Cubo (álgebra)

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Número elevado al tercer poder

$Sí. = x 3$ para valores $1 \leq x \leq 25$ .

En aritmética y álgebra, el cubo de un número $n$ es su tercera potencia, es decir es, el resultado de multiplicar tres instancias de $n$ juntas. El cubo de un número o cualquier otra expresión matemática se denota con un superíndice 3, por ejemplo 2³ = 8 o $(x + 1) 3$ .

El cubo es también el número multiplicado por su cuadrado:

n 3 = n \times n 2 = n \times n \times n

La función cubo es la función $x \mapsto x 3$ (a menudo denominado $y = x 3$ ) que asigna un número a su cubo. Es una función extraña, ya que

() - n) 3 = - n 3)

El volumen de un cubo geométrico es el cubo de la longitud de su lado, de ahí el nombre. La operación inversa que consiste en encontrar un número cuyo cubo es $n$ se llama extraer la raíz cúbica de $n$ . Determina el lado del cubo de un volumen dado. También está $n$ elevado a un tercio de potencia.

La gráfica de la función cúbica se conoce como parábola cúbica. Como la función del cubo es una función impar, esta curva tiene un centro de simetría en el origen, pero no un eje de simetría.

En números enteros

Un número cúbico, o un cubo perfecto, o a veces simplemente un cubo, es un número que es el cubo de un número entero. Los cubos perfectos no negativos hasta 60³ son (secuencia A000578 en el OEIS):

0³ =	0
1³ =	1	11³ =	1331	21³ =	9261	31³ =	29.791	41³ =	68.921	51³ =	132.651
2³ =	8	12³ =	1728	22³ =	10.648	32³ =	32.768	42³ =	74.088	52³ =	140.608
3³ =	27	13³ =	2197	23³ =	12.167	33³ =	35.937	43³ =	79.507	53³ =	148.877
4³ =	64	14³ =	2744	24³ =	13,824	34³ =	39.304	44³ =	85,184	54³ =	157.464
5³ =	125	15³ =	3375	25³ =	15.625	35³ =	42.875	45³ =	91.125	55³ =	166.375
6³ =	216	16³ =	4096	26³ =	17.576	36³ =	46.656	46³ =	97.336	56³ =	175.616
7³ =	343	17³ =	4913	27³ =	19,683	37³ =	50.653	47³ =	103.823	57³ =	185.193
8³ =	512	18³ =	5832	28³ =	21,952	38³ =	54.872	48³ =	110.592	58³ =	195.112
9³ =	729	19³ =	6859	29³ =	24.389	39³ =	59.319	49³ =	117.649	59³ =	205,379
10³ =	1000	20³ =	8000	30³ =	27.000	40³ =	64.000	50³ =	125.000	60³ =	216.000

Geométricamente hablando, un entero positivo $m$ es un cubo perfecto si y sólo si se pueden organizar $m$ cubos de unidades sólidas en un cubo sólido más grande. Por ejemplo, se pueden organizar 27 cubos pequeños en uno más grande con la apariencia de un cubo de Rubik, ya que 3 × 3 × 3 = 27.

La diferencia entre los cubos de números enteros consecutivos se puede expresar de la siguiente manera:

n 3 - n -1) 3 = 3(n -1) n + 1

() n + 1) 3 - n 3 = 3(n + 1) n + 1

No existe un cubo mínimo perfecto, ya que el cubo de un entero negativo es negativo. Por ejemplo, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Base diez

A diferencia de los cuadrados perfectos, los cubos perfectos no tienen un número pequeño de posibilidades para los dos últimos dígitos. Excepto en el caso de los cubos divisibles por 5, donde sólo 25, 75 y 00 pueden ser los dos últimos dígitos, cualquier Un par de dígitos con el último dígito impar pueden aparecer como los últimos dígitos de un cubo perfecto. Con cubos pares, existe una restricción considerable, pues sólo 00, $o$ 2, $e$ 4, $o$ 6 y $e$ 8 pueden ser los dos últimos dígitos de un cubo perfecto (donde $o$ representa cualquier dígito impar y $e$ cualquier dígito par). Algunos números cúbicos también son números cuadrados; por ejemplo, 64 es un número cuadrado (8 × 8) y un número cúbico (4 × 4 × 4). Esto sucede si y sólo si el número es una sexta potencia perfecta (en este caso 2⁶).

