Convergencia absoluta

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Modo de convergencia de una serie infinita

En matemáticas, una serie infinita de números se dice a converge absolutamente (o ser absolutamente convergente) si la suma de los valores absolutos de los summands es finita. Más precisamente, una serie real o compleja $textstylesum_{n=0}^infty a_n$ se dice que converge absolutamente si $textstylesum_{n=0}^infty left|a_nright| = L$ para algún número real ${displaystyle textstyle L.}$ Análogamente, una parte inadecuada de una función, ${displaystyle textstyle int _{0}^{infty }f(x),dx,}$ se dice que converger absolutamente si la parte integral del valor absoluto del integrado es finita - es decir, si ${displaystyle textstyle int _{0}^{infty }|f(x)|dx=L.}$

La convergencia absoluta es importante para el estudio de series infinitas porque su definición es lo suficientemente fuerte como para tener propiedades de sumas finitas que no todas las series convergentes poseen - una serie convergente que no es absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente, mientras que serie absolutamente convergente se comportan "nicely". Por ejemplo, las reorganizaciones no cambian el valor de la suma. Esto no es cierto para las series condicionalmente convergentes: La serie armónica alterna ${textstyle 1-{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}-{frac {1}{4}}+{frac {1}{5}}-{frac {1}{6}}+cdots }$ convergencias a ${displaystyle ln 2,}$ mientras que su reorganización ${textstyle 1+{frac {1}{3}}-{frac {1}{2}}+{frac {1}{5}}+{frac {1}{7}}-{frac {1}{4}}+cdots }$ (en el que el patrón repetido de signos es dos términos positivos seguidos por un término negativo) convergen a ${textstyle {frac {3}{2}}ln 2.}$

Antecedentes

En sumas finitas, el orden en que se suman los términos no importa. 1 + 2 + 3 es lo mismo que 3 + 2 + 1. Sin embargo, esto no es cierto cuando se suman infinitos números, y asumir erróneamente que es cierto puede conducir a aparentes paradojas. Un ejemplo clásico es la suma alterna

${displaystyle S=1-1+1-1+1-1...}$

cuyos términos alternan entre +1 y -1. ¿Cuál es el valor de S? Una forma de evaluar S es agrupar el primer y segundo término, el tercero y el cuarto, y así sucesivamente:

${displaystyle S_{1}=(1-1)+(1-1)+(1-1)....=0+0+0...=0}$

Pero otra manera de evaluar S es dejar el primer término solo y agrupar el segundo y tercer término, luego el cuarto y quinto término, y así sucesivamente:

${displaystyle S_{2}=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)....=1+0+0+0...=1}$

Esto conduce a una paradoja aparente: ${displaystyle S=0}$ o ${displaystyle S=1}$ ?

La respuesta es que porque S no es absolutamente convergente, reorganizando sus términos cambia el valor de la suma. Esto significa $S_{1}$ y $S_{2}$ no son iguales. De hecho, la serie ${displaystyle 1-1+1-1+...}$ no converge, así que S no tiene un valor que encontrar en primer lugar. Una serie absolutamente convergente no tiene este problema: reorganizar sus términos no cambia el valor de la suma.

Definición de números reales y complejos

Una suma de números reales o números complejos ${textstyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}}$ es absolutamente convergente si la suma de los valores absolutos de los términos ${textstyle sum _{n=0}^{infty }|a_{n}|}$ converge.

Sumas de elementos más generales

La misma definición se puede utilizar para series ${textstyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}}$ cuyos términos $a_{n}$ no son números sino elementos de un grupo topológico abeliano arbitrario. En ese caso, en lugar de utilizar el valor absoluto, la definición requiere que el grupo tenga una norma, que es una función positiva de valor real ${textstyle |cdot |:Gto mathbb {R} _{+}}$ on an abelian group $G$ (aditivamente escrito, con elemento de identidad 0) tal que:

La norma del elemento de identidad $G$ es cero: $|0| = 0.$
Por todos ${displaystyle xin G,}$ $|x| = 0$ implicación $x=0.$
Por todos ${displaystyle xin G,}$ $|-x| = |x|.$
Por todos ${displaystyle x,yin G,}$ $|x+y| leq |x| + |y|.$

En este caso, la función $d(x,y) = |x-y|$ induce la estructura de un espacio métrico (un tipo de topología) en $G.$

Entonces, un $G$ - la serie valorada es absolutamente convergente si $<math alttext="{textstyle sum _{n=0}^{infty }|a_{n}|.. n=0JUEGO JUEGO .. an.. .JUEGO JUEGO .{textstyle sum _{n=0}{infty - No.<img alt="{textstyle sum _{n=0}^{infty }|a_{n}|$

En particular, estas declaraciones se aplican utilizando la norma $|x|$ (valor absoluto) en el espacio de números reales o números complejos.

