Cuadrilátero bicéntrico

En geometría euclidiana, un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero convexo que posee tanto una circunferencia inscrita como una circunferencia circunscrita. Los radios y centros de estos círculos se denominan inradio y circunradio, e incentro y circuncentro, respectivamente. De la definición se desprende que los cuadriláteros bicéntricos poseen todas las propiedades de los cuadriláteros tangenciales y cíclicos. Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero cuerda-tangente y cuadrilátero inscrito y circunscrito. También se les ha denominado, en raras ocasiones, cuadrilátero de doble circunferencia y cuadrilátero de doble inscripción.Si dos círculos, uno dentro del otro, son el incírculo y el circuncírculo de un cuadrilátero bicéntrico, entonces cada punto del circuncírculo es el vértice de un cuadrilátero bicéntrico que tiene el mismo incírculo y circuncírculo. Este es un caso especial del porismo de Poncelet, demostrado por el matemático francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867).

Ejemplos de cuadriláteros bicéntricos son los cuadrados, los cometas rectángulos y los trapecios tangenciales isósceles.

Un cuadrilátero convexo ABCD con lados a, b, c, d es bicéntrico si y solo si los lados opuestos satisfacen el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales y la propiedad cíclica de que los ángulos opuestos son suplementarios; es decir,

${\displaystyle {\begin{cases}a+c=b+d\A+C=B+D=\pi.\end{cases}}}$

Otras tres caracterizaciones se refieren a los puntos donde la circunferencia inscrita en un cuadrilátero tangencial es tangente a los lados. Si la circunferencia inscrita es tangente a los lados AB, BC, CD, DA en W, X, Y, Z respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y solo si se cumple alguna de las tres condiciones siguientes:

• WY es perpendicular a XZ
• ${\displaystyle {\frac {\fnMicroc} {AW}{\overline {WB}={\frac {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}}= {\fnMicroc} {\f} {\fnMicroc} {\fnMicrosoft}}}}} {\fnMicroc {\fnMicroc}}} {\f}\fnMicroc}}} {\fnMicroc}}}}}}}}}}} {\f}}\f}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnMicroc\fnMicroc\fn\f}\f}\fn\f}}\fn\fnMicroc\fnMicroc\fnMicroc\\fnMicroc\\fnMicroc\fnMicroc {\fnMicroc\fnMicroc {\fnMicroc}}\fnMicroc {\f}}}}}}}\fn {\fnK} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrom}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ {YC}}$
• ${\displaystyle {\frac {\fnMicroc} {C} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}}} {\ {BD}={\frac} {\fnMicrosoft}+{\fnMicrosoft Sans Serif} {} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}} {\fnMicrosoft}}}}} {\\fnMicrosoft}}}}}} {\fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrom}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrom}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {BX}+{\overline {DZ}}}}$

El primero de estos tres significa que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal.

Si E, F, G, H son los puntos medios de WX, XY, YZ, ZW respectivamente, entonces el cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y solo si el cuadrilátero EFGH es un rectángulo.

Según otra caracterización, si I es el incentro de un cuadrilátero tangencial donde las prolongaciones de los lados opuestos se intersecan en J y K, entonces el cuadrilátero también es cíclico si y solo si ∠ JIK es un ángulo recto.

Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero tangencial ABCD sea cíclico si y solo si su recta de Newton es perpendicular a la recta de Newton de su cuadrilátero de contacto WXYZ. (La recta de Newton de un cuadrilátero es la línea definida por los puntos medios de sus diagonales).

Existe un método sencillo para construir un cuadrilátero bicéntrico:

Comienza con el círculo inscrito C_r alrededor del centro I con el radio r y luego dibuja dos cuerdas perpendiculares entre sí WY y XZ en el círculo inscrito C_r. En los extremos de las cuerdas, traza las tangentes a, b, c, d a la circunferencia inscrita. Estas se intersecan en cuatro puntos A, B, C, D, que son los vértices de un cuadrilátero bicéntrico. Para dibujar la circunferencia circunscrita, traza dos mediatrices p₁, p₂ en los lados del cuadrilátero bicéntrico a y b, respectivamente. Las mediatrices p₁, p₂ se intersecan en el centro O de la circunferencia circunscrita C_R con una distancia x al centro I de la circunferencia inscrita C_r. La circunferencia circunscrita puede dibujarse alrededor del centro O.

