Cramér-Rao con destino

En teoría de la estimación y estadística, el límite de Cramér-Rao (CRB) se relaciona con la estimación de un parámetro determinista (fijo, aunque desconocido). El resultado lleva el nombre de Harald Cramér y C. R. Rao, pero también lo han obtenido de forma independiente Maurice Fréchet, Georges Darmois y Alexander Aitken y Harold Silverstone. Afirma que la precisión de cualquier estimador insesgado es como máximo la información de Fisher; o (de manera equivalente) el recíproco de la información de Fisher es un límite inferior de su varianza.

Un estimador insesgado que logra este límite se dice que es (totalmente) eficiente. Esta solución logra el error cuadrático medio más bajo posible entre todos los métodos insesgados y, por lo tanto, es el estimador insesgado de varianza mínima (MVU). Sin embargo, en algunos casos, no existe una técnica imparcial que logre el límite. Esto puede ocurrir si para cualquier estimador insesgado existe otro con una varianza estrictamente menor, o si existe un estimador MVU, pero su varianza es estrictamente mayor que la inversa de la información de Fisher.

El límite de Cramér-Rao también se puede utilizar para limitar la varianza de estimadores sesgados de un sesgo dado. En algunos casos, un enfoque sesgado puede dar como resultado una varianza y un error cuadrático medio que están por debajo del límite inferior insesgado de Cramér-Rao; ver sesgo del estimador.

Declaración

En esta sección se establece la cota de Cramér-Rao para varios casos cada vez más generales, comenzando con el caso en el que el parámetro es un escalar y su estimador es insesgado. Todas las versiones del límite requieren ciertas condiciones de regularidad, que son válidas para la mayoría de las distribuciones con buen comportamiento. Estas condiciones se enumeran más adelante en esta sección.

Caso escalar imparcial

Suppose ${displaystyle theta }$ es un parámetro determinístico desconocido que se estima ${displaystyle n}$ observaciones independientes (medidas) de ${displaystyle x}$, cada una de una distribución según una función de densidad de probabilidad ${displaystyle f(x;theta)}$. La diferencia de cualquiera imparciales estimador ${displaystyle {hat {theta }$ de ${displaystyle theta }$ entonces está obligado por el recíproco de la información Fisher ${displaystyle I(theta)}$:

${displaystyle operatorname {var} ({hat {theta })geq {frac {1}{I(theta)}}}}$

donde la información Fisher ${displaystyle I(theta)}$ se define por

${displaystyle I(theta)=noperatorname {E} _{X;theta}left[left({frac {partial ell (X;theta)}{partial theta}}right)}{2}right]}$

y ${displaystyle ell (x;theta)=log(f(x;theta)}$ es el logaritmo natural de la función de probabilidad para una sola muestra ${displaystyle x}$ y ${displaystyle operatorname {E} _{x;theta }$ denota el valor esperado con respecto a la densidad ${displaystyle f(x;theta)}$ de ${displaystyle X}$. If not indicated, in what follows, the expectation is taken with respect to ${displaystyle X}$.

Si ${displaystyle ell (x;theta)}$ es dos veces diferenciable y ciertas condiciones de regularidad mantienen, entonces la información Fisher también se puede definir de la siguiente manera:

${displaystyle I(theta)=-noperatorname {E} _{X;theta}left [{frac {partial ^{2}ell (X;theta)}{partial theta ^{2}}right]$

La eficiencia de un estimador imparcial ${displaystyle {hat {theta }$ mide lo cerca que la varianza de este estimador llega a este límite inferior; la eficiencia del estimador se define como

${displaystyle e({hat {theta})={frac {I(theta)^{-1}{operatorname {var} ({hat {theta }}}}}}}}} {$

o la diferencia mínima posible para un estimador imparcial dividido por su diferencia real. El límite inferior Cramér-Rao da así

${displaystyle e({hat {theta})leq 1}$.

Caso escalar general

Una forma más general del límite se puede obtener considerando un estimador parcial ${displaystyle T(X)}$, cuya expectativa no ${displaystyle theta }$ pero una función de este parámetro, digamos, ${displaystyle psi (theta)}$. Por lo tanto ${displaystyle E{T(X)}-theta =psi (theta)-theta }$ no es generalmente igual a 0. En este caso, el límite es dado por

${displaystyle operatorname {var} (T)geq {frac {[psi '(theta)]^{2}{I(theta)}}}}}$

Donde ${displaystyle psi '(theta)}$ es el derivado de ${displaystyle psi (theta)}$ (por ${displaystyle theta }$), y ${displaystyle I(theta)}$ es la información Fisher definida anteriormente.

