Cuasigrupo

En matemáticas, especialmente en álgebra abstracta, un cuasigrupo es una estructura algebraica que se asemeja a un grupo en el sentido de que "división" siempre es posible. Los cuasigrupos se diferencian de los grupos principalmente en que no necesitan ser asociativos y no necesitan tener un elemento de identidad.

Un cuasigrupo con un elemento de identidad se denomina bucle.

Definiciones

Hay al menos dos definiciones formales estructuralmente equivalentes de cuasigrupo. Uno define un cuasigrupo como un conjunto con una operación binaria, y el otro, del álgebra universal, define un cuasigrupo con tres operaciones primitivas. Sin embargo, la imagen homomórfica de un cuasigrupo definido con una sola operación binaria no necesita ser un cuasigrupo. Comenzamos con la primera definición.

Álgebra

Un cuasigrupo (Q, ∗) es un conjunto no vacío Q con una operación binaria ∗ (es decir, un magma, que indica que un cuasigrupo debe satisfacer la propiedad de clausura), obedeciendo a la propiedad del cuadrado latino. Esto establece que, para cada a y b en Q, existen elementos únicos x e y en Q tal que ambos

a Alternativa x = b,

Sí. Alternativa a = b

espera. (En otras palabras: Cada elemento del conjunto aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna de la tabla de multiplicar del cuasigrupo, o tabla de Cayley. Esta propiedad asegura que la tabla de Cayley de un cuasigrupo finito, y, en particular, grupo finito, es un cuadrado latino). El requisito de que x y y sean únicos puede reemplazarse por el requisito de que el magma sea cancelativo.

Las soluciones únicas de estas ecuaciones se escriben x = a b y y = b / a. Las operaciones '' y '/' se denominan, respectivamente, división izquierda y división derecha. Con respecto a la tabla Cayley, la primera ecuación (división izquierda) significa que la entrada b en la fila a marca la columna x mientras que la segunda ecuación (división derecha) significa que la entrada b en la columna a marca la fila y.

El conjunto vacío equipado con la operación binaria vacía satisface esta definición de cuasigrupo. Algunos autores aceptan el cuasigrupo vacío pero otros lo excluyen explícitamente.

Álgebra universal

Dada alguna estructura algebraica, una identidad es una ecuación en la que todas las variables se cuantifican tácitamente universalmente, y en la que todas las operaciones se encuentran entre las operaciones primitivas propias de la estructura. Las estructuras algebraicas que satisfacen axiomas que están dados únicamente por identidades se denominan variedad. Muchos resultados estándar en álgebra universal son válidos solo para variedades. Los cuasigrupos forman una variedad si se toman como primitivas las divisiones izquierda y derecha.

Un cuasigrupo (Q, ∗, , /) es un tipo (2,2,2) álgebra (es decir, equipada con tres operaciones binarias) que satisface las identidades:

Sí. = x.x Sí.),

Sí. = x (x Alternativa Sí.),

Sí. =Sí. / x) x,

Sí. =Sí. Alternativa x) x.

En otras palabras: la multiplicación y la división en cualquier orden, una tras otra, en el mismo lado por el mismo elemento, no tienen efecto neto.

Por lo tanto, si (Q, ∗) es un cuasigrupo según la primera definición, entonces (Q, ∗, , /) es el mismo cuasigrupo en el sentido del álgebra universal. Y viceversa: si (Q, ∗, , /) es un cuasigrupo según el sentido del álgebra universal, entonces (Q, ∗) es un cuasigrupo según la primera definición.

Bucles

Un bucle es un cuasigrupo con un elemento de identidad; es decir, un elemento, e, tal que

x Alternativa e = x y e Alternativa x = x para todos x dentro Q.

Se sigue que el elemento de identidad, e, es único, y que cada elemento de Q tiene inversos izquierdo y derecho únicos (que no necesitan ser iguales).

Un cuasigrupo con un elemento idempotente se denomina pique ("cuasigrupo idempotente puntiagudo"); esta es una noción más débil que un ciclo pero común, no obstante, porque, por ejemplo, dado un grupo abeliano, (A, +), tomando su operación de resta ya que la multiplicación de cuasigrupos produce un pique (A, −) con la identidad del grupo (cero) convertida en un "idempotente puntiagudo". (Es decir, hay una isotopía principal (x, y, z) ↦ ( x, −y, z).)

Un bucle que es asociativo es un grupo. Un grupo puede tener un isótopo de piqué no asociativo, pero no puede tener un isótopo de bucle no asociativo.

Hay propiedades de asociatividad más débiles a las que se les ha dado nombres especiales.

