Corte dedekind

Dedekind usó su corte para construir los números irracionales y reales.

En matemáticas, los cortes de Dedekind, llamados así por el matemático alemán Richard Dedekind pero considerados previamente por Joseph Bertrand, son un método de construcción de los números reales a partir de los números racionales. Un corte de Dedekind es una partición de los números racionales en dos conjuntos A y B, de modo que todos los elementos de A son menores que todos los elementos de B y A no contiene ningún elemento mayor. El conjunto B puede o no tener un elemento más pequeño entre los racionales. Si B tiene un elemento más pequeño entre los racionales, el corte corresponde a ese racional. De lo contrario, ese corte define un número irracional único que, en términos generales, llena el "brecha" entre A y B. En otras palabras, A contiene todos los números racionales menores que el corte y B contiene todos los números racionales mayores o iguales que el corte. Un corte irracional se equipara a un número irracional que no está en ningún conjunto. Todo número real, racional o no, se equipara a una y sólo una fracción de racionales.

Los cortes de Dedekind se pueden generalizar a partir de los números racionales a cualquier conjunto totalmente ordenado definiendo un corte de Dedekind como una partición de un conjunto totalmente ordenado en dos partes no vacías A y B, tal que A se cierra hacia abajo (lo que significa que para todo a en A, x ≤ a implica que x está en A también) y B está cerrado hacia arriba, y A no contiene ningún elemento mayor. Véase también completitud (teoría del orden).

Es sencillo demostrar que un corte de Dedekind entre los números reales se define únicamente por el corte correspondiente entre los números racionales. De manera similar, cada corte de reales es idéntico al corte producido por un número real específico (que puede identificarse como el elemento más pequeño del conjunto B). En otras palabras, la recta numérica donde cada número real se define como un corte de racionales de Dedekind es un continuo completo sin más espacios.

Definición

A Dedekind cut es una partición de los racionales Q{displaystyle mathbb {Q} en dos subconjuntos A{displaystyle A} y B{displaystyle B} tales que

1. A{displaystyle A} no está vacío.
2. Aل ل Q{displaystyle Aneq mathbb {Q} (Equivalentemente, B{displaystyle B} no está vacía).
3. Si x,Sí.▪ ▪ Q{displaystyle x,yin mathbb {Q}, <math alttext="{displaystyle xx.Sí.{displaystyle xtraducidos}<img alt="{displaystyle x, y Sí.▪ ▪ A{displaystyle yin A}, entonces x▪ ▪ A{displaystyle xin A}. ()A{displaystyle A} es "cerrado hacia abajo".)
4. Si x▪ ▪ A{displaystyle xin A}, entonces existe Sí.▪ ▪ A{displaystyle yin A} tales que x}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Sí.■x{displaystyle y títulox}x}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a22112f92b4b6d0c2f20283a6b5cb93e384091ca" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.176ex;"/>. ()A{displaystyle A} no contiene un elemento más grande.)

Al omitir los dos primeros requisitos, obtenemos formalmente la recta de números reales extendida.

Representaciones

Es más simétrico usar la notación (A, B) para los cortes de Dedekind, pero cada uno de A y B determina al otro. Puede ser una simplificación, en términos de notación si nada más, concentrarse en un "medio" — digamos, el inferior — y llame a cualquier conjunto cerrado hacia abajo A sin elemento mayor un "corte de Dedekind".

Si el conjunto ordenado S está completo, entonces, para cada corte de Dedekind (A, B) de S, el conjunto B debe tener un elemento mínimo b, por tanto, debemos tener que A es el intervalo (−∞, b), y B el intervalo [b, +∞). En este caso, decimos que b está representado por el corte (A, B).

El propósito importante del corte de Dedekind es trabajar con conjuntos de números que no están completos. El corte en sí puede representar un número que no está en la colección original de números (la mayoría de las veces números racionales). El corte puede representar un número b, aunque los números contenidos en los dos conjuntos A y B en realidad no incluyen el número b que representa su corte.