En espacios vectoriales topológicos

Si $X$ es un espacio vectorial topológico (TVS) y ${textstyle left(x_{alpha }right)_{alpha in A}}$ es una familia (posiblemente incontable) $X$ entonces esta familia es absolutamente flexible si

${textstyle left(x_{alpha }right)_{alpha in A}}$ es summable dentro $X$ (es decir, si el límite ${textstyle lim _{Hin {mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ de la red ${displaystyle left(x_{H}right)_{Hin {mathcal {F}}(A)}}$ convergencias en $X,$ Donde ${displaystyle {mathcal {F}}(A)}$ es el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de $A$ dirigida por la inclusión $subseteq$ y ${textstyle x_{H}:=sum _{iin H}x_{i}}$ ), y
para cada seminorm continuo $p$ on $X,$ la familia ${textstyle left(pleft(x_{alpha }right)right)_{alpha in A}}$ es sumible en ${displaystyle mathbb {R}.}$

Si $X$ es un espacio normable y si ${textstyle left(x_{alpha }right)_{alpha in A}}$ es una familia absolutamente sumible en $X,$ entonces necesariamente todo menos una colección contable $x_{alpha }$ Son 0.

Las familias absolutamente sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares.

Relación con la convergencia

Si $G$ está completo con respecto a la métrica $d,$ entonces cada serie absolutamente convergente es convergente. La prueba es la misma que para series de valor complejo: utilizar la integridad para derivar el criterio Cauchy para la convergencia, una serie es convergente si y sólo si sus colas pueden ser arbitrariamente pequeñas en la norma, y aplicar la desigualdad del triángulo.

En particular, para series con valores en cualquier espacio de Banach, la convergencia absoluta implica convergencia. Lo contrario también es cierto: si la convergencia absoluta implica la convergencia en un espacio normado, entonces el espacio es un espacio de Banach.

Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, se denomina condicionalmente convergente. Un ejemplo de una serie condicionalmente convergente es la serie armónica alterna. Muchas pruebas estándar de divergencia y convergencia, entre las que destacan la prueba de la razón y la prueba de la raíz, demuestran la convergencia absoluta. Esto se debe a que una serie de potencias es absolutamente convergente en el interior de su disco de convergencia.

Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente de números complejos es convergente

Supongamos que ${textstyle sum left|a_{k}right|,a_{k}in mathbb {C} }$ es convergente. Entonces, equivalentemente, ${textstyle sum left[operatorname {Re} left(a_{k}right)^{2}+operatorname {Im} left(a_{k}right)^{2}right]^{1/2}}$ es convergente, lo que implica que ${textstyle sum left|operatorname {Re} left(a_{k}right)right|}$ y ${textstyle sum left|operatorname {Im} left(a_{k}right)right|}$ converger por comparación de términos no negativos. Basta demostrar que la convergencia de estas series implica la convergencia de ${textstyle sum operatorname {Re} left(a_{k}right)}$ y ${textstyle sum operatorname {Im} left(a_{k}right),}$ para entonces, la convergencia de ${textstyle sum a_{k}=sum operatorname {Re} left(a_{k}right)+isum operatorname {Im} left(a_{k}right)}$ seguiría, por la definición de la convergencia de series de valor complejo.

