Criterio de estabilidad de Nyquist

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Método gráfico para determinar la estabilidad de un sistema dinámico

En teoría del control y teoría de la estabilidad, el criterio de estabilidad de Nyquist o criterio de estabilidad de Strecker-Nyquist, descubierto de forma independiente por el ingeniero eléctrico alemán Felix Strecker [de] en Siemens en 1930 y el ingeniero eléctrico sueco-estadounidense Harry Nyquist en Bell Telephone Laboratories en 1932, es una técnica gráfica para determinar la estabilidad de un sistema dinámico.

Debido a que solo analiza el gráfico de Nyquist de los sistemas de bucle abierto, se puede aplicar sin calcular explícitamente los polos y ceros del sistema de bucle cerrado o del sistema de bucle abierto (aunque el número de cada tipo de singularidades del semiplano derecho). Como resultado, se puede aplicar a sistemas definidos por funciones no racionales, como sistemas con retrasos. A diferencia de los diagramas de Bode, puede manejar funciones de transferencia con singularidades de semiplano derecho. Además, existe una generalización natural a sistemas más complejos con múltiples entradas y múltiples salidas, como los sistemas de control de aviones.

El criterio de estabilidad de Nyquist se utiliza ampliamente en la ingeniería de sistemas de control y electrónica, así como en otros campos, para diseñar y analizar sistemas con retroalimentación. Si bien Nyquist es una de las pruebas de estabilidad más generales, todavía está restringida a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Sin embargo, existen generalizaciones del criterio (y gráfico) de Nyquist para sistemas no lineales, como el criterio del círculo y el gráfico relativo escalado de un operador no lineal. Además, también se pueden aplicar otros criterios de estabilidad, como los métodos de Lyapunov, para sistemas no lineales.

Aunque Nyquist es una técnica gráfica, solo proporciona una cantidad limitada de intuición sobre por qué un sistema es estable o inestable, o cómo modificar un sistema inestable para que sea estable. Técnicas como los diagramas de Bode, aunque menos generales, a veces son una herramienta de diseño más útil.

Parcela de Nyquist

Un gráfico de Nyquist es un gráfico paramétrico de una respuesta de frecuencia que se utiliza en el control automático y el procesamiento de señales. El uso más común de los gráficos de Nyquist es para evaluar la estabilidad de un sistema con retroalimentación. En coordenadas cartesianas, la parte real de la función de transferencia se traza en el eje X, mientras que la parte imaginaria se traza en el eje Y. La frecuencia se barre como parámetro, lo que da como resultado un punto por frecuencia. El mismo gráfico se puede describir usando coordenadas polares, donde la ganancia de la función de transferencia es la coordenada radial y la fase de la función de transferencia es la coordenada angular correspondiente. La trama de Nyquist lleva el nombre de Harry Nyquist, un ex ingeniero de los Laboratorios Bell.

La evaluación de la estabilidad de un sistema de retroalimentación negativa de circuito cerrado se realiza aplicando el criterio de estabilidad de Nyquist al gráfico de Nyquist del sistema de circuito abierto (es decir, el mismo sistema sin su circuito de retroalimentación). Este método es fácilmente aplicable incluso para sistemas con retrasos y otras funciones de transferencia no racionales, que pueden parecer difíciles de analizar con otros métodos. La estabilidad se determina observando el número de círculos del punto (−1, 0). El rango de ganancias sobre el cual el sistema será estable se puede determinar observando los cruces del eje real.

El gráfico de Nyquist puede proporcionar cierta información sobre la forma de la función de transferencia. Por ejemplo, el gráfico proporciona información sobre la diferencia entre el número de ceros y polos de la función de transferencia por el ángulo en el que la curva se acerca al origen.

Cuando se dibuja a mano, a veces se utiliza una versión en caricatura del diagrama de Nyquist, que muestra la linealidad de la curva, pero donde las coordenadas están distorsionadas para mostrar más detalles en las regiones de interés. Cuando se traza computacionalmente, hay que tener cuidado de cubrir todas las frecuencias de interés. Normalmente, esto significa que el parámetro se barre logarítmicamente para cubrir una amplia gama de valores.

Fondo

Las matemáticas utilizan la transformada de Laplace, que transforma integrales y derivadas en el dominio del tiempo en multiplicaciones y divisiones simples en el dominio s.

Consideramos un sistema cuya función de transferencia es ${displaystyle G(s)}$ ; cuando se coloca en un bucle cerrado con retroalimentación negativa ${displaystyle H(s)}$ , la función de transferencia de bucle cerrado (CLTF) entonces se convierte en:

{displaystyle {frac {G}{1+GH}}}

La estabilidad puede determinarse examinando las raíces del factor de desensibilidad polinomial ${displaystyle 1+GH}$ , por ejemplo, usando el array Routh, pero este método es algo tedioso. También se pueden llegar a conclusiones examinando la función de transferencia de bucle abierto (OLTF) ${displaystyle GH(s)}$ , utilizando sus parcelas Bode o, como aquí, su trama polar utilizando el criterio de Nyquist, como sigue.

