Cuerno de gabriel

Un cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli) es un tipo de figura geométrica que tiene una superficie infinita pero un volumen finito. El nombre hace referencia a la tradición cristiana donde el arcángel Gabriel toca el cuerno para anunciar el Día del Juicio Final. Las propiedades de esta figura fueron estudiadas por primera vez por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII.

Estos coloridos nombres informales y la alusión a la religión aparecieron más tarde. El propio nombre de Torricelli se encuentra en el título en latín de su artículo De solido hyperbolico acuto, escrito en 1643, un sólido hiperbólico agudo truncado, cortado por un plano. El volumen 1, parte 1 de su Opera geometrica publicada al año siguiente incluía ese artículo y un segundo más ortodoxo (por el tiempo) Demostración de Arquímedes de su teorema sobre el volumen de un sólido hiperbólico agudo truncado. Este nombre se usó en diccionarios matemáticos del siglo XVIII, incluidos "Hyperbolicum Acutum" en Harris' 1704 y en el de Stone de 1726, y la traducción al francés Solide Hyperbolique Aigu en d&#39 El de 1751 de Alemberto.

Aunque sus contemporáneos le atribuyen primacía, Torricelli no fue el primero en describir una forma infinitamente larga con un volumen o área finitos. La obra de Nicole Oresme en el siglo XIV había sido olvidada o desconocida para ellos. Oresme había postulado cosas como una forma infinitamente larga construida subdividiendo dos cuadrados de área total finita 2 usando una serie geométrica y reorganizando las partes en una figura, infinitamente larga en una dimensión, que comprende una serie de rectángulos.

Definición matemática

Gabriel 's horn is formed by taking the graph of

Sí.=1x,{displaystyle y={frac {1}{x},}

x≥ ≥ 1{displaystyle xgeq 1}

V=π π ∫ ∫ 1a()1x)2dx=π π ()1− − 1a),{displaystyle V=piint _{1}}left({frac {1}{x}}right)^{2},mathrm {d} x=pi left(1-{frac {1}{a}right),}}}}}derecho),}

2pi int _{1}^{a}{frac {mathrm {d} x}{x}}=2pi cdot left[ln xright]_{1}^{a}=2pi ln a.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A=2π π ∫ ∫ 1a1x1+()− − 1x2)2dx■2π π ∫ ∫ 1adxx=2π π ⋅ ⋅ [In⁡ ⁡ x]1a=2π π In⁡ ⁡ a.{fnMicrosoft} {fnMicroc}}}m}m}sqrt {1+left(-{frac {1}{x} {2}}}}derecha)}m},mhm {d} x 2piint ~ {f}{1}{1} {m} {m} {m}} {m}}}}m}}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m}m} x}{x}=2pi cdot left[ln xright]_{1}^{a}=2pi ln a.}

2pi int _{1}^{a}{frac {mathrm {d} x}{x}}=2pi cdot left[ln xright]_{1}^{a}=2pi ln a.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7d45c36cb6812ca8264839f3d4069d519206f6" style="vertical-align: -3.005ex; width:69.58ex; height:7.676ex;"/>

El valor a puede ser tan grande como sea necesario, pero se puede ver en la ecuación que el volumen de la parte del cuerno entre x = 1 y x = a nunca excederá π; sin embargo, se acerca gradualmente a π a medida que a aumenta. Matemáticamente, el volumen se aproxima a π como a se acerca al infinito. Usando la notación límite del cálculo,

lima→ → JUEGO JUEGO V=lima→ → JUEGO JUEGO π π ()1− − 1a)=π π ⋅ ⋅ lima→ → JUEGO JUEGO ()1− − 1a)=π π .{displaystyle lim _{ainfty }V=lim _{ato infty }pi left(1-{frac {1}{a}}right)=pi cdot lim _{ato infty }left(1-{frac {1} {a}right)=pi}pi.

