Coordenadas de Eddington-Finkelstein

En relatividad general, las coordenadas de Eddington-Finkelstein son un par de sistemas de coordenadas para una geometría de Schwarzschild (por ejemplo, un agujero negro con simetría esférica) que se adaptan a las geodésicas nulas radiales. Las geodésicas nulas son las líneas de mundo de los fotones; los radiales son aquellos que se mueven directamente hacia o desde la masa central. Llevan el nombre de Arthur Stanley Eddington y David Finkelstein. Aunque parecen haber inspirado la idea, nunca escribieron estas coordenadas o la métrica en estas coordenadas. Roger Penrose parece haber sido el primero en escribir la forma nula, pero lo acredita al artículo anterior de Finkelstein y, en su ensayo del Premio Adams más tarde ese año, a Eddington y Finkelstein. De manera más influyente, Misner, Thorne y Wheeler, en su libro Gravitation, se refieren a las coordenadas nulas con ese nombre.

En estos sistemas de coordenadas, los rayos de luz radiales que viajan hacia afuera (hacia adentro) (cada uno de los cuales sigue una geodésica nula) definen las superficies de "tiempo" constante, mientras que la coordenada radial es la coordenada de área habitual para que la las superficies de simetría de rotación tienen un área de 4πr². Una ventaja de este sistema de coordenadas es que muestra que la singularidad aparente en el radio de Schwarzschild es solo una singularidad de coordenadas y no una verdadera singularidad física. Si bien Finkelstein reconoció este hecho, Eddington no lo reconoció (o al menos no lo comentó), cuyo propósito principal era comparar y contrastar las soluciones esféricamente simétricas en la teoría de la gravitación de Whitehead y la de Einstein. versión de la teoría de la relatividad.

Métrica de Schwarzschild

Las coordenadas Schwarzschild son ()t,r,Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle (t,r,thetavarphi)}, y en estas coordenadas la métrica Schwarzschild es bien conocida:

ds2=− − ()1− − 2GMr)dt2+()1− − 2GMr)− − 1dr2+r2dΩ Ω 2{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ Omega

dónde

dΩ Ω 2↑ ↑ dSilencio Silencio 2+pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio dφ φ 2.{displaystyle dOmega ^{2}equiv dtheta ^{2}+sin ^{2}theta ,dvarphi ^{2}

es la métrica estándar de Riemann de la unidad 2-esfera.

Tenga en cuenta que las convenciones que se utilizan aquí son la firma métrica de (− + + +) y las unidades naturales donde c = 1 es la velocidad adimensional de la luz, G la constante gravitacional, y M es la masa característica de la geometría de Schwarzschild.

Coordenada tortuga

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein se basan en la coordenada de la tortuga, un nombre que proviene de una de las paradojas de Zenón de Elea en una carrera imaginaria entre "swift-footed" Aquiles y una tortuga.

Coordenada de tortuga rAlternativa Alternativa {displaystyle r^{*} se define:

rAlternativa Alternativa =r+2GMIn⁡ ⁡ Silencior2GM− − 1Silencio.{displaystyle r^{*}=r+2GMln left perpetua{frac {r}}-1justo de la vida.}

para satisfacer:

drAlternativa Alternativa dr=()1− − 2GMr)− − 1.{displaystyle {frac {} {}{dr}=left(1-{frac {2GM} {r}right)}{-1}}

Coordenada de tortuga rAlternativa Alternativa {displaystyle r^{*} enfoques − − JUEGO JUEGO {displaystyle -infty } como r{displaystyle r} se acerca al radio Schwarzschild 2GM{displaystyle 2GM}.

Cuando alguna sonda (como un rayo de luz o un observador) se acerca al horizonte de eventos de un agujero negro, su coordenada de tiempo de Schwarzschild se vuelve infinita. Los rayos nulos salientes en este sistema de coordenadas tienen un cambio infinito en t al salir del horizonte. La coordenada de la tortuga está destinada a crecer infinitamente a la velocidad adecuada para cancelar este comportamiento singular en los sistemas de coordenadas construidos a partir de ella.

El aumento en la coordenada de tiempo hasta el infinito a medida que uno se acerca al horizonte de eventos es la razón por la cual la información nunca podría recibirse de ninguna sonda que se envíe a través de dicho horizonte de eventos. Esto es a pesar del hecho de que la sonda en sí puede viajar más allá del horizonte. También es por eso que la métrica de espacio-tiempo del agujero negro, cuando se expresa en coordenadas de Schwarzschild, se vuelve singular en el horizonte y, por lo tanto, no puede trazar completamente la trayectoria de una sonda que cae.

Métrico

El las coordenadas de Eddington-Finkelstein se obtiene reemplazando la coordenadas t con la nueva coordinación v=t+rAlternativa Alternativa {displaystyle v=t+r^{*}. En estas coordenadas, la métrica Schwarzschild se puede escribir como

ds2=− − ()1− − 2GMr)dv2+2dvdr+r2dΩ Ω 2.{displaystyle ds. Omega.

donde de nuevo dΩ Ω 2=dSilencio Silencio 2+pecado2⁡ ⁡ Silencio Silencio dφ φ 2{displaystyle dOmega ^{2}=dtheta ^{2}+sin ^{2}theta ,dvarphi ^{2}es la métrica Riemanniana estándar en el radio de unidad 2-sphere.