Por ejemplo, un bucle Bol es un bucle que satisface cualquiera de los siguientes:

x.Sí..x Alternativa z) =x.Sí. Alternativa x) zpara cada uno x, Sí. y z dentro Q a izquierda Bol loop),

o bien

()z Alternativa x) Sí.) x = z (A/C)x Alternativa Sí.) x) para cada uno x, Sí. y z dentro Q a derecho Bol loop).

Un bucle que es a la vez un bucle Bol izquierdo y derecho es un bucle Moufang. Esto es equivalente a cualquiera de las siguientes identidades individuales de Moufang para todos los x, y, z:

x.Sí..x Alternativa z) = (x Alternativa Sí.) x) z,

z.x.Sí. Alternativa x) = (z Alternativa x) Sí.) x,

()x Alternativa Sí.)z Alternativa x) x (A/C)Sí. Alternativa z) x), o

()x Alternativa Sí.)z Alternativa x) =x.Sí. Alternativa z) x.

Simetrías

(Smith 2007) nombra las siguientes propiedades y subclases importantes:

Semisimetría

Un cuasigrupo es semisimétrico si se cumplen las siguientes identidades equivalentes:

x Alternativa Sí. = Sí. / x,

Sí. Alternativa x = x Sí.,

x =Sí. Alternativa x) Sí.,

x = Sí..x Alternativa Sí.).

Aunque esta clase pueda parecer especial, todo cuasigrupo Q induce un cuasigrupo semisimétrico QΔ sobre el producto directo al cubo Q³ a través de la siguiente operación:

()x1,x2,x3)⋅ ⋅ ()Sí.1,Sí.2,Sí.3)=()Sí.3/x2,Sí.1∖ ∖ x3,x1Alternativa Alternativa Sí.2)=()x2//Sí.3,x3∖ ∖ ∖ ∖ Sí.1,x1Alternativa Alternativa Sí.2),{displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{3}/x_{2},,y_{1}backslash ,x_{3},,x_{1}!*y_{2}=(x_{2}/!/y_{3},,x_{3}backslash !backslash ,y_{1},,x_{1}!*y_{2}}

donde "///" y "" son las operaciones de división conjugadas dadas por Sí.//x=x/Sí.{displaystyle Y/ y Sí.∖ ∖ ∖ ∖ x=x∖ ∖ Sí.{displaystyle ybackslash !backslash x=xbackslash y}.

Prueba

Simetría total

Una clase más estrecha es un cuasigrupo totalmente simétrico (a veces abreviado cuasigrupo TS) en el que todos los conjugados coinciden como una sola operación: x ∗ y = x / y = x y. Otra forma de definir (la misma noción de) un cuasigrupo totalmente simétrico es como un cuasigrupo semisimétrico que también es conmutativo, es decir, x ∗ y = y ∗ x.

Los cuasigrupos simétricos totales idempotentes son precisamente (es decir, en una biyección con) triples de Steiner, por lo que dicho cuasigrupo también se denomina cuasigrupo de Steiner, y a veces este último incluso se abrevia como squag. El término sloop se refiere a un análogo de bucles, es decir, bucles totalmente simétricos que satisfacen x ∗ x = 1 en lugar de x ∗ x = x. Sin idempotencia, los cuasigrupos simétricos totales corresponden a la noción geométrica del triple de Steiner extendido, también llamado Curva Cúbica Elíptica Generalizada (GECC).

Ansimetría total

Un cuasigrupo (Q, ∗) se denomina totalmente antisimétrico si para todos c, x, y ∈ Q, se cumplen las dos implicaciones siguientes:

1. ()c Alternativa x) Sí. =c Alternativa Sí.) x implica que x = Sí.
2. x Alternativa Sí. = Sí. Alternativa x implica que x = Sí..

Se llama débilmente totalmente antisimétrico si solo se cumple la primera implicación.

Esta propiedad es obligatoria, por ejemplo, en el algoritmo de Damm.

