Cuarta base imaginaria

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Sistema de numeral no estándar

El sistema de numeral-imaginario es un sistema numeral, propuesto por Donald Knuth en 1960. A diferencia de los sistemas de numeral estándar, que utilizan un entero (como 10 en decimal, o 2 en binario) como sus bases, utiliza el número imaginario 2i (equivalente a ${displaystyle {sqrt {-4}}}$ ) como su base. Es capaz de (casi) representar singularmente cada número complejo utilizando sólo los dígitos 0, 1, 2, y 3. Los números inferiores a cero, que normalmente están representados con un signo menos, son representables como cadenas de dígitos en quater-imaginary; por ejemplo, el número −1 se representa como "103" en notación de quater-imaginary.

Descomponiendo el cuarto-imaginario

En un sistema de posición con base $b$ ,

$ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{{-1}}d_{{-2}}d_{{-3}}ldots$

representaciones ${displaystyle dots +d_{3}cdot b^{3}+d_{2}cdot b^{2}+d_{1}cdot b+d_{0}+d_{-1}cdot b^{-1}+d_{-2}cdot b^{-2}+d_{-3}cdot b^{-3}dots }$

En este sistema numeral, $b=2i$ ,

y porque $(2i)^{2}=-4$ , toda la serie de poderes se puede separar en dos series diferentes, para que se simplifica ${displaystyle {begin{aligned}&{}[dots +d_{4}cdot (-4)^{2}+d_{2}cdot (-4)^{1}+d_{0}+d_{-2}cdot (-4)^{-1}+dots ]end{aligned}}}$ para dígitos incluso numerados (digitos que simplifican al valor de los tiempos dígitos una potencia de -4), y ${displaystyle {begin{aligned}2icdot [dots +d_{3}cdot (-4)^{1}+d_{1}+d_{-1}cdot (-4)^{-1}+d_{-3}cdot (-4)^{-2}+dots ]end{aligned}}}$ para aquellos dígitos que todavía tienen un factor imaginario. Añadiendo estas dos series juntas entonces da el valor total del número.

Debido a la separación de estas dos series, las partes reales e imaginarias de números complejos se expresan fácilmente en base −4 como $ldots d_{4}d_{2}d_{0}.d_{{-2}}ldots$ y ${displaystyle 2cdot (ldots d_{5}d_{3}d_{1}.d_{-1}d_{-3}ldots)}$ respectivamente.

Conversión de quater-imaginary

Potencias de 2i
k	(22)i)^k
; 5 -	−i/32
−4	1/16
−3	i/8
−2	−1/4
−1	−i/2
0	1
1	2i
2	−4
3	−8i
4	16
5	32i
6	−64
7	−128i
8	256

Para convertir una cadena de dígitos del sistema de quater-imaginary al sistema decimal, se puede utilizar la fórmula estándar para los sistemas de número de posición. Esto dice que una cadena de dígitos $ldots d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}$ en base b se puede convertir a un número decimal usando la fórmula

cdots +d_{3}cdot b^{3}+d_{2}cdot b^{2}+d_{1}cdot b+d_{0}

Para el sistema de quater-imaginary, $b=2i$ .

Adicionalmente, para una cadena dada $d$ en la forma ${displaystyle d_{w-1},d_{w-2},dots d_{0}}$ , la fórmula a continuación se puede utilizar para una longitud de cadena dada $w$ en base $b$

Q2D_{w}{vec d}equiv sum _{{k=0}}^{{w-1}}d_{k}cdot b^{k}

Ejemplo

Para convertir la cuerda $1101_{{2i}}$ a un número decimal, rellena la fórmula anterior:

1cdot (2i)^{3}+1cdot (2i)^{2}+0cdot (2i)^{1}+1cdot (2i)^{0}=-8i-4+0+1=-3-8i

Otro ejemplo más largo: $1030003_{{2i}}$ en la base 10

1cdot (2i)^{6}+3cdot (2i)^{4}+3cdot (2i)^{0}=-64+3cdot 16+3=-13

Convertir en quater-imaginario

También es posible convertir un número decimal en un número en el sistema quater-imaginary. Todo número complejo (todo número de la forma a+bi) tiene una representación quater-imaginaria. La mayoría de los números tienen una única representación quater-imaginary, pero así como 1 tiene las dos representaciones 1 = 0.9 en notación decimal, así, debido a 0.0001_2i = 1/15, el número 1/5 tiene las dos representaciones quater-imaginary 0.0003_2i = 3·1/15 = 1/5 = 1 + 3·–4/ 15 = 1.0300_2i.

