Cuatro impulsos

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4D energía relativista e impulso

En relatividad especial, el cuatrimomento (también llamado momento-energía o momenergía) es la generalización del momento tridimensional clásico al espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Momentum es un vector en tres dimensiones; de manera similar, el cuatro impulso es un cuatro vector en el espacio-tiempo. La contravariante de cuatro impulsos de una partícula con energía relativista $E$ y tres impulsos $p = (p x, p y, p z) = γm v$ , donde $v$ es la velocidad triple de la partícula y $γ$ el factor de Lorentz, es

{displaystyle p=left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}right)=left({frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}right).}

La cantidad $m v$ de arriba es el momento ordinario no relativista de la partícula y $m$ su masa en reposo. El cuatro impulso es útil en los cálculos relativistas porque es un vector covariante de Lorentz. Esto significa que es fácil hacer un seguimiento de cómo se transforma bajo las transformaciones de Lorentz.

La definición anterior se aplica bajo la convención de coordenadas que $x 0 = ct$ . Algunos autores usan la convención $x 0 = t$ , que produce una definición modificada con p⁰ = E/c². También es posible definir cuatro impulsos covariantes $p μ$ donde el signo de la la energía (o el signo de los tres impulsos, según la firma métrica elegida) se invierte.

Norma de Minkowski

Calcular la norma de Minkowski al cuadrado de los cuatro impulsos da una cantidad invariante de Lorentz igual (hasta factores de la velocidad de la luz $c$ ) a el cuadrado de la masa propia de la partícula:

{displaystyle pcdot p=eta _{mu nu }p^{mu }p^{nu }=p_{nu }p^{nu }=-{E^{2} over c^{2}}+|mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}

{displaystyle eta _{mu nu }={begin{pmatrix}-1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&1end{pmatrix}}}

(-1, 1, 1)

La norma de Minkowski es invariante de Lorentz, lo que significa que su valor no cambia con las transformaciones/impulsos de Lorentz en diferentes marcos de referencia. De manera más general, para dos cuatro momentos $p$ y $q$ , la cantidad $p \cdot q$ es invariable.

Relación con cuatro velocidades

Para una partícula masiva, el cuatro impulso viene dado por la masa invariable de la partícula $m$ multiplicada por la partículas de cuatro velocidades,

{displaystyle p^{mu }=mu^{mu },}

u

{displaystyle u=left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}right)=gamma _{v}left(c,v_{x},v_{y},v_{z}right),}

{displaystyle gamma _{v}={frac {1}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

v

c

Derivación

Hay varias formas de llegar a la expresión correcta para cuatro impulsos. Una forma es definir primero las cuatro velocidades $u = dx / dτ$ y simplemente defina $p = mu$ , contentándose con que sea un cuatro vector con las unidades correctas y el comportamiento correcto. Otro enfoque, más satisfactorio, es comenzar con el principio de acción mínima y usar el marco de Lagrange para derivar el impulso de cuatro, incluida la expresión de la energía. Uno puede de inmediato, usando las observaciones que se detallan a continuación, definir cuatro impulsos a partir de la acción $S$ . Dado que en general para un sistema cerrado con coordenadas generalizadas $q i$ y momentos canónicos p_i,

{displaystyle p_{i}={frac {partial S}{partial q_{i}}}={frac {partial S}{partial x_{i}}},quad E=-{frac {partial S}{partial t}}=-ccdot {frac {partial S}{partial x_{0}}},}

x 0 = ct

x 1 = x

x 2 = Sí.

x 3 = z

x 0 = x 0

x 1 = x 1

x 2 = x 2

x 3 = x 3

{displaystyle p_{mu }=-{frac {partial S}{partial x^{mu }}}=left({E over c},-mathbf {p} right)}

Observaciones

Considerar inicialmente un sistema de un grado de libertad $q$ . En la derivación de las ecuaciones de movimiento de la acción utilizando el principio de Hamilton, se encuentra (generalmente) en una etapa intermedia para la variación de la acción,

{displaystyle delta S=left.left[{frac {partial L}{partial {dot {q}}}}delta qright]right|_{t_{1}}^{t_{2}}+int _{t_{1}}^{t_{2}}left({frac {partial L}{partial q}}-{frac {d}{dt}}{frac {partial L}{partial {dot {q}}}}right)delta qdt.}

La suposición es entonces que los caminos variados satisfacen $δq () t 1) δq () t 2) = 0$ , de la cual las ecuaciones de Lagrange siguen a la vez. Cuando se conocen las ecuaciones de movimiento (o simplemente se supone que están satisfechas), se puede dejar ir del requisito $δq () t 2) = 0$ . En este caso el camino es asumido para satisfacer las ecuaciones del movimiento, y la acción es una función del límite de integración superior $δq () t 2)$ , pero $t 2$ sigue fijo. La ecuación anterior se convierte con $S = S () q)$ , y definición $δq () t 2) δq$ , y dejar entrar más grados de libertad,

{displaystyle delta S=sum _{i}{frac {partial L}{partial {dot {q}}_{i}}}delta q_{i}=sum _{i}p_{i}delta q_{i}.}