Los últimos dígitos de cada 3ª potencia son:

Sin embargo, es fácil demostrar que la mayoría de los números no son cubos perfectos porque todos los cubos perfectos deben tener raíz digital 1, 8. o 9. Es decir, sus valores módulo 9 pueden ser solo 0, 1 y 8. Además, la raíz digital de cualquier número puede determinarse por el resto que da el número cuando se divide por 3:

Si el número x es divisible por 3, su cubo tiene raíz digital 9; es decir,
${displaystyle {text{if}}quad xequiv 0{pmod {3}}quad {text{then}}quad x^{3}equiv 0{pmod {9}}{text{ (actually}}quad 0{pmod {27}}{text{)}};}$
Si tiene un resto de 1 cuando se divide por 3, su cubo tiene raíz digital 1; es decir,
${displaystyle {text{if}}quad xequiv 1{pmod {3}}quad {text{then}}quad x^{3}equiv 1{pmod {9}};}$
Si tiene un resto de 2 cuando se divide por 3, su cubo tiene raíz digital 8; es decir,
${displaystyle {text{if}}quad xequiv 2{pmod {3}}quad {text{then}}quad x^{3}equiv 8{pmod {9}}.}$

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Waring 's problem for cubes

Cada número entero positivo se puede escribir como la suma de nueve (o menos) cubos positivos. Este límite superior de nueve cubos no se puede reducir porque, por ejemplo, 23 no se puede escribir como la suma de menos de nueve cubos positivos:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Sumas de tres cubos

Se conjetura que cada entero (positivo o negativo) no congruente con $\pm4$ modulo $9$ se puede escribir como una suma de tres cubos (positivos o negativos) con infinitamente muchas maneras. Por ejemplo, ${displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}}$ . Integers congruentes con $\pm4$ modulo $9$ son excluidos porque no pueden ser escritos como la suma de tres cubos.

El entero más pequeño del que no se conoce dicha suma es 114. En septiembre de 2019, se descubrió que el entero más pequeño anterior sin suma conocida de 3 cubos, 42, satisfacía esta ecuación:

{displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}

Una solución ${displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ se da en el cuadro que figura a continuación $n \leq 78$ , y $n$ no congruente con $4$ o $5$ modulo $9$ . La solución seleccionada es la que es primitiva ( $gcd(x, Sí., z) = 1$ ), no es de la forma ${displaystyle c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}}$ o ${displaystyle (n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}}$ (ya que son familias infinitas de soluciones), satisfios $0 \leq latitud x Ø \leq latitud Sí. Ø \leq latitud z Silencio$ , y tiene valores mínimos para $Silencio z Silencio$ y $Silencio Sí. Silencio$ (probada en este orden).

Sólo se seleccionan soluciones primitivas ya que las no primitivas pueden deducirse trivialmente de soluciones para un valor menor $n$ . Por ejemplo, $n = 24$ , la solución ${displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}=24}$ resultados de la solución ${displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$ multiplicando todo por ${displaystyle 8=2^{3}.}$ Por lo tanto, esta es otra solución que se selecciona. Del mismo modo, $n = 48$ , la solución $() x, Sí., z) = (-2, -2, 4)$ está excluida, y esta es la solución $() x, Sí., z) = (-23, -26, 31)$ que se selecciona.