La validez de esta construcción se debe a la caracterización de que, en un cuadrilátero tangencial ABCD, el cuadrilátero de contacto WXYZ tiene diagonales perpendiculares si y solo si el cuadrilátero tangencial también es cíclico.El área K de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de cuatro cantidades del cuadrilátero de varias maneras. Si los lados son a, b, c, d, entonces el área viene dada por

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}$

Este es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta. También puede derivarse directamente de la fórmula trigonométrica para el área de un cuadrilátero tangencial. Tenga en cuenta que el converso no sostiene: Algunos cuadriláteros que no son bicéntricos también tienen área ${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}$ Un ejemplo de tal cuadrilátero es un rectángulo no cuadrado.

El área también se puede expresar en términos de las longitudes de las tangentes e, f, g, h como

${\displaystyle K={\sqrt[{4}}(e+f+g+h).}$

Una fórmula para el área del cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I es

${\displaystyle K={\overline {AI}\cdot {\fnMicrosoft}+{\overline {BI}\cdot {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Si un cuadrilátero bicéntrico tiene cuerdas de tangencia k, l y diagonales p, q, entonces tiene área.

${\displaystyle K={\frac {klpq}{2}+l^{2}}}}$

Si k, l son las cuerdas de tangencia y m, n son las bimedianas del cuadrilátero, entonces el área se puede calcular usando la fórmula.

${\displaystyle K=\left {m^{2}-n^{2} {k^{2}-l^{2}}\right perpetuakl}$

Esta fórmula no se puede utilizar si el cuadrilátero es una cometa recta, ya que en ese caso el denominador es cero.

Si M, N son los puntos medios de las diagonales y E, F son los puntos de intersección de las extensiones de los lados opuestos, entonces el área de un cuadrilátero bicéntrico está dada por

${\displaystyle K={\frac {2{\overline {MN}\cdot {\cdot}\cdot {\cdot}{\cdot {\cdot} {\cdot {\cdot}} {\cdot} {\cdot} {\cdot} {\cdot {\cdot} {\cdot {\cdot}} {\cdot}} {\cdot} {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}} {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}}}} {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}}}} {EF}}$

donde I es el centro de la circunferencia inscrita.

El área de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de dos lados opuestos y el ángulo θ entre las diagonales según

${\displaystyle K=ac\tan {\frac {\theta ## {2}=bd\cot {\frac {\theta } {2}}$

En términos de dos ángulos adyacentes y el radio r del círculo inscrito, el área está dada por

${\displaystyle K=2r^{2}\left({\frac {1}{\sin {}}}+{\frac {1}\derecha). }$

El área se expresa en términos del circunradio R y el inradio r como

${\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}})\sin \theta }$

donde θ es el ángulo entre las diagonales.

Si M, N son los puntos medios de las diagonales y E, F son los puntos de intersección de las extensiones de los lados opuestos, entonces el área también se puede expresar como

${\displaystyle K=2{\overline {MN}{\sqrt {\fnK}\cdot {\fnK}}}} {\cdot {\fn}}} {\cdot {\f}}}}} {\cdot {\fn}}}}}}}}}} {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\f}}}}}}}}}}}}} {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}}}}}}}}}}}}} {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot {\cdot}}}}}}}}}}}}}}}$

donde Q es el pie de la perpendicular a la línea EF que pasa por el centro de la circunferencia inscrita.

Si r y R son el inradio y el circunradio respectivamente, entonces el área K satisface las desigualdades.

${\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}$

Hay igualdad en ambos lados solo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Otra desigualdad para el área es

${\displaystyle ¿Qué?$

donde r y R son el inradio y el circunradio, respectivamente.