Ejemplos

• Cada grupo es un bucle, porque a Alternativa x = b si x = a⁻¹ Alternativa b, y Sí. Alternativa a = b si Sí. = b Alternativa a⁻¹.
• Los enteros Z (o los fundamentos Q o los reales R) con resta (-) forman un cuasigrupo. Estos cuasiqroups no son bucles porque no hay elemento de identidad (0 es una identidad correcta porque a − 0 a, pero no una identidad izquierda porque, en general, 0 - a ل a).
• Los fundamentos no cero Q^× (o los no cero reales R^×) con división () forman un cuasigrupo.
• Cualquier espacio vectorial sobre un campo característico no igual a 2 forma un cuasigrupo idempotente y comunicativo bajo la operación x Alternativa Sí. =x + Sí.) / 2.
• Cada sistema triple Steiner define un cuasigrupo idempotente y comunicativo: a Alternativa b es el tercer elemento del triple que contiene a y b. Estos cuasigrupos también satisfacen ()x Alternativa Sí.) Sí. = x para todos x y Sí. en el cuasigrupo. Estos cuasigrupos son conocidos como Steiner quasigroups.
• El set {±1, ±i, ±j, ±k} Donde ii = jj = kk = +1 y con todos los demás productos como en el grupo de cuaternión forma un bucle nonassociativo de orden 8. Vea las cuaterniones hiperbólicas para su aplicación. (Las propias quaterniones hiperbólicas no formar un bucle o cuasigrupo.)
• Las octoniones no cero forman un bucle nonassociativo bajo la multiplicación. Las octoniones son un tipo especial de bucle conocido como un bucle Moufang.
• Un cuasigrupo asociativo está vacío o es un grupo, ya que si hay al menos un elemento, la invertibilidad de la operación binaria de cuasigrupo combinada con la asociatividad implica la existencia de un elemento de identidad que implica entonces la existencia de elementos inversos, satisfaciendo así los tres requisitos de un grupo.
• La siguiente construcción se debe a Hans Zassenhaus. Sobre el conjunto subyacente del espacio vectorial cuatridimensional F⁴ sobre el campo Galois de 3 elementos F = Z/3Z definir

()x₁, x₂, x₃, x₄)Sí.₁, Sí.₂, Sí.₃, Sí.₄) =x₁, x₂, x₃, x₄) + (Sí.₁, Sí.₂, Sí.₃, Sí.₄) + (0, 0, 0, (x₃ − Sí.₃)x₁Sí.₂ − x₂Sí.₁)).

Entonces, ()F⁴, democrática) es un bucle de Moufang que no es un grupo.

• Más generalmente, los elementos no cero de cualquier álgebra de división forman un cuasigrupo.

Propiedades

En el resto del artículo denotaremos la multiplicación del cuasigrupo simplemente por yuxtaposición.

Los cuasigrupos tienen la propiedad de cancelación: si ab = ac, entonces b = c. Esto se sigue de la singularidad de la división izquierda de ab o ac por a. De manera similar, si ba = ca, entonces b = c.

La propiedad del cuadrado latino de los cuasigrupos implica que, dadas dos de las tres variables en xy = z, la tercera variable está determinada de forma única.

Operadores de multiplicación

La definición de un cuasigrupo se puede tratar como condiciones en los operadores de multiplicación izquierdo y derecho L_x, R_x: Q → Q, definido por

Lx()Sí.)=xSí.Rx()Sí.)=Sí.x{displaystyle {begin{aligned}L_{x}(y) limit=xy\R_{x}(y) limit=yx\\end{aligned}}

La definición dice que ambos mapeos son biyecciones de Q a sí mismo. Un magma Q es un cuasigrupo precisamente cuando todos estos operadores, para cada x en Q, son biyectivos. Las aplicaciones inversas son la división izquierda y derecha, es decir,

Lx− − 1()Sí.)=x∖ ∖ Sí.Rx− − 1()Sí.)=Sí./x{displaystyle {begin{aligned}L_{x}{-1}(y) limit=xbackslash y\R_{x}{-1}(y) limit=y/xend{aligned}}}}

En esta notación, las identidades entre las operaciones de multiplicación y división del cuasigrupo (establecidas en la sección sobre álgebra universal) son

LxLx− − 1=1correspondiente ax()x∖ ∖ Sí.)=Sí.Lx− − 1Lx=1correspondiente ax∖ ∖ ()xSí.)=Sí.RxRx− − 1=1correspondiente a()Sí./x)x=Sí.Rx− − 1Rx=1correspondiente a()Sí.x)/x=Sí.{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

donde 1 denota el mapeo de identidad en Q.

Cuadrados latinos

Un cuadrado latino, la tabla de multiplicación sin fronteras para un cuasigrupo cuyos 10 elementos son los dígitos 0-9.

La tabla de multiplicar de un cuasigrupo finito es un cuadrado latino: una tabla n × n rellena con n símbolos diferentes de tal manera que cada símbolo aparezca exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna.

Por el contrario, cada cuadrado latino se puede tomar como la tabla de multiplicar de un cuasigrupo de muchas maneras: la fila del borde (que contiene los encabezados de las columnas) y la columna del borde (que contiene los encabezados de las filas) pueden ser cualquier permutación de los elementos. Ver pequeños cuadrados latinos y cuasigrupos.