Acotado a la varianza de estimadores sesgados

Aparte de estar vinculado a los estimadores de funciones del parámetro, este enfoque se puede utilizar para derivar en la variabilidad de los estimadores parciales con un sesgo dado, como sigue. Considere un estimador ${displaystyle {hat {theta }$ con sesgo ${displaystyle b(theta)=E{hat {theta] }}-theta }$, y dejar ${displaystyle psi (theta)=b(theta)+theta }$. Por el resultado anterior, cualquier estimador imparcial cuya expectativa es ${displaystyle psi (theta)}$ tiene diferencias mayores o iguales ${displaystyle (psi '(theta)}{2}/I(theta)}$. Por lo tanto, cualquier calculador ${displaystyle {hat {theta }$ cuyo sesgo es dado por una función ${displaystyle b(theta)}$ satisfizo

${displaystyle operatorname {var} left({hat {theta }right)geq {frac {[1+b'(theta)]^{2}{I(theta)}}}} {Theta]} {$

La versión imparcial del límite es un caso especial de este resultado, con ${displaystyle b(theta)=0}$.

Es trivial tener una varianza pequeña: un "estimador" que es constante tiene una varianza de cero. Pero de la ecuación anterior encontramos que el error cuadrático medio de un estimador sesgado está limitado por

${displaystyle operatorname {E} left({hat {theta {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {Theta)}}}}+b(theta)^{2}}$

usando la descomposición estándar del MSE. Note, however, that if ${displaystyle 1+b'(theta)traducido1}$ este límite podría ser menos que el irrestricto Cramér-Rao ${displaystyle 1/I(theta)}$. Por ejemplo, en el ejemplo de estimación de la diferencia que figura a continuación, ${displaystyle 1+b'(theta)={frac {n}{n+2} {n}}$.

Caso multivariado

Extendiendo el enlace de Cramér-Rao a múltiples parámetros, defina un vector de columna de parámetros

${displaystyle {boldsymbol {theta }=left[theta],theta _{2},dotstheta _{d}right]^{T}in mathbb {R} {d}$

con función de densidad de probabilidad ${displaystyle f(x;{boldsymbol {theta }}}}$ que satisface las dos condiciones de regularidad a continuación.

La matriz de información Fisher es una ${displaystyle dtimes d}$ matriz con elemento ${displaystyle I_{m,k}$ definidas

${displaystyle I_{m,k}=operatorname {E} left[{frac {partial }{partial theta _{m}}log fleft(x;{boldsymbol {theta }right){frac {partial }{theta _{k}}}}}log fleft(x;{boldsymbol {theta} {theta} {Theta}}}}}}}c}}c}c}c}c}c}c}c}c}c}ccc}ccccccccccc}ccccccccccc}ccccccccccccccccccccccccccccc ¿Qué? theta _{k}}log fleft(x;{boldsymbol {theta }right)right].}$

Vamos. ${displaystyle {boldsymbol}(X)}$ ser un estimador de cualquier función vectorial de parámetros, ${displaystyle {boldsymbol {T}(X)=(T_{1}(X),ldotsT_{d}(X)}{T}}$, y denota su vector de expectativa ${displaystyle operatorname {E} [{boldsymbol {T}(X)}$ por ${displaystyle {boldsymbol {ps}}({boldsymbol {theta }}}$. El límite Cramér-Rao establece entonces que la matriz de covariancia ${displaystyle {boldsymbol}(X)}$ satisfizo

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ]} {fnMicrosoft ]f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMi$,

${displaystyle operatorname {cov} _{boldsymbol {theta }left({boldsymbol {T}}(X)right)geq phi (theta)Ileft({boldsymbol {theta }right)^{-1}theta)} {Theta}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

dónde

• La desigualdad matriz ${displaystyle Ageq B}$ se entiende que significa que la matriz ${displaystyle A-B.$ es semidefinido positivo, y
• ${displaystyle phi (theta):=partial {boldsymbol {psi }({boldsymbol {theta }})/partial {boldsymbol {thetat }$ es la matriz jacobiana ${displaystyle ij}$ elemento dado por ${displaystyle partial psi _{i}({boldsymbol {theta })/partial theta ¿Qué?$.

