Coset

G es el grupo (Z/8Z, +), los enteros mod 8 bajo adición. El subgrupo H contiene sólo 0 y 4. Hay cuatro cosets izquierdos H: H en sí, 1 + H, 2 + H, y 3 + H (escrito mediante notación aditiva ya que este es el grupo aditivo). Juntos particionan todo el grupo G en conjuntos de tamaño igual, sin superposición. El índice [G: H] 4.

En matemáticas, específicamente teoría de grupos, un subgrupo H de un grupo G puede usarse para descomponer el conjunto subyacente de G en disjuntos, iguales subconjuntos de tamaño denominados cosets. Hay cosets izquierdos y cosets derechos. Las clases laterales (izquierda y derecha) tienen la misma cantidad de elementos (cardinalidad) que H. Además, H en sí misma es tanto una clase lateral izquierda como una clase lateral derecha. El número de clases laterales izquierdas de H en G es igual al número de clases laterales derechas de H en G. Este valor común se denomina índice de H en G y generalmente se indica con [G: H].

Las clases laterales son una herramienta básica en el estudio de grupos; por ejemplo, juegan un papel central en el teorema de Lagrange que establece que para cualquier grupo finito G, el número de elementos de cada subgrupo H de G divide el número de elementos de G. Las clases laterales de un tipo particular de subgrupo (un subgrupo normal) se pueden usar como elementos de otro grupo llamado grupo de cociente o grupo de factores. Las clases laterales también aparecen en otras áreas de las matemáticas, como los espacios vectoriales y los códigos de corrección de errores.

Definición

Sea H un subgrupo del grupo G cuya operación se escribe multiplicativamente (la yuxtaposición denota la operación de grupo). Dado un elemento g de G, las cosetas izquierdas de H en G son los conjuntos que se obtienen al multiplicar cada elemento de H por un elemento fijo g de G (donde g es el factor de la izquierda). En símbolos estos son,

Los cosets correctos se definen de manera similar, excepto que el elemento g ahora es un factor correcto, eso es,

Como g varía en el grupo, parecería que se generarían muchas clases laterales (derecha o izquierda). Sin embargo, resulta que dos clases laterales izquierdas (respectivamente, clases laterales derechas) son disjuntas o son idénticas como conjuntos.

Si la operación de grupo se escribe de forma aditiva, como suele ser el caso cuando el grupo es abeliano, la notación utilizada cambia a g + H o H + g, respectivamente.

Primer ejemplo

Sea G el grupo diédrico de orden seis. Sus elementos pueden estar representados por {I, a, a², b, ab, a²b}. En este grupo, a³ = b² = I y ba = a²b . Esta es información suficiente para completar toda la tabla de Cayley:

Sea T el subgrupo {I, b}. Las clases laterales izquierdas (distintas) de T son:

• IT = T =I, b},
• aT =a, ab}, y
• a²T =a², a²b}.

Dado que todos los elementos de G ahora han aparecido en una de estas clases laterales, generar más no puede dar nuevas clases laterales, ya que una nueva clase lateral tendría que tener un elemento en común con uno de estos y por lo tanto ser idéntica a una de estas clases laterales. Por ejemplo, abT = {ab, a} = aT.

Las clases laterales correctas de T son:

• TI = T =I, b},
• Ta =a, ba♪♪a, a²b} y
• Ta² =a², ba²♪♪a², ab}.

En este ejemplo, a excepción de T, ninguna clase lateral izquierda es también una clase lateral derecha.

Sea H el subgrupo {I, a, a²}. Las clases laterales izquierdas de H son IH = H y bH = {b, ba, ba²}. Las clases laterales derechas de H son HI = H y Hb = {b, ab, a²b} = {b, ba², ba}. En este caso, cada clase lateral izquierda de H también es una clase lateral derecha de H.

Sea H un subgrupo de un grupo G y suponga que g₁, g₂ ∈ G. Las siguientes declaraciones son equivalentes:

• g₁H = g₂H
• Hg₁⁻¹ = Hg₂⁻¹
• g₁H ⊂ g₂H
• g₂ ▪ g₁H
• g₁⁻¹g₂ ▪ H

Propiedades

La separación de clases laterales no idénticas es el resultado del hecho de que si x pertenece a gH luego gH = xH. Porque si x ∈ gH entonces debe existir un a ∈ H tal que ga = x. Así xH = (ga)H = g(aH ). Además, dado que H es un grupo, la multiplicación por la izquierda por a es una biyección, y aH = H.

