Convolución de Dirichlet

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En matemáticas, la convolución de Dirichlet es una operación binaria definida para funciones aritméticas; es importante en teoría de números. Fue desarrollado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Definición

Si ${displaystyle f,g:mathbb {N} to mathbb {C} }$ son dos funciones aritméticas de los enteros positivos a los números complejos, los Dirichlet convolution f Alternativa g es una nueva función aritmética definida por:

{displaystyle (f*g)(n) = sum _{d,mid ,n}f(d),g!left({frac {n}{d}}right) = sum _{ab,=,n}!f(a),g(b)}

donde la suma se extiende sobre todos los divisores positivos d de n, o de manera equivalente sobre todos los pares distintos (a, b) de enteros positivos cuyo producto es n.

Este producto se produce de forma natural en el estudio de las series de Dirichlet, como la función zeta de Riemann. Describe la multiplicación de dos series de Dirichlet en términos de sus coeficientes:

{displaystyle left(sum _{ngeq 1}{frac {f(n)}{n^{s}}}right)left(sum _{ngeq 1}{frac {g(n)}{n^{s}}}right) = left(sum _{ngeq 1}{frac {(f*g)(n)}{n^{s}}}right).}

Propiedades

El conjunto de funciones aritméticas forma un anillo conmutativo, el anillo de Dirichlet, bajo suma puntual, donde f + g está definido por (f + g)(n) = f(n ) + g(n), y convolución de Dirichlet. La identidad multiplicativa es la función unitaria ε definida por ε(n) = 1 si n = 1 y ε(n) = 0 si n > 1. Las unidades (elementos invertibles) de este anillo son las funciones aritméticas f con f(1) ≠ 0.

Específicamente, la convolución de Dirichlet es asociativa,

{displaystyle (f*g)*h=f*(g*h),}

distributivo sobre suma

{displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h}

conmutativo,

{displaystyle f*g=g*f}

y tiene un elemento de identidad,

{displaystyle f*varepsilon }

{displaystyle varepsilon *f=f}

Además, para cada $f$ teniendo ${displaystyle f(1)neq 0}$ , existe una función aritmética $f^{-1}$ con ${displaystyle f*f^{-1}=varepsilon }$ , llamado el Dirichlet inverse de $f$ .

La convolución Dirichlet de dos funciones multiplicativas es otra vez multiplicativa, y cada función multiplicativa no constantemente cero tiene un inverso Dirichlet que también es multiplicativo. En otras palabras, las funciones multiplicativas forman un subgrupo del grupo de elementos invertibles del anillo Dirichlet. Tenga cuidado, sin embargo, de que la suma de dos funciones multiplicativas no es multiplicativa (ya ${displaystyle (f+g)(1)=f(1)+g(1)=2neq 1}$ ), por lo que el subconjunto de funciones multiplicativas no es un subing del anillo Dirichlet. El artículo sobre funciones multiplicativas enumera varias relaciones convolutivas entre importantes funciones multiplicativas.

Otra operación en las funciones aritméticas es la multiplicación puntual: fg se define por ()fg)n) f()n) g()n). Dada una función completamente multiplicadora $h$ , multiplicación de punto por $h$ distribuye sobre Dirichlet convolution: ${displaystyle (f*g)h=(fh)*(gh)}$ . La convolución de dos funciones completamente multiplicativas es multiplicativa, pero no necesariamente completamente multiplicativa.

Ejemplos

En estas fórmulas, usamos las siguientes funciones aritméticas:

$varepsilon$ es la identidad multiplicativa: ${displaystyle varepsilon (1)=1}$ , de lo contrario 0 ( ${displaystyle varepsilon (n)=lfloor {tfrac {1}{n}}rfloor }$ ).
$1$ es la función constante con valor 1: $1(n)=1$ para todos $n$ . Tenga en cuenta que $1$ no es la identidad. (Algunos autores denotan esto como $zeta$ porque la serie Dirichlet asociada es la función Riemann zeta.)
$1_C$ para ${displaystyle Csubset mathbb {N} }$ es una función indicadora de conjunto: ${displaystyle 1_{C}(n)=1}$ Sip ${displaystyle nin C}$ , de lo contrario 0.
${displaystyle {text{Id}}}$ es la función de identidad con valor n: ${displaystyle {text{Id}}(n)=n}$ .
${displaystyle {text{Id}}_{k}}$ es kfunción de potencia: ${displaystyle {text{Id}}_{k}(n)=n^{k}}$ .

