Cuadrado

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En geometría euclidiana, un cuadrado es un cuadrilátero regular, lo que significa que tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales (ángulos de 90 grados, ángulos de π/2 radianes o ángulos rectos). También se puede definir como un rectángulo en el que dos lados adyacentes tienen la misma longitud. Un cuadrado con vértices ABCD se denotaría \cuadrado ABCD .

Caracterizaciones

Un cuadrilátero convexo es un cuadrado si y solo si es cualquiera de los siguientes:

Propiedades

Un cuadrado es un caso especial de un rombo (lados iguales, ángulos opuestos iguales), una cometa (dos pares de lados iguales adyacentes), un trapezoide (un par de lados opuestos paralelos), un paralelogramo (todos los lados opuestos paralelos), un cuadrilátero o tetrágono (polígono de cuatro lados), y un rectángulo (lados opuestos iguales, ángulos rectos), y por lo tanto tiene todas las propiedades de todas estas formas, a saber:

Perímetro y área

El perímetro de un cuadrado cuyos cuatro lados tienen longitud \anaes P=4\ell

y el área A es A = \ ell ^ {2}.

En la época clásica, la segunda potencia se describía en términos del área de un cuadrado, como en la fórmula anterior. Esto llevó al uso del término cuadrado para significar elevar a la segunda potencia.

El área también se puede calcular usando la diagonal d según A={\frac{d^{2}}{2}}.

En términos del circunradio R , el área de un cuadrado es A=2R^{2};

ya que el area del circulo es \piR^{2},la plaza se llena {\ estilo de visualización 2/\ pi \ aproximadamente 0,6366}de su círculo circunscrito.

En términos del inradio r , el área del cuadrado es {\displaystyle A=4r^{2};}

por lo tanto el área del círculo inscrito es {\ estilo de visualización \ pi /4 \ aproximadamente 0,7854}de la de la plaza.

Por ser un polígono regular, un cuadrado es el cuadrilátero de menor perímetro que encierra un área determinada. Dualmente, un cuadrado es el cuadrilátero que contiene el área más grande dentro de un perímetro dado. De hecho, si A y P son el área y el perímetro encerrados por un cuadrilátero, entonces se cumple la siguiente desigualdad isoperimétrica: {\displaystyle 16A\leq P^{2}}

con igualdad si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Otros hechos

2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.

{\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^ {4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4} }+R^{2}\derecho)^{2}.}

{\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{ 2})}y {\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4} ),}donde Res el circunradio del cuadrado.

Coordenadas y ecuaciones

Las coordenadas de los vértices de un cuadrado de lados verticales y horizontales, centrado en el origen y de lado de longitud 2 son (±1, ±1), mientras que el interior de este cuadrado está formado por todos los puntos ( i , i ) con −1 < yo < 1 y −1 < yo < 1 . La ecuacion \max(x^{2},y^{2})=1

especifica el límite de este cuadrado. Esta ecuación significa " x o y , cualquiera que sea mayor, es igual a 1". El circunradio de este cuadrado (el radio de un círculo dibujado a través de los vértices del cuadrado) es la mitad de la diagonal del cuadrado y es igual a {\ sqrt {2}}.Entonces el circuncírculo tiene la ecuación x^{2}+y^{2}=2.

Alternativamente la ecuación \izquierda|xa\derecha|+\izquierda|yb\derecha|=r.

también se puede usar para describir el límite de un cuadrado con coordenadas centrales ( a , b ) y un radio horizontal o vertical de r . Por lo tanto, el cuadrado tiene la forma de una bola topológica según la métrica de distancia L 1 .

Construcción

Las siguientes animaciones muestran cómo construir un cuadrado usando un compás y una regla. Esto es posible como 4 = 2 , una potencia de dos.

Simetría

El cuadrado tiene simetría Dih 4 , orden 8. Hay 2 subgrupos diédricos: Dih 2 , Dih 1 y 3 subgrupos cíclicos: Z 4 , Z 2 y Z 1 .