Por lo tanto, cada elemento de G pertenece exactamente a una clase lateral izquierda del subgrupo H, y H es en sí misma una clase lateral izquierda (y la que contiene la identidad).

Dos elementos que están en la misma clase lateral izquierda también proporcionan una relación de equivalencia natural. Defina dos elementos de G, x y y, para ser equivalentes con respecto al subgrupo H si xH = yH (o de forma equivalente si x⁻¹y pertenece a H). Las clases de equivalencia de esta relación son las clases laterales izquierdas de H. Como ocurre con cualquier conjunto de clases de equivalencia, forman una partición del conjunto subyacente. Un representante de coset es un representante en el sentido de clase de equivalencia. Un conjunto de representantes de todas las clases laterales se llama transversal. Hay otros tipos de relaciones de equivalencia en un grupo, como la conjugación, que forman diferentes clases que no tienen las propiedades aquí discutidas.

Declaraciones similares se aplican a las clases laterales derechas.

Si G es un grupo abeliano, entonces g + H = H + g para cada subgrupo H de G y cada elemento g de G. Para grupos generales, dado un elemento g y un subgrupo H de un grupo G, la clase lateral derecha de H con respecto a g es también la clase lateral izquierda del subgrupo conjugado g ⁻¹Hg con respecto a g, es decir, Hg = g(g⁻¹Hg).

Subgrupos normales

Un subgrupo N de un grupo G es un subgrupo normal de G si y solo si para todos los elementos g de G las clases laterales izquierda y derecha correspondientes son iguales, es decir, gN = Ng. Este es el caso del subgrupo H en el primer ejemplo anterior. Además, las clases laterales de N en G forman un grupo llamado el grupo de cocientes o grupo de factores G/N.

Si H no es normal en G, entonces sus clases laterales izquierdas son diferentes de sus clases laterales derechas. Es decir, hay una a en G tal que ningún elemento b satisface aH = Hb. Esto significa que la partición de G en las clases laterales izquierdas de H es una partición diferente a la partición de G en clases laterales derechas de H. Esto se ilustra con el subgrupo T en el primer ejemplo anterior. (Algunas clases laterales pueden coincidir. Por ejemplo, si a está en el centro de G, luego aH = Ha.)

Por otro lado, si el subgrupo N es normal, el conjunto de todas las clases laterales forma un grupo llamado grupo cociente G / N con la operación ∗ definida por (aN) ∗ (bN) = abN. Dado que cada clase lateral derecha es una clase lateral izquierda, no es necesario distinguir "cosets izquierdos" de "cosets derechos".

Índice de un subgrupo

Cada clase lateral izquierda o derecha de H tiene el mismo número de elementos (o cardinalidad en el caso de un infinito H) como H mismo. Además, el número de clases laterales izquierdas es igual al número de clases laterales derechas y se conoce como el índice de H en G, escrito como [G: H]. El teorema de Lagrange nos permite calcular el índice en el caso donde G y H son finitos:

SilencioGSilencio=[G:H]SilencioHSilencio.{displaystyle SilencioG vidas=[G:H] H.

Más ejemplos

Enteros

Sea G el grupo aditivo de los enteros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2,...}, +) y H la subgrupo (3Z, +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6,...}, +). Entonces las clases laterales de H en G son los tres conjuntos 3Z, 3Z + 1 y 3Z + 2, donde 3Z + a = {..., −6 + a, −3 + a, a, 3 + a, 6 + a,...}. Estos tres conjuntos dividen el conjunto Z, por lo que no hay otras clases laterales derechas de H. Debido a la conmutatividad de la suma H + 1 = 1 + H y H + 2 = 2 + H. Es decir, cada clase lateral izquierda de H también es una clase lateral derecha, por lo que H es un subgrupo normal. (El mismo argumento muestra que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal).

Este ejemplo puede generalizarse. De nuevo, sea G el grupo aditivo de los enteros, Z = ({..., −2, −1, 0, 1, 2,...}, +), y ahora vamos a H el subgrupo (mZ, +) = ({..., −2m, −m, 0, m, 2m,...}, +), donde m es un entero positivo. Entonces las clases laterales de H en G son las m establece mZ, mZ + 1,..., mZ + (m − 1), donde mZ + a = {..., −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a,...}. No hay más que clases laterales m, porque mZ + m = m(Z + 1) = mZ. La clase lateral (mZ + a, +) es la clase de congruencia de a módulo m. El subgrupo mZ es normal en Z, y así, se puede usar para formar el grupo de cocientes Z/mZ el grupo de enteros mod metro.

