Cuantificación existencial

En la lógica de predicados, una cuantificación existencial es un tipo de cuantificador, una constante lógica que se interpreta como "existe", "hay al menos uno" 34; o "para algunos". Por lo general, se denota con el símbolo del operador lógico ∃, que, cuando se usa junto con una variable de predicado, se denomina cuantificador existencial ("∃ x" o "∃(x)" o " (∃x)"). La cuantificación existencial es distinta de la cuantificación universal ("para todos"), que afirma que la propiedad o relación se cumple para todos los miembros del dominio. Algunas fuentes utilizan el término existencialización para referirse a la cuantificación existencial.

Conceptos básicos

Considere una fórmula que establece que un número natural multiplicado por sí mismo es 25.

0·0 = 25, o 1·1 = 25, o 2·2 = 25, o 3·3 = 25,...

Esto parecería ser una disyunción lógica debido al uso repetido de "o". Sin embargo, las elipses hacen que esto sea imposible de integrar e interpretarlo como una disyunción en la lógica formal. En cambio, la declaración podría reformularse más formalmente como

Para un número natural n, n·n = 25.

Esta es una declaración única que utiliza la cuantificación existencial.

Esta declaración es más precisa que la original, ya que la frase "y así sucesivamente" no incluye necesariamente todos los números naturales y excluye todo lo demás. Y dado que el dominio no se declaró explícitamente, la frase no se pudo interpretar formalmente. En el enunciado cuantificado, sin embargo, los números naturales se mencionan explícitamente.

Este ejemplo particular es verdadero, porque 5 es un número natural, y cuando sustituimos 5 por n, obtenemos "5·5 = 25", lo cual es verdadero. No importa que "n·n = 25" solo es cierto para un solo número natural, 5; incluso la existencia de una sola solución es suficiente para probar que esta cuantificación existencial es verdadera. Por el contrario, "Para algún número par n, n·n = 25" es falsa, porque no hay soluciones pares.

El dominio del discurso, que especifica los valores que la variable n puede tomar, es por lo tanto fundamental para la veracidad o falsedad de una declaración. Las conjunciones lógicas se utilizan para restringir el dominio del discurso para cumplir con un predicado dado. Por ejemplo:

Para un número extraño positivo n, n·n = 25

es lógicamente equivalente a

Para un número natural n, n es extraño n·n = 25.

Aquí, "y" es la conjunción lógica.

En lógica simbólica, "∃" (una letra rotativa "E", en una fuente sans-serif) se utiliza para indicar la cuantificación existencial. Así, si P()a, b, c) es el predicado "a·b = c), y N{displaystyle mathbb {N} es el conjunto de números naturales, entonces

∃ ∃ n▪ ▪ NP()n,n,25){displaystyle exists {n}{n}mathbb {N} ,P(n,n,25)}

es la afirmación (verdadera)

Para un número natural n, n·n = 25.

Del mismo modo, si Q(n) es el predicado "n es par", entonces

∃ ∃ n▪ ▪ N()Q()n)∧ ∧ P()n,n,25)){displaystyle exists {n} {fn} {N} ,{big (}Q(n);!;!{wedge };!;!

es la declaración (falsa)

Para un número natural n, n es incluso n·n = 25.

En matemáticas, la prueba de un "algunos" La declaración puede lograrse mediante una prueba constructiva, que exhibe un objeto que satisface el "algunos" declaración, o por una prueba no constructiva, que muestra que debe haber tal objeto pero sin exhibirlo.

Propiedades

Negación

Una función proposición cuantificada es una declaración; por lo tanto, como declaraciones, se pueden negar funciones cuantificadas. El ¬ ¬ {displaystyle lnot } símbolo se utiliza para denotar la negación.

Por ejemplo, si P(x) es el predicado "x es mayor que 0 y menor que 1", entonces, para un dominio de discurso X de todos los números naturales, la cuantificación existencial "Existe un número natural x mayor que 0 y menor que 1" puede expresarse simbólicamente como:

∃ ∃ x▪ ▪ XP()x){displaystyle exists {x}{in }mathbf {X} ,P(x)}

Se puede demostrar que esto es falso. A decir verdad, hay que decir, "No se da el caso de que exista un número natural x mayor que 0 y menor que 1", o, simbólicamente:

¬ ¬ ∃ ∃ x▪ ▪ XP()x){displaystyle lnot exists {x}mathbf {X} ,P(x)}.

