de un polinomio homogéneo en tres variables. Una curva plana algebraica afín se puede completar en una curva plana algebraica proyectiva homogeneizando su polinomio definidor. Por el contrario, una curva plana algebraica proyectiva de ecuación homogénea $h (x, y, t) = 0$ se puede restringir a la curva del plano algebraico afín de la ecuación $h (x, y, 1) = 0$ . Estas dos operaciones son cada una inversa a la otra; por lo tanto, la frase curva plana algebraica se usa a menudo sin especificar explícitamente si se considera el caso afín o proyectivo.

Más generalmente, una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. De manera equivalente, una curva algebraica es una variedad algebraica que es birracionalmente equivalente a una curva plana algebraica. Si la curva está contenida en un espacio afín o un espacio proyectivo, se puede tomar una proyección para tal equivalencia birracional.

Estas equivalencias birracionales reducen la mayor parte del estudio de las curvas algebraicas al estudio de las curvas planas algebraicas. Sin embargo, algunas propiedades no se mantienen bajo equivalencia birracional y deben estudiarse en curvas no planas. Este es, en particular, el caso del grado y la suavidad. Por ejemplo, existen curvas suaves de género 0 y grado mayor que dos, pero cualquier proyección plana de tales curvas tiene puntos singulares (consulte la fórmula de género-grado).

Una curva no plana a menudo se denomina curva espacial o curva oblicua.

En geometría euclidiana

Una curva algebraica en el plano euclidiano es el conjunto de los puntos cuyas coordenadas son las soluciones de una ecuación polinómica bivariada p(x, y) = 0. Esta ecuación a menudo se llama la ecuación implícita de la curva, en contraste con las curvas que son el gráfico de una función que define explícitamente y como una función de x.

Con una curva dada por tal ecuación implícita, los primeros problemas son determinar la forma de la curva y dibujarla. Estos problemas no son tan fáciles de resolver como en el caso de la gráfica de una función, para la cual y puede calcularse fácilmente para varios valores de x. El hecho de que la ecuación definitoria sea un polinomio implica que la curva tiene algunas propiedades estructurales que pueden ayudar a resolver estos problemas.

Cada curva algebraica se puede descomponer de forma única en un número finito de arcos monótonos uniformes (también llamados ramas) a veces conectados por algunos puntos a veces llamados "puntos notables", y posiblemente un número finito de puntos aislados llamados ánodos. Un arco monótono suave es el gráfico de una función suave definida y monótona en un intervalo abierto del eje x. En cada dirección, un arco es ilimitado (generalmente llamado arco infinito) o tiene un punto final que es un punto singular (esto se definirá a continuación) o un punto con una tangente paralela a uno de los ejes de coordenadas.

Por ejemplo, para la cúbica de Tschirnhausen, hay dos arcos infinitos que tienen el origen (0,0) como punto final. Este punto es el único punto singular de la curva. También hay dos arcos que tienen este punto singular como un extremo y tienen un segundo extremo con una tangente horizontal. Finalmente, hay otros dos arcos, cada uno de los cuales tiene uno de estos puntos con tangente horizontal como primer punto final y tiene el único punto con tangente vertical como segundo punto final. Por el contrario, la sinusoide ciertamente no es una curva algebraica, ya que tiene un número infinito de arcos monótonos.

Para dibujar una curva algebraica, es importante conocer los puntos notables y sus tangentes, las ramas infinitas y sus asíntotas (si las hay) y la forma en que los arcos los conectan. También es útil considerar los puntos de inflexión como puntos destacables. Cuando toda esta información se dibuja en una hoja de papel, la forma de la curva suele aparecer bastante clara. Si no, basta con agregar algunos otros puntos y sus tangentes para obtener una buena descripción de la curva.

Los métodos para calcular los puntos notables y sus tangentes se describen a continuación en la sección Puntos notables de una curva plana.

Curvas proyectivas planas

A menudo es deseable considerar curvas en el espacio proyectivo. Una curva algebraica en el plano proyectivo o plana curva proyectiva es el conjunto de los puntos en un plano proyectivo cuyas coordenadas proyectivas son ceros de un polinomio homogéneo en tres variables P(x, y, z).

Cada curva algebraica de la ecuación p()x, Sí.) = 0 se puede completar en la curva proyectiva de la ecuación $^hp(x,y,z)=0,$ Donde

{displaystyle ^{h}p(x,y,z)=z^{deg(p)}pleft({frac {x}{z}},{frac {y}{z}}right)}

pPxSí.zPxSí.