La fórmula del área de superficie anterior da un límite inferior para el área como 2π veces el logaritmo natural de a. No existe un límite superior para el logaritmo natural de a, como a tiende a infinito. Eso significa, en este caso, que la bocina tiene un área de superficie infinita. Es decir,

lima→ → JUEGO JUEGO A≥ ≥ lima→ → JUEGO JUEGO 2π π In⁡ ⁡ a=JUEGO JUEGO .{displaystyle lim _{ato infty }Ageq lim _{ato infty }2pi ln a=infty.}

In De solido hiperbolico acuto

La prueba no cálculo original de Torricelli usó un objeto, ligeramente diferente al anterior, que fue construido por truncando el sólido hiperbólico agudo con un plano perpendicular al anterior. xeje y extenderlo desde el lado opuesto de ese plano con un cilindro de la misma base. Mientras que el método cálculo procede estableciendo el plano de la truncación en x=1{displaystyle x=1} e integración a lo largo de xaxis, Torricelli procedió calculando el volumen de este sólido compuesto (con el cilindro añadido) resumiendo las superficies de una serie de cilindros rectos concéntricos dentro de él a lo largo de la Sí.axis y mostrando que esto equivalía a resumir áreas dentro de otro sólido cuyo volumen (finito) era conocido.

In modern terminology this solid was created by constructing a surface of revolution of the function (for strictly positive b)

Sí.={}1c,Donde0≤ ≤ x≤ ≤ b,1x,Dondeb≤ ≤ x.{displaystyle quad {}y={begin{cases}{dfrac {1}{c}}, limit {text{where }0leq xleq b,{dfrac {1}}}}}, {text{where }bleq x.end{cases}}}}}}} {displaystyle quad {quad {quad {quad {quad {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {displaystyle quad {displaystyle quad {} {\\\\\\\\\\\\\\quad}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {displaystyledisplaystylec}}} {c} {c} {c}

y el teorema de Torricelli era que su volumen es el mismo que el volumen del cilindro derecho con altura 1/b{displaystyle 1/b} y radio 2{displaystyle {sqrt {2}}:

Teorema. Un sólido hiperbólico agudo, infinitamente largo, cortado por un plano [perpendicular] al eje, junto con el cilindro de la misma base, es igual a ese cilindro derecho de que la base es el versum latus (es decir, el eje) de la hiperbola, y de que la altitud es igual al radio de la base de este cuerpo agudo.

—De solido hyperbolico acuto. Evangelista Torricelli. 1643. Traducido G. Loria y G. Vassura 1919.

Torricelli mostró que el volumen del sólido podría derivarse de las superficies de esta serie de cilindros rectos concéntricos cuyos radios eran 1/b≥ ≥ r≥ ≥ 0{displaystyle 1/bgeq rgeq 0} y alturas h=1/r{displaystyle h=1/r}. Sustituyendo en la fórmula para las superficies de (sólo los lados de) estos cilindros producen una superficie constante para todos los cilindros de 2π π r× × h=2π π r× × 1/r=2π π {displaystyle 2pi rtimes h=2pi rtimes 1/r=2pi}. Este es también el área de un círculo de radio 2,{displaystyle {sqrt {2}} y las superficies anidadas de los cilindros (llenando el volumen del sólido) son así equivalentes a las áreas apiladas de los círculos de radio 2{displaystyle {sqrt {2}} apilado de 0 a 0 1/b{displaystyle 1/b}, y por lo tanto el volumen del cilindro derecho antes mencionado, que se sabe que V=π π r2× × h=π π ()2)2× × 1/b=2π π /b{displaystyle V=pi r^{2}times h=pi ({sqrt {2})^{2}times 1/b=2pi /b}:

Propterea omnes simul superficies cylindricae, hoc est ipsum solidum acutum ebd{displaystyle ebd}, una base de condro fedc{displaystyle fedc}, aequale erit omnibus circulis simul, hoc est cylindro acgh{displaystyle acgh}. Quod erat etc.

(Por tanto, todas las superficies de los cilindros tomadas juntas, es decir, el sólido agudo EBD{displaystyle EBD} es lo mismo que el cilindro de la base FEDC{displaystyle FEDC}, que será igual a todos sus círculos tomados juntos, que es para cilindro ACGH{displaystyle ACGH}.)

—De solido hyperbolico acuto. Evangelista Torricelli. 1643. Traducido por Jacqueline A. Stedall, 2013.

