Cuadrado

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En geometría euclidiana, un cuadrado es un cuadrilátero regular, lo que significa que tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos iguales (ángulos de 90 grados, ángulos de π/2 radianes o ángulos rectos). También se puede definir como un rectángulo en el que dos lados adyacentes tienen la misma longitud. Un cuadrado con vértices ABCD se denotaría $\cuadrado$ ABCD .

Caracterizaciones

Un cuadrilátero convexo es un cuadrado si y solo si es cualquiera de los siguientes:

Un rectángulo con dos lados iguales adyacentes
Un rombo con un ángulo de vértice recto
Un rombo con todos los ángulos iguales
Un paralelogramo con un ángulo de vértice recto y dos lados iguales adyacentes
Un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos
Un cuadrilátero donde las diagonales son iguales y son las bisectrices perpendiculares entre sí (es decir, un rombo con diagonales iguales)
Un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d cuya área es $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2 }).$

Propiedades

Un cuadrado es un caso especial de un rombo (lados iguales, ángulos opuestos iguales), una cometa (dos pares de lados iguales adyacentes), un trapezoide (un par de lados opuestos paralelos), un paralelogramo (todos los lados opuestos paralelos), un cuadrilátero o tetrágono (polígono de cuatro lados), y un rectángulo (lados opuestos iguales, ángulos rectos), y por lo tanto tiene todas las propiedades de todas estas formas, a saber:

Las diagonales de un cuadrado se bisecan entre sí y se encuentran a 90°.
Las diagonales de un cuadrado bisecan sus ángulos.
Los lados opuestos de un cuadrado son paralelos y de igual longitud.
Los cuatro ángulos de un cuadrado son iguales (cada uno de 360°/4 = 90°, un ángulo recto).
Los cuatro lados de un cuadrado son iguales.
Las diagonales de un cuadrado son iguales.
El cuadrado es el caso n=2 de las familias de n-hipercubos y n-ortoplejos.
Un cuadrado tiene el símbolo de Schläfli {4}. Un cuadrado truncado, t{4}, es un octágono, {8}. Un cuadrado alternado, h{4}, es un digon, {2}.

Perímetro y área

El perímetro de un cuadrado cuyos cuatro lados tienen longitud $\ana$ es $P=4\ell$

y el área A es $A = \ ell ^ {2}.$

En la época clásica, la segunda potencia se describía en términos del área de un cuadrado, como en la fórmula anterior. Esto llevó al uso del término cuadrado para significar elevar a la segunda potencia.

El área también se puede calcular usando la diagonal d según $A={\frac{d^{2}}{2}}.$

En términos del circunradio R , el área de un cuadrado es $A=2R^{2};$

ya que el area del circulo es $\piR^{2},$ la plaza se llena ${\ estilo de visualización 2/\ pi \ aproximadamente 0,6366}$ de su círculo circunscrito.

En términos del inradio r , el área del cuadrado es $A=4r^{2};$

por lo tanto el área del círculo inscrito es ${\ estilo de visualización \ pi /4 \ aproximadamente 0,7854}$ de la de la plaza.

Por ser un polígono regular, un cuadrado es el cuadrilátero de menor perímetro que encierra un área determinada. Dualmente, un cuadrado es el cuadrilátero que contiene el área más grande dentro de un perímetro dado. De hecho, si A y P son el área y el perímetro encerrados por un cuadrilátero, entonces se cumple la siguiente desigualdad isoperimétrica: $16A\leq P^{2}$

con igualdad si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Otros hechos

Las diagonales de un cuadrado son ${\ sqrt {2}}$ (alrededor de 1.414) veces la longitud de un lado del cuadrado. Este valor, conocido como raíz cuadrada de 2 o constante de Pitágoras, fue el primer número que demostró ser irracional.
Un cuadrado también se puede definir como un paralelogramo con diagonales iguales que bisecan los ángulos.
Si una figura es a la vez un rectángulo (ángulos rectos) y un rombo (longitud de borde igual), entonces es un cuadrado.
Un cuadrado tiene un área mayor que cualquier otro cuadrilátero con el mismo perímetro.
Un mosaico cuadrado es uno de los tres mosaicos regulares del plano (los otros son el triángulo equilátero y el hexágono regular).
El cuadrado pertenece a dos familias de politopos en dos dimensiones: el hipercubo y el politopo cruzado. El símbolo de Schläfli para el cuadrado es {4}.
El cuadrado es un objeto altamente simétrico. Hay cuatro ejes de simetría reflexiva y tiene simetría rotacional de orden 4 (hasta 90°, 180° y 270°). Su grupo de simetría es el grupo diédrico D ₄ .
Si la circunferencia inscrita de un cuadrado ABCD tiene puntos de tangencia E sobre AB , F sobre BC , G sobre CD y H sobre DA , entonces para cualquier punto P sobre la circunferencia inscrita,

$2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.$

Si $d_{i}$ es la distancia desde un punto arbitrario en el plano al i -ésimo vértice de un cuadrado y $R$ es el circunradio del cuadrado, entonces

${\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^ {4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4} }+R^{2}\derecho)^{2}.$

Si $L$ y $d_{i}$ son las distancias desde un punto arbitrario en el plano al baricentro del cuadrado y sus cuatro vértices respectivamente, entonces

$d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{ 2})$ y $d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4} ),$ donde $R$ es el circunradio del cuadrado.

