Cuadro de Heisenberg

En física, la imagen de Heisenberg o representación de Heisenberg es una formulación (en gran parte debida a Werner Heisenberg en 1925) de la mecánica cuántica en la que los operadores (observables y otros) incorporan una dependencia en el tiempo, pero los vectores de estado son independientes del tiempo, una base fija arbitraria que subyace rígidamente a la teoría.

En contraste con la imagen de Schrödinger en la que los operadores son constantes, en cambio, y los estados evolucionan en el tiempo. Las dos imágenes solo se diferencian por un cambio de base con respecto a la dependencia del tiempo, que corresponde a la diferencia entre transformaciones activas y pasivas. La imagen de Heisenberg es la formulación de la mecánica de matrices sobre una base arbitraria, en la que el hamiltoniano no es necesariamente diagonal.

Además, sirve para definir una tercera imagen híbrida, la imagen de interacción.

Detalles matemáticos

En la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica, los vectores de estado |ψ⟩ no cambian con el tiempo, mientras que los observables A satisfacer

donde "H" y "S" etiqueta observables en la imagen de Heisenberg y Schrödinger respectivamente, H es el hamiltoniano y [·,·] denota el conmutador de dos operadores (en este caso H y A). Tomar valores esperados produce automáticamente el teorema de Ehrenfest, presentado en el principio de correspondencia.

Según el teorema de Stone-von Neumann, la imagen de Heisenberg y la imagen de Schrödinger son unitariamente equivalentes, solo un cambio de base en el espacio de Hilbert. En cierto sentido, la imagen de Heisenberg es más natural y conveniente que la imagen equivalente de Schrödinger, especialmente para las teorías relativistas. La invariancia de Lorentz se manifiesta en la imagen de Heisenberg, ya que los vectores de estado no separan el tiempo o el espacio.

Este enfoque también tiene una similitud más directa con la física clásica: simplemente reemplazando el conmutador anterior por el corchete de Poisson, la ecuación de Heisenberg se reduce a una ecuación en la mecánica hamiltoniana.

Equivalent of Heisenberg 's equation to the Schrödinger equation

Por el bien de la pedagogía, la imagen de Heisenberg se presenta aquí a partir de la imagen posterior, pero más familiar, de Schrödinger.

El valor esperado de un A observable, que es un operador lineal hermitiano, para un estado de Schrödinger dado |ψ(t)⟩, es dado por

.. A.. t=.. ↑ ↑ ()t)SilencioASilencio↑ ↑ ()t).. .{displaystyle langle Arangle _{t}=langle psi (t) habitA habitpsi (t)rangle.}

En la imagen de Schrödinger, el estado |ψ(t)⟩ en el tiempo t está relacionado con el estado |ψ(0)⟩ en el tiempo 0 mediante un operador unitario de evolución temporal, U(t),

Silencio↑ ↑ ()t).. =U()t)Silencio↑ ↑ ()0).. .{displaystyle tenciónpsi (t)rangle =U(t) arrestpsi (0)rangle.}

En la imagen de Heisenberg, se considera que todos los vectores de estado permanecen constantes en sus valores iniciales |ψ(0)⟩, mientras que los operadores evolucionan con el tiempo según

A()t):=U† † ()t)AU()t).{displaystyle A(t):=U^{dagger }(t)AU(t),}

ddtU()t)=− − iH▪ ▪ U()t){displaystyle {frac} {dt}} {fnMicroc} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fnK}}}}}} {fnK}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}} ¿Qué?

Ahora se sigue que

ddtA()t)=i▪ ▪ U† † ()t)HAU()t)+U† † ()t)()∂ ∂ A∂ ∂ t)U()t)+i▪ ▪ U† † ()t)A()− − H)U()t)=i▪ ▪ U† † ()t)HU()t)U† † ()t)AU()t)+U† † ()t)()∂ ∂ A∂ ∂ t)U()t)− − i▪ ▪ U† † ()t)AU()t)U† † ()t)HU()t)=i▪ ▪ ()H()t)A()t)− − A()t)H()t))+U† † ()t)()∂ ∂ A∂ ∂ t)U()t),{displaystyle {begin{aligned}{} {dt}A(t) Conden={frac} {} {hbar} }U^{dagger }(t)HAU(t)+U^{dagger }(t)left({frac {partial A}{partial t}right)U(t)+frac {} {hbar} ¿Qué? {} {hbar} }U^{dagger }(t)HU(t)U^{dagger }(t)AU(t)+U^{dagger }(t)left({frac {partial A}{partial t}right)U(t)-{frac {} {hbar} #################U##################U###########################################################################################################################################################################################################################

