Criterio de rendimiento de von Mises

En mecánico continuo, el criterio de energía de distorsión máxima (también von Mises criterio de rendimiento) afirma que el rendimiento de un material dúctil comienza cuando el segundo invariante del estrés desviador ${displaystyle J_{2}$ alcanza un valor crítico. Es una parte de la teoría de la plasticidad que se aplica principalmente a materiales dútiles, como algunos metales. Antes del rendimiento, se puede suponer que la respuesta material es de un comportamiento elástico, visscoelástico o lineal.

En la ciencia y la ingeniería de los materiales, el criterio de rendimiento de von Mises también se formula en términos del estrés de von Mises o el estrés de tracción equivalente, ${displaystyle sigma _{text{v}}$. Este es un valor escalar del estrés que se puede calcular del tensor de estrés de Cauchy. En este caso, se dice que un material empieza a producir cuando el estrés de von Mises alcanza un valor conocido como fuerza de rendimiento, ${displaystyle sigma _{y}}$. El estrés de von Mises se utiliza para predecir el rendimiento de materiales bajo carga compleja a partir de los resultados de pruebas de tracción uniaxial. El estrés de von Mises satisface la propiedad donde dos estados de estrés con la misma energía de distorsión tienen un igual von Mises estrés.

Porque el von El criterio de rendimiento de mises es independiente del primer estrés invariante, ${displaystyle I_{1}$, es aplicable para el análisis de deformación de plástico para materiales dútiles como metales, como el inicio de rendimiento para estos materiales no depende del componente hidrostático del tensor de estrés.

Aunque se ha creído que fue formulado por James Clerk Maxwell en 1865, Maxwell sólo describió las condiciones generales en una carta a William Thomson (Lord Kelvin). Richard Edler von Mises lo formuló rigurosamente en 1913. Tytus Maksymilian Huber (1904), en un artículo escrito en polaco, anticipó hasta cierto punto este criterio al confiar adecuadamente en la energía de deformación de distorsión, no en la energía de deformación total como sus predecesores. Heinrich Hencky formuló el mismo criterio que von Mises de forma independiente en 1924. Por las razones anteriores, este criterio también se conoce como la "teoría de Maxwell-Huber-Hencky-von Mises".

Formulación matemática

Matemáticamente, el criterio de rendimiento de von Mises se expresa como:

${displaystyle J_{2}=k^{2},!$

Aquí. ${displaystyle k}$ es el rendimiento del estrés del material en el tinte puro. Como se muestra más adelante en este artículo, al comienzo de la producción, la magnitud del estrés de rendimiento de la cizalla es √3 veces menor que el estrés de rendimiento de la tensión en el caso de tensión simple. Así, tenemos:

${displaystyle k={frac {sigma ¿Qué? {}}}$

Donde ${displaystyle sigma _{y}$ es la fuerza de rendimiento tensil del material. Si fijamos el estrés de von Mises igual a la fuerza de rendimiento y combinamos las ecuaciones anteriores, el criterio de rendimiento de von Mises está escrito como:

${displaystyle sigma _{v}=sigma ¿Qué? {3J_{2}}}$

o

${displaystyle sigma ¿Qué?$

Sustitución ${displaystyle J_{2}$ con los componentes de tensor de estrés Cauchy, obtenemos

${displaystyle sigma _{2}={2}{2}{2}left[(sigma _{11}-sigma _{22})^{2}+(sigma _{22}-sigma _{33}-sigma _{33})}+(sigma _{33}-sigma ¿Por qué? - ¿Qué? _{31}{2}+sigma _{12}{2}right)right]={frac {3}{2}s_{ij}s_{ij}$,

Donde ${displaystyle s}$ se llama estrés desviador. Esta ecuación define la superficie de rendimiento como un cilindro circular (Ver Figura) cuya curva de rendimiento, o intersección con el plano desviador, es un círculo con radio ${displaystyle {sqrt {2}k}$o ${fnMicroc} {2}{3}sigma ¿Qué?$. Esto implica que la condición de rendimiento es independiente de las tensiones hidrostáticas.