(El volumen del cilindro añadido es por supuesto Vc=π π r2× × h=π π ()1/b)2× × b=π π /b{displaystyle V_{c}=pi r^{2}times h=pi (1/b)^{2}times b=pi /b} y por lo tanto el volumen del sólido hiperbólico agudo truncado solo es Vs=V− − Vc=2π π /b− − π π /b=π π /b{displaystyle V.. Si b=1{displaystyle b=1}, como en la derivación moderna del cálculo, Vs=π π {displaystyle V_{s}=pi}.)

En el Ópera geométrica es una de las dos pruebas del volumen del sólido hiperbólico agudo (truncado). El uso de los indivisibles de Cavalieri en esta prueba fue controvertido en ese momento y el resultado escandaloso (Torricelli más tarde grabando que Gilles de Roberval había intentado refutarlo); por lo tanto, cuando el Ópera geométrica fue publicado, el año después De solido hyperbolico acuto, Torricelli también suministró una segunda prueba basada en principios ortodoxos arquímicos que muestran que el cilindro correcto (altura) 1/b{displaystyle 1/b} radio 2{displaystyle {sqrt {2}}) era tanto superior como inferior para el volumen. Irónicamente, este fue un eco de la propia precaución de Arquímedes al suministrar dos pruebas, mecánicas y geométricas, en su Quadrature of the Parabola a Dositheus.

Paradoja aparente

Cuando se descubrieron las propiedades del cuerno de Gabriel, el hecho de que la rotación de una sección infinitamente grande del xy plano sobre el eje x genera un objeto de volumen finito se consideró una paradoja. Mientras que la sección que se encuentra en el plano xy tiene un área infinita, cualquier otra sección paralela a ella tiene un área finita. Así, el volumen, calculado a partir de la "suma ponderada" de secciones, es finito.

Otro enfoque es tratar el sólido como una pila de discos con radios decrecientes. La suma de los radios produce una serie armónica que tiende al infinito. Sin embargo, el cálculo correcto es la suma de sus cuadrados. Cada disco tiene un radio r = 1/x y un área πr² o π/x². La serie 1/x diverge, pero la serie 1/x ² converge. En general, para cualquier ε > 0, la serie 1/x^1+ε converge. (ver Valores particulares de la función zeta de Riemann para más detalles sobre este resultado)

La aparente paradoja formaba parte de una disputa sobre la naturaleza del infinito que involucraba a muchos de los pensadores clave de la época, incluidos Thomas Hobbes, John Wallis y Galileo Galilei.

Hay un fenómeno similar que se aplica a longitudes y áreas en el plano. El área entre las curvas 1/x² y −1/ x² de 1 a infinito es finito, pero las longitudes de las dos curvas son claramente infinitas.

En la conferencia 16 de sus Lectiones de 1666, Isaac Barrow sostuvo que el teorema de Torricelli había restringido El dictamen general de Aristóteles (del De Caelo libro 1, parte 6) de que "no hay proporción entre lo finito y lo infinito". El mismo Aristóteles, estrictamente hablando, había defendido la imposibilidad de la existencia física de un cuerpo infinito en lugar de defender su imposibilidad como abstracto geométrico. Barrow había estado adoptando la visión contemporánea del siglo XVII de que el dicho de Aristóteles y otros axiomas geométricos eran (como había dicho en la conferencia 7) de "una ciencia superior y universal", que sustentaba tanto las matemáticas como la física.. Así, la demostración de Torricelli de un objeto con una relación entre un (volumen) finito y un (área) infinito contradecía este dicho, al menos en parte. La explicación de Barrow fue que el dictamen de Aristóteles seguía siendo válido, pero solo de forma más limitada cuando se comparaban cosas del mismo tipo, longitud con longitud, área con área, volumen con volumen, etc. No se sostenía al comparar cosas de dos géneros diferentes (área con volumen, por ejemplo) y, por lo tanto, un área infinita podría conectarse a un volumen finito.