Un cuadrado es un caso especial de muchos cuadriláteros de simetría inferior:

Estas 6 simetrías expresan 8 simetrías distintas en un cuadrado. John Conway los etiqueta con una letra y un orden de grupo.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para cuadriláteros irregulares. r8 es la simetría completa del cuadrado y a1 no es simetría. d4 es la simetría de un rectángulo y p4 es la simetría de un rombo. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del cuadrado. d2 es la simetría de un trapezoide isósceles y p2 es la simetría de una cometa. g2 define la geometría de un paralelogramo.

Solo el subgrupo g4 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un cuadrado con aristas dirigidas.

Cuadrados inscritos en triángulos

Cada triángulo acutángulo tiene tres cuadrados inscritos (cuadrados en su interior tales que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y, por lo tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En un triángulo rectángulo, dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo tiene solo dos cuadrados inscritos distintos . Un triángulo obtuso tiene un solo cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado más largo del triángulo.

La fracción del área del triángulo que ocupa el cuadrado no es más de 1/2.

Cuadratura del circulo

La cuadratura del círculo, propuesta por los antiguos geómetras, es el problema de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado, usando solo un número finito de pasos con compás y regla.

En 1882, se demostró que la tarea era imposible como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass, que prueba que pi ( π ) es un número trascendental en lugar de un número irracional algebraico; es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales.

Geometría no euclidiana

En geometría no euclidiana, los cuadrados son más generalmente polígonos con 4 lados iguales y ángulos iguales.

En geometría esférica, un cuadrado es un polígono cuyos bordes son grandes arcos de círculo de igual distancia, que se encuentran en ángulos iguales. A diferencia del cuadrado de la geometría plana, los ángulos de dicho cuadrado son mayores que un ángulo recto. Los cuadrados esféricos más grandes tienen ángulos más grandes.

En geometría hiperbólica no existen cuadrados con ángulos rectos. Más bien, los cuadrados en geometría hiperbólica tienen ángulos menores que los ángulos rectos. Los cuadrados hiperbólicos más grandes tienen ángulos más pequeños.

Ejemplos:

Diedro tetragonal.png
Dos cuadrados pueden enlosar la esfera con 2 cuadrados alrededor de cada vértice y ángulos internos de 180 grados. Cada cuadrado cubre un hemisferio completo y sus vértices se encuentran a lo largo de un gran círculo. Esto se llama un diedro cuadrado esférico. El símbolo de Schläfli es {4,2}.
Cuadrado en esfera.svg
Seis cuadrados pueden enlosar la esfera con 3 cuadrados alrededor de cada vértice y ángulos internos de 120 grados. Esto se llama un cubo esférico. El símbolo de Schläfli es {4,3}.
Cuadrado en plano hiperbólico.png
Los cuadrados pueden enlosar el plano hiperbólico con 5 alrededor de cada vértice, y cada cuadrado tiene ángulos internos de 72 grados. El símbolo de Schläfli es {4,5}. De hecho, para cualquier n ≥ 5 existe un mosaico hiperbólico con n cuadrados alrededor de cada vértice.

Cuadrado cruzado

Un cuadrado cruzado es una faceta del cuadrado, un polígono que se corta a sí mismo creado al eliminar dos bordes opuestos de un cuadrado y volver a conectarlos por sus dos diagonales. Tiene la mitad de la simetría del cuadrado, Dih 2 , orden 4. Tiene la misma disposición de vértices que el cuadrado y es de vértice transitivo. Aparece como dos triángulos 45-45-90 con un vértice común, pero la intersección geométrica no se considera un vértice.

Un cuadrado cruzado a veces se compara con una pajarita o una mariposa. el rectángulo cruzado está relacionado, como un facetado del rectángulo, ambos casos especiales de cuadriláteros cruzados.

El interior de un cuadrado cruzado puede tener una densidad de polígono de ±1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación del devanado en sentido horario o antihorario.

Un cuadrado y un cuadrado cruzado tienen las siguientes propiedades en común:

Existe en la figura del vértice de un poliedro estrella uniforme, el tetrahemihexaedro.

Gráficos

El gráfico completo K 4 a menudo se dibuja como un cuadrado con las 6 aristas posibles conectadas, por lo que aparece como un cuadrado con ambas diagonales dibujadas. Este gráfico también representa una proyección ortográfica de los 4 vértices y las 6 aristas del 3-simplex regular (tetraedro).