Si ${displaystyle {boldsymbol}(X)}$ es un estimador imparcial de ${displaystyle {boldsymbol {theta }$ (es decir, ${displaystyle {boldsymbol}left({boldsym {theta - Sí. }$), entonces el límite Cramér-Rao se reduce a

${displaystyle operatorname {cov} _{boldsymbol {theta }left({boldsymbol {T}(X)right)geq Ileft({boldsymbol {theta }right)^{-1}}$

Si resulta inconveniente calcular la inversa de la matriz de información de Fisher, entonces uno puede simplemente tomar el recíproco del elemento diagonal correspondiente para encontrar un límite inferior (posiblemente flojo).

${displaystyle operatorname {var} _{boldsymbol {theta [### {m}(X)=left[operatorname {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}gnMicrosoft ]}gnMicrosoft ]gnMicroel [Ileft({boldsymbol {thetat] {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} Está bien.$

Condiciones de regularidad

El límite se basa en dos condiciones de regularidad débiles en la función de densidad de probabilidad, ${displaystyle f(x;theta)}$, y el estimador ${displaystyle T(X)}$:

• La información Fisher siempre se define; equivalentemente, para todos ${displaystyle x}$ tales que ${displaystyle f(x;theta)}$,
  $${displaystyle {frac {partial }{partial theta }log f(x;theta)}$$

  
  existe, y es finito.
• Las operaciones de integración con respecto a ${displaystyle x}$ y diferenciación con respecto a ${displaystyle theta }$ puede ser intercambiado en la expectativa de ${displaystyle T}$; es decir,
  $${displaystyle {frac {partial }{partial theta }left[int T(x)f(x;theta),dxright]=int T(x)left[frac {partial }{theta }f(x;theta)right],dx}$$

  
  cuando el lado derecho es finito.
  Esta condición a menudo se puede confirmar utilizando el hecho de que la integración y la diferenciación se pueden cambiar cuando cualquiera de los casos siguientes sostienen:
  1. La función ${displaystyle f(x;theta)}$ ha consolidado el apoyo ${displaystyle x}$, y los límites no dependen de ${displaystyle theta }$;
  2. La función ${displaystyle f(x;theta)}$ tiene soporte infinito, es continuamente diferente, y la integral converge uniformemente para todos ${displaystyle theta }$.

Prueba

Prueba para el caso general basada en la vinculación de Chapman-Robbins

Prueba basada en.

Prueba

Primera ecuación:

Vamos. ${displaystyle delta }$ ser un infinitesimal, entonces para cualquier ${displaystyle vin mathbb {R} {fn}$, enchufe ${displaystyle theta '=theta +delta v}$ en, tenemos ${displaystyle (E_{theta '}[T]-E_{theta }=v^{T}phi (theta)delta;quad chi ^{2}(mu _{theta '};mu _{theta })=v^{T}I(theta)vdelta } {} {}} {}}} {}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}} {} {}}}}}}}} {}} {}}}}} {}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}} {f} {f} {f} {f}}} {f}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}$

Enchufar esto en el límite multivariado de Chapman–Robbins ${displaystyle I(theta)geq phi (theta)operatorname {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$.

Segunda ecuación:

Basta probar esto para el caso de escalar, con ${displaystyle h(X)}$ tomar valores en ${displaystyle mathbb {R}$. Porque para general ${displaystyle T(X)}$ podemos tomar cualquier ${displaystyle vin mathbb {R} {m}$, después de definir ${textstyle h:=sum _{j}v_{j}T_{j}$, el caso escalar da

$${displaystyle operatorname [Var] _{theta [h]=v^{T}operatorname [Cov] _{theta }[T]vgeq v^{T}phi (theta)I(theta)^{-1}phi (theta)^{T}v}$$

Esto es para todos ${displaystyle vin mathbb {R} {m}$, para que podamos concluir

$${displaystyle operatorname {Cov} _{theta }[T]geq phi (theta)I(theta)^{-1}phi (theta)^{T}$$

El caso escalar afirma que ${displaystyle operatorname {Var} _{theta }[h]geq phi (theta)^{T}I(theta)^{-1}phi (theta)}$ con ${displaystyle phi (theta):=nabla _{theta }E_{theta } [h]$.

Vamos. ${displaystyle delta }$ ser un infinitesimal, entonces para cualquier ${displaystyle vin mathbb {R} {fn}$, tomar ${displaystyle theta '=theta +delta v}$ en el límite de Chapman-Robbins único ${displaystyle operatorname {Var} _{theta }[h]geq {frac {langle v,phi (theta)rangle ^{2}{T}I(theta)v}}} {}}} {}} {}}}} {}}}}}} {$.