Se cumplen las siguientes relaciones:

${displaystyle 1*mu =varepsilon }$ , el Dirichlet inverso de la función constante $1$ es la función Möbius. Por lo tanto:
${displaystyle g=f*1}$ si ${displaystyle f=g*mu }$ , la fórmula de inversión Möbius
${displaystyle sigma _{k}={text{Id}}_{k}*1}$ , la función suma kth-power-of-divisors σ_k
${displaystyle sigma ={text{Id}}*1}$ , la función suma de visores σ = σ₁
${displaystyle d=1*1}$ la función número de visores d()n) σ₀
${displaystyle {text{Id}}_{k}=sigma _{k}*mu }$ , por Möbius inversión de las fórmulas para σ_k, σ, y d
${displaystyle {text{Id}}=sigma *mu }$
${displaystyle 1=d*mu }$
${displaystyle phi *1={text{Id}}}$ probado bajo la función totiente de Euler
${displaystyle phi ={text{Id}}*mu }$ por inversión Möbius
${displaystyle sigma =phi *d}$ , desde la construcción 1 en ambos lados ${displaystyle phi *1={text{Id}}}$
${displaystyle lambda *|mu |=varepsilon }$ Donde λ es la función de Liouville
${displaystyle lambda *1=1_{text{Sq}}}$ donde Sq = {1, 4, 9,...} es el conjunto de cuadrados
${displaystyle {text{Id}}_{k}*({text{Id}}_{k}mu)=varepsilon }$
${displaystyle d^{3}*1=(d*1)^{2}}$
${displaystyle J_{k}*1={text{Id}}_{k}}$ , la función totiente de Jordan
${displaystyle ({text{Id}}_{s}J_{r})*J_{s}=J_{s+r}}$
${displaystyle Lambda *1=log }$ , donde $Lambda$ es la función de von Mangoldt
${displaystyle |mu |ast 1=2^{omega },}$ Donde $omega (n)$ es la función principal omega contando diferencia factores principales n
${displaystyle Omega ast mu =1_{mathcal {P}}}$ , la función característica de los poderes primarios.
${displaystyle omega ast mu =1_{mathbb {P} }}$ Donde ${displaystyle 1_{mathbb {P} }(n)mapsto {0,1}}$ es la función característica de los primos.

Esta última identidad muestra que la función de conteo de números primos viene dada por la función sumatoria

{displaystyle pi (x)=sum _{nleq x}(omega ast mu)(n)=sum _{d=1}^{x}omega (d)Mleft(leftlfloor {frac {x}{d}}rightrfloor right)}

Donde $M(x)$ es la función Mertens y $omega$ es el factor principal diferenciando función de arriba. Esta expansión se deriva de la identidad de las sumas sobre las convoluciones Dirichlet dadas en la página de identidades de la suma divisor (un truco estándar para estas sumas).

Dirichlet inversa

(feminine)

Ejemplos

Dada una función aritmética $f$ su Dirichlet inverso ${displaystyle g=f^{-1}}$ puede calcularse recursivamente: el valor ${displaystyle g(n)}$ es en términos de ${displaystyle g(m)}$ para $<math alttext="{displaystyle mm.n{displaystyle m won} <img alt="m$ .

Para $n=1$ :

{displaystyle (f*g)(1)=f(1)g(1)=varepsilon (1)=1}

Así que

{displaystyle g(1)=1/f(1)}

. Esto implica que

f

no tiene un Dirichlet inverso si

{displaystyle f(1)=0}

Para $n=2$ :

{displaystyle (f*g)(2)=f(1)g(2)+f(2)g(1)=varepsilon (2)=0}

{displaystyle g(2)=-(f(2)g(1))/f(1)}

Para $n=3$ :

{displaystyle (f*g)(3)=f(1)g(3)+f(3)g(1)=varepsilon (3)=0}

{displaystyle g(3)=-(f(3)g(1))/f(1)}

Para $n=4$ :

{displaystyle (f*g)(4)=f(1)g(4)+f(2)g(2)+f(4)g(1)=varepsilon (4)=0}

{displaystyle g(4)=-(f(4)g(1)+f(2)g(2))/f(1)}

y en general $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1{displaystyle n confía1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/>$ ,

<math alttext="{displaystyle g(n) = {frac {-1}{f(1)}}mathop {sum _{d,mid ,n}} _{dg()n)=− − 1f()1).. d▪ ▪ nd.n⁡ ⁡ f()nd)g()d).{displaystyle g(n) = {-1}f}mathop {sum _{d,mid,n} _{d meantn}fleft({frac {n}right)g(d).}<img alt="{displaystyle g(n) = {frac {-1}{f(1)}}mathop {sum _{d,mid ,n}} _{d