Una desigualdad similar que da un límite superior más preciso para el área que la anterior es

${\displaystyle K\leq r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}} }$

con igualdad válida si y solo si el cuadrilátero es una cometa recta.

Además, con lados a, b, c, d y semiperímetro s:

${\displaystyle 2{\sqrt {}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}}}}$

${\displaystyle 6K\leq ab+ac+ad+bc+bd\leq 4r^{2}+4R^{2}+4r{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}}}$

${\displaystyle 4Kr^{2}\leq abcd\leq {\frac {16}}r^{2}(r^{2}+4R^{2}). }$

Si a, b, c, d son las longitudes de los lados AB, BC, CD, DA respectivamente en un cuadrilátero bicéntrico ABCD, entonces sus ángulos de vértice se pueden calcular con la función tangente:

${\displaystyle {\begin{aligned} {\fnMicroc {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnK}} {\fn}} {\fn}\fnK}} {\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fnK}}}\fn\f}}\fn\fn\fn\\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\\fnh}\fn\fnh}\fn\fn\fn\fn\fn\fn}}}}\fn\fn\fn\\fn\fn\fn\fn\fnh}}}\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn}}\fn\fn\fn\fn}}\fn}}}}}}}}}}}}}}}} {bc} {d}=\fn} {\fnMic {} {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnMicroc} {B}{2} Alguien={\sqrt {\frac} {Cd}}=\cot {\fnMic {}}\end{aligned}}}$

Utilizando las mismas notaciones, para las funciones seno y coseno se cumplen las siguientes fórmulas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\fnMicroc {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnK}} {\fn}} {\fn}\fnK}} {\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fnK}}}\fn\f}}\fn\fn\fn\\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\\fnh}\fn\fnh}\fn\fn\fn\fn\fn\fn}}}}\fn\fn\fn\\fn\fn\fn\fn\fnh}}}\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn}}\fn\fn\fn\fn}}\fn}}}}}}}}}}}}}}}} {bc}{d+bc}}=\cos {C}{2}}\cos {\frac {}{2}} {\sqrt {\frac}} {\sqrt {\fnMic} {\fnMic} {\fnK} {\c}}}=\f} {\fnMic} {\fnMic} {\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\f}\fnK\f}\f}\f}\fnK\fnK\fnK\f}\f}\f}\f}}\f}\fnK\fnK\f}\fnK\f}\fnK\f}\fnK\fnK\f}}\fnK\fnK\fnK\fnK\f}}\fnK\f}\fnK\f}}}}\fn {ad}{ad+bc}= {\fnMicroc {}{2}\\\\fnMicroc {\fnMicroc} {B}{2} Alguien={\sqrt {\frac} {cd}{ab+cd}=\cos {\fnMicroc {}{2}}\cos {\frac} {B}{2} Alguien={\sqrt {\frac} {ab}{ab+cd}=\sin {\fnMicroc {} {\fnMicroc}} {\fnMicroc} {\fnMicroc}} {\f}} {\fnMicroc}}}} {\fnMicroc {\fnMicroc {\f}}}} {\f}} {\f}} {\fnMicroc}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}\f}}}}}}}}}}}\f}}\f}}}}}\f}\f}}\f}}}}}\f}\f}}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\fnMienden {\f}\f}\f}\f}}\fnun\fn\f}\f}\fn\fn\fn\fn\fn\f}\fn\fn\f}\fn\f}\f}\fn$

El ángulo θ entre las diagonales se puede calcular a partir de:

${\displaystyle \displaystyle \tan {\theta # {2}={\sqrt {\frac {bd} {c}}}}$

El inradio r de un cuadrilátero bicéntrico está determinado por los lados a, b, c, d según

${\displaystyle \displaystyle r={\frac {\sqrt {abcd}{a+c}={\frac {\sqrt {abcd}{b+d}}$

El circunradio R se da como un caso especial de la fórmula de Parameshvara. Es

${\displaystyle \displaystyle R={\frac {1}{4}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}}}}$

El inradio también puede expresarse en términos de las longitudes de las tangentes consecutivas e, f, g, h según

${\displaystyle \displaystyle r={\sqrt {eg}={\sqrt {fh}}$

Estas dos fórmulas son, de hecho, condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero tangencial con radio interno r sea cíclico.