Del mismo modo, coordenadas salientes de Eddington–Finkelstein se obtienen reemplazando t con la coordinación null u=t− − rAlternativa Alternativa {displaystyle u=t-r^{*}. La métrica es entonces dada por

ds2=− − ()1− − 2GMr)du2− − 2dudr+r2dΩ Ω 2.{displaystyle ds^{2}=-left(1-{frac {2GM}{r}right)du^{2}-2,du,dr+r^{2}d Omega.

En ambos sistemas de coordenadas, la métrica es explícitamente no singular en el radio de Schwarzschild (aunque un componente desaparece en este radio, el determinante de la métrica sigue sin desaparecer y la métrica inversa no tiene términos que diverjan allí.)

Tenga en cuenta que para los rayos nulos radiales, v=const o v− − 2rAlternativa Alternativa {displaystyle v-2r^{*}==conservador o equivalente u+2rAlternativa Alternativa {displaystyle u+2r^{*}==conservador o U=const tenemos dv/dr y du/dr acercamiento 0 y ±2 en grande r, no ±1 como uno podría esperar si uno mira u o v como "tiempo". Al trazar diagramas Eddington–Finkelstein, superficies de constante u o v se dibujan generalmente como conos, con u o v líneas constantes dibujadas como inclinadas en 45 grados en lugar de como aviones (véase por ejemplo el recuadro 31.2 de MTW). Algunas fuentes en lugar de tomar t.=t± ± ()rAlternativa Alternativa − − r){displaystyle t'=tpm (r^{*}-r),}, correspondiente a superficies planas en tales diagramas. En términos de esto t.{displaystyle t} la métrica se convierte

ds2=− − ()1− − 2GMr)dt.2± ± 4GMrdt.dr+()1+2GMr)dr2+r2dΩ Ω 2=()− − dt.2+dr2+r2dΩ Ω 2)+2GMr()dt.± ± dr)2{displaystyle ########### {2GM}{r}right)dt'^{2}pm {frac {4GM}{r},dt',dr+left(1+{frac {2GM}{r}}right),dr^{2}+r^{2}d2}d Omega ^{2}=(-dt'^{2}+dr^{2}+r^{2}d Omega...

que es minkowskiano en general r. (Este fue el tiempo de coordenadas y la métrica que tanto Eddington como Finkelstein presentaron en sus artículos).

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein aún están incompletas y se pueden ampliar. Por ejemplo, las geodésicas temporales que viajan hacia el exterior definidas por (con τ el tiempo adecuado)

r()τ τ )=2GMτ τ {displaystyle r(tau)={sqrt {2GMtau}}

v()τ τ )=∫ ∫ r()τ τ )r()τ τ )− − 2GMdτ τ =C+τ τ +22GMτ τ +4GMIn⁡ ⁡ ()τ τ 2GM− − 1){displaystyle {begin{aligned}v(tau) limit=int {frac {r(tau)}{r(tau)-2GM}},dtau \\ccctau +2{sqrt {2GMtau }+4GMln left({sqrt {frac {tau }{2GM}}}-1right)end{aligned}}}

tiene v(τ) → −∞ como τ → 2GM. Es decir, esta geodésica temporal tiene una longitud propia finita hacia el pasado donde sale del horizonte (r = 2GM) cuando v se convierte en menos infinito. Las regiones para v y r < 2GM es una región diferente de u y r < 2GM. El horizonte r = 2GM y finito v (el horizonte del agujero negro) es diferente del que tiene r = 2GM y u finito (el horizonte del agujero blanco).

La métrica en coordenadas Kruskal-Szekeres cubre todo el espacio-tiempo extendido de Schwarzschild en un solo sistema de coordenadas. Su principal desventaja es que en esas coordenadas la métrica depende tanto de las coordenadas temporales como espaciales. En Eddington-Finkelstein, como en las coordenadas de Schwarzschild, la métrica es independiente del "tiempo" (ya sea t en Schwarzschild, o u o v en las diversas coordenadas de Eddington-Finkelstein), pero ninguno de estos cubre el espacio-tiempo completo.

Las coordenadas Eddington-Finkelstein tienen cierta similitud con las coordenadas Gullstrand-Painlevé en que ambas son independientes del tiempo, y penetran (son regulares a través) ya sea el futuro (agujero negro) o el pasado (agujero blanco) horizontes. Ambos no son diagonales (las hipersuperficies de "tiempo" constante no son ortogonales a las hipersuperficies de constantes r.) Estos últimos tienen una métrica espacial plana, mientras que las hipersuperficies espaciales ("tiempo" constantes) del primero son nulas y tienen la misma métrica que la de un cono nulo en el espacio de Minkowski (t=± ± r{displaystyle t=pm r} en espacio plano).