Otros utilizaron el teorema de Torricelli para reforzar sus propias afirmaciones filosóficas, sin relación con las matemáticas desde un punto de vista moderno. Ignace-Gaston Pardies en 1671 usó el sólido hiperbólico agudo para argumentar que los humanos finitos podían comprender el infinito, y procedió a ofrecerlo como prueba de la existencia de Dios y las almas inmateriales. Dado que la materia finita no podía comprender el infinito, argumentó Pardies, el hecho de que los humanos pudieran comprender esta prueba mostraba que los humanos deben ser más que materia y tener almas inmateriales. En contraste, Antoine Arnauld argumentó que debido a que los humanos percibieron una paradoja aquí, el pensamiento humano estaba limitado en lo que podía comprender y, por lo tanto, no está a la altura de la tarea de refutar las verdades divinas y religiosas.

Hobbes' y Wallis' la disputa estaba en realidad dentro del ámbito de las matemáticas: Wallis abrazó con entusiasmo los nuevos conceptos de infinito e indivisibles, procedió a sacar conclusiones adicionales basadas en el trabajo de Torricelli y extenderlo para emplear la aritmética en lugar de los argumentos geométricos de Torricelli; y Hobbes afirmando que dado que las matemáticas se derivan de las percepciones del mundo real de las cosas finitas, "infinito" en matemáticas sólo puede significar "indefinido". Esto condujo a cartas fuertemente redactadas por cada uno a la Royal Society y en Transacciones filosóficas , Hobbes recurrió a insultar a Wallis "loco" en un punto. En 1672, Hobbes trató de reformular el teorema de Torricelli como un sólido finito que se extendía indefinidamente, en un intento de aferrarse a su afirmación de que &# 34;luz natural" (es decir, el sentido común) nos dijo que una cosa infinitamente larga debe tener un volumen infinito. Esto alineado con Hobbes' otras afirmaciones de que el uso de la idea de una línea de ancho cero en geometría era erróneo y que la idea de indivisibles de Cavalieri estaba mal fundada. Wallis argumentó que existían formas geométricas con área/volumen finito pero sin centro de gravedad basado en Torricelli, afirmando que comprender esto requería un mayor dominio de la geometría y la lógica "que M. Hobs [sic] es Maestro de". También reestructuró los argumentos en términos aritméticos como sumas de progresiones aritméticas, secuencias de infinitesimales aritméticos en lugar de secuencias de indivisibles geométricos.

Oresme ya había demostrado que una forma infinitamente larga puede tener un área finita donde, como una dimensión tiende hacia infinitamente grande, otra dimensión tiende hacia infinitamente pequeña. En las propias palabras de Barrow "la disminución infinita de una dimensión compensa el aumento infinito de la otra", en el caso del sólido hiperbólico agudo por la ecuación del hiperbola Apolonio xSí.=1{textstyle xy=1}.

Painter 's paradox

Dado que el cuerno tiene un volumen finito pero un área de superficie infinita, existe una aparente paradoja de que el cuerno podría llenarse con una cantidad finita de pintura y, sin embargo, esa pintura no sería suficiente para cubrir su superficie. Sin embargo, esta paradoja es de nuevo solo una aparente paradoja causada por una definición incompleta de "pintura", o por el uso de definiciones contradictorias de pintura para las acciones de relleno y pintura.

Uno podría estar postulando un "matemático" pintura que es infinitamente divisible (o infinitamente diluible, o simplemente de ancho cero como las líneas geométricas de ancho cero con las que Hobbes se opuso) y capaz de viajar a una velocidad infinita, o una pintura "física" pintar con las propiedades de la pintura en el mundo real. Con cualquiera de los dos, la aparente paradoja se desvanece:

Con "matemáticas" pintura, no se sigue en primer lugar que un área de superficie infinita requiera un volumen infinito de pintura, ya que el área de superficie infinita por la pintura de espesor cero es indeterminado.

Con la pintura física, pintar el exterior del sólido requeriría una cantidad infinita de pintura porque la pintura física tiene un grosor distinto de cero. El teorema de Torricelli no habla de una capa de ancho finito en el exterior del sólido, que de hecho tendría un volumen infinito. Por lo tanto, no hay contradicción entre un volumen infinito de pintura y una superficie infinita a cubrir. También es imposible pintar el interior del sólido, el volumen finito del teorema de Torricelli, con pintura física, por lo que no existe contradicción. Esto se debe a que la pintura física solo puede llenar una aproximación del volumen del sólido. Las moléculas no ocupan completamente el espacio tridimensional y dejan huecos, y hay un punto donde la "garganta" del sólido se vuelve demasiado estrecho para que las moléculas de pintura fluyan hacia abajo.