Por ejemplo, si A y B solo contienen números racionales, aún se pueden cortar en √2 colocando cada número racional negativo en A, junto con cada número no negativo cuyo cuadrado sea menor que 2; de manera similar, B contendría cada número racional positivo cuyo cuadrado es mayor o igual a 2. Aunque no hay un valor racional para √2, si los números racionales se dividen en A y B de esta manera, el la partición misma representa un número irracional.

Ordenamiento de cortes

Considere un corte de Dedekind (A, B) como menor que otro corte de Dedekind (C, D) (del mismo superconjunto) si A es un subconjunto propio de C. De manera equivalente, si D es un subconjunto propio de B, el corte (A, B) es nuevamente menor que (C, D). De esta forma, la inclusión de conjuntos se puede utilizar para representar el orden de los números y todas las demás relaciones (mayor que, menor que o igual a, igual a, etc.) se pueden crear de manera similar a partir de relaciones establecidas.

El conjunto de todos los cortes de Dedekind es en sí mismo un conjunto (de conjuntos) ordenado linealmente. Además, el conjunto de cortes de Dedekind tiene la propiedad de límite superior mínimo, es decir, cada subconjunto no vacío que tiene un límite superior tiene un límite superior mínimo. Por lo tanto, la construcción del conjunto de cortes de Dedekind sirve para incrustar el conjunto ordenado original S, que podría no haber tenido la propiedad de límite superior mínimo, dentro de un conjunto ordenado linealmente (generalmente más grande) que no tiene tiene esta propiedad útil.

Construcción de los números reales

Un corte típico de Dedekind de los números racionales Q{displaystyle mathbb {Q} es dado por la partición ()A,B){displaystyle (A,B)} con

<math alttext="{displaystyle A={ain mathbb {Q}:a^{2}<2{text{ or }}aA={}a▪ ▪ Q:a2.2oa.0},{displaystyle A={ain mathbb {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="A={ain {mathbb {Q}}:a^{2}<2{text{ or }}a

B={}b▪ ▪ Q:b2≥ ≥ 2yb≥ ≥ 0}.{displaystyle B={bin mathbb {Q}:b^{2}geq 2{text{ and }bgeq.

Este corte representa el número irracional √2 en la construcción de Dedekind. La idea esencial es que usamos un conjunto A{displaystyle A}, que es el conjunto de todos los números racionales cuyos cuadrados son menos de 2, para "representar" número √2, y además, al definir correctamente operadores aritméticos sobre estos conjuntos (addición, resta, multiplicación y división), estos conjuntos (junto con estas operaciones aritméticas) forman los números reales conocidos.

Para establecer esto, hay que demostrar que A{displaystyle A} realmente es un corte (según la definición) y el cuadrado de A{displaystyle A}, eso es A× × A{displaystyle Atimes A} (por favor, consulte el enlace anterior para la definición precisa de cómo se define la multiplicación de los cortes), es 2{displaystyle 2} (nota que rigurosamente hablando este número 2 está representado por un corte <math alttext="{displaystyle {x | xin mathbb {Q}x{}xSilenciox▪ ▪ Q,x.2}{displaystyle {x NOVED\ xin mathbb {Q}xtraducido2}<img alt="{displaystyle {x | xin mathbb {Q}x). Para mostrar la primera parte, mostramos que para cualquier racional positivo x{displaystyle x} con <math alttext="{displaystyle x^{2}x2.2{displaystyle x^{2}traducido2}<img alt="{displaystyle x^{2}, hay un racional Sí.{displaystyle y} con <math alttext="{displaystyle xx.Sí.{displaystyle xtraducidos}<img alt="x y <math alttext="{displaystyle y^{2}Sí.2.2{displaystyle y^{2}traducido2}<img alt="{displaystyle y^{2}. La elección Sí.=2x+2x+2{displaystyle y={frac {2x+2}{x+2}} obras, así A{displaystyle A} es un corte. Ahora armado con la multiplicación entre cortes, es fácil comprobar que A× × A≤ ≤ 2{displaystyle Atimes Aleq 2} (esencialmente, esto es porque x× × Sí.≤ ≤ 2,О О x,Sí.▪ ▪ A,x,Sí.≥ ≥ 0{displaystyle xtimes yleq 2,forall x,yin A,x,ygeq 0}). Por lo tanto para mostrar que A× × A=2{displaystyle Atimes A=2}, mostramos que A× × A≥ ≥ 2{displaystyle Atimes Ageq 2}, y es suficiente para demostrar que para cualquier <math alttext="{displaystyle rr.2{displaystyle r made2}<img alt="{displaystyle r, existe x▪ ▪ A{displaystyle xin A}, r}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x2■r{displaystyle x^{2} {fnK}r}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05de373c666a326d5c2b622c3948d5535b38bdcf" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.531ex; height:2.676ex;"/>. Para esto notamos que si 0,2-x^{2}=epsilon >0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0,2− − x2=ε ε ■0{displaystyle x conejo0,2-x^{2}=epsilon0,2-x^{2}=epsilon >0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f512730f36877d968a979b9dc9e5489ade6a7d" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.315ex; height:3.009ex;"/>, entonces 2− − Sí.2≤ ≤ ε ε 2{displaystyle 2-y^{2}leq {frac {epsilon } {2}} para el Sí.{displaystyle y} construido arriba, esto significa que tenemos una secuencia en A{displaystyle A} cuya plaza puede llegar a estar arbitrariamente cerca 2{displaystyle 2}, que termina la prueba.