El debate anterior muestra que sólo necesitamos probar la convergencia de ${textstyle sum left|a_{k}right|,a_{k}in mathbb {R} }$ implica la convergencia de ${textstyle sum a_{k}.}$

Vamos ${textstyle sum left|a_{k}right|,a_{k}in mathbb {R} }$ ser convergente. Desde ${displaystyle 0leq a_{k}+left|a_{k}right|leq 2left|a_{k}right|,}$ tenemos

{displaystyle 0leq sum _{k=1}^{n}(a_{k}+left|a_{k}right|)leq sum _{k=1}^{n}2left|a_{k}right|.}

{textstyle sum 2left|a_{k}right|}

{textstyle s_{n}=sum _{k=1}^{n}left(a_{k}+left|a_{k}right|right)}

{textstyle sum left(a_{k}+left|a_{k}right|right)}

{textstyle sum a_{k}=sum left(a_{k}+left|a_{k}right|right)-sum left|a_{k}right|}

Demostración alternativa usando el criterio de Cauchy y la desigualdad triangular

Al aplicar el criterio de Cauchy para la convergencia de una serie compleja, también podemos probar este hecho como una simple implicación de la desigualdad del triángulo. Por el criterio de Cauchy, ${textstyle sum |a_{i}|}$ converge si y sólo si para cualquier $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0,{displaystyle varepsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d780d8dff4b26013c7d5d0efbc1acb92b60645b" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.991ex; height:2.509ex;"/>$ existe $N$ tales que $<math alttext="{textstyle left|sum _{i=m}^{n}left|a_{i}right|right|=sum _{i=m}^{n}|a_{i}|Silencio.. i=mnSilencioaiSilencioSilencio=.. i=mnSilencioaiSilencio.ε ε {textstyle left durablesum ¿Por qué? ¿Qué?<img alt="{textstyle left|sum _{i=m}^{n}left|a_{i}right|right|=sum _{i=m}^{n}|a_{i}|$ para cualquier $mgeq N.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■m≥ ≥ N.{displaystyle n títulomgeq N.}mgeq N.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445fecb4b77281510aec88ccdbd7676de8204d62" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.342ex; height:2.343ex;"/>$ Pero la desigualdad del triángulo implica que ${textstyle {big |}sum _{i=m}^{n}a_{i}{big |}leq sum _{i=m}^{n}|a_{i}|,}$ así $<math alttext="{textstyle left|sum _{i=m}^{n}a_{i}right|Silencio.. i=mnaiSilencio.ε ε {textstyle left durablesum ¿Qué?<img alt="{textstyle left|sum _{i=m}^{n}a_{i}right|$ para cualquier $mgeq N,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■m≥ ≥ N,{displaystyle n confíamgeq N,}mgeq N,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520c81c6b472615ca736a37223af8a6a2259efdb" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.342ex; height:2.509ex;"/>$ que es exactamente el criterio de Cauchy ${textstyle sum a_{i}.}$

Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente en un espacio de Banach es convergente

El resultado anterior se puede generalizar fácilmente en cada espacio de Banach ${displaystyle (X,|,cdot ,|).}$ Vamos ${textstyle sum x_{n}}$ ser una serie absolutamente convergente en $X.$ As ${textstyle sum _{k=1}^{n}|x_{k}|}$ es una secuencia Cauchy de números reales, para cualquier $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0{displaystyle varepsilon }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;"/>$ y suficientes números naturales $n}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m■n{displaystyle m prendan}n" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637039c4a193f33fee72ebfeb6cb003593696160" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.534ex; height:1.843ex;"/>$ sostiene:

<math alttext="{displaystyle left|sum _{k=1}^{m}|x_{k}|-sum _{k=1}^{n}|x_{k}|right|=sum _{k=n+1}^{m}|x_{k}|Silencio.. k=1m.. xk.. − − .. k=1n.. xk.. Silencio=.. k=n+1m.. xk.. .ε ε .{displaystyle left durablesum ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué?<img alt="{displaystyle left|sum _{k=1}^{m}|x_{k}|-sum _{k=1}^{n}|x_{k}|right|=sum _{k=n+1}^{m}|x_{k}|

Por la desigualdad triangular para la norma $ǁ\cdotǁ$ , uno obtiene inmediatamente:

<math alttext="{displaystyle left|sum _{k=1}^{m}x_{k}-sum _{k=1}^{n}x_{k}right|=left|sum _{k=n+1}^{m}x_{k}right|leq sum _{k=n+1}^{m}|x_{k}|... k=1mxk− − .. k=1nxk.=... k=n+1mxk.≤ ≤ .. k=n+1m.. xk.. .ε ε ,{displaystyle leftfnsofnsofnso ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? sum ¿Por qué?<img alt="{displaystyle left|sum _{k=1}^{m}x_{k}-sum _{k=1}^{n}x_{k}right|=left|sum _{k=n+1}^{m}x_{k}right|leq sum _{k=n+1}^{m}|x_{k}|

{textstyle sum _{k=1}^{n}x_{k}}

X,

X.

