Crecimiento exponencial

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Crecimiento de cantidades a razón proporcional a la cantidad actual

El gráfico ilustra cómo el crecimiento exponencial (verde) supera tanto el crecimiento lineal (rojo) como el cúbico (azul).

Crecimiento lineal

Crecimiento cúbico

Crecimiento exponencial

El crecimiento exponencial es un proceso que aumenta la cantidad con el tiempo. Ocurre cuando la tasa de cambio instantánea (es decir, la derivada) de una cantidad con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad misma. Descrito como una función, una cantidad que experimenta un crecimiento exponencial es una función exponencial del tiempo, es decir, la variable que representa el tiempo es el exponente (a diferencia de otros tipos de crecimiento, como el crecimiento cuadrático).

Si la constante de proporcionalidad es negativa, entonces la cantidad disminuye con el tiempo y, en cambio, se dice que sufre un decaimiento exponencial. En el caso de un dominio de definición discreto con intervalos iguales, también se denomina crecimiento geométrico o decaimiento geométrico ya que los valores de la función forman una progresión geométrica.

La fórmula para el crecimiento exponencial de una variable $x$ a la tasa de crecimiento $r$ , a medida que el tiempo $t$ transcurre en intervalos discretos (es decir, en número entero multiplicado por 0, 1, 2, 3,...), es

{displaystyle x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}}

donde $x 0$ es el valor de $x$ en el tiempo 0. El crecimiento de una colonia bacteriana se usa a menudo para ilustrarlo. Una bacteria se divide en dos, cada una de las cuales se divide dando como resultado cuatro, luego ocho, 16, 32 y así sucesivamente. La cantidad de aumento sigue aumentando porque es proporcional al número cada vez mayor de bacterias. Un crecimiento como este se observa en la actividad o los fenómenos de la vida real, como la propagación de la infección por virus, el crecimiento de la deuda debido al interés compuesto y la difusión de videos virales. En casos reales, el crecimiento exponencial inicial a menudo no dura para siempre, sino que finalmente se ralentiza debido a los límites superiores causados por factores externos y se convierte en un crecimiento logístico.

Términos como "crecimiento exponencial" a veces se interpretan incorrectamente como "crecimiento rápido". De hecho, algo que crece exponencialmente puede, de hecho, crecer lentamente al principio.

Ejemplos

Las bacterias presentan un crecimiento exponencial en condiciones óptimas.

Biología

El número de microorganismos en una cultura aumentará exponencialmente hasta que se agote un nutriente esencial, por lo que no hay más nutrientes para que crezcan más organismos. Típicamente el primer organismo se divide en dos organismos hijas, que luego se dividen para formar cuatro, que se dividen para formar ocho, y así sucesivamente. Debido a que el crecimiento exponencial indica la tasa de crecimiento constante, se asume con frecuencia que las células de crecimiento exponencial están en un estado estable. Sin embargo, las células pueden crecer exponencialmente a un ritmo constante mientras remodelan su metabolismo y expresión génica.
Un virus (por ejemplo COVID-19, o viruela) se propagará exponencialmente al principio, si no hay inmunización artificial disponible. Cada persona infectada puede infectar a varias personas nuevas.

Física

Desglose de Avalanche dentro de un material dieléctrico. Un electrón libre se acelera suficientemente por un campo eléctrico aplicado externamente que libera electrones adicionales mientras colisiona con átomos o moléculas de los medios dieléctricos. Éstos secundaria Los electrones también se aceleran, creando un mayor número de electrones libres. El crecimiento exponencial resultante de electrones e iones puede conducir rápidamente a la degradación dieléctrica completa del material.
Reacción de la cadena nuclear (el concepto detrás de reactores nucleares y armas nucleares). Cada núcleo de uranio que sufre fisión produce múltiples neutrones, cada uno de los cuales puede ser absorbido por átomos de uranio adyacentes, causando a su vez fisión. Si la probabilidad de absorción de neutrones excede la probabilidad de escape de neutrones (una función de la forma y masa del uranio), la tasa de producción de neutrones y fisiones de uranio inducido aumenta exponencialmente, en una reacción incontrolada. "Debido a la tasa exponencial de aumento, en cualquier momento de la reacción en cadena el 99% de la energía se habrá liberado en las últimas 4.6 generaciones. Es una aproximación razonable pensar en las primeras 53 generaciones como un período de latencia que conduce a la explosión real, que sólo toma 3-4 generaciones".
La retroalimentación positiva dentro de la gama lineal de amplificación eléctrica o electroacústica puede resultar en el crecimiento exponencial de la señal amplificada, aunque los efectos de resonancia pueden favorecer algunas frecuencias de componente de la señal sobre otros.

