Cuadratriz

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Curva con ejes que miden el área de otra curva

En geometría, una cuadratriz (del latín cuadrator 'cuadrado') es una curva que tiene ordenadas que son una medida del área (o cuadratura ) de otra curva. Las dos curvas más famosas de esta clase son las de Dinostratus y E. W. Tschirnhaus, ambas relacionadas con el círculo.

Cuadratriz de Dinostratus

La cuadratriz de Dinostrato (también llamada cuadratriz de Hipias) era bien conocida por los geómetras griegos antiguos, y es mencionada por Proclo, quien atribuye la invención de la curva a un contemporáneo de Sócrates, probablemente Hipias de Elis. Dinostratus, un geómetra griego y discípulo de Platón, analizó la curva y mostró cómo efectuaba una solución mecánica para cuadrar el círculo. Pappus, en sus Colecciones, trata su historia y ofrece dos métodos mediante los cuales puede generarse.

Deje que un helix sea dibujado sobre un cilindro circular derecho; una superficie de tornillo se obtiene luego por líneas de dibujo desde cada punto de este perpendicular espiral a su eje. La proyección ortogonal de una sección de esta superficie por un plano que contiene uno de los perpendiculares e inclinado al eje es el quadratrix.
Un cilindro derecho que tiene para su base una espiral arquímica está intersectado por un cono circular derecho que tiene la línea de generación del cilindro que pasa por el punto inicial de la espiral para su eje. Desde cada punto de la curva de intersección, los perpendiculares se dibujan al eje. Cualquier sección de plano de la superficie del tornillo (plectoidal de Pappus) así obtenida es el quadratrix.

Otra construcción es la siguiente. $DAB$ es un cuadrante en el que la línea $DA$ y el arco $DB$ se dividen en el mismo número de partes iguales. Los radios se dibujan desde el centro del cuadrante hasta los puntos de división del arco, y estos radios se cruzan con las líneas dibujadas paralelas a $AB$ y a través de los puntos correspondientes en el radio $DA . El lugar geométrico de estas intersecciones es la cuadratriz.$

Quadratrix de Dinostratus con una porción central flanqueada por ramas infinitas

Sea $A$ el origen del sistema de coordenadas cartesiano, $D$ sea el punto $(a, 0)$ , $a$ unidades desde el origen a lo largo del eje $x$ y $B$ sea el punto $(0, a)$ , $a$ unidades desde el origen a lo largo de $y$ -eje, la curva misma se puede expresar mediante la ecuación

{displaystyle y=xcot left({frac {pi x}{2a}}right).}

Debido a que la función cotangente es invariante bajo la negación de su argumento y tiene un polo simple en cada múltiplo de $π$ , la quadratrix tiene simetría de reflexión en todo el eje $y$ y, de manera similar, tiene un polo para cada valor de $x$ de la forma $x = 2 na$ , para valores enteros de $n$ , excepto en $x = 0$ donde el polo de la cotangente se cancela por el factor de $x$ en la fórmula de la cuadratriz. Estos polos dividen la curva en una porción central flanqueada por infinitas ramas. El punto donde la curva cruza el eje $y$ tiene $y = 2 a/π$ ; por lo tanto, si fuera posible construir la curva con precisión, se podría construir un segmento de recta cuya longitud sea un múltiplo racional de $1/ π$ , lo que llevaría a una solución al problema clásico de la cuadratura del círculo. Como esto es imposible con compás y regla, la cuadratriz a su vez no se puede construir con compás y regla. Una construcción precisa de la cuadratriz también permitiría la solución de otros dos problemas clásicos que se sabe que son imposibles con compás y regla: duplicar el cubo y trisecar un ángulo.

Cuadratriz de Tschirnhaus

Tschirnhaus' quadratrix (red),
Hippias quadratrix (dotado)

La cuadrícula de Tschirnhaus se construye dividiendo el arco y el radio de un cuadrante en el mismo número de partes iguales que antes. Las intersecciones mutuas de las líneas dibujadas desde los puntos de división del arco paralelo a DA, y las líneas dibujadas paralelamente a AB a través de los puntos de división DA, son puntos en el quadratrix. La ecuación cartesiana es ${displaystyle y=acos !{big (}{tfrac {pi x}{2a}}{big)}}$ . La curva es periódica, y corta la x-eje en los puntos ${displaystyle x=(2n-1)a}$ , ${displaystyle n}$ ser un entero; los valores máximos de ${displaystyle y}$ son ${displaystyle a}$ . Sus propiedades son similares a las del quadratrix de Dinostratus.

Otras cuadratrices

Otras curvas que históricamente se han utilizado para cuadrar el círculo incluyen la espiral de Arquímedes y la cocleoide.

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