Reordenamientos y convergencia incondicional

Números reales y complejos

Cuando una serie de números reales o complejos es absolutamente convergente, cualquier reorganización o reordenamiento de esa serie' los términos seguirán convergiendo al mismo valor. Este hecho es una de las razones por las que las series absolutamente convergentes son útiles: mostrar que una serie es absolutamente convergente permite emparejar o reorganizar los términos de manera conveniente sin cambiar el valor de la suma.

El teorema del reordenamiento de Riemann muestra que lo contrario también es cierto: toda serie real o de valores complejos cuyos términos no se pueden reordenar para dar un valor diferente es absolutamente convergente.

Series con coeficientes en el espacio más general

El término convergencia incondicional se utiliza para referirse a una serie en la que cualquier reorganización de sus términos aún converge al mismo valor. Para cualquier serie con valores en un grupo abeliano normalizado $G$ , mientras $G$ es completo, cada serie que converge absolutamente también converge incondicionalmente.

Dicho de manera más formal:

Theorem— Vamos $G$ ser un grupo abeliano normalizado. Suppose

<math alttext="{displaystyle sum _{i=1}^{infty }a_{i}=Ain G,quad sum _{i=1}^{infty }|a_{i}|.. i=1JUEGO JUEGO ai=A▪ ▪ G,.. i=1JUEGO JUEGO .. ai.. .JUEGO JUEGO .{displaystyle sum _{i=1}{infty }a_{i}=Ain G,quad sum - ¿Por qué? - ¿Qué?<img alt="{displaystyle sum _{i=1}^{infty }a_{i}=Ain G,quad sum _{i=1}^{infty }|a_{i}|

{displaystyle sigma:mathbb {N} to mathbb {N} }

es cualquier permutación, entonces

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }a_{sigma (i)}=A.}

Para series con coeficientes más generales, el converso es más complicado. Como se indicó en la sección anterior, para series de valor real y complejas, la convergencia incondicional siempre implica una convergencia absoluta. Sin embargo, en el caso más general de una serie con valores en cualquier grupo abeliano ordenado $G$ , el contrario no siempre sostiene: puede existir series que no son absolutamente convergentes, sin embargo convergen incondicionalmente.

Por ejemplo, en el espacio de Banach ℓ^∞, una serie que es incondicionalmente convergente pero no absolutamente convergente es:

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{tfrac {1}{n}}e_{n},}

Donde ${e_{n}}_{{n=1}}^{{infty }}$ es una base ortonormal. Un teorema de A. Dvoretzky y C. A. Rogers afirma que cada espacio de Banach infinito tiene una serie convergente incondicionalmente que no es absolutamente convergente.

Demostración del teorema

Para cualquier $0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0,{displaystyle varepsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d780d8dff4b26013c7d5d0efbc1acb92b60645b" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.991ex; height:2.509ex;"/>$ podemos elegir algunos ${displaystyle kappa _{varepsilon },lambda _{varepsilon }in mathbb {N}}$ tal que:

kappa _{varepsilon }&quad sum _{n=N}^{infty }|a_{n}|lambda _{varepsilon }&quad left|sum _{n=1}^{N}a_{n}-Aright|para todosN■κ κ ε ε .. n=NJUEGO JUEGO .. an.. .ε ε 2para todosN■λ λ ε ε ... n=1Nan− − A..ε ε 2{displaystyle {begin{aligned}{text{ for all }N tituladokappa _{varepsilon }quad sum ¿Qué? }ctan_{n}fn}\fn}\\\fn}\\fn}\fn}\fnfn}fn}\\fn}\\fn}\\fn}\\\fn}\\\fn}\fn}\\\\\\\\\\fn}\\\\fn}\\\fn}fn}\\\\fn}\\\fn}\\\\\\\fn}fn}fn}\\\\\fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}\\fn}\\\\\\fn} ¿Por qué? ¿Por qué?kappa _{varepsilon }&quad sum _{n=N}^{infty }|a_{n}|lambda _{varepsilon }&quad left|sum _{n=1}^{N}a_{n}-Aright|