Economía

El crecimiento económico se expresa en términos porcentuales, lo que implica un crecimiento exponencial.

Finanzas

El interés compuesto a una tasa de interés constante proporciona un crecimiento exponencial de la capital. Véase también la regla 72.
Los esquemas de pirámide o los esquemas de Ponzi también muestran este tipo de crecimiento que resulta en altas ganancias para algunos inversores iniciales y pérdidas entre un gran número de inversores.

Informática

Procesando el poder de las computadoras. Vea también la ley de Moore y la singularidad tecnológica. (Bajo el crecimiento exponencial, no hay singularidades. La singularidad aquí es una metáfora, destinada a transmitir un futuro inimaginable. El vínculo de este concepto hipotético con el crecimiento exponencial está hecho más vocalmente por el futurista Ray Kurzweil.)
En la teoría de la complejidad computacional, los algoritmos informáticos de la complejidad exponencial requieren una cantidad exponencialmente creciente de recursos (por ejemplo, tiempo, memoria computarizada) por sólo un aumento constante del tamaño del problema. Así que para un algoritmo de la complejidad del tiempo $2 x$ , si un problema de tamaño $x = 10$ requiere 10 segundos para completar, y un problema de tamaño $x = 11$ requiere 20 segundos, luego un problema de tamaño $x = 12$ requerirá 40 segundos. Este tipo de algoritmo normalmente se vuelve inutilizable en tamaños de problemas muy pequeños, a menudo entre 30 y 100 artículos (la mayoría de algoritmos informáticos necesitan ser capaces de resolver problemas mucho mayores, hasta decenas de miles o incluso millones de artículos en tiempos razonables, algo que sería físicamente imposible con un algoritmo exponencial). Además, los efectos de la Ley de Moore no ayudan mucho a la situación porque duplicar la velocidad del procesador simplemente le permite aumentar el tamaño del problema por una constante. Por ejemplo, si un procesador lento puede resolver problemas de tamaño $x$ en el tiempo $t$ , entonces un procesador dos veces más rápido sólo podría resolver problemas de tamaño $x + constante$ en el mismo tiempo $t$ . Así que los algoritmos exponencialmente complejos son más a menudo poco prácticos, y la búsqueda de algoritmos más eficientes es uno de los objetivos centrales de la ciencia informática de hoy.

Fenómenos de Internet

El contenido de Internet, como los memes de Internet o los vídeos, se puede propagar de manera exponencial, a menudo se dice "ir viral" como una analogía con la propagación de virus. Con medios como las redes sociales, una persona puede transmitir el mismo contenido a muchas personas simultáneamente, que luego lo propagan a más personas, y así sucesivamente, causando una rápida propagación. Por ejemplo, el vídeo Gangnam Style fue subido a YouTube el 15 de julio de 2012, llegando a cientos de miles de espectadores el primer día, millones el vigésimo día, y fue vista acumulativamente por cientos de millones en menos de dos meses.

Fórmula básica

crecimiento exponencial:

{displaystyle {begin{aligned}a&=3\b&=2\r&=5end{aligned}}}

crecimiento exponencial:

{displaystyle {begin{aligned}a&=24\b&={frac {1}{2}}\r&=5end{aligned}}}

Una cantidad $x$ depende exponencialmente del tiempo $t$ si

{displaystyle x(t)=acdot b^{t/tau }}

a

x

{displaystyle x(0)=a,,}

b

τ

x

b

{displaystyle x(t+tau)=acdot b^{frac {t+tau }{tau }}=acdot b^{frac {t}{tau }}cdot b^{frac {tau }{tau }}=x(t)cdot b,.}

Si $τ > 0$ y $b > 1$ , entonces $x$ tiene un crecimiento exponencial. Si $τ < 0$ y $b > 1$ , o $τ > 0$ y $0 < b < 1$ , entonces $x$ tiene una caída exponencial.

Ejemplo: Si una especie de bacteria se duplica cada diez minutos, comenzando con una sola bacteria, ¿cuántas bacterias estarían presentes después de una hora? La pregunta implica $a = 1$ , $b = 2$ y $τ = 10 minutos$ .