Cuasigrupos infinitos

Para un cuasigrupo infinito numerable Q, es posible imaginar una matriz infinita en la que cada fila y cada columna corresponda a algún elemento q de Q, y donde el elemento a ∗ b está en la fila correspondiente a a y la columna que responde a b. También en esta situación, la propiedad del cuadrado latino dice que cada fila y cada columna de la matriz infinita contendrá todos los valores posibles precisamente una vez.

Para un cuasigrupo incontablemente infinito, como el grupo de números reales no cero bajo la multiplicación, la propiedad cuadrada latina todavía sostiene, aunque el nombre es algo insatisfactorio, ya que no es posible producir el conjunto de combinaciones a las que la idea anterior de un array infinito se extiende ya que los números reales no pueden todos ser escritos en una secuencia. (Esto es algo engañoso, sin embargo, como los reales pueden ser escritos en una secuencia de longitud c{displaystyle {Mathfrak}}, suponiendo el teorema bien ordenado.)

Propiedades inversas

La operación binaria de un cuasigrupo es invertible en el sentido de que ambos Lx{displaystyle L_{x} y Rx{displaystyle R_{x}, los operadores de multiplicación izquierda y derecha, son bijetivos, y por lo tanto invertibles.

Cada elemento de bucle tiene un único inverso izquierdo y derecho dado por

xλ λ =e/xxλ λ x=e{displaystyle x^{lambda }=e/xqquad x^{lambda }x=e}

x*** *** =x∖ ∖ exx*** *** =e{displaystyle x^{rho }=xbackslash eqquad xx^{rho }=e}

Se dice que un bucle tiene (dos caras) inversos si xλ λ =x*** *** {displaystyle x^{lambda }=x^{rho } para todos x. En este caso, el elemento inverso generalmente se denota por x− − 1{displaystyle x^{-1}.

Hay algunas nociones más fuertes de inversos en bucles que suelen ser útiles:

• Un bucle tiene propiedad inversa si xλ λ ()xSí.)=Sí.{displaystyle x^{lambda }(xy)=y} para todos x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y}. Equivalentemente, Lx− − 1=Lxλ λ {displaystyle L_{x}{-1}=L_{x^{lambda } o x∖ ∖ Sí.=xλ λ Sí.{displaystyle xbackslash y=x^{lambda }y.
• Un bucle tiene propiedad inversa si ()Sí.x)x*** *** =Sí.{displaystyle (yx)x^{rho }=y} para todos x{displaystyle x} y Sí.{displaystyle y}. Equivalentemente, Rx− − 1=Rx*** *** {displaystyle ¿Qué? } o Sí./x=Sí.x*** *** {displaystyle y/x=yx^{rho }.
• Un bucle tiene propiedad inversa antiautomorfo si ()xSí.)λ λ =Sí.λ λ xλ λ {displaystyle (xy)^{lambda }=y^{lambda. } o, equivalentemente, si ()xSí.)*** *** =Sí.*** *** x*** *** {displaystyle (xy)}=y^{rho }x^{rho }.
• Un bucle tiene propiedad inversa cuando ()xSí.)z=e{displaystyle (xy)z=e} si x()Sí.z)=e{displaystyle x(yz)=e}. Esto puede ser declarado en términos de inversos a través de ()xSí.)λ λ x=Sí.λ λ {displaystyle (xy)^{lambda }x=y^{lambda } o equivalente x()Sí.x)*** *** =Sí.*** *** {displaystyle x(yx)^{rho - Sí..

Un bucle tiene la propiedad inversa si tiene las propiedades inversa izquierda y derecha. Los bucles de propiedad inversa también tienen propiedades antiautomórficas e inversas débiles. De hecho, cualquier bucle que satisfaga dos cualesquiera de las cuatro identidades anteriores tiene la propiedad inversa y, por lo tanto, satisface las cuatro.

Cualquier bucle que satisfaga las propiedades inversas izquierda, derecha o antiautomórfica automáticamente tiene inversas de dos caras.

Morfismos

Un cuasigrupo o homomorfismo de bucle es un mapa f: Q → P entre dos cuasigrupos tales que f(xy) = f(x)f(y). Los homomorfismos de cuasigrupo necesariamente conservan la división izquierda y derecha, así como los elementos de identidad (si existen).

Homotopía e isotopía

Sean Q y P cuasigrupos. Una homotopía de cuasigrupo de Q a P es un triple (α, β, γ) de mapas de Q a P tal que

α α ()x)β β ()Sí.)=γ γ ()xSí.){displaystyle alpha (x)beta (y)=gamma (xy),}

para todo x, y en Q. Un homomorfismo de cuasigrupo es solo una homotopía para la cual los tres mapas son iguales.