Observando que

{displaystyle delta S=sum _{i}{frac {partial S}{partial {q}_{i}}}delta q_{i},}

uno concluye

{displaystyle p_{i}={frac {partial S}{partial q_{i}}}.}

De una manera similar, mantener los puntos finales fijos, pero dejar $t 2 = t$ varían. Esta vez, se permite que el sistema se mueva a través del espacio de configuración a "velocidad arbitraria" o con "más o menos energía", las ecuaciones de campo que aún se supone que sostienen y la variación se pueden llevar a cabo en la parte integral, pero en cambio observan

{displaystyle {frac {dS}{dt}}=L}

por el teorema fundamental del cálculo. Computar usando la expresión anterior para momenta canónica,

{displaystyle {frac {dS}{dt}}={frac {partial S}{partial t}}+sum _{i}{frac {partial S}{partial q_{i}}}{dot {q}}_{i}={frac {partial S}{partial t}}+sum _{i}p_{i}{dot {q}}_{i}=L.}

Ahora usa

{displaystyle H=sum _{i}p_{i}{dot {q}}_{i}-L,}

Donde

H

es el Hamiltonian, conduce a,

E = H

en el presente caso,

{displaystyle E=H=-{frac {partial S}{partial t}}.}

Por cierto, usando $H = H () q, p, t)$ con $p = \partial S / \partial q$ en la ecuación anterior produce las ecuaciones Hamilton-Jacobi. En este contexto, $S$ se llama la función principal de Hamilton.

La acción $S$ viene dada por

{displaystyle S=-mcint ds=int Ldt,quad L=-mc^{2}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}

L

brillando sobre estos detalles,

La variación de la acción es

{displaystyle delta S=-mcint delta ds.}

Para calcular $δds$ , observe primero que $δds 2 = 2 dsδds$ y eso

{displaystyle delta ds^{2}=delta eta _{mu nu }dx^{mu }dx^{nu }=eta _{mu nu }left(delta left(dx^{mu }right)dx^{nu }+dx^{mu }delta left(dx^{nu }right)right)=2eta _{mu nu }delta left(dx^{mu }right)dx^{nu }.}

Así que...

{displaystyle delta ds=eta _{mu nu }delta dx^{mu }{frac {dx^{nu }}{ds}}=eta _{mu nu }ddelta x^{mu }{frac {dx^{nu }}{ds}},}

{displaystyle delta ds=eta _{mu nu }{frac {ddelta x^{mu }}{dtau }}{frac {dx^{nu }}{cdtau }}dtau}

y así

{displaystyle delta S=-mint eta _{mu nu }{frac {ddelta x^{mu }}{dtau }}{frac {dx^{nu }}{dtau }}dtau =-mint eta _{mu nu }{frac {ddelta x^{mu }}{dtau }}u^{nu }dtau =-mint eta _{mu nu }left[{frac {d}{dtau }}left(delta x^{mu }u^{nu }right)-delta x^{mu }{frac {d}{dtau }}u^{nu }right]dtau }

que es justo

{displaystyle delta S=left[-mu_{mu }delta x^{mu }right]_{t_{1}}^{t_{2}}+mint _{t_{1}}^{t_{2}}delta x^{mu }{frac {du_{mu }}{ds}}ds}

{displaystyle delta S=left[-mu_{mu }delta x^{mu }right]_{t_{1}}^{t_{2}}+mint _{t_{1}}^{t_{2}}delta x^{mu }{frac {du_{mu }}{ds}}ds=-mu_{mu }delta x^{mu }={frac {partial S}{partial x^{mu }}}delta x^{mu }=-p_{mu }delta x^{mu },}

donde el segundo paso emplea las ecuaciones de campo $du μ / ds = 0$ , $(δx μ) t 1 = 0$ , y $(δx μ) t 2 \equiv δx μ$ como en las observaciones anteriores. Ahora compare las últimas tres expresiones para encontrar

{displaystyle p^{mu }=-partial ^{mu }[S]=-{frac {partial S}{partial x_{mu }}}=mu^{mu }=mleft({frac {c}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{frac {v_{x}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{frac {v_{y}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{frac {v_{z}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}right),}

- m 2 c 2

${displaystyle E={frac {mc^{2}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},}$

donde $m r$ es la masa relativista ahora pasada de moda, a continuación. Al comparar directamente las expresiones de cantidad de movimiento y energía, se tiene

$mathbf p = Efrac{mathbf v}{c^2},$

Eso también es válido para partículas sin masa. Elevando al cuadrado las expresiones de energía y cantidad de movimiento y relacionándolas se obtiene la relación energía-cantidad de movimiento,

$frac{E^2}{c^2} = mathbf p cdot mathbf p + m^2c^2.$

Sustitución

{displaystyle p_{mu }leftrightarrow -{frac {partial S}{partial x^{mu }}}}

$eta^{munu}frac{partial S}{partial x^mu}frac{partial S}{partial x^nu} = -m^2c^2.$

También es posible derivar los resultados del Lagrangiano directamente. Por definición,

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {p} &={frac {partial L}{partial mathbf {v} }}=left({partial L over partial {dot {x}}},{partial L over partial {dot {y}}},{partial L over partial {dot {z}}}right)=m(gamma v_{x},gamma v_{y},gamma v_{z})=mgamma mathbf {v} =mmathbf {u}\[3pt]E&=mathbf {p} cdot mathbf {v} -L={frac {mc^{2}}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},end{aligned}}}

La energía y el momento lineal son cantidades conservadas por separado para sistemas aislados en el marco lagrangiano. Por lo tanto, el cuatro impulso también se conserva. Más sobre esto a continuación.