Tenga en cuenta que la igualdad b² = 2 no se puede cumplir ya que √2 no es racional.

Relación con la aritmética de intervalos

Dado un corte de Dedekind representando el número real r{displaystyle r} dividiendo los fundamentos en ()A,B){displaystyle (A,B)}donde los fundamentos en A{displaystyle A} son menos que r{displaystyle r} y fundamentos en B{displaystyle B} son mayores que r{displaystyle r}, puede ser representado equivalentemente como el conjunto de pares ()a,b){displaystyle (a,b)} con a▪ ▪ A{displaystyle ain A} y b▪ ▪ B{displaystyle bin B}, con el corte inferior y el corte superior que se da por proyecciones. Esto corresponde exactamente al conjunto de intervalos aproximados r{displaystyle r}.

Esto permite que las operaciones aritméticas básicas en los números reales se definan en términos de intervalo aritmético. Esta propiedad y su relación con números reales dados sólo en términos de A{displaystyle A} y B{displaystyle B} es particularmente importante en bases más débiles, como el análisis constructivo.

Generalizaciones

Conjuntos arbitrarios linealmente ordenados

En el caso general de una orden lineal arbitraria X, a corte es un par ()A,B){displaystyle (A,B)} tales que A∪ ∪ B=X{displaystyle Acup B=X} y a▪ ▪ A{displaystyle ain A}, b▪ ▪ B{displaystyle bin B} implicaciones <math alttext="{displaystyle aa.b{displaystyle a meantb}<img alt="a. Algunos autores añaden el requisito de que ambos A y B no están vacías.

Si ni A tiene un máximo, ni B tiene un mínimo, el corte se denomina brecha. Un conjunto ordenado linealmente dotado de la topología de orden es compacto si y solo si no tiene huecos.

Números surrealistas

Se utiliza una construcción que se asemeja a los cortes de Dedekind para (una entre muchas posibles) construcciones de números surrealistas. La noción relevante en este caso es un corte Cuesta-Dutari, llamado así por el matemático español Norberto Cuesta Dutari [es].

Conjuntos parcialmente ordenados

Más generalmente, si S es un conjunto parcialmente ordenado, una compleción de S significa una red completa L con una incrustación ordenada de S en L. La noción de red completa generaliza la propiedad de cota superior mínima de los reales.

Una terminación de S es el conjunto de sus subconjuntos cerrados hacia abajo, ordenados por inclusión. Una terminación relacionada que preserva todos los sups e infs existentes de S se obtiene mediante la siguiente construcción: Para cada subconjunto A de S, sea A^u denota el conjunto de límites superiores de A, y deja que A^l denote el conjunto de límites inferiores de A. (Estos operadores forman una conexión de Galois). Entonces, la terminación Dedekind-MacNeille de S consta de todos los subconjuntos A para los cuales (A ^u)^l = A; se ordena por inclusión. La terminación de Dedekind-MacNeille es la red completa más pequeña con S incrustada en ella.