^hp(x,y,1)=p(x,y)

p(x,y)=P(x,y,1)

^hp(x,y,z)=P(x,y,z),

Por ejemplo, la curva proyectiva de la ecuación x² + y² − z² es la terminación proyectiva del círculo unitario de la ecuación x² + y² − 1 = 0.

Esto implica que una curva afín y su terminación proyectiva son las mismas curvas o, más precisamente, que la curva afín es una parte de la curva proyectiva que es lo suficientemente grande como para definir bien la curva "completa" curva. Este punto de vista se expresa comúnmente llamando "puntos en el infinito" de la curva afín los puntos (en número finito) de la terminación proyectiva que no pertenecen a la parte afín.

Las curvas de proyecto se estudian frecuentemente para sí mismas. También son útiles para el estudio de curvas de afina. Por ejemplo, si p()x, Sí.) es el polinomio que define una curva de afina, junto a los derivados parciales $p'_x$ y $p'_y$ , es útil considerar el derivado en el infinito

{displaystyle p'_{infty }(x,y)={^{h}p'_{z}(x,y,1)}.}

Por ejemplo, la ecuación de la tangente de la curva afín de la ecuación p(x, y) = 0 en un punto (a, b) es

{displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{infty }(a,b)=0.}

Puntos notables de una curva plana

En esta sección consideramos una curva algebraica plana definida por un polinomio bivariado p()x, Sí.) y su terminación proyectiva, definida por la homogeneización $P(x,y,z)= {}^hp(x,y,z)$ de p.

Intersección con una línea

Con frecuencia es útil conocer los puntos de intersección de una curva con una línea dada. La intersección con los ejes de coordenadas y las asíntotas son útiles para dibujar la curva. La intersección con una línea paralela a los ejes permite encontrar al menos un punto en cada rama de la curva. Si se dispone de un algoritmo de búsqueda de raíces eficiente, esto permite dibujar la curva trazando el punto de intersección con todas las líneas paralelas al eje y y pasando a través de cada píxel en la x-eje.

Si el polinomio que define la curva tiene un grado d, cualquier línea corta la curva en la mayoría de los puntos d. El teorema de Bézout afirma que este número es exactamente d, si los puntos se buscan en el plano proyectivo sobre un campo algebraicamente cerrado (por ejemplo, los números complejos), y se cuentan con su multiplicidad. El método de cálculo que sigue prueba nuevamente este teorema, en este caso simple.

Para calcular la intersección de la curva definida por el polinomio p con la recta de ecuación ax+by+c = 0, se resuelve la ecuación de la línea para x (o para y si a = 0). Sustituyendo el resultado en p, se obtiene una ecuación univariante q(y) = 0 (o q(x) = 0, si la ecuación de la recta se ha resuelto en y), cada una de cuyas raíces es una coordenada de un punto de intersección. La otra coordenada se deduce de la ecuación de la recta. La multiplicidad de un punto de intersección es la multiplicidad de la raíz correspondiente. Hay un punto de intersección en el infinito si el grado de q es menor que el grado de p; la multiplicidad de tal punto de intersección en el infinito es la diferencia de los grados de p y q.

Tangente en un punto

El tangente en un punto (a, b) de la curva es la línea de la ecuación $(x-a)p'_x(a,b)+(y-b)p'_y(a,b)=0$ , como por cada curva diferenciable definida por una ecuación implícita. En el caso de los polinomios, otra fórmula para el tangente tiene un término constante más simple y es más simétrica:

{displaystyle xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{infty }(a,b)=0,}

Donde $p'_infty(x,y)=P'_z(x,y,1)$ es el derivado en el infinito. La equivalencia de las dos ecuaciones resulta del teorema de función homogénea de Euler aplicado a P.

Si $p'_x(a,b)=p'_y(a,b)=0,$ el tangente no se define y el punto es un Punto singular.

Esto se extiende inmediatamente al caso proyectivo: La ecuación de la tangente de en el punto de coordenadas proyectivas (a:b:c) de la curva proyectiva de la ecuación P(x, y, z) = 0 es

{displaystyle xP'_{x}(a,b,c)+yP'_{y}(a,b,c)+zP'_{z}(a,b,c)=0,}

y los puntos de las curvas que son singulares son los puntos tales que

{displaystyle P'_{x}(a,b,c)=P'_{y}(a,b,c)=P'_{z}(a,b,c)=0.}

(La condición P(a, b, c) = 0 está implícita en estas condiciones, por el teorema de la función homogénea de Euler).