Por álgebra lineal, ${displaystyle sup _{vneq 0}{frac {langle w, ¿Qué?$ para cualquier matriz definida positiva ${displaystyle M}$, así obtenemos

$${displaystyle operatorname {Var} _{theta }[h]geq phi (theta)^{T}I(theta)^{-1}phi (theta).}$$

Una prueba independiente para el caso escalar general

Para el caso escalar general:

Supongamos que ${displaystyle T=t(X)}$ es un estimador con expectativa ${displaystyle psi (theta)}$ (sobre la base de las observaciones ${displaystyle X}$), es decir, eso ${displaystyle operatorname {E} (T)=psi (theta)}$. El objetivo es demostrar que, para todos ${displaystyle theta }$,

${displaystyle operatorname {var} (t(X))geq {frac {[psi ^{prime }(theta)}{2}}{I(theta)}}}}}$

Vamos. ${displaystyle X}$ ser una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad ${displaystyle f(x;theta)}$. Aquí. ${displaystyle T=t(X)}$ es una estadística, que se utiliza como estimador para ${displaystyle psi (theta)}$. Define ${displaystyle V}$ como la puntuación:

${displaystyle V={frac {partial }{partial theta }ln f(X;theta)={frac {1}{f(X;theta)}}{frac {partial }{partial theta }f(X;theta)}}}}}} {Theta)}$

donde la regla de cadena se utiliza en la igualdad final anterior. Entonces la expectativa de ${displaystyle V}$, escrito ${displaystyle operatorname {E} (V)}$, es cero. Esto es porque:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f(x;theta)}}{frac {partial }{theta } {theta } {theta} {f}Thet]theta} {f} {f}fnMicroc} {f} {f}f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}$

donde se han intercambiado la integral y la derivada parcial (justificado por la segunda condición de regularidad).

Si consideramos la covariancia ${displaystyle operatorname {cov} (V,T)}$ de ${displaystyle V}$ y ${displaystyle T}$, tenemos ${displaystyle operatorname {cov} (V,T)=operatorname {E} (VT)}$, porque ${displaystyle operatorname {E} (V)=0}$. Ampliando esta expresión tenemos

${fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?$

nuevamente porque las operaciones de integración y diferenciación conmutan (segunda condición).

La desigualdad de Cauchy-Schwarz muestra que

${displaystyle {sqrt {fnMicrosoftware {fnMicrosoft Sans Serif}gnMicrosoftfone {fnMicrosoft Sans Serif}(V,T)justo para siempre=left perpetuapsi ^{prime }(theta)derecho)}$

por lo tanto

${displaystyle operatorname {var} (T)geq {frac {psi ^{prime }(theta)}{2}}{operatorname {var}}}={frac {frac {[psi ^{prime } {theta)}} {theta}}}}}}} {}}}}}}}} {$

lo que prueba la proposición.

Ejemplos

Distribución normal multivariada

Para el caso de una distribución normal de variable d

${fnK} {fn}sim {\fn}_fn} {fn} {fn} {fn} {fnsymbol {fn}} {fnK}}} {fnK}} {fnK}} {f}}}} {fnMit}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {m}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}$

la matriz de información de Fisher tiene elementos

${displaystyle I_{m,k}={frac {partial {boldsymbol #. T}{partial theta ♪♪♪♪ {fnK} {f}} {fnMicroc {fnMicrosoft {fnK} {f} {f}} {f}}}} {f}}fn}} {fn}fn}} {f}}} {f}f}f}f}fnf}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}f}fnf}fnfnfnfnfnf}f}fnf}fn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\\fnfnfnfn } {partial theta ¿Qué? {1}{2}operatorname {tr} left({boldsymbol {fnK} {f} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}} {fnK}}} {fnK}}}}} {fnK}}} {f}}}} {f}f} {fnMicroc {fn}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}f}f}f}fn {C} {fn} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {f}}}}} {f}}} {fnMicrosoft}}}}} {fn}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}} { theta ♪♪♪♪ {C}}{-1}{frac {partial {boldsymbol {C}}{partial theta _{k}}}}right)}}$

donde "tr" es la huella.

Por ejemplo, vamos ${displaystyle w[j]}$ ser una muestra de ${displaystyle n}$ observaciones independientes con medios desconocidos ${displaystyle theta }$ y diferencia conocida ${displaystyle sigma ^{2}$.