{displaystyle x(t)=acdot b^{t/tau }=1cdot 2^{t/(10{text{ min}})}}

{displaystyle x(1{text{ hr}})=1cdot 2^{(60{text{ min}})/(10{text{ min}})}=1cdot 2^{6}=64.}

Después de una hora, o seis intervalos de diez minutos, habría sesenta y cuatro bacterias.

Muchos pares $(b, τ)$ de un número adimensional no negativo $b$ y una cantidad de tiempo $τ$ (una cantidad física que se puede expresar como el producto de un número de unidades y una unidad de tiempo) representan la misma tasa de crecimiento, con $τ$ proporcional a $log b$ . Para cualquier $b$ fijo que no sea igual a 1 (por ejemplo, e o 2), la tasa de crecimiento viene dada por el no- tiempo cero $τ$ . Para cualquier tiempo distinto de cero $τ$ , la tasa de crecimiento viene dada por el número positivo adimensional $b$ .

Por lo tanto, la ley del crecimiento exponencial se puede escribir en formas diferentes pero matemáticamente equivalentes, usando una base diferente. Las formas más comunes son las siguientes:

{displaystyle x(t)=x_{0}cdot e^{kt}=x_{0}cdot e^{t/tau }=x_{0}cdot 2^{t/T}=x_{0}cdot left(1+{frac {r}{100}}right)^{t/p},}

x 0

x (0)

Parámetros (negativos en caso de decaimiento exponencial):

El crecimiento constante $k$ es la frecuencia (número de veces por unidad de tiempo) de crecimiento por un factor $e$ ; en finanzas también se llama el retorno logarítmico, retorno compuesto continuamente, o fuerza de interés.
El Tiempo de ejecución electrónica τ es el tiempo que se necesita para crecer por un factor e.
El duplicando el tiempo T es el momento que se necesita para doblar.
Aumento del porcentaje $r$ (número sin dimensión) en un período $p$ .

Las cantidades $k$ , $τ$ y $T$ , y para un determinado $p$ también $r$ , tiene una conexión uno a uno dada por la siguiente ecuación (que se puede derivar tomando el logaritmo natural de lo anterior):

{displaystyle k={frac {1}{tau }}={frac {ln 2}{T}}={frac {ln left(1+{frac {r}{100}}right)}{p}}}

k = 0

r = 0

τ

T

Si $p$ es la unidad de tiempo el cociente $t / p$ es simplemente el número de unidades de tiempo. Usando la notación $t$ para el número (adimensional) de unidades de tiempo en lugar del tiempo mismo, <span class="texhtml" t/p se puede reemplazar por $t$ , pero por uniformidad esto se ha evitado aquí. En este caso, la división por $p$ en la última fórmula tampoco es una división numérica, sino que convierte un número adimensional en la cantidad correcta, incluida la unidad.

Un método popular aproximado para calcular el tiempo de duplicación de la tasa de crecimiento es la regla de 70, es decir, $Tsimeq 70/r$ .

Gráficos que comparan tiempos dobles y medias vidas de crecimientos exponenciales (líneas de bacalao) y decaimiento (líneas famosas), y sus 70/t y 72/t aproximaciones. En la versión SVG, arrastre sobre un gráfico para destacarlo y su complemento.

Reformulación como crecimiento log-lineal

Si una variable $x$ muestra crecimiento exponencial según ${displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}}$ , entonces el registro (a cualquier base) de $x$ crece linealmente con el tiempo, como se puede ver tomando logaritmos de ambos lados de la ecuación de crecimiento exponencial:

{displaystyle log x(t)=log x_{0}+tcdot log(1+r).}

Esto permite modelar una variable que crece exponencialmente con un modelo logarítmico lineal. Por ejemplo, si se desea estimar empíricamente la tasa de crecimiento a partir de datos intertemporales en $x$ , se puede retroceder linealmente $registrar x$ en $t$ .

Ecuación diferencial

La función exponencial ${displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}}$ satisfice la ecuación diferencial lineal:

{displaystyle {frac {dx}{dt}}=kx}

x

t

x () t)

x () t)

{displaystyle x(0)=x_{0}}

La ecuación diferencial se resuelve por integración directa:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {dx}{dt}}&=kx\[5pt]{frac {dx}{x}}&=k,dt\[5pt]int _{x_{0}}^{x(t)}{frac {dx}{x}}&=kint _{0}^{t},dt\[5pt]ln {frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.end{aligned}}}

{displaystyle x(t)=x_{0}e^{kt}.}

En la ecuación diferencial anterior, si $k < 0$ , entonces la cantidad experimenta un decaimiento exponencial.