Asíntotas

Cada rama infinita de una curva algebraica corresponde a un punto en el infinito de la curva, es decir, un punto de terminación proyectiva de la curva que no pertenece a su parte afín. La asíntota correspondiente es la tangente de la curva en ese punto. Puede aplicarse la fórmula general para una tangente a una curva proyectiva, pero vale la pena hacerla explícita en este caso.

Vamos $p=p_d+cdots+p_0$ ser la descomposición del polinomio que define la curva en sus partes homogéneas, donde p_i es la suma de los monomiales de p grado i. De ello se desprende que

{displaystyle P={^{h}p}=p_{d}+zp_{d-1}+cdots +z^{d}p_{0}}

{displaystyle P'_{z}(a,b,0)=p_{d-1}(a,b).}

Un punto en el infinito de la curva es un cero de p de la forma (a, b, 0). De manera equivalente, (a, b) es un cero de p_d. El teorema fundamental del álgebra implica que, sobre un campo algebraicamente cerrado (típicamente, el campo de números complejos), p_d factoriza en un producto de factores lineales. Cada factor define un punto en el infinito de la curva: si bx − ay es tal factor, entonces define el punto en el infinito (a, b, 0). Sobre los reales, p_d factoriza en factores lineales y cuadráticos. Los factores cuadráticos irreducibles definen puntos no reales en el infinito, y los puntos reales están dados por los factores lineales. Si (a, b, 0) es un punto en el infinito de la curva, se dice que (a, b) es una dirección asintótica. Haciendo q = p_d la ecuación de la asíntota correspondiente es

{displaystyle xq'_{x}(a,b)+yq'_{y}(a,b)+p_{d-1}(a,b)=0.}

Si $q'_x(a,b)=q'_y(a,b)=0$ y $p_{d-1}(a,b)neq 0,$ el asintoto es la línea en el infinito, y, en el caso real, la curva tiene una rama que parece una parabola. En este caso se dice que la curva tiene una rama parabólica. Si

{displaystyle q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=p_{d-1}(a,b)=0,}

Puntos singulares

Los puntos singulares de una curva de grado d definida por un polinomio p(x,y) de grado d son las soluciones del sistema de ecuaciones:

{displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p(x,y)=0.}

{displaystyle p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p'_{infty }(x,y)=0,}

p'_infty(x,y)=P'_z(x,y,1).

Del mismo modo, para una curva proyectiva definida por un polinomio homogéneo P(x,y,z) de grado d, los puntos singulares tienen las soluciones del sistema

{displaystyle P'_{x}(x,y,z)=P'_{y}(x,y,z)=P'_{z}(x,y,z)=0}

P(x,y,z)

Esto implica que el número de puntos singulares es finito siempre que p(x,y) o P(x,y,z) no tiene cuadrados. El teorema de Bézout implica que el número de puntos singulares es como máximo (d − 1)², pero este límite no es estricto porque el sistema de ecuaciones es sobredeterminado Si se permiten polinomios reducibles, el límite agudo es d(d − 1)/2, este valor se alcanza cuando el polinomio se factoriza en factores lineales, es decir, si la curva es la unión de las líneas d. Para curvas irreducibles y polinomios, el número de puntos singulares es como máximo (d − 1)(d − 2)/2, debido a la fórmula que expresa el género en términos de las singularidades (ver abajo). El máximo lo alcanzan las curvas de género cero cuyas singularidades tienen multiplicidad dos y tangentes distintas (ver más abajo).

La ecuación de las tangentes en un punto singular viene dada por la parte homogénea distinta de cero del grado más bajo en la serie de Taylor del polinomio en el punto singular. Cuando uno cambia las coordenadas para poner el punto singular en el origen, la ecuación de las tangentes en el punto singular es entonces la parte homogénea distinta de cero del grado más bajo del polinomio, y la multiplicidad del punto singular es el grado de este homogéneo parte.

Estructura analítica

El estudio de la estructura analítica de una curva algebraica en la vecindad de un punto singular proporciona información precisa de la topología de las singularidades. De hecho, cerca de un punto singular, una curva algebraica real es la unión de un número finito de ramas que se intersecan solo en el punto singular y se ven como una cúspide o como una curva suave.

Cerca de un punto regular, una de las coordenadas de la curva puede expresarse como una función analítica de la otra coordenada. Este es un corolario del teorema analítico de la función implícita e implica que la curva es suave cerca del punto. Cerca de un punto singular, la situación es más complicada e involucra series de Puiseux, que proporcionan ecuaciones paramétricas analíticas de las ramas.

