Corriente de desplazamiento

En electromagnetismo, la densidad de corriente de desplazamiento es la cantidad ∂D/∂t que aparece en las ecuaciones de Maxwell y que se define en términos de la tasa de cambio de D, el campo de desplazamiento eléctrico. La densidad de corriente de desplazamiento tiene las mismas unidades que la densidad de corriente eléctrica y es una fuente del campo magnético al igual que la corriente real. Sin embargo, no se trata de una corriente eléctrica de cargas en movimiento, sino de un campo eléctrico que varía con el tiempo. En los materiales físicos (a diferencia del vacío), también existe una contribución del ligero movimiento de las cargas unidas a los átomos, llamado polarización dieléctrica.

La idea fue concebida por James Clerk Maxwell en su artículo de 1861 Sobre líneas físicas de fuerza, Parte III en relación con el desplazamiento de partículas eléctricas en un medio dieléctrico. Maxwell añadió corriente de desplazamiento al término de corriente eléctrica en la Ley Circuital de Ampère. En su artículo de 1865, Una teoría dinámica del campo electromagnético, Maxwell utilizó esta versión modificada de la Ley Circuital de Ampère para derivar la ecuación de la onda electromagnética. Esta derivación ahora se acepta generalmente como un hito histórico en la física en virtud de unir la electricidad, el magnetismo y la óptica en una sola teoría unificada. El término corriente de desplazamiento se considera ahora una adición crucial que completó las ecuaciones de Maxwell y es necesario para explicar muchos fenómenos, muy particularmente la existencia de ondas electromagnéticas.

Explicación

El campo de desplazamiento eléctrico se define como:

$${displaystyle mathbf {D} = 'varepsilon ♪♪Mathbf {E} +mathbf {P}$$

donde:

• ε₀ es la autorización del espacio libre;
• E es la intensidad del campo eléctrico; y
• P es la polarización del medio.

Diferenciar esta ecuación con respecto al tiempo define la densidad de corriente de desplazamiento, que por lo tanto tiene dos componentes en un dieléctrico: (ver también la sección "corriente de desplazamiento" del artículo & #34;densidad actual")

$${displaystyle mathbf {J} _{mathrm {D}=varepsilon {fnMicroc {fnMithbf {} {f}{partial t}}+{frac {partial mathbf {} {}} {partial t},}} {fnMicroc {fnMitbf {f}} {f}}}}}}f}f}}}f}$$

El primer término del lado derecho está presente en los medios materiales y en el espacio libre. No necesariamente proviene de ningún movimiento real de carga, pero tiene un campo magnético asociado, al igual que una corriente debido al movimiento de la carga. Algunos autores aplican el nombre corriente de desplazamiento al primer término por sí solo.

El segundo término en el lado derecho, llamado densidad de corriente de polarización, proviene del cambio en la polarización de las moléculas individuales del material dieléctrico. La polarización se produce cuando, bajo la influencia de un campo eléctrico aplicado, las cargas de las moléculas se han movido desde una posición de cancelación exacta. Las cargas positivas y negativas de las moléculas se separan, provocando un aumento en el estado de polarización P. Un estado cambiante de polarización corresponde al movimiento de carga y, por lo tanto, es equivalente a una corriente, de ahí el término "corriente de polarización". De este modo,

$${displaystyle I_{mathrm {D}=iint _{S}mathbf {J} _{mathrm {D}cdot operatorname {d} # Mathbf {S} =iint _{S}{frac {partial mathbf {D} {f}cdot operatorname {d} ¡Mathbf! } {partial t}iint - ¿Por qué? ¡Mathbf! {fnMicrom} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Esta polarización es la corriente de desplazamiento tal como fue concebida originalmente por Maxwell. Maxwell no hizo ningún tratamiento especial al vacío, tratándolo como un medio material. Para Maxwell, el efecto de P era simplemente cambiar la permitividad relativa ε< sub>r en la relación D = ε₀ ε_r E.

La justificación moderna de la corriente de desplazamiento se explica a continuación.

Caja dieléctrica isotrópica

En el caso de un material dieléctrico muy simple se cumple la relación constitutiva:

$${displaystyle mathbf {D} =varepsilon ,mathbf {E} ~,}$$

donde la autorización ${displaystyle varepsilon =varepsilon _{0}varepsilon ¿Qué?$ es el producto de:

• ε₀, el autorización del espacio libreo el constante eléctrica; y
• ε_r, la relativa permittividad de la dieléctrica.

En la ecuación anterior, el uso de ε representa la polarización (si la hay) del material dieléctrico.