Si no hay ningún elemento del dominio del discurso para el cual la declaración sea verdadera, entonces debe ser falsa para todos esos elementos. Es decir, la negación de

∃ ∃ x▪ ▪ XP()x){displaystyle exists {x}{in }mathbf {X} ,P(x)}

es lógicamente equivalente a "Para cualquier número natural x, x no es mayor que 0 ni menor que 1", o:

О О x▪ ▪ X¬ ¬ P()x){displaystyle forall {x}mathbf {X} ,lnot P(x)}

Por lo general, entonces, la negación de la cuantificación existencial de una función proposicional es una cuantificación universal de la negación de esa función proposicional; simbólicamente,

¬ ¬ ∃ ∃ x▪ ▪ XP()x)↑ ↑ О О x▪ ▪ X¬ ¬ P()x){displaystyle lnot exists {x}{in }mathbf {X} ,P(x)equiv \forall {x}{in }mathbf {X} ,lnot P(x)}

(Esta es una generalización de las leyes de De Morgan a la lógica de predicados).

Un error común es afirmar que "todas las personas no están casadas" (es decir, "no existe ninguna persona que esté casada"), cuando "no todas las personas están casadas" (es decir, "existe una persona que no está casada") pretende:

¬ ¬ ∃ ∃ x▪ ▪ XP()x)↑ ↑ О О x▪ ▪ X¬ ¬ P()x)≢¬ ¬ О О x▪ ▪ XP()x)↑ ↑ ∃ ∃ x▪ ▪ X¬ ¬ P()x){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMitbf {X}f}nMitbf {cHFF}cf}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00}cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00

La negación también se puede expresar a través de una afirmación de "para no", a diferencia de "para algunos":

∄ ∄ x▪ ▪ XP()x)↑ ↑ ¬ ¬ ∃ ∃ x▪ ▪ XP()x){displaystyle nexists {x}{in }mathbf {X} ,P(x)equiv lnot exists {x}{in }mathbf {X} ,P(x)}

A diferencia del cuantificador universal, el cuantificador existencial distribuye sobre disyunciones lógicas:

∃ ∃ x▪ ▪ XP()x)Alternativa Alternativa Q()x)→ → ()∃ ∃ x▪ ▪ XP()x)Alternativa Alternativa ∃ ∃ x▪ ▪ XQ()x)){displaystyle exists {x}{in }mathbf {X} ,P(x)lor Q(x)to (exists {x}{in }mathbf {X} ,P(x)lor exists {x}{in }mathbf {X},Q(x)}} {

Reglas de inferencia

Una regla de inferencia es una regla que justifica un paso lógico de la hipótesis a la conclusión. Hay varias reglas de inferencia que utilizan el cuantificador existencial.

Introducción existencial (∃I) concluye que, si se sabe que la función proposicional es cierta para un elemento particular del dominio del discurso, entonces debe ser cierto que existe un elemento para el cual la proposición función es verdadera. Simbólicamente,

P()a)→ → ∃ ∃ x▪ ▪ XP()x){displaystyle P(a)to exists {x}mathbf {X} ,P(x)}

La instanciación existencial, cuando se lleva a cabo en una deducción al estilo de Fitch, procede ingresando una nueva subderivación mientras se sustituye una variable existencialmente cuantificada por un sujeto, que no aparece dentro de ninguna subderivación activa. Si se puede llegar a una conclusión dentro de esta subderivación en la que el sujeto sustituido no aparece, entonces se puede salir de esa subderivación con esa conclusión. El razonamiento detrás de la eliminación existencial (∃E) es el siguiente: si se da que existe un elemento para el cual la función de proposición es verdadera, y si se puede llegar a una conclusión dando a ese elemento un nombre arbitrario, esa conclusión es necesariamente verdadera, siempre que no contenga el nombre. Simbólicamente, para una c arbitraria y para una proposición Q en la que c no aparece:

∃ ∃ x▪ ▪ XP()x)→ → ()()P()c)→ → Q)→ → Q){displaystyle exists {x}{in }mathbf {X} ,P(x)to ((P(c)to Q)to Q)}

P()c)→ → Q{displaystyle P(c)to Q} debe ser verdad para todos los valores c sobre el mismo dominio X; de lo contrario, la lógica no sigue: Si c no es arbitrario, y es en cambio un elemento específico del dominio del discurso, luego afirmando P()c) podría dar injustificadamente más información sobre ese objeto.

El conjunto vacío

La fórmula ∃ ∃ x▪ ▪ ∅ ∅ P()x){displaystyle exists {x}{in }varnothing ,P(x)} es siempre falso, independientemente de P()x). Esto es porque ∅ ∅ {displaystyle varnothing } denota el conjunto vacío, y no x de cualquier descripción - mucho menos una x cumpliendo un determinado predicado P()x) – existen en el conjunto vacío. Vea también Verdad Vacua para más información.

Como adjunto

En la teoría de categorías y la teoría de los topoi elementales, el cuantificador existencial puede entenderse como el adjunto izquierdo de un funtor entre conjuntos potencia, el funtor imagen inversa de una función entre conjuntos; asimismo, el cuantificador universal es el adjunto derecho.

Codificación

En Unicode y HTML, los símbolos se codifican U+2203 ∃ EXISTE (∃, ∃ · como símbolo matemático) y U+2204 ∄ NO EXISTE (∄, ∄, ∄).

En TeX, el símbolo se produce con "exists".