Vectores

Otro ejemplo de una clase lateral proviene de la teoría de los espacios vectoriales. Los elementos (vectores) de un espacio vectorial forman un grupo abeliano bajo la suma de vectores. Los subespacios del espacio vectorial son subgrupos de este grupo. Para un espacio vectorial V, un subespacio W y un vector fijo a en V, los conjuntos

{}x▪ ▪ V▪ ▪ x=a+w,w▪ ▪ W}{displaystyle {mathbf {x} in Vmid mathbf {x} =mathbf {a} - ¿Qué?

Matrices

Sea G el grupo multiplicativo de matrices,

G={}[a0b1]:: a,b▪ ▪ R,aل ل 0},{displaystyle G=left{begin{bmatrix}a ventaja0b doble1end{bmatrix}colon a,bin mathbb {R}aneq 0right}

H={}[10c1]:: c▪ ▪ R}.{displaystyle H=left{begin{bmatrix}1 ventaja0c vivos1end{bmatrix}colon cin mathbb {R} right}

[a0b1]H={}[a0b1][10c1]:: c▪ ▪ R}={}[a0b+c1]:: c▪ ▪ R}={}[a0d1]:: d▪ ▪ R}.{begin{begin{begin{bmatrix}a ventaja0b doble1end{bmatrix} {begin~left{begin{bmatrix}aplica0bclus1end{bmatrix}{begin{bmatrix}1} {ctrix} {ctrix}}}} {c} {c}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}pccctrixcctrixcctrixcccccctrixctrixccccccccccccccccccccccccccc cin mathbb {R} right\\fn}fncip {fncip {bmatrix}a âb+c âTMa {bmatrix}fn}fn}fnK} cin mathbb {R} right\\fn}fncip {fncip {begin{bmatrix}a âTMa {fn}a {fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fnK}fnK}fnKfnK} din mathbb {R} right}end{aligned}}

T={}[a001]:: a▪ ▪ R− − {}0}}{displaystyle T=left{begin{bmatrix}a ventaja0 3end{bmatrix}colon ain mathbb {R} -{0}derecho}

Como órbitas de una acción grupal

Un subgrupo H de un grupo G se puede usar para definir una acción de H en G de dos maneras naturales. Una acción correcta, G × H → G dada por (g, h) → gh o una acción izquierda, H × G → G dado por (h, g) → hg. La órbita de g debajo de la acción derecha es la clase lateral izquierda gH, mientras que la órbita debajo de la acción izquierda es la clase lateral derecha Hg.

Historia

El concepto de coset se remonta al trabajo de Galois de 1830-1831. Introdujo una notación pero no proporcionó un nombre para el concepto. El término "conjunto conjunto" aparece por primera vez en 1910 en un artículo de G. A. Miller en el Quarterly Journal of Mathematics (vol. 41, p. 382). Se han utilizado varios otros términos, incluido el alemán Nebengruppen (Weber) y conjugate group (Burnside).

A Galois le preocupaba decidir cuándo una ecuación polinomial determinada podía resolverse mediante radicales. Una herramienta que desarrolló fue notar que un subgrupo H de un grupo de permutaciones G indujo dos descomposiciones de G (lo que ahora llamamos izquierda y derecha clases laterales). Si estas descomposiciones coincidían, es decir, si las clases laterales izquierdas son las mismas que las clases laterales derechas, entonces había una forma de reducir el problema a trabajar sobre H en lugar de G. Camille Jordan en sus comentarios sobre el trabajo de Galois en 1865 y 1869 elaboró estas ideas y definió los subgrupos normales como hemos mencionado anteriormente, aunque no usó este término.

Llamar a la clase lateral gH la coseta izquierda del estilo g con respecto a H, aunque hoy en día es más común, no ha sido universalmente cierto en el pasado. Por ejemplo, Hall (1959) llamaría a gH un coset derecho, enfatizando que el subgrupo está en el bien.