Cualquier función de transferencia de dominio Laplace ${displaystyle {mathcal {T}}(s)}$ se puede expresar como la proporción de dos polinomios:

{displaystyle {mathcal {T}}(s)={frac {N(s)}{D(s)}}.}

Las raíces de ${displaystyle N(s)}$ son llamados ceros de ${displaystyle {mathcal {T}}(s)}$ , y las raíces de ${displaystyle D(s)}$ son postes de ${displaystyle {mathcal {T}}(s)}$ . Los polos de ${displaystyle {mathcal {T}}(s)}$ se dice también que son las raíces de las ecuación característica ${displaystyle D(s)=0}$ .

La estabilidad de ${displaystyle {mathcal {T}}(s)}$ está determinado por los valores de sus polos: para la estabilidad, la parte real de cada polo debe ser negativa. Si ${displaystyle {mathcal {T}}(s)}$ se forma mediante el cierre de un bucle de retroalimentación de unidad negativa alrededor de la función de transferencia abierta,

{displaystyle GH(s)={frac {A(s)}{B(s)}}}

entonces las raíces de la ecuación característica son también los ceros de ${displaystyle 1+GH(s)}$ , o simplemente las raíces de ${displaystyle A(s)+B(s)=0}$ .

Principio argumentativo de Cauchy

Del análisis complejo, un contorno ${displaystyle Gamma _{s}}$ dibujado en el complejo ${displaystyle s}$ plano, abarcando pero no pasando por ningún número de ceros y polos de una función ${displaystyle F(s)}$ , se puede mapear a otro plano (nombre ${displaystyle F(s)}$ plano) por la función ${displaystyle F}$ . Precisamente, cada punto complejo ${displaystyle s}$ en el contorno ${displaystyle Gamma _{s}}$ es mapeado hasta el punto ${displaystyle F(s)}$ en el nuevo ${displaystyle F(s)}$ avión dando un nuevo contorno.

La parcela de Nyquist ${displaystyle F(s)}$ , que es el contorno ${displaystyle Gamma _{F(s)}=F(Gamma _{s})}$ rodeará el punto ${displaystyle s={-1/k+j0}}$ de la ${displaystyle F(s)}$ avión ${displaystyle N}$ veces, donde ${displaystyle N=P-Z}$ por el principio del argumento de Cauchy. Aquí. ${displaystyle Z}$ y ${displaystyle P}$ son, respectivamente, el número de ceros de ${displaystyle 1+kF(s)}$ y postes de ${displaystyle F(s)}$ dentro del contorno ${displaystyle Gamma _{s}}$ . Tenga en cuenta que contamos los alrededores ${displaystyle F(s)}$ plano en el mismo sentido que el contorno ${displaystyle Gamma _{s}}$ y que los círculos en la dirección opuesta son negativo cercados. Es decir, consideramos que los círculos de agujas del reloj son positivos y contrarredentes círculos para ser negativos.

En lugar del principio argumental de Cauchy, el artículo original de Harry Nyquist de 1932 utiliza un enfoque menos elegante. El enfoque explicado aquí es similar al utilizado por Leroy MacColl (Teoría fundamental de los servomecanismos, 1945) o por Hendrik Bode (Análisis de redes y diseño de amplificadores de retroalimentación, 1945), quienes también trabajaron para los Laboratorios Bell. Este enfoque aparece en la mayoría de los libros de texto modernos sobre teoría del control.

Definición

Primero construimos el contorno de Nyquist, un contorno que abarca la mitad derecha del plano complejo:

un camino que recorre ${displaystyle jomega }$ axis, desde ${displaystyle 0-jinfty }$ a ${displaystyle 0+jinfty }$ .
un arco semicircular, con radio ${displaystyle rto infty }$ , que comienza en ${displaystyle 0+jinfty }$ y viaja en horario a ${displaystyle 0-jinfty }$ .