Propiedades

Se cumplen las siguientes propiedades de la inversa de Dirichlet:

La función f tiene un inverso de Dirichlet si y sólo si f(1) ل 0.
El inverso de Dirichlet de una función multiplicativa es de nuevo multiplicador.
El inverso Dirichlet de una convolución Dirichlet es la convolución de los inversos de cada función: ${displaystyle (fast g)^{-1}=f^{-1}ast g^{-1}}$ .
Una función multiplicadora f es completamente multiplicativo si y sólo si ${displaystyle f^{-1}(n)=mu (n)f(n)}$ .
Si f es completamente multiplicativo entonces ${displaystyle (fcdot g)^{-1}=fcdot g^{-1}}$ siempre ${displaystyle g(1)neq 0}$ y dónde $cdot$ denota la multiplicación puntual de las funciones.

Otras fórmulas

Función Aritmética	Dirichlet inverse:
Función constante con valor 1	Función Möbius μ
$n^{alpha}$	$mu (n),n^{alpha }$
Función de Liouville λ	Valor absoluto de la función MöbiusμSilencio
Función totiente de Euler $varphi$	${displaystyle sum _{d\|n}d,mu (d)}$
Función de la suma generalizada de visores ${displaystyle sigma _{alpha }}$	${displaystyle sum _{d\|n}d^{alpha }mu (d)mu left({frac {n}{d}}right)}$

Una fórmula exacta, no recursiva para el inverso de Dirichlet de cualquier función aritmética f se proporciona en Divisor sum identities. Una expresión más teórica de partición para la inversa de Dirichlet de f viene dada por

{displaystyle f^{-1}(n)=sum _{k=1}^{Omega (n)}left{sum _{{lambda _{1}+2lambda _{2}+cdots +klambda _{k}=n} atop {lambda _{1},lambda _{2},ldotslambda _{k}|n}}{frac {(lambda _{1}+lambda _{2}+cdots +lambda _{k})!}{1!2!cdots k!}}(-1)^{k}f(lambda _{1})f(lambda _{2})^{2}cdots f(lambda _{k})^{k}right}.}

La siguiente fórmula proporciona una forma compacta de expresar el inverso de Dirichlet de una función aritmética invertible f:

${displaystyle f^{-1}=sum _{k=0}^{+infty }{frac {(f(1)varepsilon -f)^{*k}}{f(1)^{k+1}}}}$

donde la expresión ${displaystyle (f(1)varepsilon -f)^{*k}}$ representa la función aritmética ${displaystyle f(1)varepsilon -f}$ convocado por sí mismo k veces. Note que, para un entero positivo fijo $n$ , si $Omega (n)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■Ω Ω ()n){displaystyle k]Omega (n)}Omega (n)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f524df9e8e65124fd7afb14efcd47094248b75" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.192ex; height:2.843ex;"/>$ entonces ${displaystyle (f(1)varepsilon -f)^{*k}(n)=0}$ Esto es porque ${displaystyle f(1)varepsilon (1)-f(1)=0}$ y todas las formas de expresar n como producto de k los enteros positivos deben incluir un 1, por lo que la serie en el lado derecho converge para cada entero positivo fijo No.

Serie de Dirichlet

Si f es una función aritmética, la función generadora de series de Dirichlet está definida por

DG(f;s)=sum _{{n=1}}^{infty }{frac {f(n)}{n^{s}}}

para aquellos argumentos complejos s para los que la serie converge (si los hay). La multiplicación de series de Dirichlet es compatible con la convolución de Dirichlet en el siguiente sentido:

DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s),

para todos los s para los cuales ambas series del lado izquierdo convergen, al menos una de ellas converge absolutamente (nótese que la simple convergencia de ambas series del lado izquierdo no implica convergencia del lado derecho!). Esto es similar al teorema de convolución si uno piensa en la serie de Dirichlet como una transformada de Fourier.

Conceptos relacionados

La restricción de los divisores en la convolución a divisores unitarios, bi-unitarios o infinitos define operaciones conmutativas similares que comparten muchas características con la convolución de Dirichlet (existencia de una inversión de Möbius, persistencia de la multiplicatividad, definiciones de totients, tipo Euler fórmulas de productos sobre primos asociados, etc.).

La convolución de Dirichlet es la convolución del álgebra de incidencia para los números enteros positivos ordenados por divisibilidad.

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