Una aplicación de la teoría de la codificación

Un código lineal binario es un subespacio n-dimensional C de un espacio vectorial m-dimensional V sobre el campo binario GF(2). Como V es un grupo abeliano aditivo, C es un subgrupo de este grupo. Los códigos se pueden utilizar para corregir errores que pueden ocurrir en la transmisión. Cuando se transmite una palabra en clave (elemento de C), algunos de sus bits pueden alterarse en el proceso y la tarea del receptor es determinar la palabra clave más probable con la que podría haber comenzado la palabra recibida corrupta. Este procedimiento se denomina decodificación y si solo se cometen unos pocos errores en la transmisión, se puede realizar de manera efectiva con solo unos pocos errores. Un método utilizado para decodificar utiliza una disposición de los elementos de V (una palabra recibida podría ser cualquier elemento de V) en una matriz estándar. Una matriz estándar es una descomposición de clase lateral de V puesta en forma tabular de cierta manera. Es decir, la fila superior de la matriz consta de los elementos de C, escritos en cualquier orden, excepto que el vector cero debe ser escrito primero. Luego, se selecciona un elemento de V con un número mínimo de unos que aún no aparece en la fila superior y la clase lateral de C que contiene este elemento se escribe como la segunda fila (es decir, la fila se forma tomando la suma de este elemento con cada elemento de C directamente arriba). Este elemento se llama líder de clase lateral y puede haber alguna opción para seleccionarlo. Ahora se repite el proceso, se selecciona un nuevo vector con un número mínimo de unos que aún no aparece como nuevo líder de clase y la clase de C que lo contiene es la siguiente fila. El proceso finaliza cuando todos los vectores de V se han clasificado en clases laterales.

Un ejemplo de una matriz estándar para el código bidimensional C = {00000, 01101, 10110, 11011} en el código bidimensional el espacio V (con 32 vectores) es el siguiente:

El procedimiento de decodificación es encontrar la palabra recibida en la tabla y luego agregarle el líder de la clase lateral de la fila en la que se encuentra. Dado que en aritmética binaria sumar es la misma operación que restar, esto siempre da como resultado un elemento de C. En el caso de que los errores de transmisión ocurrieran precisamente en las posiciones distintas de cero del líder de clase, el resultado será la palabra clave correcta. En este ejemplo, si ocurre un solo error, el método siempre lo corregirá, ya que todos los posibles líderes de clases laterales con uno solo aparecen en la matriz.

La decodificación de síndrome se puede utilizar para mejorar la eficiencia de este método. Es un método para calcular la clase lateral (fila) correcta en la que estará una palabra recibida. Para un código n-dimensional C en una m- espacio vectorial binario dimensional, una matriz de verificación de paridad es un (m − n) × m matriz H que tiene la propiedad que xH ^T = 0 si y solo si x es en C. El vector xH^T se denomina síndrome de x, y por linealidad, cada vector en la misma clase lateral tendrá el mismo síndrome. Para decodificar, la búsqueda ahora se reduce a encontrar el líder de clase que tiene el mismo síndrome que la palabra recibida.

Cosets dobles

Dados dos subgrupos, H y K (que no es necesario que sean distintos) de un grupo G, las cosetas dobles de H y K en G son los conjuntos de la forma HgK = {hgk: h un elemento de H , k un elemento de K}. Estas son las clases laterales izquierdas de K y las clases laterales derechas de H cuando H = 1 y K = 1 respectivamente.

Dos clases laterales dobles HxK y HyK son disjuntas o idéntico. El conjunto de todas las clases laterales dobles para H y K forman una partición de G.

Una clase lateral doble HxK contiene las clases laterales derechas completas de H (en G) de la forma Hxk, con k un elemento de K y las clases laterales izquierdas completas de K (en estilo G) de la forma hxK, con estilo h en H.

Notación

Sea G un grupo con subgrupos H y K. Varios autores que trabajan con estos conjuntos han desarrollado una notación especializada para su trabajo, donde

• G/H denota el conjunto de cosets izquierdo {}gH: g dentro G} de H dentro G.
• HG denota el conjunto de cosets derecho {}Hg: g dentro G} de H dentro G.
• KG/H denota el conjunto de dobles cosets {}KgH: g dentro G} de H y K dentro G, a veces referido como espacio doble coset.
• G//H denota el espacio doble coset HG/H del subgrupo H dentro G.

Más aplicaciones

• Cosets of Q dentro R se utilizan en la construcción de conjuntos Vitali, un tipo de conjunto no mensurable.
• Los cosets son centrales en la definición de la transferencia.
• Los cosets son importantes en la teoría del grupo computacional. Por ejemplo, el algoritmo de Thistlethwaite para resolver el Cube de Rubik depende en gran medida de los cosets.
• En geometría, una forma Clifford-Klein es un espacio de doble cose .G/H, donde G es un reductivo Grupo Lie, H es un subgrupo cerrado, y . es un subgrupo discreto G) que actúa correctamente discontinuamente en el espacio homogéneo G/H.