Los cuatro lados a, b, c, d de un cuadrilátero bicéntrico son las cuatro soluciones de la ecuación cuártica.

${\displaystyle - ¿Qué?$

donde s es el semiperímetro, y r y R son el inradio y el circunradio, respectivamente.

Si hay un cuadrilátero bicéntrico con inradius r cuyas longitudes tangentes son e, f, g, h, entonces existe un cuadrilátero bicéntrico con inradius r^v cuyas longitudes tangentes son ⁠${\displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v}$⁠ Donde v puede ser cualquier número real.

Un cuadrilátero bicéntrico tiene un radio interno mayor que cualquier otro cuadrilátero tangencial con la misma secuencia de longitudes de lados.El circunradio R y el inradio r satisfacen la desigualdad.

${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}r}$

Lo cual fue demostrado por L. Fejes Tóth en 1948. Se cumple con la igualdad solo cuando los dos círculos son concéntricos (tienen el mismo centro); entonces, el cuadrilátero es un cuadrado. La desigualdad se puede demostrar de varias maneras, una de ellas utilizando la doble desigualdad para el área anterior.Una extensión de la desigualdad anterior es

${\displaystyle {\frac {\fn\fn\fn\fn\fnh00\fn\\fnh00\fn\\\fnh00\\\\fnh00\\\fn\\\fnh00\\\\\\\fnh00\\\\\fnh00\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\fn\\\\fn\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH {2}} {\fn}\m}\m} {\fn} {\fn} {\fn} {\fn}\f}}\f}\fn}\fn}\fn}\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}}}}}}}\m} {\fn}}}} {\f}}}} {\f} {\f}}}}}}}}\m}}}\m}\m}\m}\m} {\m}\m}}\m}\m} {\m}\m} {\m}}}\m}}}}}}}}}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}\m}}\m}\m}\ {B}{2}+\sin {\frac} {B}{2}\cos {\frac} {C}{2}+\sin {\frac} {C}{2}\cos {\frac} {}{2}+\sin {\frac} {}{2}\cos {\frac}\right)\leq 1}$

donde hay igualdad en ambos lados si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado.

El semiperímetro s de un cuadrilátero bicéntrico satisface

${\fnMicrosoft Sans Serif}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}-r\right)}}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}+r}}}$

donde r y R son el inradio y el circunradio, respectivamente.

Además,

${\displaystyle 2sr^{2}\leq abc+abd+bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}}}}{2}}}}}} {\c}}}$

Y

${\displaystyle abc+abd+acd\bcd\leq 2{\sqrt {K}(K+2R^{2}). }$

El teorema de Fuss establece una relación entre el inradio r, el circunradio R y la distancia x entre el incentro I y el circuncentro O, para cualquier cuadrilátero bicéntrico. La relación es:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}}}={\frac {2}}}} {\frac {2}}}}}}}} {\fnK}} {\fnK}}} {\f}}}}$

O equivalente

${\displaystyle \displaystyle 2r^{2}(R^{2}+x^{2})=(R^{2}-x^{2})}$

Fue derivada por Nicolaus Fuss (1755–1826) en 1792. Al resolver para x se obtiene:

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}$

El teorema de Fuss, análogo al teorema de Euler para triángulos en el caso de cuadriláteros bicéntricos, establece que si un cuadrilátero es bicéntrico, sus dos circunferencias asociadas están relacionadas según las ecuaciones anteriores. De hecho, también se cumple la inversa: dadas dos circunferencias (una dentro de la otra) con radios R y r y una distancia x entre sus centros que satisface la condición del teorema de Fuss, existe un cuadrilátero convexo inscrito en uno de ellos y tangente al otro (y, por lo tanto, según el teorema de clausura de Poncelet, existen infinitos).