El contorno Nyquist mapeado a través de la función ${displaystyle 1+G(s)}$ cede una parcela de ${displaystyle 1+G(s)}$ en el plano complejo. Por el principio del argumento, el número de circunscripciones en sentido de reloj del origen debe ser el número de ceros de ${displaystyle 1+G(s)}$ en el plano complejo de la mitad derecha menos el número de polos de ${displaystyle 1+G(s)}$ en el plano complejo de la mitad derecha. En lugar de ello, el contorno se mapea a través de la función de transferencia de apertura de circuito ${displaystyle G(s)}$ , el resultado es la parcela de Nyquist ${displaystyle G(s)}$ . Contando los alrededores del contorno resultante de −1, encontramos la diferencia entre el número de polos y ceros en el plano complejo de la mitad derecha del ${displaystyle 1+G(s)}$ . Recordando que los ceros de ${displaystyle 1+G(s)}$ son los polos del sistema de cierre cerrado, y notando que los polos de ${displaystyle 1+G(s)}$ son los mismos que los polos de ${displaystyle G(s)}$ , ahora declaramos el Criterio de Nyquist:

Dado un contorno de Nyquist ${displaystyle Gamma _{s}}$ , vamos ${displaystyle P}$ ser el número de polos de ${displaystyle G(s)}$ rodeado de ${displaystyle Gamma _{s}}$ , y ${displaystyle Z}$ ser el número de ceros de ${displaystyle 1+G(s)}$ rodeado de ${displaystyle Gamma _{s}}$ . Alternativamente, y más importante, si ${displaystyle Z}$ es el número de polos del sistema de bucle cerrado en el medio plano derecho, y ${displaystyle P}$ es el número de polos de la función de transferencia de apertura ${displaystyle G(s)}$ en el medio plano derecho, el contorno resultante en el ${displaystyle G(s)}$ -plane, ${displaystyle Gamma _{G(s)}}$ envolverá (en horario) el punto ${displaystyle (-1+j0)}$ ${displaystyle N}$ tiempos tales ${displaystyle N=Z-P}$ .

Si el sistema es inicialmente inestable, es necesario realizar comentarios para estabilizar el sistema. Los polos de la mitad derecha representan esa inestabilidad. Para la estabilidad cerrada de un sistema, el número de raíces cerradas en la mitad derecha de la s- El avión debe ser cero. Por lo tanto, el número de circunscripciones en sentido contrario sobre ${displaystyle -1+j0}$ debe ser igual al número de polos abiertos en el RHP. Cualquier círculo de relojes del punto crítico por la respuesta de frecuencia abierta (cuando se juzga de baja frecuencia a alta frecuencia) indicaría que el sistema de control de retroalimentación estaría desestabilizando si el bucle estuviera cerrado. (Usar ceros RHP para "cancelar" los polos RHP no elimina la inestabilidad, sino que asegura que el sistema seguirá siendo inestable incluso en presencia de retroalimentación, ya que las raíces cerradas viajan entre polos abiertos y ceros en presencia de retroalimentación. De hecho, el RHP cero puede hacer que el polo inestable sea inservible y por lo tanto no es estabilizable a través de la retroalimentación.)

El criterio de Nyquist para sistemas con polos en el eje imaginario

La consideración anterior se llevó a cabo con la suposición de que la función de transferencia abierta ${displaystyle G(s)}$ no tiene ningún polo en el eje imaginario (es decir, polos de la forma ${displaystyle 0+jomega }$ ). Esto resulta del requisito del principio del argumento de que el contorno no puede pasar a través de cualquier polo de la función de mapeo. El caso más común son los sistemas con integradores (poles a cero).

Para poder analizar sistemas con polos en el eje imaginario, se puede modificar el Contorno Nyquist para evitar pasar por el punto ${displaystyle 0+jomega }$ . Una manera de hacerlo es construir un arco semicircular con radio ${displaystyle rto 0}$ alrededor ${displaystyle 0+jomega }$ , que comienza en ${displaystyle 0+j(omega -r)}$ y viaja a la intemperie ${displaystyle 0+j(omega +r)}$ . Tal modificación implica que el fasor ${displaystyle G(s)}$ viaja a lo largo de un arco de infinito radio por ${displaystyle -lpi }$ , donde ${displaystyle l}$ es la multiplicidad del polo en el eje imaginario.

Derivación matemática

Un sistema de retroalimentación negativa de unidad G con aumento de escalar denotado por K

Nuestro objetivo es, a través de este proceso, verificar la estabilidad de la función de transferencia de nuestro sistema de retroalimentación unitaria con ganancia k, que está dada por

{displaystyle T(s)={frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}

Es decir, nos gustaría comprobar si la ecuación característica de la función de transferencia anterior, dada por

{displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}

tiene ceros fuera del plan abierto de la mitad izquierda (comúnmente inicializado como OLHP).