Una isotopía es una homotopía en la que cada uno de los tres mapas (α, β, γ) es una biyección. Dos cuasigrupos son isotópicos si existe una isotopía entre ellos. En términos de cuadrados latinos, una isotopía (α, β, γ) viene dada por una permutación de filas α, una permutación de columnas β y una permutación en el conjunto de elementos subyacente γ.

Una autotopía es una isotopía de un cuasigrupo a sí mismo. El conjunto de todas las autotopías de un cuasigrupo forman un grupo con el grupo de automorfismos como subgrupo.

Todos los cuasigrupos son isotópicos de un bucle. Si un bucle es isotópico a un grupo, entonces es isomorfo a ese grupo y, por lo tanto, es en sí mismo un grupo. Sin embargo, un cuasigrupo que es isotópico a un grupo no necesita ser un grupo. Por ejemplo, el cuasigrupo en R con la multiplicación dada por (x + y)/2 es isotópico al grupo aditivo (R, +), pero no es en sí mismo un grupo. Cada cuasigrupo medial es isotópico a un grupo abeliano por el teorema de Bruck-Toyoda.

Conjugación (parástrofe)

La división izquierda y derecha son ejemplos de cómo formar un cuasigrupo al permutar las variables en la ecuación de definición. A partir de la operación original ∗ (es decir, x ∗ y = z) podemos formar cinco nuevas operaciones: x o y:= y ∗ x (la operación opuesta), / y , y sus opuestos. Eso hace un total de seis operaciones cuasigrupales, que se denominan conjugadas o parástrofes de ∗. Se dice que dos de estas operaciones son "conjugadas" o "parastrófica" unos a otros (y a ellos mismos).

Isostrofe (paratopía)

Si el conjunto Q tiene dos operaciones cuasigrupales, ∗ y ·, y una de ellas es isotópica a un conjugado de la otra, se dice que las operaciones son isostróficas el uno al otro También hay muchos otros nombres para esta relación de "isóstrofe", por ejemplo, paratopía.

Generalizaciones

Cuasigrupos poliádicos o multiarios

Un cuasigrupo n-ario es un conjunto con una operación n-aria, (Q, f) con f: Qⁿ → Q, tal que la ecuación f(x ₁,...,x_n) = y tiene una solución única para cualquier variable si todas las otras variables n se especifican arbitrariamente. Poliádico o multiario significa n-ario para algún entero no negativo n.

Un cuasigrupo 0-ario, o nullario, es solo un elemento constante de Q. Un cuasigrupo 1-ario, o unario, es una biyección de Q a sí mismo. Un cuasigrupo binario, o 2-ario, es un cuasigrupo ordinario.

Un ejemplo de un cuasigrupo multiario es una operación de grupo iterada, y = x₁ · x₂ · ··· · x_n; no es necesario usar paréntesis para especificar el orden de las operaciones porque el grupo es asociativo. También se puede formar un cuasigrupo multiario realizando cualquier secuencia de operaciones de grupo o cuasigrupo iguales o diferentes, si se especifica el orden de las operaciones.

Existen cuasigrupos multiarios que no pueden representarse de ninguna de estas formas. Un cuasigrupo n-ario es irreducible si su operación no puede factorizarse en la composición de dos operaciones de la siguiente manera:

f()x1,...... ,xn)=g()x1,...... ,xi− − 1,h()xi,...... ,xj),xj+1,...... ,xn),{displaystyle f(x_{1},dotsx_{n}=g(x_{1},dotsx_{i-1},,h(x_{i},dotsx_{j}),,x_{j+1},dotsx_{n}),}}

donde 1 ≤ i < j ≤ n y (i, j) ≠ (1, n ). Los cuasigrupos finitos irreducibles n-arios existen para todos los n > 2; ver Akivis y Goldberg (2001) para más detalles.

Un cuasigrupo n-ario con una versión n-aria de asociatividad se denomina grupo n-ario.

Cuasigrupos derecho e izquierdo

Un cuasigrupo a la derecha (Q, ∗, /) es un álgebra de tipo (2,2) que satisface ambas identidades: y = (y / x) ∗ x; y = (y ∗ x) / x.

Del mismo modo, un cuasigrupo izquierdo (Q, ∗, ) es un tipo (2,2) álgebra que satisface ambas identidades: y = x ∗ (x y); y = x (x ∗ y).

Número de pequeños cuasigrupos y bucles

El número de clases de isomorfismo de cuasigrupos pequeños (secuencia A057991 en el OEIS) y bucles (secuencia A057771 en la OEIS) se da aquí: