Coordenadas generalizadas
En mecánica analítica, las coordenadas generalizadas son un conjunto de parámetros utilizados para representar el estado de un sistema en un espacio de configuración. Estos parámetros deben definir de forma única la configuración del sistema en relación con un estado de referencia. Las velocidades generalizadas son las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas del sistema. El adjetivo "generalizado" distingue estos parámetros del uso tradicional del término "coordenada" para referirse a coordenadas cartesianas.
Un ejemplo de una coordenada generalizada sería describir la posición de un péndulo utilizando el ángulo del péndulo con respecto a la vertical, en lugar de mediante la posición x e y del péndulo.
Aunque puede haber muchas opciones posibles para las coordenadas generalizadas de un sistema físico, generalmente se seleccionan para simplificar los cálculos, como la solución de las ecuaciones de movimiento del sistema. Si las coordenadas son independientes entre sí, el número de coordenadas generalizadas independientes está definido por el número de grados de libertad del sistema.
Las coordenadas generalizadas se combinan con momentos generalizados para proporcionar coordenadas canónicas en el espacio de fase.
Restricciones y grados de libertad
Las coordenadas generalizadas generalmente se seleccionan para proporcionar el número mínimo de coordenadas independientes que definen la configuración de un sistema, lo que simplifica la formulación de las ecuaciones de movimiento de Lagrange. Sin embargo, también puede ocurrir que un conjunto útil de coordenadas generalizadas sea dependiente, lo que significa que están relacionadas por una o más ecuaciones de restricción.
Restricciones holonómicas
Para un sistema de N partículas en un espacio de coordenadas reales 3D, el vector de posición de cada partícula se puede escribir como un 3 -tupla en coordenadas cartesianas:
Cualquiera de los vectores de posición se puede denotar rk donde k = 1, 2,…, N etiqueta las partículas. Una restricción holonómica es una ecuación de restricción de la forma para la partícula k
que conecta las 3 coordenadas espaciales de esa partícula, por lo que no son independientes. La restricción puede cambiar con el tiempo, por lo que el tiempo t aparecerá explícitamente en las ecuaciones de restricción. En cualquier instante, cualquier coordenada se determinará a partir de las otras coordenadas, p.e. si xk y zk, luego también lo es yk . Una ecuación de restricción cuenta como una restricción. Si hay restricciones C, cada una tiene una ecuación, por lo que habrá C ecuaciones de restricción. No existe necesariamente una ecuación de restricción para cada partícula, y si no hay restricciones en el sistema, entonces no hay ecuaciones de restricción.
Hasta ahora, la configuración del sistema está definida por 3N cantidades, pero C se pueden eliminar las coordenadas, una coordenada de cada ecuación de restricción. El número de coordenadas independientes es n = 3N − C. (En dimensiones D, la configuración original necesitaría ND coordenadas, y la reducción por restricciones significa n = ND − C< /lapso>). Es ideal utilizar la cantidad mínima de coordenadas necesarias para definir la configuración de todo el sistema, aprovechando al mismo tiempo las restricciones del sistema. Estas cantidades se conocen como coordenadas generalizadas en este contexto, denotadas qj(t). Es conveniente recopilarlos en una tupla n
que es un punto en el espacio de configuración del sistema. Todos son independientes entre sí y cada uno es función del tiempo. Geométricamente pueden ser longitudes a lo largo de líneas rectas, o longitudes de arco a lo largo de curvas, o ángulos; no necesariamente coordenadas cartesianas u otras coordenadas ortogonales estándar. Hay una para cada grado de libertad, por lo que el número de coordenadas generalizadas es igual al número de grados de libertad, n. Un grado de libertad corresponde a una cantidad que cambia la configuración del sistema, por ejemplo el ángulo de un péndulo o la longitud del arco recorrido por una cuenta a lo largo de un alambre.
Si es posible encontrar a partir de las restricciones tantas variables independientes como grados de libertad haya, éstas se pueden utilizar como coordenadas generalizadas. El vector de posición rk de la partícula k es una función de todas las n coordenadas generalizadas (y, a través de ellos, del tiempo),
y las coordenadas generalizadas se pueden considerar como parámetros asociados con la restricción.
Las derivadas temporales correspondientes de q son las velocidades generalizadas,
(cada punto sobre una cantidad indica una derivada temporal). El vector de velocidad vk es la derivada total de rk con respecto al tiempo
y por lo general depende de las velocidades y coordenadas generalizadas. Dado que somos libres de especificar los valores iniciales de las coordenadas generalizadas y las velocidades por separado, las coordenadas generalizadas qj y las velocidades dqj/dt pueden tratarse como variables independientes .