${displaystyle w[j]sim {mathcal {N}_{d,n}left(theta {boldsymbol {1}}},sigma ^{2}{boldsymbol {}right).}$

Entonces la información de Fisher es un escalar dado por

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {} {Theta)} {fncipal {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMientras se lo siento lo sé lo sé lo siento. }right)=sum - ¿Qué? {1} {sigma ^{2}}}}} {sigma ^{2}}}}}}$

y por eso el límite Cramér-Rao es

${displaystyle operatorname {var} left({hat {theta }right)geq {frac {sigma ^{2}{n}}}$

Varianza normal con media conocida

Suppose X es una variable aleatoria distribuida normalmente con medios conocidos ${displaystyle mu }$ y diferencias desconocidas ${displaystyle sigma ^{2}$. Considere las siguientes estadísticas:

${displaystyle T={fracfnfnMicroc} ¿Qué?$

Entonces... T es imparcial para ${displaystyle sigma ^{2}$, como ${displaystyle E(T)=sigma ↑}$. ¿Cuál es la diferencia de T?

${displaystyle operatorname {var} (T)=operatorname {var} left({frac {sum ¿Por qué? ¿Por qué? {1}{n}left[fnK] {E} left{(X-mu)}{4}derecha}-left(nombre del operador) {E} {cHFF}derecha)}derecha]$

(la segunda igualdad se debe directamente a la definición de diferencia). El primer término es el cuarto momento sobre el medio y tiene valor ${displaystyle 3(sigma ^{2} {2}}$; el segundo es el cuadrado de la varianza, o ${displaystyle (sigma ^{2}} {2}}$. Así

${displaystyle operatorname {var} (T)={frac {2sigma ^{2} {2}}}}$

¿Cuál es la información de Fisher en la muestra? Recuerda que la puntuación ${displaystyle V}$ se define como

${displaystyle V={frac {partial }{partial sigma ^{2}}log left[L(sigma ^{2},X)right]}$

Donde ${displaystyle L.$ es la función de probabilidad. Así, en este caso,

${displaystyle log left[L(sigma ^{2},X)right]=log left[{frac {1}{sqrt {2pisigma ^{2}}}}e^{-(¿Qué?$

${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}$

donde la segunda igualdad es del cálculo elemental. Así, la información en una sola observación es apenas menos la expectativa del derivado de ${displaystyle V}$o

${displaystyle I=-operatorname {2}{2}{2} {2} {2}}} {2}}} {c} {c}} {c} {c} {c} {c} {c}} {c} {c} {cc} {cc} {ccc}}}} {ccccc}}}} {cccc} {cccccccccccccccccccccccccccH00}cccccccc}}}}}}}}}}}cccccccccccccH00}}}}}ccccccccccccccc$

Así la información en una muestra de ${displaystyle n}$ observaciones independientes es sólo ${displaystyle n}$ veces esto, o ${displaystyle {frac {n}{2(sigma ^{2}}}}}$

El límite Cramér-Rao establece que

${displaystyle operatorname {var} (T)geq {frac {1} {I}}$

En este caso, la desigualdad está saturada (se logra la igualdad), lo que demuestra que el estimador es eficiente.

Sin embargo, podemos lograr un error cuadrático medio más bajo utilizando un estimador sesgado. el estimador

${displaystyle T={fracfnfnMicroc} ¿Qué?$

obviamente tiene una variación menor, que de hecho es

${displaystyle operatorname {var} (T)={frac {2n(sigma ^{2}}{2}{(n+2)^{2}}}} {fn0}} {fn9}}} {fn9}}} {fn0}}}}$

Su sesgo es

${displaystyle left(1-{frac {n}{n+2}right)sigma ^{2}={frac {2sigma ^{2} {n+2}$

entonces su error cuadrático medio es

${displaystyle operatorname {MSE} (T)=left({frac {2}{2n}{2}}}+{frac {4}{(n+2)}right)(sigma ^{2})}{2}={2}={2frac {2(sigma ^{2}}}{2}}}}}{n+2}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

que es claramente menor de lo que los estimadores insesgados pueden lograr según el límite de Cramér-Rao.

Cuando la media no se conoce, la estimación mínima media de error cuadrado de la varianza de una muestra de la distribución gausiana se logra dividiendo por ${displaystyle n+1}$, en lugar de ${displaystyle n-1}$ o ${displaystyle n+2}$.

Referencias y notas