Dejar

{displaystyle {begin{aligned}N_{varepsilon }&=max left{kappa _{varepsilon },lambda _{varepsilon }right}\M_{sigmavarepsilon }&=max left{sigma ^{-1}left(left{1,ldotsN_{varepsilon }right}right)right}end{aligned}}}

{displaystyle sigma ^{-1}left(left{1,ldotsN_{varepsilon }right}right)=left{sigma ^{-1}(1),ldotssigma ^{-1}left(N_{varepsilon }right)right}}

{displaystyle M_{sigmavarepsilon }}

{displaystyle a_{sigma (0)},ldotsa_{sigma left(M_{sigmavarepsilon }right)}}

{displaystyle a_{0},ldotsa_{N_{varepsilon }}}

Finalmente para cualquier entero $M_{sigmavarepsilon }}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">N■Mσ σ ,ε ε {displaystyle No me importa.M_{{sigmavarepsilon }}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8477749b2eaa665459a5d0eee662a43ba4bd419f" style="vertical-align: -1.005ex; width:9.812ex; height:2.843ex;"/>$ Deja

{displaystyle {begin{aligned}I_{sigmavarepsilon }&=left{1,ldotsNright}setminus sigma ^{-1}left(left{1,ldotsN_{varepsilon }right}right)\S_{sigmavarepsilon }&=min sigma left(I_{sigmavarepsilon }right)=min left{sigma (k): kin I_{sigmavarepsilon }right}\L_{sigmavarepsilon }&=max sigma left(I_{sigmavarepsilon }right)=max left{sigma (k): kin I_{sigmavarepsilon }right}\end{aligned}}}

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}left|sum _{iin I_{sigmavarepsilon }}a_{sigma (i)}right|&leq sum _{iin I_{sigmavarepsilon }}left|a_{sigma (i)}right|\&leq sum _{j=S_{sigmavarepsilon }}^{L_{sigmavarepsilon }}left|a_{j}right|&&{text{ since }}I_{sigmavarepsilon }subseteq left{S_{sigmavarepsilon },S_{sigmavarepsilon }+1,ldotsL_{sigmavarepsilon }right}\&leq sum _{j=N_{varepsilon }+1}^{infty }left|a_{j}right|&&{text{ since }}S_{sigmavarepsilon }geq N_{varepsilon }+1\&... i▪ ▪ Iσ σ ,ε ε aσ σ ()i).≤ ≤ .. i▪ ▪ Iσ σ ,ε ε .aσ σ ()i).≤ ≤ .. j=Sσ σ ,ε ε Lσ σ ,ε ε .aj.desde entoncesIσ σ ,ε ε ⊆ ⊆ {}Sσ σ ,ε ε ,Sσ σ ,ε ε +1,...... ,Lσ σ ,ε ε }≤ ≤ .. j=Nε ε +1JUEGO JUEGO .aj.desde entoncesSσ σ ,ε ε ≥ ≥ Nε ε +1.ε ε 2{displaystyle {begin{aligned}left _{iin I_{sigmavarepsilon }a_{sigma (i)}rightprisionleq sum _{iin I_{sigmavarepsilon }}leftIdea_{sigma (i)}derechaIdea\\\fnMiq sum _{j=S_{sigmavarepsilon }{L_{sigmavarepsilon }izquierdaa_{j}derechaderecha desde entonces }I_{sigmavarepsilon }subseteq left{S_{sigmavarepsilon },S_{sigmavarepsilon }+1,ldotsL_{sigmavarepsilon }derecha\\\\cH00cH00cH33 _{j=N_{varepsilon }+1}{infty }leftPrincipa_{j}derechaderecha ~ desde entonces }S_{sigmavarepsilon }geq N_{varepsilon }+1\fnMicroc {varepsilon } {2}end{aligned}}<img alt="{displaystyle {begin{aligned}left|sum _{iin I_{sigmavarepsilon }}a_{sigma (i)}right|&leq sum _{iin I_{sigmavarepsilon }}left|a_{sigma (i)}right|\&leq sum _{j=S_{sigmavarepsilon }}^{L_{sigmavarepsilon }}left|a_{j}right|&&{text{ since }}I_{sigmavarepsilon }subseteq left{S_{sigmavarepsilon },S_{sigmavarepsilon }+1,ldotsL_{sigmavarepsilon }right}\&leq sum _{j=N_{varepsilon }+1}^{infty }left|a_{j}right|&&{text{ since }}S_{sigmavarepsilon }geq N_{varepsilon }+1\&

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}left|sum _{i=1}^{N}a_{sigma (i)}-Aright|&=left|sum _{iin sigma ^{-1}left({1,dotsN_{varepsilon }}right)}a_{sigma (i)}-A+sum _{iin I_{sigmavarepsilon }}a_{sigma (i)}right|\&leq left|sum _{j=1}^{N_{varepsilon }}a_{j}-Aright|+left|sum _{iin I_{sigmavarepsilon }}a_{sigma (i)}right|\&<left|sum _{j=1}^{N_{varepsilon }}a_{j}-Aright|+{frac {varepsilon }{2}}\&... i=1Naσ σ ()i)− − A.=... i▪ ▪ σ σ − − 1(){}1,...... ,Nε ε })aσ σ ()i)− − A+.. i▪ ▪ Iσ σ ,ε ε aσ σ ()i).≤ ≤ ... j=1Nε ε aj− − A.+... i▪ ▪ Iσ σ ,ε ε aσ σ ()i)..... j=1Nε ε aj− − A.+ε ε 2.ε ε {displaystyle {begin{aligned}left _{i=1}{N}a_{sigma (i)}-Aright quedarse=leftpresistente _{iin sigma ^{-1}left({1,dotsN_{varepsilon }right)}a_{sigma (i)}-A+sum _{iin I_{sigmavarepsilon }a_{sigma (i)}right viven\fnMiqleft ¿Qué? }a_{j}-ArightfnMicrosoft Sans _{iin I_{sigmavarepsilon }a_{sigma (i)}rightfncipe\cH3cH0cH00fnMicrosoft Sans ¿Qué? }a_{j}-Arightfncip+{frac {varepsilon }{2}\\\c]\<img alt="{displaystyle {begin{aligned}left|sum _{i=1}^{N}a_{sigma (i)}-Aright|&=left|sum _{iin sigma ^{-1}left({1,dotsN_{varepsilon }}right)}a_{sigma (i)}-A+sum _{iin I_{sigmavarepsilon }}a_{sigma (i)}right|\&leq left|sum _{j=1}^{N_{varepsilon }}a_{j}-Aright|+left|sum _{iin I_{sigmavarepsilon }}a_{sigma (i)}right|\&<left|sum _{j=1}^{N_{varepsilon }}a_{j}-Aright|+{frac {varepsilon }{2}}\&

Esto demuestra que

0,{text{ there exists }}M_{sigmavarepsilon },{text{ for all }}N>M_{sigmavarepsilon }quad left|sum _{i=1}^{N}a_{sigma (i)}-Aright|para todosε ε ■0,existeMσ σ ,ε ε ,para todosN■Mσ σ ,ε ε ... i=1Naσ σ ()i)− − A..ε ε ,{displaystyle {text{ for all }varepsilon }M_{sigmavarepsilon },{text{ for all #### ############################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?0,{text{ there exists }}M_{sigmavarepsilon },{text{ for all }}N>M_{sigmavarepsilon }quad left|sum _{i=1}^{N}a_{sigma (i)}-Aright|

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }a_{sigma (i)}=A.}

Q.E.D.