Coordenadas y ecuaciones

Las coordenadas de los vértices de un cuadrado de lados verticales y horizontales, centrado en el origen y de lado de longitud 2 son (±1, ±1), mientras que el interior de este cuadrado está formado por todos los puntos ( x _i , y _i ) con −1 < X _yo < 1 y −1 < y _yo < 1 . La ecuacion $\max(x^{2},y^{2})=1$

especifica el límite de este cuadrado. Esta ecuación significa " x o y , cualquiera que sea mayor, es igual a 1". El circunradio de este cuadrado (el radio de un círculo dibujado a través de los vértices del cuadrado) es la mitad de la diagonal del cuadrado y es igual a ${\ sqrt {2}}.$ Entonces el circuncírculo tiene la ecuación $x^{2}+y^{2}=2.$

Alternativamente la ecuación $\izquierda|xa\derecha|+\izquierda|yb\derecha|=r.$

también se puede usar para describir el límite de un cuadrado con coordenadas centrales ( a , b ) y un radio horizontal o vertical de r . Por lo tanto, el cuadrado tiene la forma de una bola topológica según la métrica de distancia L _{1 .}

Construcción

Las siguientes animaciones muestran cómo construir un cuadrado usando un compás y una regla. Esto es posible como 4 = 2 , una potencia de dos.

Simetría

El cuadrado tiene simetría Dih ₄ , orden 8. Hay 2 subgrupos diédricos: Dih ₂ , Dih ₁ y 3 subgrupos cíclicos: Z ₄ , Z ₂ y Z ₁ .

Un cuadrado es un caso especial de muchos cuadriláteros de simetría inferior:

Un rectángulo con dos lados iguales adyacentes
Un cuadrilátero con cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos
Un paralelogramo con un ángulo recto y dos lados iguales adyacentes
Un rombo con un ángulo recto
Un rombo con todos los ángulos iguales
Un rombo con diagonales iguales

Estas 6 simetrías expresan 8 simetrías distintas en un cuadrado. John Conway los etiqueta con una letra y un orden de grupo.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para cuadriláteros irregulares. r8 es la simetría completa del cuadrado y a1 no es simetría. d4 es la simetría de un rectángulo y p4 es la simetría de un rombo. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del cuadrado. d2 es la simetría de un trapezoide isósceles y p2 es la simetría de una cometa. g2 define la geometría de un paralelogramo.

Solo el subgrupo g4 no tiene grados de libertad, pero puede verse como un cuadrado con aristas dirigidas.

Cuadrados inscritos en triángulos

Cada triángulo acutángulo tiene tres cuadrados inscritos (cuadrados en su interior tales que los cuatro vértices de un cuadrado se encuentran en un lado del triángulo, por lo que dos de ellos se encuentran en el mismo lado y, por lo tanto, un lado del cuadrado coincide con parte de un lado del triángulo). En un triángulo rectángulo, dos de los cuadrados coinciden y tienen un vértice en el ángulo recto del triángulo, por lo que un triángulo rectángulo tiene solo dos cuadrados inscritos distintos . Un triángulo obtuso tiene un solo cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado más largo del triángulo.

La fracción del área del triángulo que ocupa el cuadrado no es más de 1/2.

Cuadratura del circulo

La cuadratura del círculo, propuesta por los antiguos geómetras, es el problema de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado, usando solo un número finito de pasos con compás y regla.

En 1882, se demostró que la tarea era imposible como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass, que prueba que pi ( π ) es un número trascendental en lugar de un número irracional algebraico; es decir, no es la raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales.

Geometría no euclidiana

En geometría no euclidiana, los cuadrados son más generalmente polígonos con 4 lados iguales y ángulos iguales.

En geometría esférica, un cuadrado es un polígono cuyos bordes son grandes arcos de círculo de igual distancia, que se encuentran en ángulos iguales. A diferencia del cuadrado de la geometría plana, los ángulos de dicho cuadrado son mayores que un ángulo recto. Los cuadrados esféricos más grandes tienen ángulos más grandes.

En geometría hiperbólica no existen cuadrados con ángulos rectos. Más bien, los cuadrados en geometría hiperbólica tienen ángulos menores que los ángulos rectos. Los cuadrados hiperbólicos más grandes tienen ángulos más pequeños.

Ejemplos:

Cuadrado cruzado

Un cuadrado cruzado es una faceta del cuadrado, un polígono que se corta a sí mismo creado al eliminar dos bordes opuestos de un cuadrado y volver a conectarlos por sus dos diagonales. Tiene la mitad de la simetría del cuadrado, Dih ₂ , orden 4. Tiene la misma disposición de vértices que el cuadrado y es de vértice transitivo. Aparece como dos triángulos 45-45-90 con un vértice común, pero la intersección geométrica no se considera un vértice.

Un cuadrado cruzado a veces se compara con una pajarita o una mariposa. el rectángulo cruzado está relacionado, como un facetado del rectángulo, ambos casos especiales de cuadriláteros cruzados.

El interior de un cuadrado cruzado puede tener una densidad de polígono de ±1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación del devanado en sentido horario o antihorario.

Un cuadrado y un cuadrado cruzado tienen las siguientes propiedades en común:

Los lados opuestos tienen la misma longitud.
Las dos diagonales tienen la misma longitud.
Tiene dos líneas de simetría reflexiva y simetría rotacional de orden 2 (hasta 180°).

Existe en la figura del vértice de un poliedro estrella uniforme, el tetrahemihexaedro.

Gráficos

El gráfico completo K 4 a menudo se dibuja como un cuadrado con las 6 aristas posibles conectadas, por lo que aparece como un cuadrado con ambas diagonales dibujadas. Este gráfico también representa una proyección ortográfica de los 4 vértices y las 6 aristas del 3-simplex regular (tetraedro).

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