Para convertir un número complejo arbitrario en un cuádruple imaginario, es suficiente dividir el número en sus componentes real e imaginario, convertir cada uno de ellos por separado y luego sumar los resultados intercalando los dígitos. Por ejemplo, dado que −1+4i es igual a −1 más 4i, la representación cuádruple imaginaria de −1+4i es la representación quater-imaginaria de −1 (es decir, 103) más la representación quater-imaginaria de 4i (es decir, 20), lo que da un resultado final de −1+4i = 123_2i.

Para encontrar la representación quater-imaginaria del componente imaginario, basta con multiplicar ese componente por 2i, lo que da un número real; luego encuentre la representación quater-imaginaria de ese número real, y finalmente desplace la representación un lugar a la derecha (dividiendo así por 2i). Por ejemplo, la representación quater-imaginaria de 6i se calcula multiplicando 6i × 2i = −12, que se expresa como 300 _2i, y luego desplazando un lugar a la derecha, resultando: 6i = 30_2i.

Encontrar la representación quater-imaginaria de un número entero real arbitrario se puede hacer manualmente resolviendo un sistema de ecuaciones simultáneas, como se muestra a continuación, pero existen métodos más rápidos para números enteros reales e imaginarios, como se muestra en el artículo base negativo.

Ejemplo: Número real

Como ejemplo de un número entero, podemos intentar encontrar la contrapartida imaginaria del número decimal 7 (o 7₁₀ ya que la base del sistema decimal es 10). Dado que es difícil predecir con exactitud la longitud de la cadena de dígitos para un número decimal dado, es seguro asumir una cadena bastante grande. En este caso, se puede elegir una cadena de seis dígitos. Cuando una suposición inicial sobre el tamaño de la cadena finalmente resulta insuficiente, se puede usar una cadena más grande.

Para encontrar la representación, primero escribe la fórmula general y los términos del grupo:

{begin{aligned}7_{{10}}&=d_{{0}}+d_{{1}}cdot b+d_{{2}}cdot b^{{2}}+d_{{3}}cdot b^{{3}}+d_{{4}}cdot b^{{4}}+d_{{5}}cdot b^{{5}}\&=d_{{0}}+2id_{{1}}-4d_{{2}}-8id_{{3}}+16d_{{4}}+32id_{{5}}\&=d_{{0}}-4d_{{2}}+16d_{{4}}+i(2d_{{1}}-8d_{{3}}+32d_{{5}})\end{aligned}}

Como 7 es un número real, se puede concluir que d₁, d₃ y d₅ debe ser cero. Ahora el valor de los coeficientes d₀, d₂ y d₄, debe ser encontrado. Como d₀ − 4 d₂ + 16 d₄ = 7 y porque, por la naturaleza del sistema cuatriimaginario, los coeficientes pueden solo sea 0, 1, 2 o 3 se puede encontrar el valor de los coeficientes. Una posible configuración podría ser: d₀ = 3, d₂ = 3 y d₄ = 1. Esta configuración proporciona la cadena de dígitos resultante para 7₁₀.

{displaystyle 7_{10}=010303_{2i}=10303_{2i}.}

Ejemplo: número imaginario

Encontrar una representación quater-imaginaria de un número entero puramente imaginario $\in i Z$ es análogo al método descrito arriba para un número real. Por ejemplo, para encontrar la representación de 6i, es posible utilizar la fórmula general. Entonces, todos los coeficientes de la parte real deben ser cero y la parte compleja debe ser 6. Sin embargo, para 6i se ve fácilmente mirando la fórmula que si d₁ = 3 y todos los demás coeficientes son cero, obtenemos la cadena deseada para 6i. Eso es:

{begin{aligned}6i_{{10}}=30_{{2i}}end{aligned}}

Otro método de conversión

Para los números reales, la representación cuaternario-imaginaria es la misma que el cuaternario negativo (base −4). Un número complejo x+iy se puede convertir a quater-imaginary convirtiendo x y y/2 por separado a cuaternario negativo. Si tanto x como y son fracciones binarias finitas, podemos usar el siguiente algoritmo usando la división euclidiana repetida:

Por ejemplo: 35+23i=121003.2_2i

 35 23i/2i=11,5 11=12−0,5
35(−4)=8, restantes 3 12/(−4)=−3, restantes 0 (−0.5)×(−4)=2
−8−(−4)= 2, restante 0 −3/(−4)= 1, resto 1
2 (−4)= 0, resto 2 1/(−4)= 0, resto 1
20003 + 101000 + 0,2 = 121003.2
32i+16×2-8i−4×0+2i×0+1×3−2×i/2=35+23i

Punto de base "."