Productos de serie

El producto de Cauchy de dos series converge al producto de las sumas si al menos una de las series converge absolutamente. Es decir, supongamos que

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}=Aquad {text{ and }}quad sum _{n=0}^{infty }b_{n}=B.}

El producto Cauchy se define como la suma de términos $c_{n}$ Donde:

{displaystyle c_{n}=sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}

Si o el $a_{n}$ o $b_{n}$ la suma converge absolutamente entonces

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }c_{n}=AB.}

Convergencia absoluta sobre conjuntos

Una generalización de la convergencia absoluta de una serie, es la convergencia absoluta de una suma de una función sobre un conjunto. Primero podemos considerar un conjunto contable $X$ y una función ${displaystyle f:Xto mathbb {R}.}$ Daremos una definición a continuación de la suma de $f$ sobre $X,$ escrito ${textstyle sum _{xin X}f(x).}$

Primera nota que porque no hay enumeración particular (o "indización") de $X$ todavía se ha especificado, la serie ${textstyle sum _{xin X}f(x)}$ no se puede entender por la definición más básica de una serie. De hecho, para algunos ejemplos de $X$ y $f,$ la suma de $f$ sobre $X$ no se puede definir en absoluto, ya que algunos índices pueden producir una serie con convergencia condicional.

Por lo tanto, definimos ${textstyle sum _{xin X}f(x)}$ sólo en el caso en que exista alguna bijeción ${displaystyle g:mathbb {Z} ^{+}to X}$ tales que ${textstyle sum _{n=1}^{infty }f(g(n))}$ es absolutamente convergente. Tenga en cuenta que aquí, "absolutamente convergente" utiliza la definición más básica, aplicada a una serie indexada. En este caso, el valor del suma de $f$ sobre $X$ se define por

{displaystyle sum _{xin X}f(x):=sum _{n=1}^{infty }f(g(n))}

Tenga en cuenta que debido a que la serie es absolutamente convergente, entonces cada reorganización es idéntica a una elección diferente de la bijección $g.$ Puesto que todas estas sumas tienen el mismo valor, entonces la suma de $f$ sobre $X$ está bien definido.

Incluso más generalmente podemos definir la suma de $f$ sobre $X$ cuando $X$ es incontable. Pero primero definimos lo que significa que la suma sea convergente.

Vamos $X$ ser cualquier conjunto, contable o incontable, y ${displaystyle f:Xto mathbb {R} }$ una función. Decimos eso la suma de $f$ sobre $X$ converge absolutamente si

<math alttext="{displaystyle sup left{sum _{xin A}|f(x)|:Asubseteq X,A{text{ is finite }}right}Sup{}.. x▪ ▪ ASilenciof()x)Silencio:A⊆ ⊆ X,Aes finito}.JUEGO JUEGO .{displaystyle sup left{sum _{xin A}prehensif(x) habit:Asubseteq X,A{text{ is finite }right}infty.}<img alt="{displaystyle sup left{sum _{xin A}|f(x)|:Asubseteq X,A{text{ is finite }}right}

Hay un teorema que dice que, si la suma de $f$ sobre $X$ es absolutamente convergente, entonces $f$ toma valores no cero en un conjunto que es a lo más contable. Por lo tanto, lo siguiente es una definición coherente de la suma de $f$ sobre $X$ cuando la suma es absolutamente convergente.

{displaystyle sum _{xin X}f(x):=sum _{xin X:f(x)neq 0}f(x).}

Tenga en cuenta que la serie final usa la definición de una serie sobre un conjunto contable.

Algunos autores definen una suma iterada ${textstyle sum _{m=1}^{infty }sum _{n=1}^{infty }a_{m,n}}$ para ser absolutamente convergente si la serie iterada $<math alttext="{textstyle sum _{m=1}^{infty }sum _{n=1}^{infty }|a_{m,n}|.. m=1JUEGO JUEGO .. n=1JUEGO JUEGO Silencioam,nSilencio.JUEGO JUEGO .{textstyle sum ¿Por qué? - No.<img alt="{textstyle sum _{m=1}^{infty }sum _{n=1}^{infty }|a_{m,n}|$ Esto es en realidad equivalente a la convergencia absoluta ${textstyle sum _{(m,n)in mathbb {N} times mathbb {N} }a_{m,n}.}$ Es decir, si la suma de $f$ sobre $X,$ ${textstyle sum _{(m,n)in mathbb {N} times mathbb {N} }a_{m,n},}$ converge absolutamente, como se define anteriormente, entonces la suma iterada ${textstyle sum _{m=1}^{infty }sum _{n=1}^{infty }a_{m,n}}$ converge absolutamente, y viceversa.