Restricciones no holonómicas
Un sistema mecánico puede implicar restricciones tanto en las coordenadas generalizadas como en sus derivadas. Las restricciones de este tipo se conocen como no holonómicas. Las restricciones no holonómicas de primer orden tienen la forma
Un ejemplo de tal restricción es una rueda rodante o el filo de una navaja que limita la dirección del vector velocidad. Las restricciones no holonómicas también pueden implicar derivadas de siguiente orden, como aceleraciones generalizadas.
Cantidades físicas en coordenadas generalizadas
Energía cinética
La energía cinética total del sistema es la energía del movimiento del sistema, definida como
en el que · es el producto escalar. La energía cinética es función únicamente de las velocidades vk, no de las coordenadas < abarcan class="texhtml">rk ellos mismos. Por el contrario, una observación importante es
lo que ilustra que la energía cinética es en general una función de las velocidades generalizadas, las coordenadas y el tiempo si las restricciones también varían con el tiempo, entonces T = T(q, dq/dt, t).
En el caso de que las restricciones sobre las partículas sean independientes del tiempo, entonces todas las derivadas parciales con respecto al tiempo son cero y la energía cinética es una función homogénea de grado 2 en las velocidades generalizadas.
Aún para el caso independiente del tiempo, esta expresión equivale a tomar el elemento lineal al cuadrado de la trayectoria de la partícula k,
y dividiendo por el diferencial cuadrado en el tiempo, dt2, para obtener la velocidad al cuadrado de la partícula k. Por tanto, para restricciones independientes del tiempo es suficiente conocer el elemento lineal para obtener rápidamente la energía cinética de las partículas y, por tanto, la energía lagrangiana.
Resulta instructivo ver los distintos casos de coordenadas polares en 2D y 3D, debido a su frecuente aparición. En coordenadas polares 2D (r, θ),
en coordenadas cilíndricas 3D (r, θ, z),
en coordenadas esféricas 3D (r, θ, φ),
Impulso generalizado
El impulso generalizado "conjugado canónicamente con" la coordenada qi está definida por
Si el lagrangiano L no depende de alguna coordenada qi, entonces de las ecuaciones de Euler-Lagrange se deduce que el momento generalizado correspondiente será una cantidad conservada, porque la derivada del tiempo es cero, lo que implica que el impulso es una constante del movimiento;
Ejemplos
Cuenta en un alambre
Para una cuenta que se desliza sobre un alambre sin fricción sujeto solo a la gravedad en un espacio 2d, la restricción sobre la cuenta se puede expresar en la forma f ( r) = 0, donde la posición de la cuenta se puede escribir r = (x(< i>s), y(s)), en el que s es un parámetro, la longitud del arco s a lo largo de la curva desde algún punto del cable. Ésta es una elección adecuada de coordenadas generalizadas para el sistema. Sólo se necesita una coordenada en lugar de dos, porque la posición de la cuenta se puede parametrizar mediante un número, s< /span>, y la ecuación de restricción conecta las dos coordenadas x y y; cualquiera de los dos está determinado por el otro. La fuerza de restricción es la fuerza de reacción que el alambre ejerce sobre la cuenta para mantenerla sobre el alambre, y la fuerza aplicada sin restricción es la gravedad que actúa sobre la cuenta.
Supongamos que el cable cambia de forma con el tiempo al flexionarse. Entonces la ecuación de restricción y la posición de la partícula son respectivamente
que ahora dependen del tiempo t debido al cambio de coordenadas a medida que el cable cambia de forma. Observe que el tiempo aparece implícitamente a través de las coordenadas y explícitamente en las ecuaciones de restricción.
Péndulo sencillo
La relación entre el uso de coordenadas generalizadas y coordenadas cartesianas para caracterizar el movimiento de un sistema mecánico se puede ilustrar considerando la dinámica restringida de un péndulo simple.
Un péndulo simple consiste en una masa M que cuelga de un punto de pivote de modo que está obligado a moverse en un círculo de radio L. La posición de la masa está definida por el vector de coordenadas r = (x, y) medido en el plano del círculo de modo que y esté en la dirección vertical. Las coordenadas x y y están relacionados por la ecuación del círculo
que restringe el movimiento de M. Esta ecuación también proporciona una restricción sobre los componentes de la velocidad,
Ahora introduce el parámetro θ, que define la posición angular de M desde la dirección vertical. Se puede utilizar para definir las coordenadas x y y, tal que
El uso de θ para definir la configuración de este sistema evita la restricción proporcionada por la ecuación del círculo.
Observe que la fuerza de gravedad que actúa sobre la masa m se formula en las coordenadas cartesianas habituales,
donde g es la aceleración debida a la gravedad.