Se obtiene un caso especial importante de la ecuación anterior si el hamiltoniano no varía con el tiempo. Entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como

U()t)=e− − iHt/▪ ▪ ,{displaystyle U(t)=e^{-iHt/hbar }

.. A.. t=.. ↑ ↑ ()0)Silencioe+iHt/▪ ▪ Ae− − iHt/▪ ▪ Silencio↑ ↑ ()0).. .{displaystyle langle Arangle ################################################################################################################################################################################################################################################################

ddtA()t)=i▪ ▪ HeiHt/▪ ▪ Ae− − iHt/▪ ▪ +e+iHt/▪ ▪ ()∂ ∂ A∂ ∂ t)e− − iHt/▪ ▪ +i▪ ▪ e+iHt/▪ ▪ A⋅ ⋅ ()− − H)e− − iHt/▪ ▪ =i▪ ▪ eiHt/▪ ▪ ()HA− − AH)e− − iHt/▪ ▪ +e+iHt/▪ ▪ ()∂ ∂ A∂ ∂ t)e− − iHt/▪ ▪ =i▪ ▪ ()HA()t)− − A()t)H)+e+iHt/▪ ▪ ()∂ ∂ A∂ ∂ t)e− − iHt/▪ ▪ .{displaystyle {begin{aligned}{} {dt}A(t) Conden={frac} {} {hbar} # He^{iHt/hbar }Ae^{-iHt/hbar }+e^{+iHt/hbar }left({frac {partial A}{partial t}right)e^{-iHt/hbar }+{frac {i} {hbar }e^{+iHt/hbar }Acdot (-H)e^{-iHt/hbar }\\\\\cH0}\\fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}

Aquí ∂A/∂t es la derivada temporal de la A inicial, no el operador A(t) definido. La última ecuación se mantiene ya que exp(−i H t/ħ) conmuta con H.

La ecuación se resuelve mediante la A(t) definida anteriormente, como es evidente mediante el uso de la identidad del operador estándar,

eBAe− − B=A+[B,A]+12![B,[B,A]]+13![B,[B,[B,A]]]+⋯ ⋯ ,{displaystyle {e^{B}Ae^{-B}=A+[B,A]+{frac {1}{2}} [B,[B,A]+{] frac [B, [B, [B, A]]+cdots ,}

A()t)=A+it▪ ▪ [H,A]+12!()it▪ ▪ )2[H,[H,A]]+13!()it▪ ▪ )3[H,[H,[H,A]]]+⋯ ⋯ {displaystyle A(t)=A+{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {}}hbar}right)}{2} [H,[H,A]+{3}}}}left({fc {hbar} {h} {h}h} {h}h} {h} {h}h} {h} {h} {h}h}}}}}h}h}h} {h} {h} {h} {h} {h} {h} {h}h} {h}h}h}h}h}h}h}h}h}h} {h}h}h}h} {h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h

Esta relación también se cumple para la mecánica clásica, el límite clásico de lo anterior, dada la correspondencia entre corchetes de Poisson y conmutadores,

[A,H]⟷ ⟷ i▪ ▪ {}A,H}{displaystyle [A,H]quad longleftrightarrow quad ihbar {A,H}}

{}A,H}=dAdt,{displaystyle {A,H}={frac {dA}{dt}~}

En efecto, la base espacial rígida arbitraria de Hilbert |ψ(0)⟩ ha desaparecido de la vista, y solo se considera en el paso final de tomar valores esperados específicos o elementos de matriz de observables.