Más enfoques peatonales incluyen el comportamiento esperado en electrodinámica. En este enfoque, el punto de partida es la aplicación de la ley de fuerza de Lorentz y la segunda ley de Newton en el sistema de reposo de la partícula. Las propiedades de transformación del tensor de campo electromagnético, incluida la invariancia de la carga eléctrica, se utilizan luego para transformar al marco de laboratorio, y la expresión resultante (nuevamente la ley de fuerza de Lorentz) se interpreta en el espíritu de la segunda ley de Newton, lo que conduce a a la expresión correcta para el momento lineal relativista. La desventaja, por supuesto, es que no queda inmediatamente claro que el resultado se aplica a todas las partículas, estén cargadas o no, y que no produce el cuadrivector completo.

También es posible evitar el electromagnetismo y usar experimentos de pensamiento bien afinados que involucran a físicos bien entrenados que lanzan bolas de billar, utilizando el conocimiento de la fórmula de adición de velocidad y asumiendo la conservación del impulso. Esto también da solo la parte de tres vectores.

Conservación de cuatro impulsos

Como se muestra arriba, hay tres leyes de conservación (no independientes, las dos últimas implican la primera y viceversa):

The four-momentum $p$ (ya sea covariante o contravariante) se conserva.
La energía total $E = p 0 c$ se conserva.
El impulso 3-espacio ${displaystyle mathbf {p} =left(p^{1},p^{2},p^{3}right)}$ se conserva (para no confundirse con el clásico impulso no-relativista ${displaystyle mmathbf {v} }$ ).

Tenga en cuenta que la masa invariante de un sistema de partículas puede ser mayor que la suma de las partículas' masas en reposo, ya que la energía cinética en el marco del centro de masa del sistema y la energía potencial de las fuerzas entre las partículas contribuyen a la masa invariante. Como ejemplo, dos partículas con cuatro momentos (5 GeV/c, 4 GeV/c, 0, 0) y (5 GeV/c, −4 GeV/c, 0, 0) cada uno tiene masa (en reposo) 3 GeV/c² por separado, pero su masa total (la masa del sistema) es 10 GeV/c². Si estas partículas chocaran y se pegaran, la masa del objeto compuesto sería 10 GeV/c².

Una aplicación práctica de la física de partículas de la conservación de la masa invariante consiste en combinar los cuatro momentos $p A$ y $p B$ de dos partículas hijas producidas en la descomposición de una partícula más pesada con cuatro impulsos $p C$ para encontrar la masa de la partícula más pesada. La conservación de cuatro impulsos da $p C μ = p A μ + p B μ$ , mientras que la masa $M$ de la partícula más pesada viene dada por $- P C \cdot P C = M 2 c 2$ . Al medir las energías y los tres momentos de las partículas hijas, se puede reconstruir la masa invariable del sistema de dos partículas, que debe ser igual a $M$ . Esta técnica se utiliza, por ejemplo, en búsquedas experimentales de bosones Z′ en colisionadores de partículas de alta energía, donde el bosón Z′ aparecería como una protuberancia en el espectro de masas invariable de pares electrón-positrón o muón-antimuón.

Si la masa de un objeto no cambia, el producto interno de Minkowski de sus cuatro impulsos y sus correspondientes cuatro aceleraciones $A μ$ es simplemente cero. La aceleración cuádruple es proporcional a la derivada temporal adecuada de la cantidad de movimiento cuádruple dividida por la masa de la partícula, por lo que

{displaystyle p^{mu }A_{mu }=eta _{mu nu }p^{mu }A^{nu }=eta _{mu nu }p^{mu }{frac {d}{dtau }}{frac {p^{nu }}{m}}={frac {1}{2m}}{frac {d}{dtau }}pcdot p={frac {1}{2m}}{frac {d}{dtau }}left(-m^{2}c^{2}right)=0.}

Momento canónico en presencia de un potencial electromagnético

Para una partícula cargada de carga $q$ , moviéndose en un campo electromagnético dado por los cuatro potenciales electromagnéticos:

{displaystyle A=left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}right)=left({phi over c},A_{x},A_{y},A_{z}right)}

φ

A = A x, A Sí., A z)

P

{displaystyle P^{mu }=p^{mu }+qA^{mu }.}

Esto, a su vez, permite que la energía potencial de la partícula cargada en un potencial electrostático y la fuerza de Lorentz sobre la partícula cargada que se mueve en un campo magnético se incorporen de manera compacta en la mecánica cuántica relativista.

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