Para describir una singularidad, vale la pena traducir la curva por tener la singularidad en el origen. Esto consiste en un cambio de variable de la forma ${displaystyle X=x-a,Y=y-b,}$ Donde $a,b$ son las coordenadas del punto singular. En lo siguiente, se supone que el punto singular que se examina siempre está en el origen.

La ecuación de una curva algebraica es ${displaystyle f(x,y)=0,}$ Donde $f$ es un polinomio en $x$ y $Sí.$ . Este polinomio puede considerarse como un polinomio en $Sí.$ , con coeficientes en el campo algebraicamente cerrado de la serie Puiseux en $x$ . Así $f$ puede ser factorado en los factores de la forma ${displaystyle y-P(x),}$ Donde $P$ es una serie Puiseux. Estos factores son diferentes si $f$ es un polinomio irreducible, porque esto implica que $f$ es libre de plazas, una propiedad independiente del campo de los coeficientes.

Las series de Puiseux que ocurren aquí tienen la forma

{displaystyle P(x)=sum _{n=n_{0}}^{infty }a_{n}x^{n/d},}

d

n_{0}

d

n

{displaystyle a_{n}neq 0}

Vamos $omega _{d}$ ser una raíz dth primitiva de la unidad. Si la serie Puiseux anterior ocurre en la factorización de $f(x,y)=0$ , entonces el $d$ serie

{displaystyle P_{i}(x)=sum _{n=n_{0}}^{infty }a_{n}omega _{d}^{i}x^{n/d}}

d

ramificación

d

En el caso de una curva real, que es una curva definida por un polinomio con coeficientes reales, pueden ocurrir tres casos. Si no $P_{i}(x)$ tiene coeficientes reales, entonces uno tiene una rama no real. Si algunos $P_{i}(x)$ tiene coeficientes reales, entonces uno puede elegir como $P_{0}(x)$ . Si $d$ es extraño, entonces cada valor real de $x$ proporciona un valor real $P_{0}(x)$ , y uno tiene una rama real que se ve regular, aunque es singular si $d ■ 1$ . Si $d$ es incluso, entonces $P_{0}(x)$ y ${displaystyle P_{d/2}(x)}$ tienen valores reales, pero sólo para $x \geq 0$ . En este caso, la rama real se ve como un cusp (o es un cusp, dependiendo de la definición de un cusp que se utiliza).

Por ejemplo, el cusp común sólo tiene una rama. Si se define por la ecuación ${displaystyle y^{2}-x^{3}=0,}$ entonces la factorización es ${displaystyle (y-x^{3/2})(y+x^{3/2});}$ el índice de ramificación es 2, y los dos factores son reales y definen cada una media rama. Si el cusp está girado, la ecuación se convierte ${displaystyle y^{3}-x^{2}=0,}$ y la factorización ${displaystyle (y-x^{2/3})(y-j^{2}x^{2/3})(y-(j^{2})^{2}x^{2/3}),}$ con ${displaystyle j=(1+{sqrt {-3}})/2}$ (el coeficiente ${displaystyle (j^{2})^{2}}$ no se ha simplificado $j$ para mostrar cómo la definición anterior $P_{i}(x)$ es especializado). Aquí el índice de ramificación es 3, y sólo un factor es real; esto muestra que, en el primer caso, los dos factores deben considerarse como la definición de la misma rama.

Curvas algebraicas no planas

Una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. Esto implica que una curva afín en un espacio afín de dimensión n está definida por, al menos, n − 1 polinomios en n variables. Para definir una curva, estos polinomios deben generar un ideal primo de dimensión 1 de Krull. Esta condición no es fácil de probar en la práctica. Por lo tanto, se puede preferir la siguiente forma de representar curvas no planas.

Vamos $f, g_0, g_3, ldots, g_n$ Ser n polinomios en dos variables x₁ y x₂ tales que f es irreducible. Los puntos en el espacio afinado de la dimensión n tales cuyas coordenadas satisfacen las ecuaciones e inequaciones

{displaystyle {begin{aligned}&f(x_{1},x_{2})=0\&g_{0}(x_{1},x_{2})neq 0\x_{3}&={frac {g_{3}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\&{} vdots \x_{n}&={frac {g_{n}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}end{aligned}}}

son todos los puntos de una curva algebraica en la que se ha eliminado un número finito de puntos. Esta curva se define por un sistema de generadores del ideal de los polinomios h tal que existe un entero k tales $g_0^kh$ pertenece al ideal generado por $f, x_3g_0-g_3, ldots, x_ng_0-g_n$ . Esta representación es una equivalencia biracional entre la curva y la curva de plano definida por f. Cada curva algebraica puede ser representada de esta manera. Sin embargo, puede ser necesario un cambio lineal de variables para hacer casi siempre inyectable la proyección en las dos primeras variables. Cuando se necesita un cambio de variables, casi todo cambio es conveniente, tan pronto como se define en un campo infinito.