Un punto radix en el sistema decimal es lo habitual . (punto) que marca la separación entre la parte entero y la parte fraccional del número. En el sistema de quater-imaginary también se puede utilizar un punto de ráx. Para una cadena de dígitos ${displaystyle dots d_{5}d_{4}d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}dots }$ el punto del ráx marca la separación entre poderes no negativo y negativos b. Usando el punto del ráx la fórmula general se convierte en:

d_{5}b^{5}+d_{4}b^{4}+d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}+d_{{-1}}b^{{-1}}+d_{{-2}}b^{{-2}}+d_{{-3}}b^{{-3}}

{displaystyle {begin{aligned}32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{frac {1}{2i}}d_{-1}+{frac {1}{-4}}d_{-2}+{frac {1}{-8i}}d_{-3}\=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}-{frac {i}{2}}d_{-1}-{frac {1}{4}}d_{-2}+{frac {i}{8}}d_{-3}end{aligned}}}

Ejemplo

Si se tiene que encontrar la representación quater-imaginaria de la unidad compleja i, la fórmula sin punto de raíz no será suficiente. Por lo tanto, se debe utilizar la fórmula anterior. Por eso:

{displaystyle {begin{aligned}i&=32id_{5}+16d_{4}-8id_{3}-4d_{2}+2id_{1}+d_{0}+{frac {1}{2i}}d_{-1}+{frac {1}{-4}}d_{-2}+{frac {1}{-8i}}d_{-3}\&=i(32d_{5}-8d_{3}+2d_{1}-{frac {1}{2}}d_{-1}+{frac {1}{8}}d_{-3})+16d_{4}-4d_{2}+d_{0}-{frac {1}{4}}d_{-2}\end{aligned}}}

para ciertos coeficientes d_k. Entonces porque la parte real tiene que ser cero: d₄ = d₂ = d₀ = d₋₂ = 0. Para la parte imaginaria, si d₅ = d₃ = d₋₃ = 0 y cuando d₁ = 1 y d₋₁ = 2 el cadena de dígitos se puede encontrar. Usando los coeficientes anteriores en la cadena de dígitos, el resultado es:

{displaystyle i=10.2_{2i}.}

Suma y resta

Es posible sumar y restar números en el sistema quater-imaginary. Al hacer esto, hay dos reglas básicas que deben tenerse en cuenta:

Cada vez que un número supera 3, subtract 4 y "carry" - 1 dos lugares a la izquierda.
Cuando un número cae por debajo de 0, añadir 4 y "carry" +1 dos lugares a la izquierda.

O para abreviar: "Si suma cuatro, lleva +1. Si restas cuatro, lleva −1". Esto es lo opuesto a la suma larga normal, en la que un "carry" en la columna actual requiere agregar 1 a la siguiente columna a la izquierda, y un "pedir prestado" requiere restar. En aritmética quater-imaginaria, un "carry" resta de la siguiente columna, y un "tomar prestado" agrega.

Ejemplo: Adición

A continuación se muestran dos ejemplos de sumar en el sistema quater-imaginary:

 1 - 2i 1031
1 - 2i 1031
------ +
2 - 4i 1022


3 - 4i 1023
1 - 8i 1001
-------- +
4 −12i 12320

En el primer ejemplo, comenzamos sumando los dos 1 en la primera columna (la columna "unos'), dando 2. Luego sumamos los dos 3 en la segunda columna (el & #34;2is columna"), dando 6; 6 es mayor que 3, entonces restamos 4 (dando 2 como resultado en la segunda columna) y llevamos −1 a la cuarta columna. Sumar los 0 en la tercera columna da 0; y finalmente sumando los dos 1 y el −1 llevado en la cuarta columna da 1.

En el segundo ejemplo primero añadimos 3+1, dando 4; 4 es mayor que 3, por lo que restamos 4 (dar 0) y llevamos −1 a la tercera columna (la columna de 4s). Luego agregamos 2+0 en la segunda columna, dando 2. En la tercera columna, tenemos 0+0+(−1), debido a la carga; −1 es menos de 0, así que agregamos 4 (dar 3 como resultado en la tercera columna) y "borrow" +1 en la quinta columna. En la cuarta columna, 1+1 es 2; y el porte en la quinta columna da 1, por el resultado de $12320_{{2i}}$ .

Ejemplo: Resta

La resta es análoga a la suma en que utiliza las mismas dos reglas descritas anteriormente. A continuación se muestra un ejemplo:

 − 2 - 8i 1102
1 - 6i 1011
-------
− 3 - 2i 1131

En este ejemplo tenemos que restar $1011_{{2i}}$ desde $1102_{{2i}}$ . El dígito más adecuado es 2−1 = 1. El segundo dígito de la derecha se convertiría en −1, así que añadir 4 para dar 3 y luego llevar +1 dos lugares a la izquierda. El tercer dígito de la derecha es 1−0 = 1. Luego el dígito más izquierdo es 1-1 más 1 de la carga, dando 1. Esto da una respuesta final $1131_{{2i}}$ .