Soluciones primitivas para n de 1 a 78
n	x	Sí.	z	n	x	Sí.	z
1	9	10	−12	39	117367	134476	−159380
2	1214928	3480205	−3528875	42	12602123297335631	80435758145817515	−80538738812075974
3	1	1	1	43	2	2	3
6	−1	−1	2	44	; 5 -	−7	8
7	0	−1	2	45	2	−3	4
8	9	15	−16	46	−2	3	3
9	0	1	2	47	6	7	−8
10	1	1	2	48	,23 a 23	−26	31
11	−2	−2	3	51	602	659	−796
12	7	10	−11 -	52	23961292454	60702901317	−61−922712865
15	−1	2	2	53	−1	3	3
16	,5 a 11	−1609	1626	54	−7	−11 -	12
17	1	2	2	55	1	3	3
18	−1	−2	3	56	−11 -	,21 - 21	22
19	0	−2	3	57	1	−2	4
20	1	−2	3	60	−1	−4	5
21	−11 -	−14	16	61	0	−4	5
24	−2901096694	−15550555555	15584139827	62	2	3	3
25	−1	−1	3	63	0	−1	4
26	0	−1	3	64	−3	; 5 -	6
27	−4	; 5 -	6	65	0	1	4
28	0	1	3	66	1	1	4
29	1	1	3	69	2	−4	5
30	−283059965	−2218888517	2220422932	70	11	20	,21 - 21
33	−2736111468807040	−8778405442862239	8866128975287528	71	−1	2	4
34	−1	2	3	72	7	9	−10
35	0	2	3	73	1	2	4
36	1	2	3	74	66229832190556	283450105697727	−284650292555885
37	0	−3	4	75	4381159	435203083	−435203231
38	1	−3	4	78	26	53	,55 - 55

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Fermata#39;s Last Theorem for cubes

La ecuación $x 3 + y 3 = z 3$ no tiene soluciones no triviales (es decir, $xyz \neq 0$ ) en números enteros. De hecho, no tiene ninguno en los números enteros de Eisenstein.

Ambas afirmaciones también son válidas para la ecuación $x 3 + y 3 = 3 z 3$ .

Suma de los primeros n cubos

La suma de los primeros $n$ cubos es el $n$ ésimo número de triángulo al cuadrado:

1^{3}+2^{3}+dots +n^{3}=(1+2+dots +n)^{2}=left({frac {n(n+1)}{2}}right)^{2}.

Pruebas. Charles Wheatstone (1854) ofrece una derivación particularmente simple, expandiendo cada cubo de la suma en un conjunto de números impares consecutivos. Comienza dando la identidad.

{displaystyle n^{3}=underbrace {left(n^{2}-n+1right)+left(n^{2}-n+1+2right)+left(n^{2}-n+1+4right)+cdots +left(n^{2}+n-1right)} _{n{text{ consecutive odd numbers}}}.}

Esa identidad está relacionada con los números triangulares $T_{n}$ de la siguiente manera:

{displaystyle n^{3}=sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}

y por lo tanto los sumos formando $n^{3}$ comienza justo después de que los que forman todos los valores anteriores ${displaystyle 1^{3}}$ hasta ${displaystyle (n-1)^{3}}$ . Aplicar esta propiedad, junto con otra identidad conocida:

{displaystyle n^{2}=sum _{k=1}^{n}(2k-1),}

obtenemos la siguiente derivación:

{displaystyle {begin{aligned}sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+cdots +n^{3}\&=underbrace {1} _{1^{3}}+underbrace {3+5} _{2^{3}}+underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+cdots +underbrace {left(n^{2}-n+1right)+cdots +left(n^{2}+n-1right)} _{n^{3}}\&=underbrace {underbrace {underbrace {underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+cdots +left(n^{2}+n-1right)} _{left({frac {n^{2}+n}{2}}right)^{2}}\&=(1+2+cdots +n)^{2}\&={bigg (}sum _{k=1}^{n}k{bigg)}^{2}.end{aligned}}}

En la literatura matemática más reciente, Stein (1971) utiliza la interpretación del conteo de rectángulos de estos números para formar una prueba geométrica de la identidad (ver también Benjamin, Quinn y Wurtz 2006); observa que también puede demostrarse fácilmente (pero sin proporcionar información) por inducción, y afirma que Toeplitz (1963) proporciona "una interesante prueba árabe antigua". Kanim (2004) proporciona una prueba puramente visual, Benjamin & Orrison (2002) proporciona dos pruebas adicionales y Nelsen (1993) ofrece siete pruebas geométricas.