Esta representación nos permite deducir fácilmente cualquier propiedad de una curva algebraica no plana, incluida su representación gráfica, a partir de la propiedad correspondiente de su proyección plana.

Para una curva definida por sus ecuaciones implícitas, la representación anterior de la curva puede deducirse fácilmente a partir de una base de Gröbner para un orden de bloques tal que el bloque de las variables más pequeñas es (x₁, x₂). El polinomio f es el único polinomio en la base que depende únicamente de x₁ y x₂. Las fracciones g_i/g₀ se obtienen eligiendo, para i = 3,..., n, un polinomio en la base que es lineal en x_i y depende solo de x₁, x₂ y x_i. Si estas elecciones no son posibles, esto significa que las ecuaciones definen un conjunto algebraico que no es una variedad, o que la variedad no es de dimensión uno, o que uno debe cambiar de coordenadas. El último caso ocurre cuando f existe y es único, y, para i = 3, …, n, existen polinomios cuyo monomio principal depende solo en x₁, x₂ y x_i.

Campos de funciones algebraicas

El estudio de las curvas algebraicas se puede reducir al estudio de las curvas algebraicas irreducibles: aquellas curvas que no pueden escribirse como la unión de dos curvas más pequeñas. Hasta la equivalencia birracional, las curvas irreducibles sobre un campo F son categóricamente equivalentes a campos de funciones algebraicas en una variable sobre F. Tal campo de función algebraica es una extensión de campo K de F que contiene un elemento x que es trascendental sobre F, y tal que K es una extensión algebraica finita de F(x), que es el campo de funciones racionales en el indeterminado x sobre F.

Por ejemplo, considere el campo C de números complejos, sobre el cual podemos definir el campo C(x) de funciones racionales en C. Si $y 2 = x 3 - x - 1$ , entonces el campo C(x, y) es un campo de función elíptica. El elemento x no está determinado de forma única; el campo también puede considerarse, por ejemplo, como una extensión de C(y). La curva algebraica correspondiente al campo de la función es simplemente el conjunto de puntos (x, y) en C² satisfaciendo $y 2 = x 3 - x - 1$ .

Dos curvas pueden ser biracionalmente equivalentes (es decir, tener campos de funciones isomorfas) sin ser isomorfas como curvas. La situación se vuelve más fácil cuando se trata de curvas no singulares, es decir, aquellas que carecen de singularidades. Dos curvas proyectivas no singulares sobre un campo son isomorfas si y solo si sus campos de función son isomorfos.

El teorema de Tsen trata sobre el campo funcional de una curva algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado.

Curvas complejas y superficies reales

Una curva algebraica proyectiva compleja reside en un espacio proyectivo complejo CPⁿ n-dimensional. Tiene dimensión compleja n, pero dimensión topológica, como una variedad real, 2n, y es compacta, conexa y orientable. Una curva algebraica sobre C también tiene dimensión topológica dos; en otras palabras, es una superficie.

El género topológico de esta superficie, es decir, el número de asas o agujeros de rosca, es igual al género geométrico de la curva algebraica que se puede calcular por medios algebraicos. En resumen, si uno considera una proyección plana de una curva no singular que tiene grado d y solo singularidades ordinarias (singularidades de multiplicidad dos con tangentes distintas), entonces el género es $(d - 1)(d - 2)/2 - k$ , donde k es el número de estas singularidades.

Superficies compactas de Riemann

Una superficie de Riemann es una variedad analítica compleja conexa de una dimensión compleja, lo que la convierte en una variedad real conexa de dos dimensiones. Es compacto si es compacto como espacio topológico.

Existe una triple equivalencia de categorías entre la categoría de curvas algebraicas proyectivas irreducibles suaves sobre C (con funciones regulares no constantes como morfismos), la categoría de superficies de Riemann compactas (con funciones no constantes mapas holomorfos como morfismos), y lo contrario de la categoría de campos de funciones algebraicas en una variable sobre C (con homomorfismos de campo que fijan C como morfismos). Esto significa que al estudiar estos tres temas estamos, en cierto sentido, estudiando una y la misma cosa. Permite utilizar métodos analíticos complejos en geometría algebraica, métodos algebraico-geométricos en análisis complejo y métodos de teoría de campos en ambos. Esto es característico de una clase mucho más amplia de problemas en geometría algebraica.