Relaciones de conmutador

Las relaciones del conmutador pueden tener un aspecto diferente al de la imagen de Schrödinger, debido a la dependencia temporal de los operadores. Por ejemplo, considere los operadores x(t₁), x(t₂), p(t₁) y p(t₂). La evolución temporal de esos operadores depende del hamiltoniano del sistema. Considerando el oscilador armónico unidimensional,

H=p22m+m⋅ ⋅ 2x22,{displaystyle H={frac {fnK} {fnMicroc}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc} {f}}} {fnMicroc}}} {f}}}} {fn}}} {fn}} {fnMicroc}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}\\\\\\f}f}\f}\f}f}f}f}\\f}f}f}fn\fnfnf}\fnf}\fnMicrocfnfnfnMicroc}}}}}}}}}}}}}}\fn\\fn}}}}}}}}}}}\\\\\\\f}}}}}}}}}} {momega ¿Qué?

ddtx()t)=i▪ ▪ [H,x()t)]=pm,{displaystyle {frac {d}{dt}x(t)={frac {i} {hbar }[H,x(t)]={frac {m} {m}},}

ddtp()t)=i▪ ▪ [H,p()t)]=− − m⋅ ⋅ 2x.{displaystyle {frac {d}p(t)={frac {i} {hbar }[H,p(t)]=-momega ^{2}x.}

Derivando ambas ecuaciones una vez más y resolviéndolas con las condiciones iniciales adecuadas,

pÍ Í ()0)=− − m⋅ ⋅ 2x0,{displaystyle {dot {}(0)=-momega ^{2}x_{0}

xÍ Í ()0)=p0m,{displaystyle {dot {x}(0)={frac {fnK} {fnMicrosoft}}

x()t)=x0#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t)+p0⋅ ⋅ mpecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t),{displaystyle x(t)=x_{0}cos(omega t)+{frac {p_{0}{omega m}sin(omega t),}

p()t)=p0#⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t)− − m⋅ ⋅ x0pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t).{displaystyle p(t)=p_{0}cos(omega t)-momega x_{0}sin(omega t).}

El cálculo directo produce las relaciones de conmutador más generales,

[x()t1),x()t2)]=i▪ ▪ m⋅ ⋅ pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t2− − ⋅ ⋅ t1),{displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2}]={frac {ihbar }{momega }}sin left(omega t_{2}-omega t_{1}right),}}

[p()t1),p()t2)]=i▪ ▪ m⋅ ⋅ pecado⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t2− − ⋅ ⋅ t1),{displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2}]=ihbar momega sin left(omega t_{2}-omega t_{1}right),}

[x()t1),p()t2)]=i▪ ▪ #⁡ ⁡ ()⋅ ⋅ t2− − ⋅ ⋅ t1).{displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=ihbar cos left(omega t_{2}-omega t_{1}right). }

Para t1=t2{displaystyle T_{1}=t_{2}, uno simplemente recupera las relaciones de conmutación canónica estándar válidas en todas las imágenes.

Resumen comparativo de la evolución en todas las imágenes

Para un hamiltoniano independiente del tiempo H_S, donde H_0,S es el hamiltoniano libre,

Evolución de:	Imagen v t e )
	Schrödinger (S)	Heisenberg (H)	Interacción (I)
estado Ket	Silencio↑ ↑ S()t).. =e− − iHSt/▪ ▪ Silencio↑ ↑ S()0).. {displaystyle TEN _{rm}(t)rangle =e^{-iH_{rm} {fnMicrosoft Sans Serif}	constante	Silencio↑ ↑ I()t).. =eiH0,St/▪ ▪ Silencio↑ ↑ S()t).. {displaystyle Нpsi _{rm}(t)rangle =e^{iH_{0,mathrm {S} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}
Observable	constante	AH()t)=eiHSt/▪ ▪ ASe− − iHSt/▪ ▪ {displaystyle A_{rm}(t)=e^{iH_{rm {S}~t/hbar. No.	AI()t)=eiH0,St/▪ ▪ ASe− − iH0,St/▪ ▪ {displaystyle A_{rm}(t)=e^{iH_{0,mathrm {S}~t/hbar }A_{rm} {S}e^{-iH_{0,mathrm {S} ~ t/hbar }
Matriz de densidad	*** *** S()t)=e− − iHSt/▪ ▪ *** *** S()0)eiHSt/▪ ▪ {displaystyle rho _{rm {S}(t)=e^{-iH_{rm} {S}~t/hbar }rho _{rm {S}(0)e^{iH_{rm No.	constante	*** *** I()t)=eiH0,St/▪ ▪ *** *** S()t)e− − iH0,St/▪ ▪ {displaystyle rho _{rm}(t)=e^{iH_{0,mathrm {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}(t)e^{-iH_{0,mathrm {S} ~ t/hbar }