Por ejemplo, la suma de los primeros 5 cubos es el cuadrado del quinto número triangular,

{displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}}

Did you mean:

A similar result can be given for the sum of the first y odd cubes,

1^{3}+3^{3}+dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

pero $x$ , $y$ debe satisfacer la ecuación negativa de Pell $x 2 - 2 y 2 = -1. Por ejemplo, para y = 5 y 29, entonces,$

{displaystyle 1^{3}+3^{3}+dots +9^{3}=(7cdot 5)^{2}}

1^{3}+3^{3}+dots +57^{3}=(41cdot 29)^{2}

Did you mean:

and so on. Also, every even perfect number, except the lowest, is the sum of the first 2p−1/2 odd cubes (p = 3, 5, 7,...):

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}

496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}

Suma de cubos de números en progresión aritmética

Hay ejemplos de cubos de números en progresión aritmética cuya suma es un cubo:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}

El primero de ellos a veces se identifica como el misterioso número de Platón. La fórmula $F$ para encontrar la suma de $norte$ cubos de números en progresión aritmética con diferencia común $d$ y cubo inicial $a 3$ ,

F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+cdots +(a+dn-d)^{3}

está dado por

F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})

Una solución paramétrica a

F(d,a,n)=y^{3}

es conocido por el caso especial de $d = 1$ , o cubos consecutivos, pero sólo se conocen soluciones esporádicas para el número entero $d > 1$ , como $d$ = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39, etc..

Did you mean:

Cubes as sum of successive odd integers

En la secuencia de números enteros impares 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,..., el primer uno es un cubo (1 = 1³); la suma de los siguientes dos es el siguiente cubo (3 + 5 = 2³); la suma de los siguientes tres es el siguiente cubo (7 + 9 + 11 = 3³); Etcétera.

En números racionales

Todo número racional positivo es la suma de tres cubos racionales positivos, y hay racionales que no son la suma de dos cubos racionales.

En números reales, otros campos y anillos

En números reales, la función del cubo preserva el orden: los números más grandes tienen cubos más grandes. En otras palabras, los cubos aumentan (estrictamente) monótonamente. Además, su codominio es toda la línea real: la función $x \mapsto x 3 : R \to R$ es una sobreyección (toma todos los valores posibles). Sólo tres números son iguales a sus propios cubos: −1, 0 y 1. Si $-1 < x < 0$ o $1 < x$ , luego $x 3 > x$ . Si $x < -1$ o $0 < x < 1$ , luego $x 3 < x$ . Todas las propiedades antes mencionadas pertenecen también a cualquier potencia impar superior ( $x 5$ , $x 7$ ,...) de números reales. Las igualdades y desigualdades también son ciertas en cualquier anillo ordenado.

Los volúmenes de sólidos euclidianos similares se relacionan como cubos de sus tamaños lineales.

Did you mean:

In complex numbers, the cube of a purely imaginary number is also purely imaginary. For example, isup>3 = −i.

Did you mean:

The derivative of x³ equals 3x².

Los cubos ocasionalmente tienen la propiedad sobreyectiva en otros campos, como en $Fp$ para tales primos $p$ que $p \neq 1 (mod 3)$ , pero no necesariamente: vea el contraejemplo con racionales arriba. También en $F 7$ solo tres elementos 0, ±1 son cubos perfectos, de siete en total. −1, 0 y 1 son cubos perfectos en cualquier lugar y los únicos elementos de un campo iguales a los propios cubos: $x 3 - x = x(x - 1)(x + 1)$ .

Historia

La determinación de los cubos de grandes números era muy común en muchas civilizaciones antiguas. Los matemáticos mesopotámicos crearon tablillas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas en el período de la antigua Babilonia (siglos XX al XVI a. C.). Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por el antiguo matemático griego Diofanto. Héroe de Alejandría ideó un método para calcular raíces cúbicas en el siglo I d.C. Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas y extraer raíces cúbicas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático, un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a.C. y comentado por Liu Hui en el siglo III d.C.

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