Multiplicación

Para la multiplicación larga en el sistema quater-imaginary, también se usan las dos reglas mencionadas anteriormente. Al multiplicar números, multiplique la primera cadena por cada dígito de la segunda cadena consecutivamente y sume las cadenas resultantes. Con cada multiplicación, un dígito en la segunda cadena se multiplica con la primera cadena. La multiplicación comienza con el dígito más a la derecha en la segunda cadena y luego avanza un dígito hacia la izquierda, multiplicando cada dígito con la primera cadena. Luego se suman los productos parciales resultantes donde cada uno se desplaza a la izquierda por un dígito. Un ejemplo:

 11201
20121 ×
---------------
11201 ← – – 1 × 11201
12002 ← – – 2 × 11201
11201 ← – – 1 × 11201
00000 ← – – 0 × 11201
12002 + ← – – 2 × 11201
---------------
120231321

Esto corresponde a una multiplicación de $(9-8i)cdot (29+4i)=293-196i$ .

Conversiones tabuladas

Abajo hay una tabla de algunos números decimales y complejos y sus contrapartes quater-imaginary.

Base 10	Base 2i
1	1
2	2
3	3
4	10300
5	10301
6	10302
7	10303
8	10200
9	10201
10	10202
11	10203
12	10100
13	10101
14	10102
15	10103
16	10000

Base 10	Base 2i
−1	103
−2	102
−3	101
−4	100
; 5 -	203
−6	202
−7	201
−8	200
−9	303
−10	302
−11 -	301
−12	300
−13	1030003
−14	1030002
−15	1030001
−16	1030000

Base 10	Base 2i
1i	10.2
2i	10.0
3i	20.2
4i	20.0
5i	30.2
6i	30.0
7i	103000.2
8i	103000.0
9i	103010.2
10i	103010.0
11i	103020.2
12i	103020.0
13i	103030.2
14i	103030.0
15i	102000.2
16i	102000.0

Base 10	Base 2i
−1i	0.2
−2i	103,0
−3i	1030.2
−4i	1020.0
; 5 -i	1020.2
−6i	1010.0
−7i	Domgasse 2, 1010
−8i	1000.0
−9i	1000.2
−10i	2030.0
−11 -i	2030.2
−12i	2020.0
−13i	2020.2
−14i	2010.0
−15i	2010.2
−16i	2000.0

Ejemplos

A continuación se muestran algunos otros ejemplos de conversiones de números decimales a números quater-imaginarios.

5=16+(3cdot -4)+1=10301_{{2i}}

i=2i+2left(-{frac {1}{2}}iright)=10.2_{{2i}}

7{frac {3}{4}}-7{frac {1}{2}}i=1(16)+1(-8i)+2(-4)+1(2i)+3left(-{frac {1}{2}}iright)+1left(-{frac {1}{4}}right)=11210.31_{{2i}}

Curva de orden Z

La representación

{displaystyle z=sum _{kgeq n}z_{k}cdot (2i)^{-k}}

de un número complejo arbitrario ${displaystyle zin mathbb {C} }$ con ${displaystyle z_{k}in {0,1,2,3}}$ da lugar a una cartografía inyectable

{displaystyle textstyle {begin{array}{llcl}varphi colon &mathbb {C} &to &mathbb {R} \&sum _{kgeq n}z_{k}cdot (2i)^{-k}&mapsto &sum _{kgeq n}z_{k}cdot r^{-k}\end{array}}}

con algunos adecuado ${displaystyle rin mathbb {Z} }$ . Aquí. ${displaystyle r=4}$ no se puede tomar como base debido a

0}3cdot (2i)^{-k}={tfrac {-3-6i}{5}};;;;neq ;;;;1=sum _{k>0}3cdot 4^{-k}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. k■03⋅ ⋅ ()2i)− − k=− − 3− − 6i5ل ل 1=.. k■03⋅ ⋅ 4− − k.{displaystyle textstyle sum _{k confianza0}3cdot (2i)^{-k}={tfrac {-3-6i}{5};;;;;neq ;;;;1=sum _{k Conf0}3cdot 4^{-k}0}3cdot (2i)^{-k}={tfrac {-3-6i}{5}};;;;neq ;;;;1=sum _{k>0}3cdot 4^{-k}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fff1ee1b0b9b3bf7095663311b283485e34c95" style="vertical-align: -1.338ex; width:49.285ex; height:3.843ex;"/>

La imagen ${displaystyle varphi (mathbb {C})subset mathbb {R} }$ es un conjunto Cantor que permite ordenar linealmente $mathbb{C}$ similar a una curva de orden Z. Puesto que la imagen está desconectada, $varphi$ no es continuo.

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