Suponemos que tenemos un contorno de reloj (es decir, orientado negativamente) ${displaystyle Gamma _{s}}$ encerrando el medio plano derecho, con las indentaciones necesarias para evitar pasar a través de ceros o polos de la función ${displaystyle G(s)}$ . El principio del argumento de Cauchy dice que

{displaystyle -{frac {1}{2pi i}}oint _{Gamma _{s}}{D'(s) over D(s)},ds=N=Z-P}

Donde ${displaystyle Z}$ denota el número de ceros de ${displaystyle D(s)}$ adjuntado por el contorno ${displaystyle P}$ denota el número de polos de ${displaystyle D(s)}$ por el mismo contorno. Reordenando, tenemos ${displaystyle Z=N+P}$ , que es decir

{displaystyle Z=-{frac {1}{2pi i}}oint _{Gamma _{s}}{D'(s) over D(s)},ds+P}

Entonces notamos que ${displaystyle D(s)=1+kG(s)}$ tiene exactamente los mismos polos que ${displaystyle G(s)}$ . Así, podemos encontrar ${displaystyle P}$ contando los polos de ${displaystyle G(s)}$ que aparecen dentro del contorno, es decir, dentro del medio plano abierto (ORHP).

Ahora reorganizaremos la parte superior integral a través de la sustitución. Eso es, establecer ${displaystyle u(s)=D(s)}$ , tenemos

{displaystyle N=-{frac {1}{2pi i}}oint _{Gamma _{s}}{D'(s) over D(s)},ds=-{frac {1}{2pi i}}oint _{u(Gamma _{s})}{1 over u},du}

Luego hacemos otra sustitución, estableciendo ${displaystyle v(u)={frac {u-1}{k}}}$ . Esto nos da

{displaystyle N=-{frac {1}{2pi i}}oint _{u(Gamma _{s})}{1 over u},du=-{{1} over {2pi i}}oint _{v(u(Gamma _{s}))}{1 over {v+1/k}},dv}

Ahora observamos que ${displaystyle v(u(Gamma _{s}))={{D(Gamma _{s})-1} over {k}}=G(Gamma _{s})}$ nos da la imagen de nuestro contorno bajo ${displaystyle G(s)}$ , que es decir nuestra parcela de Nyquist. Podemos reducir aún más la integral

{displaystyle N=-{frac {1}{2pi i}}oint _{G(Gamma _{s}))}{frac {1}{v+1/k}},dv}

aplicando la fórmula integral de Cauchy. De hecho, encontramos que la parte superior corresponde precisamente al número de veces que la parcela de Nyquist rodea el punto ${displaystyle -1/k}$ En sentido de reloj. Por lo tanto, podemos finalmente declarar que

{displaystyle {begin{aligned}Z={}&N+P\[6pt]={}&{text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{text{ clockwise)}}\&{}+{text{(number of poles of }}G(s){text{ in ORHP)}}end{aligned}}}

Así lo encontramos. ${displaystyle T(s)}$ como se define anteriormente corresponde a un sistema estable de alimentación de unidad cuando ${displaystyle Z}$ , como se evaluó anteriormente, es igual a 0.

Importancia

El criterio de estabilidad de Nyquist es una técnica gráfica que determina la estabilidad de un sistema dinámico, como un sistema de control de retroalimentación. Se basa en el principio del argumento y el diagrama de Nyquist de la función de transferencia en bucle abierto del sistema. Se puede aplicar a sistemas que no están definidos por funciones racionales, como sistemas con retrasos. También puede manejar funciones de transferencia con singularidades en el semiplano derecho, a diferencia de los diagramas de Bode. El criterio de estabilidad de Nyquist también se puede utilizar para encontrar los márgenes de fase y ganancia de un sistema, que son importantes para el diseño de controladores en el dominio de la frecuencia.

Resumen

Si la función de transferencia abierta ${displaystyle G(s)}$ tiene un polo cero de la multiplicidad ${displaystyle l}$ , entonces la parcela de Nyquist tiene una discontinuidad ${displaystyle omega =0}$ . Durante más análisis se debe suponer que el fasor viaja ${displaystyle l}$ a lo largo de un semicírculo de radio infinito. Después de aplicar esta regla, los polos cero deben ser descuidados, es decir, si no hay otros polos inestables, entonces la función de transferencia de apertura de circuito ${displaystyle G(s)}$ debe considerarse estable.
Si la función de transferencia abierta ${displaystyle G(s)}$ es estable, entonces el sistema de cierre cerrado es inestable, si y sólo si, la parcela de Nyquist rodea el punto −1 al menos una vez.
Si la función de transferencia abierta ${displaystyle G(s)}$ es inestable, entonces para que el sistema de cierre cerrado sea estable, debe haber uno contra- alrededor de −1 para cada polo de ${displaystyle G(s)}$ en la mitad derecha del plano complejo.
Número de circunscripciones sobrantes (N + P superior a 0) es exactamente el número de polos inestables del sistema de cierre cerrado.
Sin embargo, si el gráfico pasa por el punto ${displaystyle -1+j0}$ , después de decidir incluso la estabilidad marginal del sistema se hace difícil y la única conclusión que se puede extraer del gráfico es que hay ceros en el ${displaystyle jomega }$ Axis.

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