La pintura física viaja a una velocidad limitada y tardaría una cantidad infinita de tiempo en fluir hacia abajo. Esto también se aplica a las "matemáticas" pintura de espesor cero si no se postula adicionalmente que fluye a una velocidad infinita.

Otros postulados diferentes de pintura "mathematical", como pintura de velocidad infinita que se vuelve más delgada a un ritmo suficientemente rápido, eliminar la paradoja también. Para volumen π π {displaystyle pi} de pintura, como la superficie a cubrir A tiende hacia el infinito, el espesor de la pintura π π /A{displaystyle pi /A} tiende hacia cero. Al igual que con el sólido mismo, el aumento infinito de la superficie a pintar en una dimensión se compensa por la disminución infinita de otra dimensión, el espesor de la pintura.

Conversar

The converse of Torricelli 's acute hyperbolic solid is a surface of revolution that has a finite surface area but an infinite volume.

En respuesta al teorema de Torricelli, después de aprenderlo de Marin Mersenne, Christiaan Huygens y René-François de Sluse se escribieron cartas sobre la extensión del teorema a otros sólidos de revolución infinitamente largos; que han sido erróneamente identificados como encontrar tal contrario.

Jan A. van Maanen, profesor de matemáticas en la Universidad de Utrecht, informó en la década de 1990 que una vez se equivocó en una conferencia en Kristiansand que de Sluse le escribió a Huygens en 1658 que había encontrado tal forma:

evi opera dedicator meansura vasculie, pondere non magni, quod interim helluo nullus ebibat

(Yo doy las medidas de un vaso de bebida (o jarrón), que tiene un peso pequeño, pero que incluso el bebedor más duro no podía vaciar).

—de Sluse en una carta a Huygens, traducción Jan A. van Maanen

que me digan en respuesta (por Tony Gardiner y Man-Keung Siu de la Universidad de Hong Kong) que cualquier superficie de rotación con un área de superficie finita tendría necesariamente un volumen finito.

El profesor van Maanen se dio cuenta de que se trataba de una mala interpretación de la carta de de Sluse, y que lo que de Sluse realmente estaba informando era que la "copa" formada por la rotación de la cisoide de Diocles y su asíntota sobre el eje y, tenía un volumen finito (y, por lo tanto, "pequeño peso") y encerraba una cavidad de volumen infinito.

Huygens demostró por primera vez que el área de la forma bidimensional rotada (entre la cisoide y su asíntota) era finita, calculando su área en 3 veces el área del círculo generador de la cisoide, y de Sluse aplicó Pappus&# 39; s teorema del centroide para mostrar que el sólido de revolución por lo tanto tiene un volumen finito, siendo un producto de esa área finita y la órbita de rotación finita. El área que se está rotando es finita; de Sluse en realidad no dijo nada sobre el área superficial del volumen rotado resultante.

Tal contrario no puede ocurrir (suponiendo geometría euclidiana) cuando se gira una función continua en un conjunto cerrado.

Teorema

Sea f: [1, ∞) → [0, ∞) una función continuamente diferenciable. Escribe S para el sólido de revolución del gráfico y = f(x) sobre el eje x. Si el área de superficie de S es finita, entonces también lo es el volumen.

Prueba

Como la superficie lateral A es finita, el límite superior:

M=Sup{}f()x)▪ ▪ x≥ ≥ 1}{displaystyle M=sup{f(x)mid xgeq 1}}

V=∫ ∫ 1JUEGO JUEGO f()x)⋅ ⋅ π π f()x)dx≤ ≤ ∫ ∫ 1JUEGO JUEGO M2⋅ ⋅ 2π π f()x)dx≤ ≤ M2⋅ ⋅ ∫ ∫ 1JUEGO JUEGO 2π π f()x)1+f.()x)2dx=M2⋅ ⋅ A.{displaystyle {begin{aligned}V=int _{1}{infty }f(x)cdot f(x),mathrm {d} x\\leqint _{1}infty }{frac {M}{2}}cdot 2pi f(x) ################################################################################################################################################################################################################################################################