El valor escalar de la corriente de desplazamiento también se puede expresar en términos de flujo eléctrico:

$${displaystyle I_{mathrm {D}=varepsilon ,{frac {, ################################################################################################################################################################################################################################################################ }$$

Las formas en términos de escalar ε son correctas sólo para materiales isotrópicos lineales. Para materiales lineales no isotrópicos, ε se convierte en una matriz; De manera aún más general, ε puede ser reemplazado por un tensor, que puede depender del campo eléctrico mismo, o puede exhibir dependencia de la frecuencia (de ahí la dispersión).

Para un dieléctrico isotrópico lineal, la polarización P viene dada por:

$${displaystyle mathbf {P} = 'varepsilon ¿Por qué? {E} =varepsilon _{0}(varepsilon _{mathrm {r}-1),mathbf {E} ~$$

donde χ_e se conoce como la susceptibilidad del dieléctrico a los campos eléctricos. Tenga en cuenta que

$${displaystyle varepsilon =varepsilon _{mathrm {r},varepsilon #### {0}=left(1+chi ¿Por qué? - Sí.$$

Necesidad

A continuación se presentan algunas implicaciones de la corriente de desplazamiento, que concuerdan con la observación experimental y con los requisitos de consistencia lógica para la teoría del electromagnetismo.

Generalizando la ley del circuito de Ampère

Corriente en condensadores

Un ejemplo que ilustra la necesidad de la corriente de desplazamiento surge en relación con condensadores sin medio entre las placas. Considere el condensador de carga en la figura. El capacitor está en un circuito que hace que aparezcan cargas iguales y opuestas en la placa izquierda y en la placa derecha, cargando el capacitor y aumentando el campo eléctrico entre sus placas. No se transporta carga real a través del vacío entre sus placas. Sin embargo, entre las placas existe un campo magnético como si allí también existiera una corriente. Una explicación es que una corriente de desplazamiento I_D "fluye" en el vacío, y esta corriente produce el campo magnético en la región entre las placas según la ley de Ampère:

$${displaystyle oint _{C}mathbf {B} cdot operatorname {d} !{boldsymbol {fnMicrosoft Sans Serif} }= ¿Qué?$$

dónde

• ${displaystyle oint _{C}$ es la línea cerrada integral alrededor de una curva cerrada C;
• ${displaystyle mathbf {B}$ es el campo magnético medido en teslas;
• ${displaystyle operatorname {cdot} ~$ es el producto de punto vectorial;
• ${displaystyle mathrm {d} {boldsymbol {ell }}}$ es un elemento de línea vectorial infinitesimal a lo largo de la curva C, es decir, un vector con magnitud igual al elemento de longitud C, y la dirección dada por el tangente a la curva C;
• ${displaystyle mu _{0},}$ es la constante magnética, también llamada la permeabilidad del espacio libre; y
• ${fnMicrosoft Sans Serif}$ es la corriente de desplazamiento neto que pasa a través de una pequeña superficie atada por la curva C.

El campo magnético entre las placas es el mismo que el exterior de las placas, por lo que la corriente de desplazamiento debe ser la misma que la corriente de conducción en los cables, es decir,

$${displaystyle I_{mathrm {D}=I,}$$

que extiende la noción de corriente más allá de un mero transporte de carga.

A continuación, esta corriente de desplazamiento está relacionada con la carga del condensador. Considere la corriente en la superficie cilíndrica imaginaria que se muestra rodeando la placa izquierda. Una corriente, digamos I, pasa hacia afuera a través de la superficie izquierda L del cilindro, pero ninguna corriente de conducción (sin transporte de cargas reales) cruza la superficie derecha R. Observe que el campo eléctrico E entre las placas aumenta a medida que se carga el capacitor. Es decir, de la manera descrita por la ley de Gauss, suponiendo que no haya dieléctrico entre las placas:

$${displaystyle Q(t)=varepsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$$

donde S se refiere a la superficie cilíndrica imaginaria. Suponiendo un condensador de placas paralelas con un campo eléctrico uniforme y despreciando los efectos marginales alrededor de los bordes de las placas, de acuerdo con la ecuación de conservación de carga

$${displaystyle I=-{frac {mathrm {} Q}{mathrm {d} t}=-varepsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} {E} {fn}cdot operatorname {d} ! {S} =S,varepsilon ¿Por qué? {E}{partial} }{Biggr Silencio.$$