Véase también geometría algebraica y geometría analítica para una teoría más general.

Singularidades

Usando el concepto intrínseco de espacio tangente, los puntos P en una curva algebraica C se clasifican como suave (sinónimo: no -singular), o bien singular. Dados n − 1 polinomios homogéneos en n + 1 variables, podemos encontrar la matriz jacobiana como (n − 1)×(n + 1) matriz de las derivadas parciales. Si el rango de esta matriz es n − 1, entonces los polinomios definen una curva algebraica (de lo contrario, definen una variedad algebraica de mayor dimensión). Si el rango permanece n − 1 cuando la matriz jacobiana se evalúa en un punto P en la curva, entonces el punto es un punto suave o regular; de lo contrario es un punto singular. En particular, si la curva es una curva algebraica proyectiva plana, definida por una única ecuación polinomial homogénea f(x,y, z) = 0, entonces los puntos singulares son precisamente los puntos P donde el rango de la matriz 1×(n + 1) es cero, es decir, dónde

{displaystyle {frac {partial f}{partial x}}(P)={frac {partial f}{partial y}}(P)={frac {partial f}{partial z}}(P)=0.}

Dado que f es un polinomio, esta definición es puramente algebraica y no hace ninguna suposición sobre la naturaleza del campo F, que en particular no necesita ser el real o complejo números. Por supuesto, debe recordarse que (0,0,0) no es un punto de la curva y, por lo tanto, no es un punto singular.

Del mismo modo, para una curva algebraica afín definida por una sola ecuación polinomial f(x,y) = 0, entonces los puntos singulares son precisamente los puntos P de la curva donde el rango de la matriz jacobiana 1×n es cero, es decir, donde

{displaystyle f(P)={frac {partial f}{partial x}}(P)={frac {partial f}{partial y}}(P)=0.}

Las singularidades de una curva no son invariantes birracionales. Sin embargo, ubicar y clasificar las singularidades de una curva es una forma de calcular el género, que es un invariante birracional. Para que esto funcione, debemos considerar la curva de forma proyectiva y requerir que F sea algebraicamente cerrado, de modo que se consideren todas las singularidades que pertenecen a la curva.

Clasificación de singularidades

x³= Sí.²

Los puntos singulares incluyen múltiples puntos donde la curva se cruza sobre sí misma, y también varios tipos de cúspide, por ejemplo, la que muestra la curva con la ecuación x³ = y² en (0,0).

Una curva C tiene en la mayoría un número finito de puntos singulares. Si no tiene ninguno, se puede llamar lisa o non-singular. Comúnmente, esta definición se entiende sobre un campo algebraicamente cerrado y para una curva C en un espacio proyector (es decir, completo en el sentido de la geometría algebraica). Por ejemplo, la curva plana de la ecuación $y-x^{3}=0$ es considerado como singular, como tener un punto singular (un cusp) en el infinito.

En el resto de esta sección, se considera una curva plana $C$ definida como el conjunto cero de una bivariada polinomio $f (x, y)$ . Algunos de los resultados, pero no todos, pueden generalizarse a curvas no planas.

Los puntos singulares se clasifican por medio de varios invariantes. La multiplicidad $m$ se define como el entero máximo tal que los derivados de $f$ a todas las órdenes $m - 1$ desaparecer (también el número mínimo de intersección entre la curva y una línea recta a $P$ ). Intuitivamente, un punto singular tiene delta invariante $δ$ si se concentra $δ$ puntos dobles ordinarios en $P$ . Para hacer esto preciso, el proceso de soplado produce los llamados puntos infinitamente cercanos, y summing $m () m -1)/2$ sobre los puntos infinitamente cercanos, donde m es su multiplicidad, produce $δ$ . Para una curva irreducible y reducida y un punto $P$ podemos definir $δ$ algebraicamente como la longitud ${displaystyle {widetilde {mathcal {O}}}_{P}/{mathcal {O}}_{P}}$ Donde $mathcal{O}_P$ es el anillo local P y ${displaystyle {widetilde {mathcal {O}}}_{P}}$ es su cierre integral.

El número de Milnor $μ$ de una singularidad es el grado del mapeo $grado f (x, y) / |grado f (x, y)|$ sobre la pequeña esfera de radio ε, en el sentido del grado topológico de una aplicación continua, donde $grad f$ es el campo vectorial de gradiente (complejo) de f. Está relacionado con δ y r por la fórmula de Milnor-Jung,

μ = 2δ− r + 1.