Convergencia absoluta de integrales

La integral ${textstyle int _{A}f(x),dx}$ de una función real o compleja converge absolutamente si $<math alttext="{textstyle int _{A}left|f(x)right|,dx∫ ∫ ASilenciof()x)Silenciodx.JUEGO JUEGO .{textstyle int _{A}left sometidaf(x)right sobre la vida,dx seleccionóinfty.}<img alt="{textstyle int _{A}left|f(x)right|,dx$ Uno también dice que $f$ es absolutamente integrador. El tema de la integración absoluta es intrincado y depende de si se considera la integral Riemann, Lebesgue o Kurzweil-Henstock (gauge); para la integral Riemann, también depende de si sólo consideramos la integración en su sentido correcto ( $f$ y $A$ ambos obligados), o permitir el caso más general de las integrales inadecuadas.

Como propiedad estándar de la integral Riemann, cuando ${displaystyle A=[a,b]}$ es un intervalo atado, cada función continua está ligada y (Riemann) integrado, y desde $f$ implicación continua $|f|$ continua, cada función continua es absolutamente integrador. De hecho, desde $gcirc f$ Riemann integrado $[a,b]$ si $f$ es (propiamente) integrador $g$ es continuo, sigue que ${displaystyle |f|=|cdot |circ f}$ es correctamente Riemann integrador si $f$ Lo es. Sin embargo, esta implicación no se mantiene en el caso de las integrales inadecuadas. Por ejemplo, la función ${textstyle f:[1,infty)to mathbb {R}:xmapsto {frac {sin x}{x}}}$ es inadecuadamente integrado Riemann en su dominio sin límites, pero no es absolutamente integrador:

{displaystyle int _{1}^{infty }{frac {sin x}{x}},dx={frac {1}{2}}{bigl [}pi -2,mathrm {Si} (1){bigr ]}approx 0.62,{text{ but }}int _{1}^{infty }left|{frac {sin x}{x}}right|dx=infty.}

{textstyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}}

{displaystyle f_{a}:[0,infty)to mathbb {R} }

{displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}.}

{textstyle int _{0}^{infty }f_{a},dx}

{textstyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}.}

La situación es diferente para el Lebesgue integral, que no maneja dominios consolidados y sin límites de integración por separado (véase infra). El hecho de que el integral de $|f|$ no está abundado en los ejemplos anteriores implica que $f$ tampoco es integrador en el sentido Lebesgue. De hecho, en la teoría Lebesgue de la integración, dado que $f$ es mensurable, $f$ es (Lebesgue) integrador si $|f|$ es (Lebesgue) integrador. Sin embargo, la hipótesis de que $f$ es mensurable es crucial; no es generalmente cierto que funciones absolutamente integradoras en $[a,b]$ son integrados (simplemente porque pueden no ser mensurables): $S subset [a,b]$ ser un subconjunto no mensurable y considerar $f = chi_S - 1/2,$ Donde $chi_S$ es la función característica $S.$ Entonces... $f$ no es Lebesgue mensurable y por lo tanto no integrador, pero ${displaystyle |f|equiv 1/2}$ es una función constante y claramente integradora.

Por otro lado, una función $f$ puede ser Kurzweil-Henstock integradoble (inteligible de calibre) mientras $|f|$ No lo es. Esto incluye el caso de funciones integradas inadecuadamente Riemann.

En un sentido general, en cualquier medida espacio $A,$ la Lebesgue integral de una función de valor real se define en términos de sus partes positivas y negativas, por lo que los hechos:

$f$ integrador implica $|f|$ integrador
$f$ mensurable, $|f|$ integrador implica $f$ integrador

se integran esencialmente en la definición de la integral Lebesgue. En particular, aplicar la teoría a la medida contable en un conjunto $S,$ uno recupera la noción de summación sin orden de serie desarrollada por Moore-Smith usando redes (lo que se llaman ahora). Cuando ${displaystyle S=mathbb {N} }$ es el conjunto de números naturales, la integración de Lebesgue, la summabilidad sin orden y la convergencia absoluta coinciden.

Finalmente, todo lo anterior es válido para integrales con valores en un espacio de Banach. La definición de una integral de Riemann con valores de Banach es una modificación evidente de la habitual. Para la integral de Lebesgue, es necesario sortear la descomposición en partes positivas y negativas con el enfoque analítico más funcional de Daniell, obteniendo la integral de Bochner.

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