Ecuación de von Mises reducida para diferentes condiciones de tensión

Esfuerzo uniaxial (1D)

En el caso de estrés uniaxial o simple tensión, ${displaystyle sigma _{1}neq 0,sigma ¿Qué?$, el criterio de von Mises simplemente reduce a

${displaystyle sigma _{1}=sigma ¿Qué?$,

que significa que el material comienza a producir cuando ${displaystyle sigma ¿Qué?$ alcanza rendimiento del material ${displaystyle sigma _{y}}$, de acuerdo con la definición de fuerza de rendimiento tensil (o compresivo).

Esfuerzo multiaxial (2D o 3D)

Un estrés de tracción equivalente o el estrés equivalente de von-Mises, ${displaystyle sigma _{text{v}}$ se utiliza para predecir el rendimiento de materiales bajo condiciones de carga multiaxial utilizando resultados de simples pruebas de tracción uniaxial. Así, definimos

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} - ¿Qué? - ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft _{1}-sigma _{2}sigma _{2}sigma _{2}+(sigma _{2}sigma _{2}sigma}+(sigma}{2}sigma}{2})}c}}}}c}{2}{2}}}}c}}}}}}c}{2}}{2}}}}}}}}}c}c}}}}c}{2}{2}c}}}}}}}}}}}}}}}c}c}}}}}}c}{2}{2}c}c}c}c}c}}c}}}}}}}}}}c}}c}c}c}c}c}}}}}}}}}}}} {3} {2}s_{ij}}end{aligned},!$

Donde ${displaystyle s_{ij}$ son componentes de desviador de tensión tensor ${displaystyle {boldsymbol {sigma } {text{dev}}$:

${displaystyle {boldsymbol {sigma } {text{dev}={boldsymbol {sigma }-{frac {f}fnMitbf {\fnMicrosoft Sans Serif}}}} {fnMitbf {f}f}fnMitbf {f}fnMitbf} {fnMitbf} {fnKf}f}fnKf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMitH00fnMitH00f}cH00fnKf}fnKfnKfnKf}f}f}f}fnMinKf}fnMinMinKf}cH00cH00fnKf}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMin$.

En este caso, el rendimiento ocurre cuando el estrés equivalente, ${displaystyle sigma _{text{v}}$, alcanza la fuerza de rendimiento del material en simple tensión, ${displaystyle sigma _{y}}$. Como ejemplo, el estado de estrés de un rayo de acero en compresión difiere del estado de estrés de un eje de acero bajo torsión, incluso si ambos especímenes son del mismo material. En vista del tensor de estrés, que describe completamente el estado de estrés, esta diferencia se manifiesta en seis grados de libertad, porque el tensor de estrés tiene seis componentes independientes. Por lo tanto, es difícil decir cuál de los dos especímenes está más cerca del punto de rendimiento o incluso ha llegado a él. Sin embargo, mediante el criterio de rendimiento de von Mises, que depende únicamente del valor del estrés del escalar von Mises, es decir, un grado de libertad, esta comparación es sencilla: Un valor más grande de von Mises implica que el material está más cerca del punto de rendimiento.

En el caso de estrés puro de oso, ${displaystyle sigma _{12}=sigma _{21}neq 0}$, mientras que todos los demás ${displaystyle sigma _{ij}=0}$, Von Mises criterion se convierte en:

${displaystyle sigma ##{12}=k={frac {sigma ¿Qué? {3}},!$.

Esto significa que, al comienzo de la producción, la magnitud de la tensión de la ola en la ola pura es ${displaystyle {sqrt {3}}$ tiempos más bajos que el estrés de rendimiento en el caso de simple tensión. El criterio de rendimiento de Von Mises para el estrés puro de las lágrimas, expresado en las principales tensiones, es

${displaystyle (sigma _{1}-sigma _{2})^{2}+(sigma _{2}-sigma _{3})^{2}+(sigma _{1}-sigma ¿Qué? ¡No!$

En el caso del estrés del avión principal, ${displaystyle sigma _{3}=0}$ y ${displaystyle sigma _{12}=sigma _{23}=sigma$, el criterio de von Mises se convierte en:

${displaystyle sigma ¿Qué? _{1}sigma _{2}+sigma ¿Qué? ¡No!$

Esta ecuación representa un elipse en el plano ${displaystyle sigma _{1}-sigma ¿Qué?$.