Para una variación no lineal de este modelo de crecimiento, consulte la función logística.

Otras tasas de crecimiento

A la larga, el crecimiento exponencial de cualquier tipo superará al crecimiento lineal de cualquier tipo (esa es la base de la catástrofe maltusiana), así como a cualquier crecimiento polinomial, es decir, para todos los $α$ :

{displaystyle lim _{tto infty }{frac {t^{alpha }}{ae^{t}}}=0.}

Existe toda una jerarquía de tasas de crecimiento concebibles que son más lentas que las exponenciales y más rápidas que las lineales (a largo plazo). Ver Grado de un polinomio § Calculado a partir de los valores de la función.

Las tasas de crecimiento también pueden ser más rápidas que exponenciales. En el caso más extremo, cuando el crecimiento aumenta sin límites en tiempo finito, se llama crecimiento hiperbólico. Entre el crecimiento exponencial e hiperbólico se encuentran más clases de comportamiento de crecimiento, como las hiperoperaciones que comienzan en la tetración, y $A(n,n)$ , la diagonal de la función Ackermann.

Crecimiento logístico

El crecimiento exponencial en forma de J (izquierda, azul) y el crecimiento logístico en forma de S (derecho, rojo).

En realidad, el crecimiento exponencial inicial a menudo no se mantiene para siempre. Después de algún tiempo, se ralentizará por factores externos o ambientales. Por ejemplo, el crecimiento de la población puede llegar a un límite superior debido a las limitaciones de recursos. En 1845, el matemático belga Pierre François Verhulst propuso por primera vez un modelo matemático de crecimiento como este, llamado "crecimiento logístico".

Limitaciones de los modelos

Los modelos de crecimiento exponencial de los fenómenos físicos solo se aplican en regiones limitadas, ya que el crecimiento ilimitado no es físicamente realista. Aunque el crecimiento puede ser inicialmente exponencial, los fenómenos modelados eventualmente entrarán en una región en la que los factores de retroalimentación negativa previamente ignorados se vuelven significativos (lo que lleva a un modelo de crecimiento logístico) u otras suposiciones subyacentes del modelo de crecimiento exponencial, como la continuidad o la retroalimentación instantánea, se rompen. abajo.

Sesgo de crecimiento exponencial

Los estudios muestran que los seres humanos tienen dificultades para comprender el crecimiento exponencial. El sesgo de crecimiento exponencial es la tendencia a subestimar los procesos de crecimiento compuesto. Este sesgo también puede tener implicaciones financieras.

A continuación se presentan algunas historias que enfatizan este sesgo.

Arroz en un tablero de ajedrez

Según una antigua leyenda, el visir Sissa Ben Dahir obsequió al rey indio Sharim con un hermoso tablero de ajedrez hecho a mano. El rey preguntó qué le gustaría a cambio de su regalo y el cortesano sorprendió al rey pidiéndole un grano de arroz en el primer cuadro, dos granos en el segundo, cuatro granos en el tercero, etc. El rey estuvo de acuerdo y pidió para que traigan el arroz. Todo salió bien al principio, pero el requisito de $2 n -1$ granos en el $n$ th square demandó más de un millón de granos en el 21st square, más de un millón de millones (a.k.a. billones) el día 41 y simplemente no había suficiente arroz en todo el mundo para los cuadrados finales. (Tomado de Swirski, 2006)

La segunda mitad del tablero de ajedrez es el momento en que una influencia que crece exponencialmente tiene un impacto económico significativo en la estrategia comercial general de una organización.

Nenúfar

A los niños franceses se les ofrece un acertijo, que parece ser un aspecto del crecimiento exponencial: "la aparente rapidez con la que una cantidad que crece exponencialmente se acerca a un límite fijo". El acertijo imagina una planta de nenúfar creciendo en un estanque. La planta duplica su tamaño todos los días y, si se deja sola, sofocaría el estanque en 30 días, matando a todos los demás seres vivos en el agua. Día tras día, el crecimiento de la planta es pequeño, por lo que se decide que no será una preocupación hasta que cubra la mitad del estanque. ¿Qué día será ese? El día 29, dejando solo un día para salvar el estanque.

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