Cuatro fuerzas

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En la teoría especial de la relatividad, cuatro fuerzas es un cuatro vector que reemplaza a la fuerza clásica.

En relatividad especial

La fuerza cuádruple se define como la tasa de cambio en la cantidad de movimiento cuádruple de una partícula con respecto al tiempo propio de la partícula:

{displaystyle mathbf {F} ={mathrm {d} mathbf {P} over mathrm {d} tau }.}

Para una partícula de masa invariante constante $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m■0{displaystyle m confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501173910e6da8425b4e9d44a4e8643620bc2464" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;"/>$ , ${displaystyle mathbf {P} =mmathbf {U} }$ Donde ${displaystyle mathbf {U} =gamma (c,mathbf {u})}$ es la cuatro-velocidad, así que podemos relacionar la cuatro-fuerza con la cuatro-aceleración $mathbf {A}$ como en la segunda ley de Newton:

{displaystyle mathbf {F} =mmathbf {A} =left(gamma {mathbf {f} cdot mathbf {u} over c},gamma {mathbf {f} }right).}

Aquí

{displaystyle {mathbf {f} }={mathrm {d} over mathrm {d} t}left(gamma m{mathbf {u} }right)={mathrm {d} mathbf {p} over mathrm {d} t}}

{displaystyle {mathbf {f} cdot mathbf {u} }={mathrm {d} over mathrm {d} t}left(gamma mc^{2}right)={mathrm {d} E over mathrm {d} t}.}

Donde $mathbf {u}$ , $mathbf {p}$ y $mathbf {f}$ son vectores de 3 espacios que describen la velocidad, el impulso de la partícula y la fuerza actuando en ella respectivamente.

Incluyendo interacciones termodinámicas

De las fórmulas de la sección anterior parece que el componente de tiempo de las cuatro fuerzas es la potencia gastada, ${displaystyle mathbf {f} cdot mathbf {u} }$ , aparte de las correcciones relativistas ${displaystyle gamma /c}$ . Esto es sólo cierto en situaciones puramente mecánicas, cuando los intercambios de calor desaparecen o pueden ser descuidados.

En el caso termo-mecánico completo, no sólo el trabajo, sino también el calor contribuye al cambio de energía, que es el componente de tiempo del covector de energía-momentum. El componente de tiempo de las cuatro fuerzas incluye en este caso una tasa de calefacción $h$ , además del poder ${displaystyle mathbf {f} cdot mathbf {u} }$ . Tenga en cuenta que el trabajo y el calor no pueden ser significativamente separados, sin embargo, ya que ambos llevan inercia. Este hecho se extiende también a las fuerzas de contacto, es decir, al tensor de estrés-energía-momentum.

Por lo tanto, en situaciones termomecánicas el componente de tiempo de las cuatro fuerzas es no proporcional al poder ${displaystyle mathbf {f} cdot mathbf {u} }$ pero tiene una expresión más genérica, a dar caso por caso, que representa el suministro de energía interna de la combinación de trabajo y calor, y que en el límite Newtoniano se convierte ${displaystyle h+mathbf {f} cdot mathbf {u} }$ .

En relatividad general

En la relatividad general, la relación entre las cuatro fuerzas y las cuatro aceleraciones sigue siendo la misma, pero los elementos de las cuatro fuerzas están relacionados con los elementos de las cuatro impulsos a través de una derivada covariante con respecto al tiempo propio.

{displaystyle F^{lambda }:={frac {DP^{lambda }}{dtau }}={frac {dP^{lambda }}{dtau }}+Gamma ^{lambda }{}_{mu nu }U^{mu }P^{nu }}

Además, podemos formular la fuerza usando el concepto de transformaciones de coordenadas entre diferentes sistemas de coordenadas. Suponga que conocemos la expresión correcta de la fuerza en un sistema de coordenadas en el que la partícula está momentáneamente en reposo. Luego podemos realizar una transformación a otro sistema para obtener la correspondiente expresión de fuerza. En la relatividad especial, la transformación será una transformación de Lorentz entre sistemas de coordenadas que se mueven con una velocidad constante relativa, mientras que en la relatividad general será una transformación de coordenadas generales.

Considere las cuatro fuerzas $F^{mu }=(F^{0},{mathbf {F}})$ actuando en una partícula de masa $m$ que está momentáneamente descansando en un sistema de coordenadas. La fuerza relativista $f^{mu }$ en otro sistema de coordenadas con velocidad constante $v$ , relativo al otro, se obtiene utilizando una transformación de Lorentz:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {f} &=mathbf {F} +(gamma -1)mathbf {v} {mathbf {v} cdot mathbf {F} over v^{2}},\f^{0}&=gamma {boldsymbol {beta }}cdot mathbf {F} ={boldsymbol {beta }}cdot mathbf {f}.end{aligned}}}

Donde ${displaystyle {boldsymbol {beta }}=mathbf {v} /c}$ .

En la relatividad general, la expresión de la fuerza se convierte en

{displaystyle f^{mu }=m{DU^{mu } over dtau }}

con derivación covariante $D/dtau$ . La ecuación del movimiento se convierte

{displaystyle m{d^{2}x^{mu } over dtau ^{2}}=f^{mu }-mGamma _{nu lambda }^{mu }{dx^{nu } over dtau }{dx^{lambda } over dtau },}

Donde ${displaystyle Gamma _{nu lambda }^{mu }}$ es el símbolo Christoffel. Si no hay fuerza externa, esto se convierte en la ecuación para la geodésica en el espacio-tiempo curvado. El segundo término en la ecuación anterior, juega el papel de una fuerza gravitatoria. Si $f_{f}^{alpha }$ es la expresión correcta para la fuerza en un marco de caída libre ${displaystyle xi ^{alpha }}$ , podemos utilizar entonces el principio de equivalencia para escribir la cuatro fuerza en una coordinación arbitraria $x^{mu }$ :

{displaystyle f^{mu }={partial x^{mu } over partial xi ^{alpha }}f_{f}^{alpha }.}

Ejemplos

En relatividad especial, las cuatro fuerzas de Lorentz (cuatro fuerzas que actúan sobre una partícula cargada situada en un campo electromagnético) se pueden expresar como:

{displaystyle F_{mu }=qF_{mu nu }U^{nu },}

dónde

$F_{munu}$ es el tensor electromagnético,
$U^{nu }$ es la cuatro-velocidad, y
$q$ es la carga eléctrica.

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