El trabajo virtual de la gravedad sobre la masa m a medida que sigue la trayectoria r está dado por
La variación δr se puede calcular en términos de las coordenadas x y y, o en términos del parámetro θ,
Así, el trabajo virtual viene dado por
Observe que el coeficiente de δy es el y-componente de la fuerza aplicada. De la misma manera, el coeficiente de δθ se conoce como fuerza generalizada a lo largo de la coordenada generalizada θ, dado por
Para completar el análisis considere la energía cinética T de la masa, usando la velocidad,
entonces,
D'Alembert del principio de trabajo virtual del péndulo en términos de las coordenadas x y y están dados por,
Esto produce las tres ecuaciones
en las tres incógnitas, x, y y λ.
Usando el parámetro θ, esas ecuaciones toman la forma
que se convierte en,
o
Esta formulación produce una ecuación porque hay un solo parámetro y ninguna ecuación de restricción.
Esto muestra que el parámetro θ es una coordenada generalizada que se puede utilizar de la misma manera que las coordenadas cartesianas x y y para analizar el péndulo.
Doble péndulo
Los beneficios de las coordenadas generalizadas se hacen evidentes con el análisis de un péndulo doble. Para las dos masas mi (i = 1, 2), sea ri = (xi, yi), i = 1, 2 definen sus dos trayectorias. Estos vectores satisfacen las dos ecuaciones de restricción,
y
La formulación de las ecuaciones de Lagrange para este sistema produce seis ecuaciones en las cuatro coordenadas cartesianas xi, yi (i = 1, 2) y los dos multiplicadores de Lagrange λ< sub>i (i = 1, 2) que surgen de las dos ecuaciones de restricción.
Ahora introduce las coordenadas generalizadas θi (i = 1, 2) que definen la posición angular de cada masa del doble péndulo desde la dirección vertical. En este caso, tenemos
La fuerza de gravedad que actúa sobre las masas está dada por,
donde g es la aceleración debida a la gravedad. Por lo tanto, el trabajo virtual de la gravedad sobre las dos masas a medida que siguen las trayectorias ri (i = 1, 2) está dado por
Las variaciones δri (i = 1, 2) se puede calcular como
Así, el trabajo virtual viene dado por
y las fuerzas generalizadas son
Calcule la energía cinética de este sistema como
La ecuación de Euler-Lagrange produce dos ecuaciones en las coordenadas generalizadas desconocidas θi (i = 1, 2) dado por
y
El uso de las coordenadas generalizadas θi (i = 1, 2) proporciona una alternativa a la formulación cartesiana de la dinámica del doble péndulo.
Péndulo esférico
Para un ejemplo 3D, un péndulo esférico con longitud constante l libre de oscilar en cualquier dirección angular sujeto a la gravedad, el La restricción sobre la masa del péndulo se puede expresar en la forma
donde se puede escribir la posición de la masa del péndulo
en el que (θ, φ) son los ángulos polares esféricos porque la masa se mueve en la superficie de una esfera. La posición r se mide a lo largo del punto de suspensión hasta la masa, tratada aquí como una partícula puntual. Una elección lógica de coordenadas generalizadas para describir el movimiento son los ángulos (θ, φ). Sólo se necesitan dos coordenadas en lugar de tres, porque la posición de la pesa se puede parametrizar mediante dos números y la ecuación de restricción conecta las tres coordenadas (x, y, z) por lo que cualquiera de ellos se determina a partir de los otros dos.
Coordenadas generalizadas y trabajo virtual
El principio del trabajo virtual establece que si un sistema está en equilibrio estático, el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde este estado, es decir, δW = 0 para cualquier variación δr. Cuando se formula en términos de coordenadas generalizadas, esto equivale al requisito de que las fuerzas generalizadas para cualquier desplazamiento virtual sean cero, es decir Fi = 0.
Sean las fuerzas sobre el sistema Fj (j = 1, 2, …, m) se aplicará a puntos con coordenadas cartesianas rj (j = 1, 2, …, m), entonces el trabajo virtual generado por un desplazamiento virtual del equilibrio la posición está dada por
donde δrj (j = 1, 2, …, m) denotan los desplazamientos virtuales de cada punto del cuerpo.
Ahora supongamos que cada δrj depende de las coordenadas generalizadas qi (i = 1, 2,…, n) entonces
y
Los términos n
son las fuerzas generalizadas que actúan sobre el sistema. Kane muestra que estas fuerzas generalizadas también pueden formularse en términos de la relación de derivadas del tiempo,
donde vj es la velocidad del punto de aplicación de la fuerza Fj.
Para que el trabajo virtual sea cero para un desplazamiento virtual arbitrario, cada una de las fuerzas generalizadas debe ser cero, es decir
Bibliografía de referencias citadas
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