Cuña esférica

En geometría, una cuña esférica o ungula es una porción de una esfera delimitada por dos semidiscos planos y una lúnula esférica (denominada base de la cuña). El ángulo entre los radios que se encuentran dentro de los semidiscos delimitadores es el diedro α. Si AB es un semidisco que forma una bola al girar completamente sobre el eje z, girar AB solo a través de un α dado produce una cuña esférica con el mismo ángulo α. Beman (2008) señala que «una cuña esférica es a la esfera de la que forma parte como el ángulo de la cuña es a un perigono». ^[A] Una cuña esférica de α = π radianes (180°) se denomina hemisferio, mientras que una cuña esférica de α = π/2 radianes (90°) a veces se denomina semihemisferio (dos octantes); Una cuña esférica de α = 2π radianes (360°) constituye una bola completa.

El volumen de una cuña esférica se puede relacionar intuitivamente con la definición de AB, ya que, mientras que el volumen de una bola de radio r viene dado por ⁠4/3⁠πr³, el volumen de una cuña esférica del mismo radio r viene dado por

${\displaystyle V={\frac {\fnK} {\cdot {\cH00}}\cdot {\cH0}}\cdot {\cH00}\cdot {\cH00}\cdot {4}{3}\pi} r^{3}={\tfrac {2} {3}\alpha r^{3}\,}$

Extrapolando el mismo principio y considerando que el área superficial de una esfera está dada por 4πr², se puede observar que el área superficial de la luna correspondiente a la misma cuña está dada por ^[A]

${\displaystyle A={\frac}{2\pi}\cdot 4\pi} ¿Qué?$

Hart (2009) afirma que el volumen de una cuña esférica es al volumen de la esfera como el número de grados del ángulo de la cuña es a 360°.^[A] Por lo tanto, y mediante la derivación de la fórmula del volumen de la cuña esférica, se puede concluir que, si V_s es el volumen de la esfera y V_w es el volumen de una cuña esférica dada,

${\displaystyle {\frac {\fnMicrom} {\fnK} {\fnK} {\fnK} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}} {\\\fnK}} {\\\fnMicrom}}}}}}}}} {\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\m}}}}}}}} {\m} {\m} {\m}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\m}}} {\\m} {\m} {\m}}}}} {\m} {\m} {\m}}}}}}}}}}}}}}}}} {\m}}}}}}} {\s}}}}}}}}}}}} {\m}}}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} }\,}$

Además, si S_l es el área de la luna de una cuña dada, y S_s es el área de la esfera de la cuña, ^[A]

${\displaystyle {\frac {\fnMicrosoft Sans Serif} }{S_{\mathrm {s} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} }\,}$

• Capa esférica
• Spherical segment
• Ungula

A. ^ A veces se distingue entre los términos "esfera" y "ballo", donde se considera que una esfera es meramente la superficie exterior de una bola sólida. Es común utilizar los términos de manera intercambiable, como hacen los comentarios de Beman (2008) y Hart (2008).