donde el primer término tiene un signo negativo porque la carga deja superficie L (la carga está disminuyendo), el último término tiene un signo positivo porque unidad vector de superficie R es de izquierda a derecha mientras que la dirección del campo eléctrico es de derecha a izquierda, S es el área de la superficie R. El campo eléctrico en la superficie L es cero porque la superficie L está en el exterior del condensador. Bajo el supuesto de una distribución uniforme de campo eléctrico dentro del condensador, la densidad de corriente de desplazamiento J_D se encuentra dividiendo por el área de la superficie:

$${displaystyle mathbf {J} _{mathrm {}={frac {fnMithbf {I} _{mathrm {D} {fnMicroc {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicroc {f}}}} {fnMicroc} {fnMicroc}}}}}}} {f}} {f}} {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f} {f} {f}}}}}} {f} {f} {f}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {\\f}\\\f} {f}f}f}f}}f}f}}}f}f}\f}}}}}f}} {I} } {S}= 'varepsilon {fnMicroc {fnMithbf {} {f}}={frac {partial mathbf {} {} {partial t}}~} {f}}} {f}}$$

donde I es la corriente que sale de la superficie cilíndrica (que debe ser igual a I_D) y J_D es el flujo de carga por unidad área en la superficie cilíndrica a través de la cara R.

Combinando estos resultados, el campo magnético se encuentra usando la forma integral de la ley de Ampère con una elección arbitraria de contorno siempre que el término de densidad de corriente de desplazamiento se agregue a la densidad de corriente de conducción (la ecuación de Ampère-Maxwell):

$${displaystyle oint _{partial S'mathbf {B} cdot operatorname {d} !{boldsymbol {fnMicrosoft Sans Serif} - Sí. ¿Por qué?$$

Esta ecuación dice que la integral del campo magnético B alrededor del borde ${displaystyle partial S}$ de una superficie S es igual a la corriente integrada J a través de cualquier superficie con el mismo borde, más el término actual de desplazamiento ${displaystyle varepsilon _{0}partial mathbf {E} /partial t}$ a través de cualquier superficie.

Como se muestra en la figura de la derecha, la superficie de cruce actual S₁ es completamente corriente de conducción. Aplicando la ecuación de Ampère-Maxwell a la superficie S₁ se obtiene:

$${displaystyle B={frac {m}I}{2pi}.$$

Sin embargo, la superficie de cruce actual S₂ es totalmente corriente de desplazamiento. Aplicar esta ley a la superficie S₂, que está atado por exactamente la misma curva ${displaystyle partial S}$, pero se encuentra entre las placas, produce:

$${displaystyle B={frac # ¿Qué? {}}{2pi}.$$

Cualquier superficie S₁ que intersecta el alambre tiene corriente I pasar a través de ella para que la ley de Ampère da el campo magnético correcto. Sin embargo, una segunda superficie S₂ atado por el mismo borde ${displaystyle partial S}$ podría ser dibujado pasando entre las placas capacitoras, por lo tanto no teniendo corriente pasar a través de ella. Sin el término actual de desplazamiento la ley de Ampere daría un campo magnético cero para esta superficie. Por lo tanto, sin el término actual de desplazamiento Ampere ley da resultados inconsistentes, el campo magnético dependería de la superficie elegida para la integración. Así pues, la duración actual del desplazamiento ${displaystyle varepsilon _{0}partial mathbf {E} /partial t}$ es necesario como un segundo término fuente que da el campo magnético correcto cuando la superficie de integración pasa entre las placas capacitor. Debido a que la corriente está aumentando la carga en las placas del condensador, el campo eléctrico entre las placas está aumentando, y la tasa de cambio de campo eléctrico da el valor correcto para el campo B encontrado arriba.

Formulación matemática

En una vena más matemática, los mismos resultados se pueden obtener de las ecuaciones diferenciales subyacentes. Considere para la simplicidad un medio no magnético donde la relativa permeabilidad magnética es unidad, y la complicación de la corriente de magnetización (actual de límite) está ausente, de modo que ${displaystyle mathbf {M} =0}$ y ${displaystyle mathbf {J} =mathbf {J}$.La corriente que deja un volumen debe igualar la tasa de disminución de carga en un volumen. En forma diferencial esta ecuación de continuidad se convierte en:

$${displaystyle nabla cdot mathbf {J} _{mathrm {f}=-{frac {partial rho _{mathrm {f}}{partial {f}}{ },}$$

donde el lado izquierdo es la divergencia de la densidad de corriente libre y el lado derecho es la tasa de disminución de la densidad de carga libre. Sin embargo, la ley de Ampère en su forma original establece:

$${displaystyle nabla times mathbf ¿Qué?$$

lo que implica que la divergencia del término actual se desvanece, contradiciendo la ecuación de continuidad. (La desaparición de la divergencia es el resultado de la identidad matemática que establece que la divergencia de un rizo es siempre cero). Este conflicto se elimina sumando la corriente de desplazamiento, como entonces:

$${displaystyle nabla times mathbf {B} =mu _{0}left(mathbf) {J} +varepsilon {fnMicrosoft Sans Serif} {E} {f}}derecha)=mu _{0}left(mathbf {J} _{mathrm {f}}+{frac {partial mathbf {} {}{partial t}derecha),}}}$$

y

$${displaystyle nabla cdot left(nabla times mathbf {B} right)=0=mu _{0}left(nabla cdot mathbf {J} _{mathrm {f}+{frac {partial }{partial t}nablacdotma]$$

que está de acuerdo con la ecuación de continuidad debido a la ley de Gauss:

$${displaystyle nabla cdot mathbf {D} =rho _{mathrm {f},}$$

Propagación de ondas

La corriente de desplazamiento agregada también conduce a la propagación de ondas al tomar la curvatura de la ecuación del campo magnético.

$${displaystyle mathbf {J} _{mathrm {D}=epsilon ¿Por qué?$$

Sustituyendo esta forma por J en la ley de Ampère y suponiendo que no hay una densidad de corriente libre o limitada que contribuya a J:

$${displaystyle nabla times mathbf {B} =mu _{0}Mathbf {J} _{mathrm {D},}$$

con el resultado:

$${displaystyle nabla times left(nabla times mathbf {B} right)=mu _{0}epsilon _{0}{frac {partial t}nabla times mathbf {E} ,}$$

Sin embargo,

$${displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {partial t}mathbf {B} ,}$$

lo que lleva a la ecuación de onda:

$${displaystyle -nabla times left(nabla times mathbf {B} right)=nabla ^{2}mathbf {B} =mu}epsilon {fnK} {fnK} {fnMicrosoft}fnMitbf {B} ={frac} {1}{2}} {frac {partial }{2} {partial t^{2}}mathbf {B},}} {c} {c} {cH00} {cH00}} {cH00}}} {cH00} {c}} {cH00}} {c}}} {c}}} {c}}}}} {cccc}}}}}}}}ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc}}}}}}}}}}}}}}ccccccccccccc$$

donde se hace uso de la identidad vectorial que se cumple para cualquier campo vectorial V(r, t):

$${displaystyle nabla times left(nabla times mathbf {V} right)=nabla left(nabla cdot mathbf {V} right)-nabla ^{2}mathbf {V} ,}$$

y el hecho de que la divergencia del campo magnético es cero. Se puede encontrar una ecuación de onda idéntica para el campo eléctrico tomando el rizo:

$${displaystyle nabla times left(nabla times mathbf {E} right)=-{frac {partial }{partial t}nabla times mathbf {B} =-mu _{0}{partial }{partial t}left(mathbf {J} +epsilon _{0}{frac {partial }{partial t}mathbf {E}right),}$$

Si J, P y ρ son cero, el resultado es:

$${displaystyle nabla ^{2}mathbf {E} =mu}epsilon ¿Por qué? mathbf {E} ={frac} {1}{2}} {frac {partial }{2} {partial t^{2}}mathbf {E} ,} {f} {f} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft} {f}} {fnMicrosoft} {f}}}} {fnMicrosoft {f}}} {f}}}f}}}}f} {f} {f}}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}fnKf}f}f}f}f}fnKf}fnKf}fnKf}f}f}f}fnMi$$

El campo eléctrico se puede expresar en la forma general:

$${displaystyle mathbf {E} =-nabla varphi - ¿Qué?$$

donde φ es el potencial eléctrico (que puede elegirse para satisfacer la ecuación de Poisson) y A es un potencial vectorial (es decir, potencial vectorial magnético, que no debe confundirse con el área de superficie, ya que A se indica en otra parte). El componente ∇φ en el lado derecho es el componente de la ley de Gauss, y este es el componente relevante para la conservación de argumento de cargo anterior. El segundo término del lado derecho es el relevante para la ecuación de la onda electromagnética, porque es el término que contribuye al rizo de E. Debido a la identidad del vector que dice que la curvatura de un gradiente es cero, ∇φ no contribuye a ∇× E.

Historia e interpretación

La corriente de desplazamiento de Maxwell fue postulada en la parte III de su artículo de 1861 "Sobre las líneas físicas de fuerza". Pocos temas en la física moderna han causado tanta confusión y malentendidos como el de las corrientes de desplazamiento. Esto se debe en parte al hecho de que Maxwell utilizó un mar de vórtices moleculares en su derivación, mientras que los libros de texto modernos operan sobre la base de que las corrientes de desplazamiento pueden existir en el espacio libre. La derivación de Maxwell no tiene relación con la derivación moderna de la corriente de desplazamiento en el vacío, que se basa en la coherencia entre la ley de circuito de Ampere para el campo magnético y la ecuación de continuidad para la carga eléctrica.