Aquí, el número de bifurcación r de P es el número de bifurcaciones localmente irreducibles en P. Por ejemplo, r = 1 en una cúspide ordinaria y r = 2 en un punto doble ordinario. La multiplicidad m es al menos r, y que P es singular si y solo si m es al menos 2 Además, δ es al menos m(m-1)/2.

Calcular los invariantes delta de todas las singularidades permite determinar el género g de la curva; si d es el grado, entonces

{displaystyle g={frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-sum _{P}delta _{P},}

donde la suma se toma sobre todos los puntos singulares P de la curva plana proyectiva compleja. Se llama la fórmula del género.

Asigne las invariantes [m, δ, r] a una singularidad, donde m es la multiplicidad, δ es la invariante delta, y r es el número de bifurcación. Entonces una cúspide ordinaria es un punto con invariantes [2,1,1] y un doble punto ordinario es un punto con invariantes [2,1,2], y un El punto múltiplo m ordinario es un punto con invariantes [m, m(m − 1)/2, m].

Ejemplos de curvas

Curvas racionales

Una curva racional, también llamada curva unicursal, es cualquier curva que es birracionalmente equivalente a una línea, que podemos tomar como una línea proyectiva; en consecuencia, podemos identificar el campo de función de la curva con el campo de funciones racionales en una indeterminada F(x). Si F es algebraicamente cerrado, esto es equivalente a una curva de género cero; sin embargo, el campo de todas las funciones algebraicas reales definidas en la variedad algebraica real x² + y² = − 1 es un campo de género cero que no es un campo de función racional.

Concretamente, una curva racional incrustada en un espacio afín de dimensión n sobre F puede parametrizarse (salvo puntos excepcionales aislados) mediante n funciones racionales de un solo parámetro t; al reducir estas funciones racionales al mismo denominador, los polinomios n+1 resultantes definen una parametrización polinomial de la terminación proyectiva de la curva en el espacio proyectivo. Un ejemplo es el curva normal racional, donde todos estos polinomios son monomios.

Cualquier sección cónica definida sobre F con un punto racional en F es una curva racional. Se puede parametrizar trazando una línea con pendiente t a través del punto racional, y una intersección con la curva cuadrática del plano; esto da un polinomio con coeficientes racionales F y una raíz racional F, por lo que la otra raíz es racional F (es decir, pertenece a F) también.

x² + xy + Sí.² = 1

Por ejemplo, considere la elipse x² + xy + y² = 1, donde (−1, 0) es un punto racional. Dibujar una línea con pendiente t desde (−1,0), y = t(x + 1), sustituyéndolo en la ecuación de la elipse, factorizando y resolviendo para x, obtenemos

{displaystyle x={frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}.}

Entonces la ecuación para y es

{displaystyle y=t(x+1)={frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}},,}

que define una parametrización racional de la elipse y, por lo tanto, muestra que la elipse es una curva racional. Se dan todos los puntos de la elipse, excepto (−1,1), que corresponde a t = ∞; toda la curva está parametrizada por lo tanto por la línea proyectiva real.

Tal parametrización racional puede considerarse en el espacio proyectivo igualando las primeras coordenadas proyectivas a los numeradores de la parametrización y la última al denominador común. Como el parámetro se define en una línea proyectiva, los polinomios en el parámetro deben homogeneizarse. Por ejemplo, la parametrización proyectiva de la elipse anterior es

{displaystyle X=U^{2}-T^{2},quad Y=T,(T+2,U),quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.}

Eliminando T y U entre estas ecuaciones obtenemos de nuevo la ecuación proyectiva de la elipse

{displaystyle X^{2}+X,Y+Y^{2}=Z^{2},}

Muchas de las curvas de la lista de curvas de Wikipedia son racionales y, por lo tanto, tienen parametrizaciones racionales similares.

Curvas del plano racional

Las curvas de plano racional son curvas racionales incrustadas en $mathbb {P} ^{2}$ . Dadas las secciones genéricas ${displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}in Gamma (mathbb {P} ^{1},{mathcal {O}}(d))}$ grado $d$ polinomios homogéneos en dos coordenadas, $x,y$ , hay un mapa

{displaystyle s:mathbb {P} ^{1}to mathbb {P} ^{2}}

{displaystyle s([x:y])=[s_{1}([x:y]):s_{2}([x:y]):s_{3}([x:y])]}

d

{displaystyle {mathcal {M}}={overline {mathcal {M}}}_{0,0}(mathbb {P} ^{2},dcdot [H])}