Aplicar ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$ a la expresión del teorema de Fuss x en términos de r y R es otra manera de obtener la desigualdad mencionada ${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}r.}$ Una generalización es

${\displaystyle 2r^{2}+x^{2}\leq R^{2}\leq 2r^{2}+x^{2}+2rx.}$

Otra fórmula para la distancia x entre los centros de la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita se debe al matemático estadounidense Leonard Carlitz (1907-1999). Esta fórmula establece que:

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente, y

${\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)}{(a+c)}{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)}{(ab+bcd)}{(b+d)}{2} {\c+bd)}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}} {}} {}}}}}}}}}}}}}} {\$

donde a, b, c, d son los lados del cuadrilátero bicéntrico.

Para las longitudes de las tangentes e, f, g, h se cumplen las siguientes desigualdades:

${\displaystyle 4r\leq e+f+g\h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2} {R^{2}$

Y

${\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}$

donde r es el inradio, R es el circunradio y x es la distancia entre el incentro y el circuncentro. Los lados a, b, c, d satisfacen las desigualdades.

${\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2} {R^{2}$

Y

${\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}). }$

El circuncentro, el incentro y la intersección de las diagonales de un cuadrilátero bicéntrico son colineales.

Existe la siguiente igualdad que relaciona las cuatro distancias entre el incentro I y los vértices de un cuadrilátero bicéntrico ABCD:

${\displaystyle {\frac {1}{\overline {}} {\fn} {\fnMicroc}}}} {\fnMicroc}} {\fn}}}}}}} {\fnMicroc}} {1}{\overline {CI}} {\fn}={\fnMic}}} {\fnMic}} {\fnK}} {\f}} {\f}}}}}}} {\fnMic}} {\fnMic}}}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\fnMic}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}} {\f}}}}}} {\f} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {1}{\overline {BI}{2}}+{\frac} {1}{\overline {}} {\fn}={\fnMic} {\fnK}} {\fnK}}} {\f}}} {\f}}} {\fn}}}} {\fnK}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}}\f}}}}}}}}}}}}}}}\f}}}}}}}} {1}{2}}}$

donde r es el radio interno.

Si P es la intersección de las diagonales de un cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I, entonces

${\displaystyle {\frac {\fnMicroc} {AP}{\fncip] {CP}={\frac} {\fnMicrosoft Sans} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}} {\\fnMicrosoft}}} {\fnMicrosoft}}}}}} {\\\\\fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicronicas}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrom}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {CI}} {}}}}}$

Las longitudes de las diagonales de un cuadrilátero bicéntrico se pueden expresar en términos de los lados o de las longitudes de las tangentes, que son fórmulas válidas para un cuadrilátero cíclico y un cuadrilátero tangencial, respectivamente.

En un cuadrilátero bicéntrico con diagonales p, q, se cumple la siguiente identidad:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {4r^{2}}}-{\frac {4R^{2}}{pq}}=1}$

donde r y R son el inradio y el circunradio, respectivamente. Esta igualdad puede reescribirse como

${\displaystyle r={\frac}{2{\sqrt {pq+4R^{2}}}}$

o bien, resolviéndola como una ecuación cuadrática para el producto de las diagonales, en la forma

${\displaystyle pq=2r\left(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}\right).}$

Una desigualdad para el producto de las diagonales p, q en un cuadrilátero bicéntrico es

${\displaystyle \displaystyle 8pq\leq (a+b+c+d)^{2}$

donde a, b, c, d son los lados. Esto fue demostrado por Murray S. Klamkin en 1967.

Sea ABCD un cuadrilátero bicéntrico y O el centro de su circunferencia circunscrita. Entonces, los incentros de los cuatro triángulos △OAB, △OBC, △OCD, △ODA se encuentran en una circunferencia.

• Polígono bicéntrico
• Ex-tangential quadrilateral