El propósito de Maxwell lo expresa él mismo en (Parte I, p. 161):

Propongo ahora examinar los fenómenos magnéticos desde un punto de vista mecánico, y determinar qué tensiones en, o movimientos de, un medio son capaces de producir los fenómenos mecánicos observados.

Tiene cuidado de señalar que el tratamiento es de analogía:

El autor de este método de representación no intenta explicar el origen de las fuerzas observadas por los efectos debido a estas cepas en el sólido elástico, sino que hace uso de las analogías matemáticas de los dos problemas para ayudar a la imaginación en el estudio de ambos.

En la parte III, en relación a la corriente de desplazamiento, dice

Concebí que la materia rotativa era la sustancia de ciertas células, divididas entre sí por paredes celulares compuestas de partículas muy pequeñas en comparación con las células, y que es por los movimientos de estas partículas, y su acción tangencial sobre la sustancia en las células, que la rotación se comunica de una célula a otra.

Claramente Maxwell se refería a la magnetización, aunque la misma introducción habla claramente de la polarización dieléctrica.

Maxwell concluyó, utilizando la ecuación de Newton para la velocidad del sonido (Líneas de fuerza, Parte III, ecuación (132)), que "la luz consiste en ondulaciones transversales en el mismo medio que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos."

Pero aunque las citas anteriores apuntan hacia una explicación magnética para la corriente de desplazamiento, por ejemplo, basada en la divergencia de la ecuación de rizo anterior, la explicación de Maxwell finalmente enfatizó la polarización lineal de los dieléctricos:

Este desplazamiento... es el comienzo de una corriente... La cantidad de desplazamiento depende de la naturaleza del cuerpo, y de la fuerza electromotiva para que si h es el desplazamiento, R la fuerza electromotiva, y E un coeficiente dependiendo de la naturaleza de la dieléctrica:

$${displaystyle R=-4pi mathrm {E} ^{2}h,}$$

y si r es el valor de la corriente eléctrica debido al desplazamiento

$${displaystyle r={frac {dh} {dt},}$$

Estas relaciones son independientes de cualquier teoría sobre el mecanismo de las dieléctricas; pero cuando encontramos la fuerza electromotriz produciendo desplazamiento eléctrico en una dieléctrica, y cuando encontramos la recuperación dieléctrica de su estado de desplazamiento eléctrico... no podemos ayudar en relación a los fenómenos como los de un cuerpo elástico, dando lugar a una presión y recuperando su forma cuando se elimina la presión.

—Sobre las líneas físicas de la fuerza, Parte III, La teoría de los vórtices moleculares aplicada a la electricidad estadística, págs. 14 a 15

Con algún cambio de símbolos (y unidades) combinado con los resultados deducidos en el apartado § Corriente en condensadores (r → J , R → −E y la constante del material E< sup>−2 → 4πε_rε₀ estas ecuaciones toman la forma familiar entre un condensador de placas paralelas con un campo eléctrico uniforme y despreciando los efectos de franja alrededor de los bordes de las placas:

$${displaystyle J={frac {d}{dt}{frac {1}{4pi mathrm E={frac} Varepsilon _{r}varepsilon E={frac {d} {dt}D,.}$$

Cuando llegó el momento de derivar la ecuación de la onda electromagnética a partir de la corriente de desplazamiento en su artículo de 1865 Una teoría dinámica del campo electromagnético, solucionó el problema de la divergencia distinta de cero asociada con la ley de Gauss y el desplazamiento dieléctrico mediante eliminando el término de Gauss y derivando la ecuación de onda exclusivamente para el vector del campo magnético solenoidal.

El énfasis de Maxwell en la polarización desvió la atención hacia el circuito del capacitor eléctrico y llevó a la creencia común de que Maxwell concibió la corriente de desplazamiento para mantener la conservación de la carga en un circuito del capacitor eléctrico. Hay una variedad de nociones discutibles sobre el pensamiento de Maxwell, que van desde su supuesto deseo de perfeccionar la simetría de las ecuaciones de campo hasta el deseo de lograr compatibilidad con la ecuación de continuidad.

Los artículos de Maxwell

• En las líneas de Faraday del papel de Fuerza Maxwell de 1855
• Sobre las líneas físicas del papel de Fuerza Maxwell de 1861
• Teoría Dinámica del papel de Maxwell de campo electromagnético de 1864