{displaystyle [H]}

d+1

{displaystyle Gamma (mathbb {P} ^{1},{mathcal {O}}(d))}

{displaystyle 3d+3}

mathbb {P} ^{2}

1

{mathcal {M}}

mathbb {P} ^{1}

{mathcal {M}}

{displaystyle 3d+3-1-3=3d-1}

N_{d}

d

{displaystyle 3d-1}

{displaystyle N_{d}=sum _{d_{A}+d_{B}=d}N_{d_{A}}N_{d_{B}}d_{A}^{2}d_{B}left(d_{B}{binom {3d-4}{3d_{A}-2}}-d_{A}{binom {3d-4}{3d_{A}-1}}right)}

{displaystyle N_{1}=N_{2}=1}

Curvas elípticas

Una curva elíptica se puede definir como cualquier curva de género uno con un punto racional: un modelo común es una curva cúbica no singular, que es suficiente para modelar cualquier curva de género uno. En este modelo, el punto distinguido se toma comúnmente como un punto de inflexión en el infinito; esto equivale a requerir que la curva se pueda escribir en forma Tate-Weierstrass, que en su versión proyectiva es

{displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.}

Si la característica del campo es diferente de 2 y 3, entonces un cambio lineal de coordenadas permite poner ${displaystyle a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,}$ que da la forma clásica Weierstrass

{displaystyle y^{2}=x^{3}+px+q.}

Las curvas elípticas llevan la estructura de un grupo abeliano con el punto distinguido como identidad de la ley de grupo. En un modelo cúbico plano, tres puntos suman cero en el grupo si y solo si son colineales. Para una curva elíptica definida sobre los números complejos, el grupo es isomorfo al grupo aditivo del plano complejo módulo de la red de períodos de las funciones elípticas correspondientes.

La intersección de dos superficies cuádricas es, en general, una curva no singular de género uno y grado cuatro y, por lo tanto, una curva elíptica, si tiene un punto racional. En casos especiales, la intersección puede ser un cuartico singular racional o se descompone en curvas de grados menores que no siempre son distintas (ya sea una curva cúbica y una línea, o dos cónicas, o una cónica y dos líneas, o cuatro líneas).

Curvas de género mayor que uno

Las curvas de género superiores a una difieren marcadamente de las curvas racionales y elípticas. Tales curvas definidas sobre los números racionales, por el teorema de Faltings, pueden tener sólo un número finito de puntos racionales, y pueden verse como tener una estructura geometría hiperbólica. Ejemplos son las curvas hiperépticas, la curva cuartic Klein y la curva Fermat $x n + Sí. n = z n$ cuando $n$ es más de tres. También curvas de plano proyectivas en $mathbb {P} ^{2}$ y curvas en ${displaystyle mathbb {P} ^{1}times mathbb {P} ^{1}}$ proporcionar muchos ejemplos útiles.

Curvas del plano proyectivo

Curvas de planos ${displaystyle Csubset mathbb {P} ^{2}}$ grado $k$ , que se puede construir como el lacus de desaparición de una sección genérica ${displaystyle sin Gamma (mathbb {P} ^{2},{mathcal {O}}(k))}$ , tiene género

{displaystyle {frac {(k-1)(k-2)}{2}}}

grado	1	2	3	4	5	6	7
género	0	0	1	3	6	10	15

Por ejemplo, la curva ${displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}}$ define una curva de género $3$ que es suave desde las diferencias ${displaystyle 4x^{3},4y^{3},4z^{3}}$ no tienen ceros comunes con la curva.. Un no-ejemplo de una sección genérica es la curva ${displaystyle x(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$ que, por el teorema de Bezouts, debe interseccionar al máximo $2$ puntos, es la unión de dos curvas racionales ${displaystyle C_{1}cup C_{2}}$ intersección en dos puntos. Nota $C_{1}$ es dado por el locus desaparecido $x$ y $C_{2}$ es dado por el locus desaparecido ${displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ . Estos pueden encontrarse explícitamente: un punto radica en ambos si $x=0$ . Así que las dos soluciones son los puntos ${displaystyle [0:y:z]}$ tales que ${displaystyle y^{2}+z^{2}=0}$ , que son ${displaystyle [0:1:-{sqrt {-1}}]}$ y ${displaystyle [0:1:{sqrt {-1}}]}$ .

Curvas en producto de rectas proyectivas

Curva ${displaystyle Csubset mathbb {P} ^{1}times mathbb {P} ^{1}}$ dado por el lago desaparecido ${displaystyle sin Gamma (mathbb {P} ^{1}times mathbb {P} ^{1},{mathcal {O}}(a,b))}$ , para ${displaystyle a,bgeq 2}$ , dar curvas de género