Resumen

Estado de estrés	Condiciones monetarias	Ecuaciones von Mises
General	Sin restricciones	${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {1}}}left[(sigma _{11}-sigma _{22})^{2}+(sigma _{22}sigma _{22}-sigma _{33})}{2}+ {sigma} - ¿Qué? ¿Por qué?$
Principales tensiones	${displaystyle sigma _{12}=sigma _{31}=sigma ¡No!$	${displaystyle sigma _{text{v}={sqrt {frac {1}{2}}left[(sigma _{1}-sigma _{2})^{2}+(sigma _{2}-sigma _{3})}}{2}+(sigma _{3}-sigma _ {sigma}-sigma _ {sigma _ {sigma - Sí.$
estrés del avión general	${displaystyle {begin{aligned}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$	${displaystyle sigma _{text{v}={sqrt {sigma _{11}{2}-sigma _{11}sigma _{22}+sigma ##{22}{2}+3sigma ¡No!$
Principales tensiones en el plano	${displaystyle {begin{aligned}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{31}=sigma - ¿Qué?$	${displaystyle sigma _{text{v}={sqrt {sigma - ¿Qué? ¿Qué? _{1}sigma ¡No!$
Pure shear	${displaystyle {begin{aligned}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?$	${displaystyle sigma _{text{v}={sqrt {3}Sobrevivirsigma - ¡Perfecto!$
Uniaxial	${displaystyle {begin{aligned}sigma - ¿Qué? - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{31}=sigma - ¿Qué?$	${displaystyle sigma _{text{v}=sigma ¡No!$

Interpretación física del criterio de rendimiento de von Mises

Hencky (1924) ofreció una interpretación física del criterio de von Mises sugiriendo que el rendimiento comienza cuando la energía elástica de la distorsión alcanza un valor crítico. Por esta razón, el criterio de von Mises también se conoce como el criterio de la energía de la cepa de máxima distorsión. Esto viene de la relación entre ${displaystyle J_{2}$ y la energía de cepa elástica de la distorsión ${displaystyle ¿Qué?$:

${displaystyle ¿Qué? ¡Oh!$ con el módulo de corte elástico ${displaystyle G={frac {E}{2(1+nu)},!}$.

En 1937 Arpad L. Nadai sugirió que el rendimiento comienza cuando el estrés de la cizalla octaedral alcanza un valor crítico, es decir, el estrés de la cizaña octaedral del material al rendimiento en simple tensión. En este caso, el criterio de rendimiento de Von Mises también se conoce como el criterio máximo de estrés de octaedral en vista de la proporcionalidad directa que existe entre ${displaystyle J_{2}$ y el estrés de octaedral, ${displaystyle tau _{text{oct}}$, que por definición es

${displaystyle tau _{text{oct}}={sqrt {frac {2} {3}J_{2}}}},!}$

así tenemos

${displaystyle tau _{text{oct}={frac { sqrt {2}{3}}sigma - ¿Qué?$

La densidad de energía de la cadena consiste en dos componentes: volumétrico o dialacional y distorsionado. El componente volumétrico es responsable del cambio de volumen sin ningún cambio de forma. El componente distorcional es responsable de la deformación o cambio de forma.

Uso práctico de ingeniería del criterio de rendimiento de von Mises

Como se muestra en las ecuaciones anteriores, el uso del criterio von Mises como criterio de rendimiento es sólo exactamente aplicable cuando las siguientes propiedades materiales son homogéneas y tienen una relación de:

${displaystyle {frac {f} {f}}={f}}={f} {f}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}} {f}}} {sigma _{text{shear.yielding}}{sigma {fnMicrosoft Sans Serif}}={frac {1}{sqrt {3}}approx ¡577!$

Dado que ningún material tendrá esta proporción precisamente, en la práctica es necesario utilizar el criterio de ingeniería para decidir qué teoría de falla es apropiada para un material determinado. Alternativamente, para utilizar la teoría de Tresca, la misma proporción se define como 1/2.

El margen de rendimiento de seguridad se escribe como

${displaystyle MS_{text{yld}={frac {fnK} {fnMicrosoft} {f}} {fnMicrosoft}} {fn}} {f}}} {fnMicrosoft}}} {f}}} {fn}}}} {f}}}} {f}} {f}}}}}}}}} {sigma} - ¿Qué?$

Aunque el criterio dado se basa en un fenómeno de rendimiento, pruebas exhaustivas han demostrado que el uso de un método "von Mises" La tensión es aplicable a la carga máxima.

${displaystyle MS_{text{ult}={frac {F_{u}{sigma - ¿Qué?$